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重难点05含参函数的单调性
6大高频考点概览
考点01 一次函数
考点02 二次函数（可分解）
考点03 二次函数（不可分解）
考点04 指数函数
考点05 二次指数函数
考点06 对数函数
1．(24-25高二下·广东深圳新安中学（集团）高中部·期中)已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
(3)为正整数，当时，曲线在点处的切线记为，直线与 轴交点的纵坐标记为，证明：．
2．(24-25高二下·广东江门广雅中学等校·期中)已知函数.
(1)若在上单调递增，求的取值范围；
(2)讨论的单调性；
(3)若在上有个零点，求的取值范围.
3．(24-25高二下·广东广州真光中学·期中)已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)当时，证明：当时，恒成立．
4．(23-24高二下·广东广州育才中学·期中)已知函数．
(1)试讨论函数的单调性；
(2)时，求在上的最大值；
(3)当时，不等式恒成立，求整数的最大值．
5．(22-23高二下·广东汕头育能实验学校·期中)已知函数.
(1)若是的极值点，求的值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若恒成立，求a的取值范围；
1．(24-25高二下·广东广州第七中学·期中)已知函数．
(1)讨论的单调性：
(2)当时，，数列满足，且，比较，，的大小．
2．(24-25高二下·广东清远211联盟·期中)已经函数，（）.
(1)若，求的极大值和极小值；
(2)讨论的单调性.
3．(24-25高二下·广东惠州惠州中学·期中)已知函数，
(1)若恒成立，求实数的取值范围；
(2)设函数，讨论的单调性；
(3)设函数，若函数的图象与的图象有两个不同的交点，证明：
4．(24-25高二下·广东深圳龙华中学·期中)已知函数，．
(1)求的极值；
(2)讨论的单调性；
(3)若，且当时，恒成立，求实数的取值范围．
5．(24-25高二下·广东广州天河中学·期中)已知函数，，.
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.
1．(24-25高二下·广东肇庆封开县南丰中学·期中)已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若函数恰有两个极值点、.求的取值范围.
2．(24-25高二下·广东部分学校·期中)已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若在区间上有3个零点，求实数的取值范围；
(3)若，求使得关于的不等式恒成立的的最小值.
3．(23-24高二下·广东江门新会第一中学·期中)已知函数．
(1)若，求函数的零点;
(2)讨论函数的单调性.
4．(23-24高二下·广东东莞高级中学、东莞第六高级中学·)已知函数.
(1)当时，求函数的图象在处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若在定义域内有两个极值点，，求证：.
5．(23-24高二下·广东六校联考·期中)已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设函数有两个不同的零点，
（i）求实数的取值范围：
（ⅱ）若满足，求实数的最大值.
1．(24-25高二下·广东深圳高级中学·期中)已知函数．
(1)若，讨论的单调性；
(2)若函数只有一个零点，求的取值范围；
(3)若，证明：方程有唯一解，且直线与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左至右的三个交点的横坐标成等比数列.
1
- 不存在 - 0 +
单调递减 不存在 单调递减 e 单调递增
- 不存在 - 0 +
单调递减 不存在 单调递减 单调递增
2．(24-25高二下·广东广州第六中学·期中)已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若对恒成立，求实数的取值范围.
3．(23-24高二下·广东肇庆第一中学·期中)已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：方程至多只有一个实数解．
4．(23-24高二下·广东茂名高州中学·期中)已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若函数有两个零点，
（一）求m的取值范围；
（二）求证：．
5．(24-25高二下·广东江门新会区名冠实验学校·期中)已知函数．
(1)若，求函数在上的最大值和最小值；
(2)讨论函数的单调性．
1．(24-25高二下·广东天天向上联盟·期中)已知函数（e为自然对数的底数，）
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
2.(23-24高二下·广东茂名电白区·期中)已知函数．
(1)求的单调性；
(2)若有两个零点，求的取值范围.
3．(23-24高二下·广东广州一中·期中)已知函数.
(1)时，证明：时，；
(2)讨论的单调性；
(3)若有两个零点，求a的取值范围.
4．(22-23高二下·广东广州白云中学·期中)已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求的取值范围．
5．(21-22高二下·广东珠海第二中学·期中)已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)设，若方程有三个不同的解，求a的取值范围.
