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10.1二元一次方程组的概念
一、单选题
1．下列属于二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
3．二元一次方程的正整数解的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．无数个
4．若关于，的二元一次方程有一个解是，．则的值为（）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．小琪在解二元一次方程组时遇到一个残缺方程组，她翻看了课后答案知道了此方程组的解为，于是她很快把残缺的两处补了出来，则●，※两处分别代表的是（ ）
A．， B．，8 C．1， D．，1
二、填空题
6．已知是关于，的二元一次方程，则______．
7．若是关于的方程的一个解，则的值是___________．
8．已知方程的三个解为方程的三个解为则方程组的解为______．
9．小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数和，请你帮他找回这两个数，________，________．
10．已知关于x，y的二元一次方程的解如下表：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 8 6.5 5 3.5 2 0.5 …
已知关于x，y的二元一次方程的解如下表：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 2 …
（1）仔细观察表中数据，直接写出关于，二元一次方程组的解为______．
（2）关于，的二元一次方程组的解为______．
三、解答题
11．判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由．
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
12．已知方程是关于，的二元一次方程，求，的值．
13．已知下面三对数值：；；．
(1)哪几对能使方程左、右两边的值相等？
(2)哪几对能使方程左、右两边的值相等？
(3)二元一次方程组的解是什么？
14．如图，是线段的一点，是线段的中点．已知图中所有线段的长度之和是厘米，线段的长度与线段的长度都是整数，则线段的长度为多少厘米．
15．【观察思考】
第1个方程组为解为
第2个方程组为解为
第3个方程组为解为
……
【发现规律】
（1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______．
（2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示）
【应用规律】
（3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值．
16.综合与实践
【问题情境】
我们知道方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出它的正整数解，通过观察法，容易求出其正整数解为① ．
【实践探究】
但类似方程，因未知数的系数较大，用观察法不易求出其正整数解，此时，我们可以运用辗转相除法逐步缩小系数，解题过程如下：
由，得
∵x，y是正整数，
也是正整数，
∴可用观察法，得 ② ；
∴原方程的正整数解为：③ ．
阅读以上材料，解决下列问题：
(1)请补充上述探究过程中①②③所缺的内容；
(2)一个正整数与23的和是5的倍数，与23的差是6的倍数．请结合以上探究方法，求满足条件的最小正整数．
参考答案
一、单选题
1．C
解：A项：中含未知数的项的次数为2，不符合定义，不是二元一次方程，故A错误；
B项：只含有1个未知数，不符合定义，不是二元一次方程，故B错误；
C项：整理得，是整式方程，含有两个未知数x，y，且含未知数的项的次数都是1，符合定义，是二元一次方程，故C正确；
D项：中是分式，方程不是整式方程，不符合定义，不是二元一次方程，故D错误．
2．D
解：A. 第二个方程含，次数为2，不符合一次方程要求；
B. 含三个未知数，不符合二元条件；
C. 第二个方程含二次项，次数为2；
D. 两个方程均为一次整式方程，且仅含，符合定义．
故选：D．
3．A
解：当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，不符合，
所以，二元一次方程的正整数解的个数是．
故选：．
4．A
解：是方程的解，
，
解得，
故选：A．
5．A
解：设●，※两处分别代表的是，，
∵，
∴，
解得．
二、填空题
6．4
解：是关于，的二元一次方程，
，
解得．
7．4
解：∵是方程的一个解，
∴代入方程得：，
即，
移项得：，
，
解得：．
故答案为：4．
8．
解：根据方程组的解的定义，能够同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解，
可知是这两个方程中所有的解中能同时满足两个方程的解，
∴方程组的解为，
故答案为：．
9． 4
解：∵的解为，
∴，
解得：．
10．
解：（1）根据表格可知，当时，中，中，
∴关于，二元一次方程组的解为，
故答案为；
（2）∵关于，二元一次方程组的解为，
∴关于，的二元一次方程组的解为，
解得，
∴关于，的二元一次方程组的解为，
故答案为．
三、解答题
11．解：（1）中含有3个未知数，所以它不是二元一次方程组；
（2）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组；
（3）该方程组中一个方程的含有未知数的项的最高次数是2，所以它不是二元一次方程组；
（4）该方程组中的一个方程不是整式方程，是分式方程，所以它不是二元一次方程组；
（5）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组．
12．解：由题意，得，
解得或，
又，
，
，的值分别为，．
13．（1）解：将代入方程左边得：，右边，左边≠右边；
将代入方程左边得：，右边，左边右边；
将代入方程左边得：，右边，左边右边；
（2）解：将代入方程左边得：，右边，左边右边，是方程的解；
将代入方程左边得：，右边，左边右边，是方程的解；
将代入方程左边得：，右边，左边≠右边；
（3）解：两方程的公共解为，
则方程组的解为．
14．解：是线段的中点，
，
设，，
则依题意得：，
即，
得，
线段的长度与线段的长度都是整数，
则最大为，此时为小数，不符合题意；
时，，符合题意；
时，为小数，不符合题意．
．
15．解：（1）第4个方程组为解为．
（2）由（1）得：第个方程组为解为．
（3）由规律得，
解得．
根据第个方程组第一个方程的系数为，即，
代入，得．
根据第个方程组第二个方程的常数项为，即，
解得．
的值为15，的值为14．
16.（1）解：∵，且x、y都是正整数，
∴；
∵是正整数，
∴当时，，
当时，；
当时，，不符合题意；
∴原方程的正整数解为： 或；
故答案为：；3或10； 或
（2）解：设这个正整数为m，（k为正整数），
∴，
∵m与23的差是6的倍数，
∴可设，
∴，
∴是整数，且要保证，
∴当时，，此时，不符合题意；
当时，，此时，符合题意；
∵k随n增大而增大，m随k增大而增大，
∴m的最小值即为17．

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