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2026新浙教版八年级数学下学期期中学情检测试卷
时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章~第3章
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列式子中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
4． “菲尔兹奖”是数学领域的国际最高奖项之一，被誉为“数学界的诺贝尔奖”，每四年颁发一次．获得年和年“菲尔兹奖”的位数学家获奖时的年龄分别为，，，，，，，，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
5．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A．且 B．且
C． D．
6．已知实数，则的值在（ ）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
7．汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（ ）
A． B． C． D．
8．若满足，，则的值是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．立定跳远是山西中考体育的必考项目，要想取得满分必须经过长期训练．同学们坚信持续努力的意义，因此从八年级起便开始坚持练习，并在体育老师的专业指导下进行系统性的专项训练．经过一段时间的训练后，李老师对初始基础相近的小亮、小强、小刚、小明四名学生的跳远成绩进行了抽样调查，并将结果整理为箱线图．从该图中可以看出，这段时间动作掌握程度比较好的同学是（ ）
A．小亮 B．小强 C．小刚 D．小明
10．已知，则的值是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．设为正整数，一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最小值为______．
12．若x，y为实数，且，则_____．
13．已知方程的两个实数根分别为，则______．
14．某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙两位候选人进行了面试和笔试，如果公司认为，作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要，其中甲候选人的面试成绩为分，笔试成绩为分，乙候选人的面试成绩为分，笔试成绩为分，并分别赋予它们6和4的权．根据两人的平均成绩，公司将录取________．
15．如图所示方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则3个空格中的实数之积为______．
16．已知一组数据，，，，的方差是，则另一组数据，，，，的方差是____．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分）
17．（6分）用合适的方法解下列一元二次方程：
(1)； (2)．
18．（6分）计算：
(1)．
(2)已知，，求下列代数式的值．
19．（8分）如果关于的一元二次方程有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”．
(1)判断一元二次方程是否为“和美方程”，请说明理由．
(2)已知关于的一元二次方程是“和美方程”，求的最小值．
20．（8分）某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生的测试成绩，进行收集、整理、描述和分析（测试满分为分，学生测试成绩均为不小于的整数，分为四个等级：，，，），部分信息如下：
信息一：
信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：，，，，，，，，，，，．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)所抽取的学生成绩为等级的人数为________，并将频数分布直方图补充完整；
(2)成绩为等级的人数对应的扇形圆心角度数是_______度；
(3)所抽取的学生成绩的中位数是________分；
(4)该校七年级共有名学生参加本次测试，若测试成绩不低于分的为优秀，请估计该校七年级参加本次测试成绩达到优秀的学生人数．
21．（10分）在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动．
(1)小球的滚动速度平均每秒减少___________米/秒，从开始到滚动了秒后小球的速度为___________米/秒；
(2)小球滚动24米用了多少秒？
22．（10分）李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）．
(1)电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
(2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
23．（12分）为优化旅游体验，山西省文旅局在2025年国庆假期后，随机抽取了部分游客，对两条经典旅游线路：A：“晋商文化探秘”线（平遥古城、乔家大院等），B：“黄河风情体验”线（壶口瀑布、碛口古镇等）的满意度进行了百分制评分调查．
收集与整理：每条线路收集了20份有效评分，初步计算的部分统计量如下：
86-90分评分的具体分值
88 90 87 86 89 88 90 87
线路B的评分情况
分数（分） 75 78 82 86 90 94 97 99
人数（人） 3 2 4 2 3 2 3 1
描述与分析：两条经典旅游线路评分的平均数、众数、中位数、方差如下：
线路 平均数（分） 众数（分） 中位数（分） 方差
A 86.5 92 b 18.05
B c a 86 62.9475
根据以上信息，回答下列问题：
(1)统计表中_________，_________．
(2)求出统计表中c的值．
(3)利用表中两个统计量及箱线图对线路A，B的评分情况进行分析．
24．（12分）阅读下列材料，然后解答下列问题：
以上这种化简的方法叫分母有理化．
(1)（为正整数）___________．
(2)___________．（结果不含根号）
(3)比较与的大小，并说明理由．
答案解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列式子中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式，根据二次根式的定义（形如（）的式子是二次根式，需满足根指数为2且被开方数非负），逐一分析选项即可得出答案．
【详解】解：A、的被开方数，式子无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意；
B、的根指数为3，不是二次根式，故本选项不符合题意；
C、中的取值范围不确定，当时式子无意义，不一定是二次根式，故本选项不符合题意；
D、的根指数为2，被开方数，符合二次根式的定义，一定是二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
2．若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将已知根代入方程求出的值，再代入代数式计算即可求解.