1．(23-24高二下·广东深圳人大附中深圳学校·期中)已知函数．
(1)讨论在区间上单调性；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
2．(22-23高二下·广东华侨中学·期中)已知，．
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求a的取值范围．
3．(21-22高二下·广东广州六中·期中)已知函数，其中.
(1)若定义在上的函数满足，求的单调区间；
(2)证明：有唯一极值点，且.
4．(22-23高二下·广东江门新会陈经纶中学·期中)已知函数.
（1）若，求的最小值；
（2）求函数的单调区间.
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重难点05含参函数的单调性
6大高频考点概览
考点01 一次函数
考点02 二次函数（可分解）
考点03 二次函数（不可分解）
考点04 指数函数
考点05 二次指数函数
考点06 对数函数
1．(24-25高二下·广东深圳新安中学（集团）高中部·期中)已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
(3)为正整数，当时，曲线在点处的切线记为，直线与 轴交点的纵坐标记为，证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导函数，按照和分类讨论研究其单调性即可.
（2）（法一）设，令，则，根据导数研究其单调性，进而求解最值，即可得解.
（法二）设，多次求导研究其单调性，进而求出最值，即可得解.
（3）利用导数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程及，利用导数法证得，从而结合等差数列求和公式证明不等式即可.
【详解】（1）函数，则，定义域为，
当时，，在上单调递减；
当时，时，，时，，
在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）（法一）设，
则，令，则，即当时，，
由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，
，
， 所以，即.
（法二）根据题意可知恒成立，
设，
则，
令，
则在定义域上单调递增，易知，
即，使得，
即时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
则，
所以，即
（3）由题设，则，
则，，
此时在处的切线方程为，
令得与轴交点纵坐标为；
，
对于且，则，即在上单调递增，
，即，
，得证．
2．(24-25高二下·广东江门广雅中学等校·期中)已知函数.
(1)若在上单调递增，求的取值范围；
(2)讨论的单调性；
(3)若在上有个零点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3).
【分析】（1）由在上单调递增，可得对恒成立，转化为对恒成立，即可直接求出的取值范围；
（2）利用导数直接分类讨论，分析导函数的正负，即可得到含参函数的单调性；
（3）由（2）中单调性，首先排除，故，要使得在上有个零点，需满足且，构造函数，结合导数求出恒成立，所以只需满足，求出结果即可.
【详解】（1）依题意得对恒成立，
即对恒成立，
所以，即的取值范围是.
（2）由题知，的定义域为，
又，
当时，在上单调递增.
当时，令，得，令，得，
则在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）由（2）知，当时，在上单调递增，
则在上至多有个零点，则不符合题意.
当时，要使得在上有个零点，
则，即，
且，
设函数，
则，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以.
由，得.
即的取值范围为.
3．(24-25高二下·广东广州真光中学·期中)已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)当时，证明：当时，恒成立．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；
（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，即可.
【详解】（1）定义域为，
当时，，故在上单调递减；
当时，时，，单调递增，
当时，，单调递减.
综上所述，当时，的单调递减区间为；
时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2），且时，，
令，下证即可.
，再令，则，
显然在上递增，则，
即在上递增，
故，即在上单调递增，
故，问题得证
4．(23-24高二下·广东广州育才中学·期中)已知函数．
(1)试讨论函数的单调性；
(2)时，求在上的最大值；
(3)当时，不等式恒成立，求整数的最大值．
【答案】(1)当时，的单调递减区间是；无单调递增区间，
当时，的单调递减区间是；单调递增区间是.
(2)当时，在上的最大值是；
当时，在上的最大值是.
(3)4
【分析】（1）求，分和两种情况，判断的符号，即可求解；
（2）通过讨论在上的单调性，即可求最大值；
（3）通过分离参数，得到，令，借助隐零点求出在上的最小值的范围，即可求解.
【详解】（1）由函数可得
，
当时，恒成立，
所以的单调递减区间是；无单调递增区间.
当时，令解得，
令，解得；
令，解得，
所以的单调递减区间是；单调递增区间是，
综上所述：当时，的单调递减区间是；无单调递增区间，
当时，的单调递减区间是；单调递增区间是.
