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第4章《三角形》复习题--三角形全等作辅助线常用方法
一、选择题
1．如图，在 ABC的右侧以为边构造等腰，其中为，在的延长线上取一点E，使．若，且四边形的面积为8，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2.如图，在 ABC中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（ ）
A． B． C．9 D．
3.如图，，M是的中点，平分，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4.如图，在 ABC中，，是 ABC的角平分线， ，则_______； __________
5.如图，四边形中，，，，则的面积为___________．
6.如图，在中，∠B=90 ，在边的上方取一点D，使，连接，在线段上取一点E，连接，．若，，，则的长为______．
7．如图，中，，，点是的中点，点，分别为，边上的点，且，连接，则的度数为__．
8．如图，若，则______．
9．如图，点C在线段上，，且，则______．
10.如图，在 ABC中，，，．，，则的面积是___________．
11.如图， ABC中，，，E为垂足，点D在上，且，若，，则的长为________．
12.如图，在 ABC中，，，的平分线交边于，且，若，则_____．
13.如图，在中，点为的中点，的边过点，且，，平分，，，则的长为________．
14.如图，D为等腰三角形内一点，，，，，则的度数为______°．
15.如图，在中，是边的中点，交于点交于点，若，则四边形的面积为______．
16.如图，四边形中，平分，若，，．则______．
17.如图，在 ABC中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为______．
三、解答题
18.如图，在四边形中，是钝角，，对角线平分．求证：．
19.如图，在四边形中，，．
求证：．
20.如图，在 ABC中，，D为 ABC外一点，∠D=90 ，．求证：．
21．已知，如图： ABC中为的中线，是的中线．
（1）如果，求证．（2）如果，求证：．
22．如图，在中，于点，为上一点，且满足，．试探究和的关系，并说明理由．
23.综合与实践
【问题情境】
补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．
例：如图①，在四边形中，，是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系．
小颖的方法：如图②，延长，相交于点，构造 ABE≌ DFE和等腰三角形即可判断．
【问题解决】
（1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由；
【自主探究】
（2）如图③，在 ABC中，是的中点，点在上，连接交于点，，试说明．
24.【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①， ABC中，若，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：延长至点E，使，连接．容易证得 ADC≌ EDB，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围．
（1）由已知和作图得到 ADC≌ EDB，依据是 ．
（2）边上的中线的取值范围是 ．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
【初步运用】
如图②，是 ABC的中线，交于E，交于F，且．求证：．
25．综合实践课中，李老师带领同学们探究了这样的问题：
【课本回顾】
学习等腰三角形时，学习了定理：在一个三角形中，等边对等角．反之，等角对等边．
【问题探究】
（1）在一个三角形中，如果边不等，那么所对的角有什么关系呢？同学们猜测：大边对大角．如图1， ABC中，，求证：．
经同学们的讨论，以下三个小组给出了解决方法：
第1小组 第2小组 第3小组
思路 与 辅助线 分析：作的平分线，交于，在上截取，连接． 分析：作的平分线，交于，在的延长线上截取，连接． 分析：作于，在上截取，连接．
图形
请你选择其中一个小组的思路与图形，完整写出证明．
【知识应用】
（2）在△中，已知：，用“”连接、、应为　　 ；
【问题拓展】
（3）第4小组提出想法：大角对大边，即在一个三角形中，如果角大，那么角所对的边大。你认为这个小组的想法正确吗？如果正确，请补充图形完成证明（包含已知和求证，并写出完整证明过程）。如果不正确，请举出反例。
26.已知：在 ABC中，、是 ABC的两条角平分线，、交于点F．
（1）如图1，，求的度数；
（2）如图2，，用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明．
参考答案
一、选择题
1.B
解：如图所示，连接，
∵是等腰直角三角形，且为，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的面积与四边形的面积相等，
∴，
即，
解得，（负值已舍）
故选：B．
2.B
解：如图，作交于点，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
（），
，，
，
，
在 EMF和 CBF中，
，
（）
，
．
故选：B．
3.D
解：∵平分，且，
∴，
又∵∠B=90 ，
∴，
如图，过点M作交于点E，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵M是的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
二、填空题
4. 4
解：∵，是 ABC的角平分线，
∴
∴，
∴，
在上找到F使得，则，
在和中， ，
∴
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
故答案为：，
5.18
解：如图：过点D作，交的延长线于点H，
，
∴，
，
∴，
∴，
在 ABC和 CHD中，
，
∴，
∴，
∴的面积．
故答案为：18．
6.