【详解】解：是方程的根，
，
即，
，
．
3．下列计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的运算法则分别判断各选项即可得到结果．
【详解】解：根据二次根式运算法则判断：
∵二次根式乘法法则为，
∴A选项中，A计算正确；
∵只有同类二次根式才能合并，与不是同类二次根式，无法合并，
∴B选项计算错误；
验证其余选项：
∵二次根式除法法则为，
∴C选项，C计算正确；
对D选项化简得，D计算正确；
综上，计算错误的是B．
4． “菲尔兹奖”是数学领域的国际最高奖项之一，被誉为“数学界的诺贝尔奖”，每四年颁发一次．获得年和年“菲尔兹奖”的位数学家获奖时的年龄分别为，，，，，，，，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】先将数据从小到大排序，再根据中位数与众数的定义计算即可．
【详解】解：将这组数据从小到大排列为：，，，，，，，，
∵数据共有个，中位数为排序后第个和第个数据的平均数，
∴中位数为，
∵这组数据中出现的次数最多，
∴众数为，
∴这组数据的中位数和众数分别是，．
5．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A．且 B．且
C． D．
【答案】A
【分析】解题需注意一元二次方程二次项系数不为0，结合两个不相等实数根的条件，列出不等式组求解即可．
【详解】解：，
整理得：．
∵原方程是关于的一元二次方程，且有两个不相等的实数根，
∴，
即，且，
∴的取值范围是且．
6．已知实数，则的值在（ ）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
【答案】C
【分析】先根据二次根式的运算法则化简，再估算无理数的大小即可．
【详解】解：
，
∵，即，
∴，即
∴的值在和之间．
7．汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把路程的值代入求解．
根据路程和时间之间的关系，将代入求出t即可．
【详解】解：依题意得：
，
整理得，
解得(不合题意舍去)，，
即行驶需要．
故选：C.
8．若满足，，则的值是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质、代数式求值等知识点，求得的值成为解题的关键．
三式相加可得，再运用配方法可得，由非负数的性质可得，然后代入求值即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选B．
9．立定跳远是山西中考体育的必考项目，要想取得满分必须经过长期训练．同学们坚信持续努力的意义，因此从八年级起便开始坚持练习，并在体育老师的专业指导下进行系统性的专项训练．经过一段时间的训练后，李老师对初始基础相近的小亮、小强、小刚、小明四名学生的跳远成绩进行了抽样调查，并将结果整理为箱线图．从该图中可以看出，这段时间动作掌握程度比较好的同学是（ ）
A．小亮 B．小强 C．小刚 D．小明
【答案】B
【分析】本题考查箱线图，熟练从箱线图获得信息是解题的关键．
从箱线图上得出每人成绩的中位数及成绩波动范围，据此解答即可．
【详解】解：由箱线图可知：
小亮的中位数约米，成绩波动范围约为：米，
小强的中位数约米，成绩波动范围约为：米，
小刚的中位数约米，成绩波动范围约为：米，
小明的中位数约米，成绩波动范围约为：米，
由于小强的中位数最高，成绩波动最小，
则动作掌握程度比较好的同学是小强，
故选：B．
10．已知，则的值是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【分析】本题考查换元法和完全平方公式的应用，通过设，将原式转化为关于的方程，利用完全平方公式展开求解即可．
【详解】解：∵
∴设，则，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
即
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．设为正整数，一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最小值为______．
【答案】3
【分析】根据方程有两个不相等的实数根得到关于a的不等式，结合a为正整数的条件即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴或，
又∵为正整数，
∴，
∴的最小值为．
12．若x，y为实数，且，则_____．
【答案】4
【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的值， 再代入原式求出的值，最后代入计算即可得到结果．
【详解】解：由题意得，
解得，
把代入，
得，
将，代入，得．
13．已知方程的两个实数根分别为，则______．
【答案】
±
【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再通过完全平方公式的变形求出的值，最后开平方得到的结果．
【详解】∵方程中，，，，
∴，，
∴ ，
对等式两边开平方，得．
故答案为：．
14．某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙两位候选人进行了面试和笔试，如果公司认为，作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要，其中甲候选人的面试成绩为分，笔试成绩为分，乙候选人的面试成绩为分，笔试成绩为分，并分别赋予它们6和4的权．根据两人的平均成绩，公司将录取________．