（2）由（1）知当时，在上单调递减；在上单调递增，
当，即时，在上单调递减，
所以，即在上的最大值是，
当，即时，在上单调递增，
所以，即在上的最大值是，
当，即时，在上单调递减；在上单调递增，
所以最大值可能在或处取得，
，，
当，即时，，即在上的最大值是，
当，即时，，
即在上的最大值是，
综上所述：当时，在上的最大值是；
当时，在上的最大值是.
（3）当时，不等式恒成立，
即，
即，
，
，
，
，
即，
令，
，
令，
，
所以在区间上单调递增，
因为，，
所以存在唯一一点，使，
即，所以，
所以当时，，即，
当时，，即，
所以在区间上单调递减；在区间上单调递增；
所以，
，
，
因为，
所以，
即，
所以，
所以整数的最大值是4.
【点睛】关键点睛：本题主要考查导数应用，恒成立问题的求解关键是分离参数，利用导数求解分离后函数的最值，如果极值点不易求解时，可以借助隐零点进行求解.
5．(22-23高二下·广东汕头育能实验学校·期中)已知函数.
(1)若是的极值点，求的值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若恒成立，求a的取值范围；
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)；
【分析】（1）由题意可得，从而可求出的值；
（2）求出函数的定义域，对函数求导后，分和两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间；
（3）将问题转化为恒成立，构造函数，利用导数求出其最大值，即可求出a的取值范围.
【详解】（1）由，得，
因为是的极值点，
所以，即，所以，经检验符合题意.
（2）.
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，；
当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；
（3）的定义域为，若恒成立，则恒成立，
即恒成立，
令，只需，又，
令得，
时，，则单调递增；
时，，则单调递减；
所以，解得：；
【点睛】关键点点睛：第（3）问解题的关键是分离参数后，构造函数，然后利用导数求出函数的最值即得.
1．(24-25高二下·广东广州第七中学·期中)已知函数．
(1)讨论的单调性：
(2)当时，，数列满足，且，比较，，的大小．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，分和，，四种情况，得到函数单调性；
（2）利用导数说明函数的单调性，即可得解，故，令，求导得到函数单调性，得到，从而确定，即可得解.
【详解】（1）因为的定义域为，
又.
当时，令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时，令，解得或，令，解得，
所以在，上单调递增，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
当时，令，解得或，令，解得，
所以在，上单调递增，在上单调递减；
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，，则，
令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，，，，，
令，
，
所以在上单调递减，且，
因为，
又，所以，
所以，则.
2．(24-25高二下·广东清远211联盟·期中)已经函数，（）.
(1)若，求的极大值和极小值；
(2)讨论的单调性.
【答案】(1)极大值21，极小值
(2)答案见解析
【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极大值和极小值；
（2）求得，分、、三种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调区间.
【详解】（1）若，，
，
令，解得或.
当，时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
所以时，有极大值：；
时，有极小值：.
（2），
①当，即时，
，，在上单调递增；
，，在上单调递减；
，，在上单调递增；
②当，时，，在上单调递增；
③当，即时，
，，在上单调递增；
，，在上单调递减；
，，在上单调递增；
综上所述：
当时，的单调递增区间是，，减区间是；
当时，在上单调递增；
当时，的单调递增区间是，，减区间是.
3．(24-25高二下·广东惠州惠州中学·期中)已知函数，
(1)若恒成立，求实数的取值范围；
(2)设函数，讨论的单调性；
(3)设函数，若函数的图象与的图象有两个不同的交点，证明：
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数求出函数单调性，求得函数的最小值，解不等式即可得出结论；
（2）对函数求导，对参数进行分类讨论，利用导函数符号即可得出其单调性；
（3）根据交点坐标满足的关系式，构造函数，再利用导数和基本不等式证明即可得出结论.
【详解】（1）易知
令，得，所以在上单调递增；
令，得，所以在上单调递减．
所以的最小值为
由恒成立知，，
故.
（2）由题知，定义域为，
所以；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，令，得，
所以在，上单调递增；
令，得，所以在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
当时，令，得，
所以在，上单调递增；
令，得，所以在上单调递减；
综上可知，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增；在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增；在上单调递减；
（3）显然，
因为函数的图象与的图象有两个不同的交点．
所以关于的方程，即有两个不同的根．
由题知，，
得，
得，
由÷得，
不妨设，记
令，则，
所以在上单调递增，所以
则，即，
所以
因为，（利用基本不等式时，，故等号取不到），
所以，即
令，则在上单调递增．
又，
所以，
即，所以；
两边同时取对数可得，得证．
【点睛】关键点点睛：本题第（3）问的关键在于利用两图象交点个数得出等量关系，再构造函数并利用导数得出单调性，结合基本不等式即可证明得出结论.
