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8.2
多边形的内角和
华东师大版 七年级下册
情
境
引
入
情
境
引
入
你能从水立方的外立面中想象出几个由线段围成的图形吗？
知
识
回
顾
你能说出三角形的定义？
由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，叫做三角形.
A
B
C
A
D
C
B
A
E
D
C
B
问题1：
类比三角形的定义你能给出四边形、五边形的定义么？
问题2：
新
知
探
究
探究一：多边形的定义
由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，称为n边形，又称为多边形．
顶点
边
内角
外角
对角线
多边形中,连结不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
新
知
探
究
如图 1 是凸多边形； 图 2 不是凸多边形，今后如果没有特别说明，我们讲的多边形都是凸多边形.
图2
如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形.
图1
A
C
B
D
A
C
B
D
新
知
探
究
作出多边形中从一个顶点出发的对角线
n边形从一个顶点出发，可作（n-3）条对角线，分成（n-2）个三角形
边数n 3 4 5 6 8 …… n
对角线条数 0 1 2 3 5 …… n-3
三角形个数 1 2 3 4 6 …… n-2
探究二：
新
知
应
用
口答：
2.若过n边形一个顶点有7条对角线，则n= ．
10
3.若过多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成五个三角形，则是 边形．
七
1.从八边形的一个顶点出发，可以作 条对角线，分成
个三角形
五
六
新知探究Page 探究三：多边形的内角和2.四边形的内角和你能证明你的猜想吗？猜想：四边形的四个内角的和等于360°1.三角形的内角和是：_________.180°
证
明
猜
想
已知：任意四边形ABCD，求证
证明：如图，连结BD
∴四边形的内角和为360°
∠A+∠B+∠C+∠D
=(∠A+∠1+∠2)+(∠3+∠4+∠C)
=180°×2
=360°
=∠A+∠1+∠3+∠C+∠2+∠4
A
D
C
B
1
2
3
4
归
纳
推
理 1
请你认真地想一想，你能通过怎样的方法把多边形转化为三角形？
3
4
5
n-2
540 °
720 °
900 °
(n-2) 180 °
.
七边形
六边形
五边形
四边形
三角形
n边形的内角和是
(n - 2) 180°
新
知
探
究
多边形的内角和
多边形的内角和为：（n-2）·180°
n是大于或等于3的整数
多边形问题 三角形问题
转化
（未知）
（已知）
归
纳
推
理 2
E
A
D
C
B
p
E
A
D
C
B
p
思考：刚才是从多边形的一个顶点P出发，将多边形分成若干个三角形，如图，如果改变点P的位置，又该如何证明多边形的内角和公式呢？
归
纳
推
理 2
E
A
D
C
B
p
E
A
D
C
B
p
新
知
应
用
1.一个八边形的内角和为（ ）
A.900° B. 960° C.1020° D.1080°
2.一个多边形的内角和为720°，则这是 边形．
六
D
3.在四边形ABCD中,如∠A:∠B:∠C:∠D=3:4:5:6，
则∠A= ，∠B= ，∠C= ，∠D= 。
60°
80°
100°
120°
新
知
探
究
探究四：正多边形的相关概念
正三角形
三条边都相等（三个角也相等）的三角形叫正三角形(等边三角形)。
问题1：什么叫正三角形？
问题2：什么叫正多边形呢？
如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形。
新
知
探
究
正三角形（等边三角形）
正四边形
正五边形
正八边形
正六边形
180°÷3=60°
360°÷4=90°
=108°
（3×180°）÷5
（4×180°）÷6
=120°
（6×180°）÷8
=135°
正n边形每个内角的度数为
（n－2）×180°
n
问题3：求下面正多边形的内角度数。
典
例
精
析
例1.如果一个多边形的每一个内角都等于120°,求这个多边形的边数.
解: 设这个多边形的边数为n，根据题意，得
120°n=（n－2）×180°
解得 n =6
经检验，符合题意
答：这个多边形的边数为6
典
例
精
析
例2.如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个新的多边形，求这个多边形的内角和 .
新多边形的边数增加1 新多边形内角和
(4+1-2)×180°=540°
分析：
180°或360°或540°
新多边形的边数不变
新多边形内角和
(4-2)×180°=360°
新多边形的边数减少1
新多边形内角和
(4-1-2)×180°=180°
能
力
提
升
变式：如果一个n边形被截掉一个角后，得到的新多边形的内角和为720°，求n的值.
若新多边形的边数增加1，
则(n＋1-2)×180°=720°，解得n=5
若新多边形的边数不变，
则(n-2)×180°=720°，解得n=6
解：
若新多边形的边数减少1，
则(n-1-2)×180°=720°，解得n=7
课
堂
精
练
1.关于多边形的定义，下列说法正确的是（　　）
A. 由三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形
B. 由四条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的平面图形
C. 各边相等且各内角相等的图形一定是正多边形
D. 凹多边形是研究的主要对象
答案：B
解析：多边形需满足 "不在同一直线上的线段首尾顺次相接" 和 "封闭图形" 两个条件。选项 A 未强调"不在同一直线上"，错误；选项 C 忽略了凸多边形的条件（凹多边形不一定是正多边形）；选项 D 错误。
课
堂
精
练
2.一个五边形的内角和是（　　）
A. 360°
B. 540°
C. 720°
D. 900°
答案：B
解析：多边形内角和公式：(n-2)×180°（n 为边数）。
五边形：(5-2)×180°=540°。
课
堂
精
练
3.若一个多边形的内角和为1080°，则它的边数是（　　）
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
答案：B
解析：设边数为 n，则 (n-2)×180°=1080°，解得 n=8。
课
堂
精
练
4.下列图形中，既是凸多边形又是正多边形的是（　　）
A. 菱形
B. 长方形
C. 等边三角形
D. 五角星
答案：C
解析：正多边形需满足 各边相等 且 各内角相等，且为凸多边形。菱形角不一定相等（如非正方形），长方形边不一定相等；五角星是凹多边形。
课
堂
小
结
1.什么是n边形？
一般地，由__条_____________的线段___________组成的平面图形称为n边形，也就是我们所认识的多边形。
n
不在同一直线上
首尾顺次连结
2.n边形从一个顶点出发可做_______条对角线。
(n - 3)
3.n边形的内角和=_____________
(n - 2) 180°
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