【答案】乙/乙候选人
【分析】本题考查了加权平均数的计算公式的知识，掌握以上知识是解答本题的关键．根据题意先算出甲、乙两位候选人的加权平均数，再进行比较，即可得出答案．
【详解】解：甲：（分），
乙：（分），
∵，
∴公司将录取乙．
故答案为：乙．
15．如图所示方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则3个空格中的实数之积为______．
【答案】18
【分析】本题主要考查了二次根式的应用．根据“横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，”求出a，b，c的值，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得：，，，
∴，，，
∴3个空格中的实数之积为．
故答案为：18
16．已知一组数据，，，，的方差是，则另一组数据，，，，的方差是____．
【答案】
【分析】本题考查的是方差，掌握当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，当数据都乘上一个数（或除一个数）时，方差乘（或除）这个数的平方倍是关键．
根据在原来数据前乘以同一个数，方差要乘以这个数的平方，若数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即可直接得出答案．
【详解】解：设原数据的方差为，
根据方差的性质：数据乘以常数，方差变为原方差的；数据加上常数，方差不变，
因此数据，，，，的方差是，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分）
17．（6分）用合适的方法解下列一元二次方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查解一元二次方程，掌握解方程的方法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，根据每个方程的特点选用恰当的解法是解题的关键．
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：
，
即或，
解得：；
（2）解：
，
，
即或，
解得：．
18．（6分）计算：
(1)．
(2)已知，，求下列代数式的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，已知式子的值求代数式的值，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先运用二次根式的性质化简以及运算除法，最后运算加减法，即可作答．
（2）先整理，再把，代入进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：
．
（2）解：∵，，
∴
．
19．（8分）如果关于的一元二次方程有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”．
(1)判断一元二次方程是否为“和美方程”，请说明理由．
(2)已知关于的一元二次方程是“和美方程”，求的最小值．
【答案】(1)该方程是“和美方程”，见解析
(2)最小值为
【分析】本题考查一元二次方程的解，配方法解一元二次方程的应用，
（1）将代入方程看左右两边是否相等即可得到答案；
（2）将代入得到字母关系，结合完全平方的非负性直接求解即可得到答案；
【详解】（1）解：该方程是“和美方程”，理由如下，
∵当时，方程左边，右边，
∴左边=右边，
∴是该方程的解，
∴该方程是“和美方程”；
（2）解：由题意得：，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴的最小值为．
20．（8分）某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生的测试成绩，进行收集、整理、描述和分析（测试满分为分，学生测试成绩均为不小于的整数，分为四个等级：，，，），部分信息如下：
信息一：
信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：，，，，，，，，，，，．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)所抽取的学生成绩为等级的人数为________，并将频数分布直方图补充完整；
(2)成绩为等级的人数对应的扇形圆心角度数是_______度；
(3)所抽取的学生成绩的中位数是________分；
(4)该校七年级共有名学生参加本次测试，若测试成绩不低于分的为优秀，请估计该校七年级参加本次测试成绩达到优秀的学生人数．
【答案】(1)；统计图见解析
(2)
(3)
(4)人
【分析】（1）用等级的人数除以所占百分比可求出抽查的总人数，即可求出等级的人数，进而补全统计图即可；
（2）用乘以等级的人数所占百分比即可得答案；
（3）根据中位数的定义，找出从低到高排列的第、位的数据，求出中位数即可；
（4）用乘以不低于分的人数所占百分比即可得答案．
【详解】（1）解：∵等级的人数为人，所占百分比为，
∴抽取的总人数为（人），
∴等级的人数为（人），
补全频数分布直方图如下：
（2）解：∵等级的人数为人，抽取的总人数为人，
∴等级的人数对应的扇形圆心角度数是．