4．(24-25高二下·广东深圳龙华中学·期中)已知函数，．
(1)求的极值；
(2)讨论的单调性；
(3)若，且当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）求导，再根据极值的定义即可得解；
（2）分和两种情况讨论求解即可；
（3）不等式，令函数，利用导数求出函数的最小值，即可得解.
【详解】（1）函数，定义域为，，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
有极小值，无极大值；
（2）函数的定义域为，求导得，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
（3）当时，，
不等式，
令函数，依题意，，恒成立，
求导得，
令，求导得，函数在上单调递增，
而，
则存在，使，即，
此时，
当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，由，得，
则，，
所以的取值范围是.
5．(24-25高二下·广东广州天河中学·期中)已知函数，，.
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）函数求导，根据参数进行分类，讨论函数的单调性即得.
（2）由原不等式恒成立转化为恒成立，设，就参数分类讨论，找到使恒成立时的情况，即得的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为，
求导得
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在，上单调递增；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在和上单调递增，
所以时，的递减区间是，递增区间是；
时，的递增区间是，无递减区间；
时，的递增区间是和，递减区间是；
时，的递增区间是和，递减区间是.
（2）由，得，
由，得，当时，不等式显然成立，
设，，
则，
当时，，函数在上单调递增，则；
当时，设，
则方程有两根，，于是，
当时，，则，在上单调递减，
又，则当时，，不满足条件，
所以的取值范围是.
1．(24-25高二下·广东肇庆封开县南丰中学·期中)已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若函数恰有两个极值点、.求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）由函数求导，根据导数与零的大小关系，结合分类讨论思想，可得答案；
（2）根据极值点的必要条件，可得导数的零点个数，根据二次函数的性质，可得答案.
【详解】（1）由且，求导可得，
当时，，函数在上单调递增，
当时，令，，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
综上可得，
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）由，求导可得，
由函数在定义域上存在两个极值点，则方程存在两个不相等的正根，
令，所以，解得，
即的取值范围为.
2．(24-25高二下·广东部分学校·期中)已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若在区间上有3个零点，求实数的取值范围；
(3)若，求使得关于的不等式恒成立的的最小值.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)1
【分析】（1）对函数求导，得到关于的二次函数，分和两类讨论，根据函数的导数与单调性的关系即可得到函数的单调性；
（2）易知是的一个零点.根据函数零点与方程根的关系，将在区间上有3个零点，转化为方程在区间上有2个非零解，也即直线与函数的图象在上有两个交点.令，通过求导研究函数的单调性与极值，数形结合即可求解；
（3）不等式可化为，通过分离参数转化为恒成立.设，通过求导研究函数的单调性与最大值即可求解.
【详解】（1）依题意，，
则，
若，即时，恒成立，故在上单调递增；
若，即或时，
令，解得，
故当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增.
综上所述，若，则在上单调递增；
若或，则在和上单调递增，在上单调递减.
（2）令，则.
显然是的一个零点，则在区间上有2个非零解，
即方程在区间上有2个非零解，
即直线与函数的图象在上有两个交点.
令，则，
故当时，单调递增；
当时，单调递减.
而，
作出函数在区间上的大致图象如下所示.观察图象可知，.
（3）依题意，，即，则.
设，
则的定义域为，.
设，则，
所以在区间上单调递减.
又，
故存在，使，即，
当时，单调递增；当时，单调递减，
故，
则满足条件的的最小值为1.
【点睛】本题综合考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值、函数零点与方程根的关系，属于压轴题.
其中函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、极值与最值)才能确定函数有多少个零点；
(3)利用图象交点的个数：将函数零点个数问题转化为图象交点问题，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
本题第（3）问恒成立问题求参数的取值范围，使用的分离参数法，将问题转化为求函数的最大值，利用导数研究其单调性与最值即可.
