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2026学年八年级数学下学期期中测试卷（1-4章）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．）
1．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲 乙 丙 丁
平均数 185 180 185 180
方差 3.6 4.6 5.4 6.1
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．关于x的方程有实根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
5．如图，下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，是的中位线，的角平分线交于点，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转，再沿直线前进6米，再向左转照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（ ）米
A．36 B．42 C．45 D．48
8．如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，则下列线段的长度是方程的一个根的是（ ）
A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长
9．设n为正整数，，已知，则（　　）
A．1822 B．2021 C．3624 D．4042
10．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置在最大正方形内，其中．记四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为．若知道的面积，则一定能求出（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
12．如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到，若，则_______．
13．牛顿曾说：“反证法是数学家最精良的武器之一”，用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”第一步应假设_____．
14．将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义：，上述记号叫做2阶行列式，若，则___________ ．
15．如图，的对角线，相交于点O，点E是的中点．若，，的周长为32，则的周长为______．
16．对于个连续正整数，任取其中两个数，形如和记为同一种取法．若“所取的两数之和大于”的不同取法为，如当，共有两种不同取法，则．
（1）当___________；
（2）对于正整数和，当时，___________．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．）
17．（8分）计算：
(1)； (2)．
18．（8分）解下列方程：
(1) (2)
19．（8分）某县为进一步推进“跨学科学习”活动，在这项活动开展一学期后，为了解全县八年级学生每学期参加“跨学科学习”活动的时间（单位：），随机调查了该县八年级部分学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图和图，部分信息如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)图中的值为______，图2中的值为______；
(2)求随机调查统计的这些学生每学期参加“跨学科学习”活动的时间数据的中位数；
(3)若该县八年级共有学生人，根据样本数据估计该县八年级学生每学期参加“跨学科学习”活动的时间不少于的人数约为多少．
20．（8分）已知关于的一元二次方程有两个实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)若，求的值．
21．（8分）如图，在平行四边形中，、分别是、边上的点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接，若平分，，，，求平行四边形的周长．
22．（10分）某书店推出一套珍藏版书籍，每套进价为50元，原售价为100元/套．
普通顾客：售价每降低2元，日均销量增加10套，已知当售价为100元时，日均销量为40套，会员规则：
银卡会员：在普通顾客售价基础上再享受8折优惠
金卡会员：在普通顾客售价基础上再享受7折优惠
(1)在普通顾客销售模式中，设售价降低x元（，且x为整数）用含x的代数式表示：
实际售价______；日均销量______．
(2)在普通顾客销售模式中，书店希望日均销售利润达到3600元，尽可能让利于顾客，求此时的售价．
(3)某日，书店里银卡会员和金卡会员的购书数量均是普通顾客销售量的，此时，会员顾客部分销售利润为560元，问当日普通顾客售价为多少？
23．（10分）小明在生物课上学习了蜜蜂的相关知识，发现蜂窝都是由一系列六边形的蜂室密铺而成，他对此非常感兴趣，打算叫上小伙伴们一起探究一下六边形的相关性质，于是几个小伙伴就开始了他们的探索旅程．
【初步思考】
他们规定：在凸六边形中，满足，，，且，，，称这样的凸六边形叫作“光谱六边形”．其中与，与，与叫作“正对边”，和，和，和叫作“正对角”，，，叫作“正对角线”．
(1)类比平行四边形的性质，有如下猜想，请判断正误并在括号内画“√”或“×”．
①“光谱六边形”的三条“正对角线”互相平分；（ ）
②“光谱六边形”的邻角互补；（ ）
③“光谱六边形”是中心对称图形．（ ）
(2)【实践操作】
如图1，在“光谱六边形”中，证明：．
(3)【思维探究】
当“光谱六边形”的六条边都相等时，我们把它叫作“正光谱六边形”．如图2是一张面积为的等腰直角三角形纸片，分别在三角形的三个顶点处各剪裁掉一个小三角形，使剪裁后的纸片变成一个“正光谱六边形”，请求出这个“正光谱六边形”的面积．
24．（12分）如图，在中，，，点P从点A出发，沿向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿运动，它们的速度均为每秒个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动，当点P不与点A、C重合时，过点P作于点N，连接，以、为邻边作．设与重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为秒．
(1)①的长为 ；
②的长用含t的代数式表示为 ．
(2)用代数式表示S；
(3)当过点P且平行于的直线经过一边中点时，直接写出t的值．
参考答案
一、选择题
1．C
解：四个选项中，选项A、B、C、D中图形是轴对称图形；选项C中图形是中心对称图形，
选项C中图形既是轴对称图形又是中心对称图形．
2．D
解：A．，故A错误，
B．，故B错误；
C．与不是同类二次根式，不能合并，，故C错误；
D．，故 D正确．
3．A
解：∵ 甲、丙的平均数为，高于乙、丁的平均数，
∴ 先从甲和丙中选择，
又∵ 方差越小，发挥越稳定，甲的方差小于丙的方差，
∴ 甲符合成绩好且发挥稳定的要求.