解：如图，过点作交的延长线于点．
，
，
，
，
延长至点，使，连接，
∵，，
，
，
，
在四边形中，，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
．
7．
解：如图，连接，
中，，，点是的中点，
，，，
而，
，
在和中，
，
，
，
而，
．
故答案为：．
8．25
解：过D作射线，
在和中，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：25．
9．
解：连接，
∵，
∴，，
在和 BCF中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
，
同理，，
又∵，
∴，
，
∴，
故答案为：．
10.
解：过点作于点E，如下图：
中，，，，
∴，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
11.5
解：过A作于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：5．
12.
解：如图，延长交于点F，
且平分，
，，
，
，
，
，，，
，
在和中
，
，
，
，
故答案为：3．
13.
解：如图，延长交的延长线于，
平分，
，
，
，
，
，设，则，
，，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
14.31
解：连接，

在和中，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
故答案为：31．
15.
解：连接，
∵，，点是边的中点，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴
∴，
故答案为：．
16.
解：在上截取，连接，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
17.
解：延长到点，使，连接，
在 ABC中，为边的中线，
，
在和 BDE中，
，
，
，，
∵，，，
，，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题
18.解：证明：如图，在上截取，连接，
平分，
，
在 ABC和中，
，
∴，
，，
，，
，
，
．
19.解：证明：如图，连接、．
在和中
在 ABC和中
∴ ABC≌ DCB（SSS）
20．解：证明：过A作于点E，如图所示，
∵，
∴，，．
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
21．
解：（1）证明：，
；
∵DA=DC，
；
∵∠B+∠BAD+∠C+∠CAD=180 ，
，
即，
.
（2）证明：延长至，使，连接．
是的中线，
；
在 ADE和中，
，
，
，；
由，得；,
∴,
，，
；
在和中，，
，
．
22．解：，，理由如下：
如图，延长交于点，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵在和 BDF中，
∴（），
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
23.
解：（1），，之间的等量关系是：，理由如下：
如图，延长，相交于点，
，
，．
是的中点，
．
在和中，，
，
．
平分，
．
，
，
，
；
（2）证明：如图，延长至点，使，连接，
是的中点，
，
在和中，，
，
，．
，
，
．
（对顶角相等），
．
，
．
24.解：（1）由作图知；
∵边上的中线为，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）解： ABC中，，
由（1）可知： ADC≌ EDB，
∴，
∵，
∴，
在中，由三角形三边之间的关系得：，
即，
∴，
∴边上的中线的取值范围是：，
故答案为：；
【初步运用】证明：延长到H，使，连接，如图2所示：
∵是 ABC的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
25．解：（1）（方法一）我选择第 1 小组的思路
证明：作的平分线，交于，在上截取，连接
平分，
，
在△和△中，
，
，
，
是△的外角，
，
，
（方法二）我选择第 2 小组的思路
证明：作的平分线，交于，在的延长线上截取，连接，
平分，
∴∠BAD=∠EAD，
在△和△中，
，
，
，
是△的外角，
，
；
（方法三）我选择第 3 小组的思路
证明：作于，在上截取，连接，
，，
，
，
是△的外角，
，
；
（2） ∵在 ABC中，，
∴；
（3）已知：如图，在 ABC中，，
求证：，
证明：在内部，以为顶点，以为一边作，另一边与交于点，
，
，
，
，
在△中，，
.
26.解：（1）解：，
，
、是 ABC的两条角平分线，
，
，
．
（2）解：，理由如下：
，
，
、是 ABC的两条角平分线，
，
，
．
在线段上取一点，使，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．

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