3．(23-24高二下·广东江门新会第一中学·期中)已知函数．
(1)若，求函数的零点;
(2)讨论函数的单调性.
【答案】(1)唯一的零点1
(2)答案见解析
【分析】（1）利用导数得函数在单调递增，又，得解；
（2）先求，令，分类讨论函数的正负性，从而可得函数的单调性.
【详解】（1）若，，
则，
所以函数在单调递增，
又，故有唯一的零点1.
（2）因为，
令，
①当时，，在上，，所以单调递增．
②当时，
当时，，
在上恒成立，所以单调递增．
当或时，，令，
得，
当时，注意到，
所以当时，，所以单调递增；
当时，，所以单调递减．
当时， 注意到，
所以当或时，，所以单调递增；
当时，，所以单调递减．
综上可得：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减
4．(23-24高二下·广东东莞高级中学、东莞第六高级中学·)已知函数.
(1)当时，求函数的图象在处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若在定义域内有两个极值点，，求证：.
【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）求出函数的导数，分类讨论的值，由导数求出函数的单调区间.
（3）由极值点的性质以及韦达定理得出，构造函数，利用导数证明不等式.
【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而，
所以函数的图象在处的切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，求导得，
令，，
当，即时，恒成立，即，函数在上单调递减，
当，即时，令，解得，
当时，，即；当时，，即，
函数在上单调递减；在上单调递增，
所以当时，函数在上单调递减；
当时，在上单调递减；在上单调递增.
（3）由函数在定义域上有两个极值点，得且是方程的两个不等实根，
则，
，
设，则，函数在上为减函数，
因此，所以成立.
【点睛】关键点睛：在问题二中，关键在于由极值点的性质结合韦达定理将双变量问题，转化为单变量问题，从而由导数证明不等式.
5．(23-24高二下·广东六校联考·期中)已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设函数有两个不同的零点，
（i）求实数的取值范围：
（ⅱ）若满足，求实数的最大值.
【答案】(1)答案见解析；
(2)（i）；（ⅱ）.
【分析】（1）求导，分类讨论参数和时，函数的单调性即可.
（2）（ⅰ）利用参数分离可得，令，利用导数研究函数的单调性，极值，数形结合即可；
（ⅱ）由已知，设，可得，设，利用导数研究函数的单调性，可求额，再利用的单调性可求得，进而求得结果.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得，由，得，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，的递增区间是，无递减区间；
当时，的递增区间是，递减区间是.
（2）（ⅰ）由，得，令，求导得，
当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，，
而当时，恒成立，且，
由有两个零点，即方程有两个不等的正根，亦即直线与的图象有两个公共点，
因此，即，
所以实数的取值范围是.
（ⅱ）由，得，且，
不妨设，将代入，
得，即，
令，求导得，令，
求导得，则函数在上单调递减，
有，即，函数在上单调递减，
由，得，则，
因此函数在上单调递减，即，
于是，有，则，
又，令，，
由（ⅰ）知，在上递增，而，因此在上递增，
则，即，解得，
所以a的最大值是.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究①转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；③得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
1．(24-25高二下·广东深圳高级中学·期中)已知函数．
(1)若，讨论的单调性；
(2)若函数只有一个零点，求的取值范围；
(3)若，证明：方程有唯一解，且直线与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左至右的三个交点的横坐标成等比数列.
【答案】(1)在和单调递减，在单调递增
(2)或
(3)证明见解析
【分析】（1）将代入，求导即可得出单调性；
（2）方法一：对函数求导得出的单调性，对与0的大小进行分类讨论，即可求出的取值范围；
方法二：将问题等价于在只有一个零点，求导得出单调性，对与0的大小进行分类讨论，即可求出的取值范围；
（3）求解的单调性，得出直线与、最多有4个交点，构造函数讨论其单调性，得出零点个数和大小关系，进而证明从左至右的三个交点的横坐标成等比数列.
【详解】（1）由题意，
在中，
若，，定义域为，
，令，解得，
当变化时，和的变化情况如下表:
1
- 不存在 - 0 +
单调递减 不存在 单调递减 e 单调递增
所以，在和单调递减，在单调递增
（2）由题意及（1）得，
方法一：
在中，定义域为
，
当时，解得：.
