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6.3《三角形的中位线》
一、单选题
1．如图，点D，E分别是，的中点，的平分线交于点F，，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，在平行四边形中，对角线和交于O点，点E是的中点，若，，，则的周长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
3．中，E是的中点，平分，于点D，若，，则（ ）

A．1 B．2 C．4 D．8
4．如图，、是的中线，P、Q分别是、的中点，则等于（　　）
A． B． C． D．
5．如图，称为第1个三角形，它的周长是1，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形，再以第2个三角形的三边中点为顶点组成第3个三角形，以此类推，则第2024个三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，在中，点D、E分别是的中点，若，则 ．

7．如图，在中，点、分别是、的中点，连接，若，，，则的周长是 ．
8．如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为的中点，则的长为 ．

9．如图，在中，，，点H，G分别是边上的动点，连接，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最大值与最小值的差为 ．
10．如图，在△ABC中，，，．在平面内将平移得到，其中点A和点B的对应点分别为点D和点E．若点P，Q分别是AC，DE的中点，则的最大值是 ．
三、解答题
11．如图，中，，，平分，，延长交于点，是的中点，求的长．
12．如图1，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接，分别取，的中点D、E．
(1)测得的长为，则A、B两地的距离为_______．
(2)如图2，在四边形中，，点E、F分别是和的中点， 求的长
13．如图，，，，分别是，，，的中点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，，求四边形的周长．
14．如图，在中，，于点D，点E在边上，且，分别交于点E、F．

(1)如图1，若，，求的长；
(2)如图1，若，试判断与的数量关系，并说明理由．
(3)如图2，若，求证：．
15．如图1，在中，点，分别在边，上，，连接，点分别为的中点．
(1)观察猜想
图1中，线段与的数量关系是 ，的度数为 ；
(2)探究证明
把 ADE绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理；
(3)拓展延伸
把 ADE绕点在平面内自由旋转，若，请直接写出面积的最大值．
16．【问题初探】
（1）李老师给出如下问题：平行四边形ABCD中，，且，点是的中点，点为对角线上的点，且，连接线段．若，求的长．
小鹏同学考虑到点是的中点，从中点的角度思考，想办法构造另一个中点，从而形成中位线，所以想到连接与交于点．请你利用李老师的提示，帮助小鹏同学解决这个问题．
【类比拓展】李老师为了帮助学生更好地感悟中点的解题策略，李老师提出了下面问题，请你解答．
（2）如图3，中，平分于．求证：；
【学以致用】
（3）如图4，在，点在上，分别是的中点，连结并延长，与的延长线交于点，连结，若，，求的长．
参考答案
一、单选题
1．B
点、分别是边、的中点，，，
，，
，
平分，
，
，
，
，
故选：B．
2．D
解：∵平行四边形中，对角线和交于O点，
∴，
∵点E是的中点，
∴，，
∴的周长是，
故选：D．
3．B
解：如图，延长交于F，

∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴
∴，
∵E是的中点，，
∴是的中位线，
∴．
∵，，
∴．
故选：B．
4．A
连接，连接并延长交于点F，
∵、是的中线，
∴，，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵Q是的中点，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
5．B
解：周长为1，
∵每条中位线均为其对边的长度的，
∴第2个三角形对应周长为；
第3个三角形对应的周长为；
第4个三角形对应的周长为；
…
以此类推，第n个三角形对应的周长为；
∴第2024个三角形对应的周长为，即，
故选：B．
二、填空题
6．6
解：∵点D、E分别是的中点，
∴，
∴，
故答案为：6．
7．24
解：点、分别是、的中点，，
，
是的中点，，
，
在中，，
的周长，
故答案为：24．
8．9
解：如图，在平行四边形中，．
，分别为，的中点，
是的中位线，
∴．
故答案为：9．
9．
解：如图，连接，过A作于M；
则；
∵四边形是平行四边形，且，
∴，
∴；
∴；
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
由勾股定理得；
∵点为的中点，点为的中点，
∴；
当G与C重合时，最长且为，此时；
当G与M重合时，最短且为，此时；
∴的最大值与最小值的差为．
故答案为：．
10．
解：作于，取中点，连接，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
、分别是、中点，
是的中位线，
，
由平移的性质得到，
，
的最大值是．
故答案为：．
三、解答题
11．解：，
，
又平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
又是的中点，
，
是的中位线，
．
12．（1）解：∵，的中点为D、E．
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴；
（2）如图，取的中点，连接，连接，并延长交于，
∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵点H、F分别是和的中点，，
∴，，
∴三点共线，
∵点H、E分别是和的中点，，
∴，
∴．
13．（1）证明：∵，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
同理可得，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴；
同理可得，
∵，
∴四边形的周长．
14．（1）解：，，
，
，
，
中，，
，
中，，
是等腰直角三角形，
，
；
（2），理由如下：
证明：取的中点G，连接，

，，
，
点为中点，
点G是的中点，
是的中位线，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（3）证明：在上取点，使得，连接、，

，，
，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
；
∵，，
，
中，由勾股定理得：，
．
15．（1）解：点F，H分别是，的中点，
∴，，
点H、G是，的中点，
∴，，
∵，，
，
∴，
∵，
，
∵，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）解：是等边三角形．理由如下：
由旋转知，，
∵，，
，
，，
利用三角形的中位线得，，，，，
，，，
∴是等腰三角形，
，
，
，
，
，
∴是等边三角形；
（3）由（2）知，是等边三角形，，
最大时，面积最大，
点在的延长线上时，最大，
，
，
．
16．（1）连接，交于点，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
∴；
（2）如图1， 延长交的延长线于点，
平分
∴，
又，
∴，
，
取的中点，连接，则有，且，
∴，
，在和中，，
，
，
；
（3）连接，取中点，连接，
分别为和中点，
和分别为和的中位线，
且且，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
∴ AGF是等边三角形，
，
，
设，则，在中，由勾股定理得，，解得，
即．
，
．

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