（3）解：∵抽取的总人数为人，
∴所抽取的学生成绩的中位数是从低到高排列的第、位的平均数，
∵等级、等级的人数共为人，
∴中位数为等级的第、位的平均数，即（分）．
（4）解：∵所抽取的学生成绩为优秀的人数为（人），
∴名学生中，本次测试成绩达到优秀的学生人数约为（人）．
21．（10分）在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动．
(1)小球的滚动速度平均每秒减少___________米/秒，从开始到滚动了秒后小球的速度为___________米/秒；
(2)小球滚动24米用了多少秒？
【答案】(1)2，
(2)4秒
【分析】本题考查了一元二次方程在匀变速直线运动中的应用，涉及平均速度公式、路程公式．解题用到的思想是方程思想，方法是根据题意建立速度、时间、路程的数量关系，通过列方程求解；解题关键是理解匀变速直线运动中平均速度的计算方法（初末速度的算术平均数）以及路程公式即的应用；易错点是在求解时间时，忽略小球停止运动的时间限制（5秒），导致误选不符合实际的解．
（1）根据“速度均匀减少”的特点，用初速度与停止时的速度差除以时间可求每秒速度减少量；再根据速度减少规律，得出t秒后的速度表达式．
（2）先根据平均速度公式求出时间段内的平均速度，再结合路程公式即建立关于时间t的一元二次方程，求解后结合小球停止时间的限制，舍去不符合实际的解，得到最终时间．
【详解】（1）根据题意，小球平均每秒速度减少量为：（米/秒）．
从开始滚动t秒后，速度减少了米/秒，所以此时速度为：（米/秒）．
故答案为：2，．
（2）根据题意，平均速度．
因为运动路程即，且米，
解得，．
因为小球5秒后停止运动，不符合实际情况，舍去．
答：小球滚动24米用了4秒．
22．（10分）李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）．
(1)电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
(2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
【答案】(1)电视背景墙的周长为
(2)整个电视背景墙需要花费元
【分析】（1）直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【详解】（1）解：电视背景墙长方形的周长．
答：电视背景墙的周长为．
（2）解：长方形的面积：，
大理石的面积，
∴壁纸的面积，
整个电视背景墙需要花费：（元）．
答：整个电视背景墙需要花费元．
23．（12分）为优化旅游体验，山西省文旅局在2025年国庆假期后，随机抽取了部分游客，对两条经典旅游线路：A：“晋商文化探秘”线（平遥古城、乔家大院等），B：“黄河风情体验”线（壶口瀑布、碛口古镇等）的满意度进行了百分制评分调查．
收集与整理：每条线路收集了20份有效评分，初步计算的部分统计量如下：
86-90分评分的具体分值
88 90 87 86 89 88 90 87
线路B的评分情况
分数（分） 75 78 82 86 90 94 97 99
人数（人） 3 2 4 2 3 2 3 1
描述与分析：两条经典旅游线路评分的平均数、众数、中位数、方差如下：
线路 平均数（分） 众数（分） 中位数（分） 方差
A 86.5 92 b 18.05
B c a 86 62.9475
根据以上信息，回答下列问题：
(1)统计表中_________，_________．
(2)求出统计表中c的值．
(3)利用表中两个统计量及箱线图对线路A，B的评分情况进行分析．
【答案】(1)82；87
(2)统计表中c的值为86.45分
(3)见解析
【分析】（1）线路B收集的评分中出现次数最多的数得到众数a，结合扇形图将线路A收集的评分排序， 通过中间两个数的平均数求出中位数b；
（2）根据平均数公式计算线路B评分的平均数c；
（3）从平均数、中位数、众数、方差中任选一个统计量，对比两个路线评分的差异，再结合该统计量的意义提出合理化建议．
【详解】（1）解： 线路B收集的评分中出现次数最多的是，
，
（2）解：（分）
答：统计表中c的值为86.45分．
（3）解：从平均数来看，线路A略优于线路B，说明线路A平均满意程度略高于线路B；
从众数来看，线路A中92分>82分，说明线路A大众满意度优于线路B；
从中位数来看，88分>86分，在箱线图中也能说明线路A的中等水平好于线路B；
从箱线图可以看出：A线路中位数高，箱子短，数据集中，说明A线路整体口碑好，游客评价高；B线路中位数低，箱子长，数据分散，整体评分不高，评价差异较大．
24．（12分）阅读下列材料，然后解答下列问题：
以上这种化简的方法叫分母有理化．
(1)（为正整数）___________．
(2)___________．（结果不含根号）
(3)比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)
(2)22
(3)
【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的混合运算，平方差公式，
对于（1），根据分母有理化的定义解答；
对于（2），先根据平方差公式将分母有理化，再合并同类二次根式；
对于（3），先求出两个数的倒数，再比较可得答案.
【详解】（1）解：原式.
故答案为：；
（2）解：原式
；
故答案为：22；
（3）解：,理由如下：；
.
∵，
∴，
∴.

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