- 不存在 - 0 +
单调递减 不存在 单调递减 单调递增
因此，在处取得极小值，为
（i）当时，由（1）知，
当时，，不存在零点；
当时，，不存在零点.
（ii）当时，
当时，恒成立，不存在零点；
当）时，单调递减，至多存在一个零点.
当时，；
当时，又，
所以在上存在一个零点；
当时，又，
所以在上存在一个零点；
（当时，，当时，）
所以，在上存在一个零点.
（iii）当时，
当时，恒成立，不存在零点.
当时，若只有一个零点，则极小值
令，
∴函数在上单调递减，
，解得：
综上，的取值范围为或
方法二：
只有一个零点等价于在只有一个零点，
又，
则在上只有一个零点，
，
（i）当时，恒成立，不存在零点.
（ii）若，则对任意恒成立，可知在上单调递增，
且，
令，所以在上存在一个零点；
（iii）若，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值.
若只有一个零点，则，
又，则.
又在单调递减，解得
综上，的取值范围为或
（3）由题意及（1）（2）得，
在中，，，
令，解得：．
∴在上，， 单调递减；
在上，， 单调递增.
所以.
由（1）知，在单调递减，在单调递增，，
则直线与、最多有4个交点．
令，
当时， ，所以恒成立.
当时，
令，则，
令，则，
∴在上单调递增，，
∴在上单调递增，，
∴，即，
在中，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，即，
所以恒成立.
当时，在上单调递增.
当x→1时，，，
则在有唯一的零点，即存在，使得，
直线与、恰有三个交点，分别记为，，，
不妨设，
由得，即，
要证，即证，
而，即．
由得，即，
又，，，而在单调，
∴，
又由得，即，
又，，而在单调，
所以．
由，得，得证.
2．(24-25高二下·广东广州第六中学·期中)已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导，分，，，四种情况求解即可；
（2）转化问题为，恒成立，令，进而利用导数分析单调性求解即可.
【详解】（1）因为，
则，
①当时，，由可得，由可得，
此时，函数的减区间为，增区间为；
②当时，，则，
由可得或，由可得，
此时，函数的增区间为，，减区间为；
③当时，，
当时，，则，
当时，，则，
此时，函数在上单调递增；
④当时，，则，
由可得或，由可得，
此时，函数的增区间为，，减区间为.
（2）因为，
对任意的，有，所以时，，即，
令，则，
所以，函数在上单调递减，则，故，
因此，实数的取值范围是.
3．(23-24高二下·广东肇庆第一中学·期中)已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：方程至多只有一个实数解．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，根据导函数的范围确定原函数的单调性；
（2）根据（1）中函数单调性，确定函数的最值，即可得结论；
（3）设函数，求导确定函数的单调性，从而可函数的取值请况.
【详解】（1）因为函数，，
所以，
当时，，单调递减；
当时，由，得，解得，单调递增；
由，得，解得，单调递减；
当时，由，得无解；
由，得恒成立，单调递减；；
当时，，单调递减；
当时，由，得，解得；
由，得，解得，
综上：当时，在上单调递增；在上单调递减；
当时，在R上是减函数；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）当时，由于，故不满足恒成立；
当时，单调递减，又，故不满足恒成立；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
要使得恒成立，则，
即，
所以，解得，
综上，实数的取值范围为；
（3）设，
则，
①当时，恒成立，令得，
则时，，单调递增；
时，，单调递减，
所以，
此时函数无零点，即方程无实根；
②当时，令得，，
（i）当时，恒成立，所以在上单调递增，
又，此时函数有唯一的零点，
即方程唯一的根；
（ii）当时，，
所以时，，单调递增，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
又，
则函数在区间上无零点，在上至多只有一个零点，
所以方程至多只有一个实数解；
（iii）当时，，
所以时，，单调递增，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
又，
则函数在区间上无零点，在上至多只有一个零点，
故至多只有一个实数解；
综上，方程至多只有一个实数解.
4．(23-24高二下·广东茂名高州中学·期中)已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若函数有两个零点，
（一）求m的取值范围；
（二）求证：．
【答案】(1)答案见解析；
(2)（一）；（二）证明见解析.
【分析】（1）先求得，再按m分类讨论，即可求得的单调性；
（2）（一）利用导数求得的单调性，利用零点存在定理即可求得m的取值范围；（二）构造新函数，并利用导数求得其单调性，进而证得成立.
