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10.3实际问题与二元一次方程组
一、单选题
1．物理教师将一根米的导线交给小组长将其截成20厘米和30厘米两种长度的导线（每种长度的导线至少1根），则最多能截出（）根导线
A． B． C． D．
2．A、B两地相距千米，甲车和乙车同时从A、B两地相向开出，经过1小时分钟相遇．相遇时，甲车比乙车多行驶千米．设甲车和乙车的平均速度分别为千米/小时和千米/小时，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．在一个停车场，停了小轿车和摩托车一共32辆，这些车一共有108个轮子，则该停车场小轿车和摩托车的辆数分别为（ ）
A．21，11 B．22，10 C．23，9 D．24，8
4．某份资料计划印制10000份，该任务由A，B两台印刷机先后接力完成，A印刷机印制160份，印刷机印制210份．两台印刷机完成该任务共需，甲、乙两人所列的方程组如表所示，下列判断正确的是（ ）
甲 解：设A印刷机印制了，印刷机印制了． 由题意，得 乙 解：设A印刷机印制了份，印刷机印制了份． 由题意，得
A．只有甲列的方程组正确 B．只有乙列的方程组正确
C．甲和乙列的方程组都正确 D．甲和乙列的方程组都不正确
5．如图为某快餐店促销活动的内容，某同学到该快餐店购 买相差4元的2种快餐各1份，结账时，店员说：你多买2瓶指定饮料，按促销活动优惠价的金额，和你只买2份快餐的金额一样，这位同学想了想说：我还是只多买 1 瓶指定饮料吧，要求你以最便宜的方式给我结账，这位同学要付的金额是（ ）
A．56 B．57 C．58 D．60
二、填空题
6．年级花费元用来购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励知识竞赛中的获奖同学，若甲种奖品每件元，乙种奖品每件元，则购买方案有__________种.
7．一队工人制造某种工件，若平均每人一天做5件，那么全队一天就比定额少完成30件；若平均每人一天做7件，那么全队一天就超额20件．则这队工人有______人，全队每天制造的工件数额为________件．
8．已知m为任意的两位数，若m的各位数字不同且不为0，这样的两位数学称为“异同数”．把一个“异同数”的十位和个位数字交换位置，得到一个新的两位数，把这两个数相加的和除以11的商记为．例如对调后的两位数为54，这两个数的和为99，，所以．计算：______．若a，b都是“异同数”，（，x，y为整数）当时，则的最大值为______．
9．中秋节期间，某酒店推出甲，乙两种包装的月饼，其中甲种包装有五仁饼3个，莲蓉饼3个，豆沙饼2个，乙种包装有五仁饼1个，莲蓉饼1个，豆沙饼2个，每种包装每盒月饼的成本价为该盒中所有月饼的成本价之和，已知每个五仁饼与每个莲蓉饼的成本价之比为，每盒乙包装月饼售价91元，利润率是，两种包装的月饼共50盒总价6300元，总利润率是．中秋节后，为降价促销，甲种包装每盒每类月饼各少装一个，乙种包装每盒少装月饼后售价降为原来的一半，利润率不变，那么这样包装的两种月饼共50盒的总成本是 _____元（其中甲种包装少装月饼后的盒数与节前50盒中甲种包装月饼的盒数相同，当然乙种包装盒数也相同）．
10．如图，7个形状、大小完全相同的小长方形放在一个大长方形中，已知大长方形的周长为32，小长方形的周长为14，则小长方形的长为______，与的差为______．
三、解答题
11．中国的茶文化源远流长，融合了哲学、艺术、礼仪与生活方式，是中华文明的重要组成部分．已知小艺购进1盒B种茶叶比购进1盒A种茶叶多140元；购进2盒A种茶叶和1盒B种茶叶共1040元．
(1)求A，B这两种茶叶的单价；（用方程组的知识解答）
(2)若某茶叶店购进A，B两种茶叶（两种茶叶均购买），费用恰好为18000元．请问该茶叶店有几种购进方案？
12．商场销售，两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示：该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获利润12万元．[利润（售价进价）销售量]
A B
进价（万元/套） 1.5 1.2
售价（万元/套） 1.8 1.4
(1)该商场计划购进，两种品牌的教学设备各多少套？
(2)现商场决定再用15万同时购进，两种设备，且每种设备至少购进一套，共有哪几种进货方案？并求出获利最高的方案．
13．苗苗同学在学习了二元一次方程组相关知识后，对汽车的轮胎磨损问题进行了探究．
根据资料显示，汽车的前轮胎比后轮胎磨损更为严重，如果只更换前轮胎，那么行驶时的安全性会下降，但是如果一起更换轮胎，汽车的维护成本将会提高．所以为了解决这个问题，我们可以定期交换前后轮胎．
某种汽车前轮胎行驶4万公里时报废，而后轮胎行驶6万公里时报废．轮胎报废的时候磨损程度为1．
(1)该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，后轮胎的磨损为________；
(2)假设该种汽车行驶x万公里之后，将前轮胎交换到了后轮的位置，然后继续行驶了y万公里后，该轮胎报废，此时轮胎的磨损程度为1．请依据上述信息，列一个关于x，y的方程；
(3)当前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是多少万公里？
14．下面是小明同学的一篇学习笔记（部分），请认真阅读，并完成相应任务．
用整体思想解决问题 “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程．具体的应用方法包括整体代入、整体运算、整体设元等等，通过学习，我发现在解方程组时，运用“整体代入法”有时会使解题更加简便快捷． 例题，解方程组 解：将方程②变形为，即③ 把①代入③，得，． 把代入①，得． 方程组的解为．
(1)类比例题的解法，解方程组；
(2)请说明关于，的方程组中，无论取何值，的值始终不变；
