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福建省福州市联盟（高中）2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题
一、单选题
1．函数在处的导数等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
2．算盘是中国古代的一项重要发明，迄今已有2600多年的历史.现有一算盘，取其两档（如图一），自右向左分别表示十进制数的个位和十位，中间一道横梁把算珠分为上下两部分，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下四珠，上拨一珠记作数字1（如图二算盘表示整数51）.若拨动图1的两枚算珠，则可以表示不同整数的个数为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．15
3．在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
4．有3名男生和3名女生去影院观影，他们买了同一排相连的6个座位，若3名女生必须相邻，则不同的坐法有（ ）
A．24种 B．48种 C．96种 D．144种
5．函数的极小值点为（ ）
A． B． C．0 D．1
6．某5位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来5位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（ ）
A．21 B．30 C．42 D．60
7．已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（，，，，）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有（ ）

A．2520种 B．3360种 C．3570种 D．4410种
二、多选题
9．已知，，则满足不等式的的值为（ ）
A．6 B．3 C．8 D．4
10．设函数的导函数为，已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ）

A． B．
C． D．
11．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记．若在上恒成立，则称在上是“下凸函数”．下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有______种.
13．已知函数，则______.
14．设为函数的导函数的图象上一点，为函数的图象上一点，当关于直线对称时，称是一组对称点．若恰有3组对称点，则的取值范围是______．
四、解答题
15．已知函数．
(1)求的值；
(2)求曲线在点处的切线方程．
16．从这7个数字中取出4个数字，试问：
(1)能组成多少个没有重复数字的四位数？
(2)能组成多少个没有重复数字的四位偶数？
17．已知函数在处有极小值3．
(1)求的解析式；
(2)求在上的值域．
18．实施乡村振兴战略，优先发展教育事业.教育既承载着传播知识、塑造文明乡风的功能，更为乡村建设提供了人才支撑，为了补齐落后地区教育发展的短板，解决落后地区优秀教师资源匮乏的问题，某教育局抽调6名优秀教师按照以下要求分配到3所乡村学校去任教.
(1)若三所学校中甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人，有多少种分配方法？
(2)若三所学校中一学校4人，另外两校各1人，有多少种分配方法？
(3)若三所学校每所学校至少一人，有多少种分配方法？
19．若对，且，函数，满足：，则称函数是函数在区间上的级控制函数．
(1)判断函数是否是函数在区间上的1级控制函数，并说明理由；
(2)若函数是函数在区间上的级控制函数，求实数的取值范围；
(3)若函数是函数在区间上的级控制函数，且函数在区间上存在两个零点，，求证：．
参考答案
1．A
【详解】函数，求导得，所以.
故选：A
2．B
【详解】拨动两枚算珠可分为以下三类
（1）在个位上拨动两枚，可表示2个不同整数.
（2）同理在十位上拨动两枚，可表示2个不同整数.
（3）在个位、十位上分别拨动一枚，由分步乘法计数原理易得，可表示个不同整数.
所以，根据分类加法计数原理，一共可表示个不同整数.
故选：B.
3．C
【详解】因为，所以，令，得，
即该运动员在时的瞬时速度为.
故选：C.
4．D
【详解】先把3名女生看成一个整体，有种排法，
再把这个整体与另外3名男生排列，有种排法，
则不同的坐法有种坐法.
故选：D.
5．C
【详解】，由，得，
由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值点为0．
故选：C
6．C
【详解】7位同学排成一排准备照相时，共有种排法，
如果保持原来5位同学的相对顺序不变，则有种排法.
故选：C
7．A
【详解】令，因为，所以，
所以在上单调递减；
又，所以，
因此不等式可化为，
所以，解得，
即不等式的解集为.
故选：A
8．D
【详解】分4步进行分析：
①对于区域，有7种颜色可选；
②对于区域，与区域相邻，有6种颜色可选；
③对于区域，与、区域相邻，有5种颜色可选；
④对于区域、
若与颜色相同，区域有5种颜色可选，
若与颜色不相同，区域有4种颜色可选，区域有4种颜色可选，
则区域、有种选择.
综上所述，不同的涂色方案有种.
故选：D.
9．BD
【详解】因为，
所以，即，解得；
又，，所以或4，
故选：BD.
10．AC
【详解】由题意知与轴有三个交点，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
则在区间上单调递减，
在区间上单调递增，故A，C正确；B，D错误．
故选：AC．
11．ABC
【详解】A.定义域为，，，故A正确.
B.定义域为，，，故B正确.
C.定义域为，，，故C正确.
D.定义域为，，，
当时，，故D错误.
故选：ABC.
12．30
【详解】根据题意可知，第一步，派1名男队员共有种；
第二步，派1名男队员共有种，
所以由分步乘法计数原理可得不同的组合方式有种.
故答案为：
13．
【详解】令，由复合函数的求导公式，
得，
故.
故答案为：.
14．
【详解】，设，则，
所以，，所以，
因为与的图象若恰有3组对称点，
所以有三组解，可得即有三个解，
令，即函数与的图象有3个不同的交点，
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递减，
所以，，
所以.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【详解】（1）由，得，
因为，所以，解得．
（2）由上问得，所以，则，
因为，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
16．(1)720
(2)420
【详解】（1）第一步：千位不能为0，有6种选择；
第二步：百位可以从剩余数字中选，有6种选择；
第三步：十位可以从剩余数字中选，有5种选择；
第四步：个位可以从剩余数字中选，有4种选择．
根据分步计数原理，能组成个没有重复数字的四位数．
（2）第一类：当个位数字是0时，没有重复数字的四位数有个；
第二类：当个位数字是2时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个；
第三类：当个位数字是4时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个；
第四类：当个位数字是6时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个．
根据分类计数原理．能组成个没有重复数字的四位偶数．
17．(1)
(2)
【详解】（1）由题意得函数，
则，由题意得，解得
当时，，令，解得．
则当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增，
则是极小值点，符合题意，故．
（2）由（1）知，
则当时，单调递增；当时，单调递减；
当时，单调递增，则当时，函数取得极小值，
当时，函数取得极大值，
而，故在上的值域为．
18．(1)60
(2)90
(3)540
【详解】（1）6名教师选1名到甲学校任教有种方法，
从剩余的5名教师中选2名到乙学校有种方法，
剩余3名教师都分配到丙学校去任教有种方法，
则三所学校中甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人共有种分配方法；
（2）6名教师按，，分为三个组，有种方法，
则三所学校中一校4人，另外两校各1人共有种分配方法.
（3）由题可得教师的分配方案可以是：①，，；②1，1，4；③2，2，2，
①6名教师按，，分为三个组有种方法，
则6人分配到三所学校共有种分配方法；
②6名教师按，，分为三个组有种分法，
则6人分配到三所学校共有种分配方法；
③6名教师平均分配到3所学校有种方法
则6人分配到三所学校每所学校至少一人一共有：种方法
19．(1)是，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）函数是函数在区间上的1级控制函数.
理由如下：因为，且，，所以，，
所以，即成立，
所以函数是函数在区间上的1级控制函数.
（2）由函数是函数在区间上的级控制函数，得，
又，且在上单调递增，所以，即恒成立.
令，所以当，且，时，恒成立，所以在上恒成立.
因为，所以在上恒成立，
又单调递增，所以在上的最小值为，所以，解得，
又，所以，即实数的取值范围是.
（3）证明：因为函数在区间上存在两个零点，，不妨设，所以，
又函数是函数在区间上的级控制函数，
则，即，，
即，，.
要证，即证，即证，即证.
令，所以，
所以在上单调递增，所以，即时，，
即成立，所以得证.

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