4．C
解：分两种情况讨论：
①当时，原方程为，是一元一次方程，解得，有实根，符合题意；
②当时，原方程是一元二次方程，
∵方程有实根，
∴判别式，
代入，，得：，
解得，即此时且，
合并两种情况得，的取值范围是．
5．B
解：A、，一组对边平行另一组对边相等的四边形，可能是等腰梯形，不可以判定，不符合题意；
B、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”即可判断，可以判定，符合题意；
C、两组邻角相等的四边形可能是等腰梯形，不可以判定，不符合题意；
D、一组邻边相等，一组对角相等的四边形可能是筝形，不可以判定，不符合题意．
6．C
解：∵是的中位线，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
7．D
解：根据题意可知，他需要转次才会回到原点，
所以一共走了（米）．
8．B
解：，
，
，
，，，
，
线段的长是的根．
9．A
解：∵，为正整数，
∴．
∵ ，
∴．
同理可得，
归纳得到规律：．
当时，，
∵ ，
∴ ．
10．B
解：设大正方形的边长为a，中正方形的边长为b，小正方形的边长为c，则，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∴，，
∴
，
∵，和的长度随着小正方形向右移动而变大，的长度不变，
∴的大小不固定，与的面积无关，
∵，
，
，
∴知道的面积，则一定能求出．
二、填空题
11．
解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴且，
解得：．
12．30
解：∵绕点B逆时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴，
即．
13．两个锐角都大于
解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，第一步应假设原命题的结论不成立，
即假设两个锐角都大于．
故答案为：两个锐角都大于．
14．0或
解：由得，，
，
，
，
或，
解得，或．
15．12
解：∵四边形是平行四边形，周长为32，
∴，
∴，
∵，
∴由勾股定理得，
∴，
∵点E是的中点，点是的中点，
∴是的中位线，，
∴，
∴的周长为．
16． 6 10
解：（1）当时，这两个数分别是：，共6种
．
（2）由题意可知，当时，有，则；
当时，有，则；
当时，有，则；
当时，则；
当时，有，则；
∴当为偶数时，所有取法；当为奇数时，所有取法，
当时，若为偶数，则，整理得，解得（负值已舍去）；
若为奇数，则 ，解得为无理数，舍去，
故．
三、解答题
17．（1）解：
；
（2）解：
．
18．（1）解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，；
（2）∵，
∴，
∴或，
∴，．
19．（1）解：∵，
∴，
∵活动时间为的有人，占调查总人数的，
∴调查的总人数为（人），
∵活动时间为的人数占调查总人数的，
∴（人）．
（2）解：∵调查的总人数为人，
∴中位数为数据从小到大排列的第、个数据的平均数，
∵数据从小到大排列的第、个数据为、，
∴中位数为．
（3）解：∵每周活动时间不少于的学生占，
∴名学生中，每周活动时间不少于的学生为（人）．
20．（1）解：∵方程有两个实数根，
，
∴，
∴，
解得 ．
（2）解：由根与系数的关系得：
，
，
，
整理得 ，
∴，
解得 或 ，
，
．
21．（1）证明：四边形为平行四边形，
，，，，
，
，
，
，即，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
平行四边形的周长．
22．（1）解：由题意得，实际售价为元，
日均销量为套；
（2）解：由题意得，，
整理得，
解得或，
∵尽可能让利于顾客，
∴，
∴，
答：此时的售价为68元；
（3）解：设售价降低元，
由（1）得普通顾客的销售量为套，
∴银卡会员和金卡会员的销售量均为套，
由题意得
整理得，
解得或，
∵ 为非负整数，
∴，
∴，
答：当日普通顾客售价为80元．
23．（1）①√ ；②× ；③ √；
（2）解：连接，
，，
，，
，
；
（3）解：如图，作，，，
设“正光谱六边形”的边长为，
等腰直角三角形的面积为，
等腰直角三角形的直角边长为，
，即，
，
该“正光谱六边形”的面积为．
24．（1）解：①∵在中，，，
∴；
②∵在中，，，
∴，
由题意可得：，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图，当为矩形时，则，，
，
由题意可得：，，
∵，
∴、均为直角三角形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
即当为矩形时，，
如图，当时，在内部，重叠部分图形为，延长交于点，
，
此时，，
∴，
∴此时与重叠部分图形的面积为；
如图，当时，与重叠部分图形为梯形，
，
此时，，
∴，
∴此时与重叠部分图形的面积为；
综上所述，；
（3）解：由（2）可得，，，，，
当点经过平行于的直线，且经过的边中点时，如图，，与交于点，为中点，过点作，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得：；
如图，，与交于点，为中点，过点作，
，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵为中点，，
∴，
∴，
∴，
解得：；
综上所述，当或时，过点P且平行于的直线经过一边中点．

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