(3)实际应用：为促进同学们积极参加体育锻炼、强身健体，七年级1班需要购买篮球、足球、排球若干．若购买2个篮球，4个足球，6个排球，共需388元；若购买2个篮球，5个足球，8个排球，共需479元．则购买篮球、足球、排球各1个需要多少钱？
15．综合与实践
【问题情境】我们规定，如果一个长方形内部能用一些正方形（或长方形）铺，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”，图1和图2的大长方形，都是“优美长方形”．
【初步感知】
（1）如图1，“优美长方形”是由块小正方形铺成的，若“优美长方形”的周长为，求正方形的边长．
若设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形c的边长为，正方形的边长为．
依题意可列方程________________，
解得________________，
所以，正方形的边长为________．
【解决问题】
（2）如图2，“优美长方形”是由块相同的小长方形铺成的，若图1和图2的两个“优美长方形”的宽相同，即，求图2中每块小长方形的面积．
【深入探究】
（3）如图3，“优美长方形”是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙），且，，求小正方形的边长．
参考答案
一、单选题
1．C
解：设可以截出x根20厘米长的导线，y根30厘米长的导线，
根据题意得，
．
∵x，y均为正整数，
∴或或或或，
∴或14或13或12或11，
∴最多能截出15根导线．
故选C．
2．D
解：设甲车和乙车的平均速度分别为千米/小时和千米/小时，
∵甲车比乙车多行驶千米；
∴，
又∵甲乙两车的路程和为千米，
∴，
综上所述：可得二元一次方程组，
故选：D．
3．B
4．C
解：∵两台印刷机完成该任务共需，
∴可列方程；
∵资料计划印制10000份，
∴可列方程，
∴甲和乙列的方程组都正确，
故选：C．
5．A
解：设价格较低的饭团单价为x元，价格较高的饭团单价为y元，由题意得
，
解得，
较贵的饭团和一瓶饮料一起算组合优惠价，共29元，
需要付元，
故选：A．
二、填空题
6．
解：设购买件甲种奖品，件乙种奖品，
依题意得：，
．
又，均为正整数，
或或，
共有种购买方案．
故答案为：．
7． 25 155
解：设这队工人有x人，全队每天制造的工件数额为y件．
由题意得：
解得：
即：工人有25人，全队每天制造工件数额为155件．
故答案为 ：25；155
8. 7 136
解：；
，
，
，
，x，y为整数，
∴当时，，此时，则，
当时，，此时，不符合题意，舍去，
当时，，此时，不符合题意，舍去，
当时，，此时，则，
当时，，此时，则，
当时，，此时．则，
∴的最大值为，
故答案为：7，136．
9．2500
解：设乙的成本价为a元，
根据题意得：，
解得：，
设五仁饼的成本价为x元，一个莲蓉饼的成本价为元，
∴两豆沙饼成本价为元，
设甲礼盒和乙礼盒分别为m盒和n盒，
由题意得：，
则有，
整理得：，
得，，
中秋节后乙每盒成本为：（元），
甲每盒成本为：（元），
总成本为：（元）．
故答案为：2500．
10． 6 3
解：如图：
设小长方形的长为a，宽为b，
则由题意得，
解得：，
设，则，，
∴，
∴，
故答案为：3．
三、解答题
11．（1）解：设A，B茶叶的单价分别为元，元，
依题意，得，
解得，
∴A种茶叶单价为300元，B种茶叶单价为440元；
（2）解：由（1）得A种茶叶单价为300元，B种茶叶单价为440元；
设购进A茶叶盒，购进B茶叶盒，
∵某茶叶店购进A，B两种茶叶（两种茶叶均购买），费用恰好为18000元．
∴，
整理得，
∵、都为正整数，
∴是的正倍数，
则，
∴
∵22与15互质，
则n的正整数取值为15、30，
当时，则，符合题意；
当时，则，符合题意；
综上：该茶叶店有2种购进方案．
12．（1）解：设该商场计划购进种品牌的教学设备套，购进种品牌的教学设备套，
根据题意得：
解得：
答：该商场计划购进种品牌的教学设备20套，购进种品牌的教学设备30套；
（2）解：设种品牌的教学设备购进数量套，种品牌的教学设备购进数量套，根据题意得：
、都为正整数，
或
有2种方案
①购进品牌的教学设备2套，购进品牌的教学设备10套，
获利：万元；
②购进品牌的教学设备6套，购进品牌的教学设备5套，
获利：万元，
，
获利最高的方案是购进品牌6套，品牌5套．
13．（1）解：根据题意得：该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，后轮胎的磨损为；
故答案为：
（2）解：根据题意得：，
（3）解：根据题意得：
，解得：，
答：当前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是万公里．
14．（1）解：，
把②代入①，得，
解得．
把代入②，得
所以方程组的解为；
（2）解：，
①得③，
得：，
则，即无论取何值，的值始终不变；
（3）解：设篮球、足球、排球单价分别是元、元、元，
根据题意得：，
①②得：
，
购买篮球、足球、排球各1个需要103元．
15．解：（1）设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形c的边长为，正方形的边长为，“优美长方形”的周长为，
∴列方程，
解得，，
∴正方形的边长为，
故答案为：，，；
（2）由（1）可知，，
∴，
设图2中长方形的长为，宽为，
∴，
解得，，
∴
∴图2中每块小长方形的面积；
（3）“优美长方形”是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙），
∴设，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得，，
∴，
∴小正方形的边长为．

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