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6.1《平行四边形的性质》
一、单选题
1．如图，在平行四边形ABCD中，的平分线交于点，若，，则的长（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
2．如图，在平行四边形ABCD中，，，于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平行四边形中，，，，点是边上的一点，点是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，则的长度为（ ）
A． B．4 C． D．3
4．在平行四边形ABCD中，，平分交边于点E，平分交边于点F，若点E与点F的距离为2，则的长为（　　）
A．2 B．5 C．2或5 D．3或5
5．如图，P是平行四边形ABCD内的任意一点，连接、、、，得到、、、，设它们的面积分别是、、、，给出如下结论：①，②若，则，③若，则的面积为10；④．其中正确的（　　）
A．①③ B．②③ C．①② D．②④
二、填空题
6．在平行四边形中，，则 ．
7．如图，平行四边形中以点为圆心，适当长为半径作弧，交、于、，分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，与交于点，若，，，则的长为 ．
8．如图，平行四边形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点，且，那么图中阴影部分的面积为 ．
9．在平行四边形中，，已知，，将沿翻折至 AB/C，使点落在平行四边形所在的平面内，连接．若 AB/D是直角三角形，则的长为 ．
10．如图，在平面直角坐标系中，E是的中点，已知，，，，点P是线段上的一个动点，当的长为 时，以点P，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形．
三、解答题
11．如图，在平行四边形中，对角线和交于O点，点E，F在对角线上，，平分．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求的长．
12．已知平行四边形ABCD是中心对称图形，点是平面上一点，请仅用无刻度直尺画出点关于平行四边形ABCD对称中心的对称点．
(1)如图1，点E在平行四边形ABCD的边上；
(2)如图2，点E在平行四边形ABCD外．
13．如图，在平行四边形中，点E在边上，且，F为线段上一点，且．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，，求．
14．如图，在平行四边形ABCD中，分别平分，交于点．
(1)求证：；
(2)连接，证明；
(3)过点作，垂足为．若平行四边形ABCD的周长为，求的面积．
15．如图，在平行四边形中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为秒．
(1)用含t的代数式表示 ；
(2)当时， 求t的值；
(3)请问是否存在t的值，使得A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？ 若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
16．如图1，在平行四边形ABCD中，于E，E恰为BC的中点．

(1)求证：；
(2)如图2，点在上，作于点，连结．求证：；
(3)请你在图3中画图探究：当为射线上任意一点(不与点重合)时，作于点，连结，线段与之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论．
参考答案
一、单选题
1．C
∵平行四边形ABCD，，，
∴，，，
∴，
∵的平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
2．A
解：∵，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
3.C
解：如图，作于K，过E点作于P．
∵，，
∴，，
∵C到的距离和E到的距离都是平行线、间的距离，
∴点E到的距离是，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
由折叠可知，，，，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
由折叠可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
由勾股定理得，
解得，
∴，
∴．
故选C．
4．D
解：①如图1，在平行四边形ABCD中，
∵，
∴，
∵平分交边于点E，平分交边于点F，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴；
②如图2：在平行四边形ABCD中，
∵，
∴，
∵平分交边于点E，平分交边于点F，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴；
综上所述：的长为3或5，
故选：D．
5．A
解：四边形是平行四边形，
，，
设点到、、、的距离分别为分别为平行四边形的边和边的高
则
，
又，
，故①正确；
根据只能判断，不能判断，即不能得出，故②错误；
根据，能得出的面积为，故③正确；
由题意只能得到无法得到，故④错误；
故选：A．
二、填空题
6．
解：四边形是平行四边形，，
，，
，，
，
故答案为：．
7．
解：由作法得平分，
，
四边形为平行四边形，
∴，，，
，
，
，
，
在中，
，，，
，
为直角三角形，，
∵，
，
在中，．
故答案为：．
8．
解：如图所示，过点作于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵平行四边形的对角线和相交于点，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴
同理：
∴阴影部分面积面积,
故答案为：．
9．或
当，，延长交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵沿翻折至 AB/C，
∴，，
∴，，
∴，
在中，，
设，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴；
当时，设交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵沿翻折至 AB/C，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，
∴，
∴，
∴
解得：，
∴．
综上所述，当的长为或时， AB/D是直角三角形．
10．1或9
解：∵，，，，
∴，，，，
∴，
∵E是的中点，
∴，
当时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形，
分两种情况：
①当点P在点E的左侧时，；
②当点P在点E的右侧时，；
综上所述，当的长为1或9时，以点P，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：1或9．
三、解答题
11．（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
12．（1）解：如图1，点即为所求；
（2）解：如图2，点即为所求．
13．（1）证明： ∵四边形是平行四边形，
∴；
∵，，
∴；
（2）证明：∵四边形是平行四边形
∴，
∴，
由（1）知：，
∵，
∴；
（3）解：∵，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵四边形是平行四边形
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
如图，过E作于G，
则，
∴，；
在中，，由勾股定理得，
在中，，由勾股定理得．
14．（1）证明：四边形是平行四边形，
，
分别平分，
，
，
，
，
在和中，
，
（2）解：，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
（3）解：作，
，
的周长为56
平分，
，
．
15．（1）解：∵，，
∴
点从点出发，以速度沿射线运动，
当在线段上时，
∴
∵动点从点出发沿以速度向终点运动，，
∴，
当在的延长线上时，；
（2）解：过点作于，
四边形是平行四边形，，，
，，，
，，
，，
，，
∵PQ BC，，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
；
（3）解：存在，
当为边时，
四边形是平行四边形，
，
，
，
当为对角线时，
四边形是平行四边形，
，
，
，
综上所述：的值为或4.
16．（1）证明： ∵，
∴；
∵是中点，
∴，
即；
又∵四边形是平行四边形，则；
故．
（2）证明：作，交于；(如图2)

∵，
∴，
∵，
∴，
即，
又∵，，
∴，
∴，即是等腰直角三角形，且，
∴，且，
故；
（3）解：如图3，

①当在线段上时，有，
证明方法类似（2）．
②如图中，点在上，．

理由：将绕点逆时针旋转得到
∴，
同（1）可得∶
，
则．
③如图，点在的延长线上，，

证明方法类似（2）．
综上所述，与之间的数量关系为：、

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