【详解】（1）函数，
当时，则在上单调递增；
当时，令，得．
当时，，单调递减，
当时，，单调递增；
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在内单调递减，在单调递增．
（2）（一）由题意可得：，
令，整理可得，
设，
则，
且，，
令，解得；令，解得;
则在内单调递减，在内单调递增，
由题意可知：有两个零点，
则，解得，
若，令，则，
则，
可知在内有且仅有一个零点；
且当x趋近于趋近于，可知内有且仅有一个零点；
即，符合题意，综上所述：m的取值范围为．
（二）由（一）可知：令，
则，
令，则，
因为，则，
可知在内单调递增，则，
可得在内恒成立，可知在内单调递增，
则，即，
不妨设，则，
且在内单调递减，
可得，即，证毕．
5．(24-25高二下·广东江门新会区名冠实验学校·期中)已知函数．
(1)若，求函数在上的最大值和最小值；
(2)讨论函数的单调性．
【答案】(1)最大值为，最小值为；
(2)答案见解析.
【分析】（1）求导，利用导数研究函数在的单调性，求极值和区间端点函数值，即可求解；
（2）对函数求导，根据未知数的不同范围，分别求出函数单调性.
【详解】（1）当时，，则，
令，得或，
由于，
所以当，，在单调递减，
所以当，，在单调递增，
所以在时取到极小值，且，
又因为，，
综上，函数在上的最大值为，最小值为.
（2）因为，所以，
当，即时，，
在单调递增，
当，即时，
令，则，
所以当，，在单调递增，
当，，在单调递减，
当，，在单调递增.
综上所述，当时，在单调递增，
当时，在，单调递增，在单调递减.
1．(24-25高二下·广东天天向上联盟·期中)已知函数（e为自然对数的底数，）
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）对函数求导，应用分类讨论研究导数的符号判断其单调性；
（2）应用分析法，将问题化为证明，利用导数研究左侧的最小值即可证.
【详解】（1）由题设，显然，
若，则，故，则在R上单调递减；
若，则时，时，
所以在上单调递减，在上单调递增；
综上，时在R上单调递减；时在上单调递减，在上单调递增；
（2）由（1）知，时在上单调递减，在上单调递增；
所以，
要证，只需证 ，
所以，只需证，
令且，则，
当，，在上单调递减，
当，，在上单调递增，
所以，而，
所以，故得证.
2.(23-24高二下·广东茂名电白区·期中)已知函数．
(1)求的单调性；
(2)若有两个零点，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求出，讨论当时，当时，的正负，求得的单调性；
（2）讨论当时，当时，最多只有一个零点，不合题意；当时，分别讨论得在有一个零点，在有一个零点，可得的取值范围即为.
【详解】（1）由
得
当时，，，
在R单调递减；
当时，由得，由得
所以，当时，在区间单调递减，在区间单调递增.
（2）由（1）知，当时，最多有一个零点；
当时，在时取得最小值
即
所以，当时，，故最多只有一个零点；
当时，，
因为
所以在有一个零点．
令，则，
当时，在单调递减，
当时，在单调递增．又
所以，．故当时，有．
因为时，所以，故
可知在有一个零点．
综上可知，若有两个零点，的取值范围是.
【点睛】方法点睛：已知函数零点个数，求参数的取值范围的方法：
直接法，利用零点存在定理构建不等式求解；
数形结合法，将函数的解析式或者方程进行适当变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
分离参数法，分离参数后转化为求函数的值域（最值）问题求解.
3．(23-24高二下·广东广州一中·期中)已知函数.
(1)时，证明：时，；
(2)讨论的单调性；
(3)若有两个零点，求a的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）直接由指数函数与一次函数的单调性证明即可；
（2）先求导函数，分类讨论求单调性即可；
（3）结合（2）的结论先得，再利用其最小值小于零结合的单调性计算得，根据零点存在性定理验证即可.
【详解】（1）由知，易知其R上单调递减，
所以时，有，得证；
（2）易知，
显然时，，此时函数在R上单调递减；
若，则时，，时，，
即在上单调递减，在上单调递增；
综上：时，在R上单调递减；时，在上单调递减，
在上单调递增；
（3）由上可知时，在R上单调递减，不存在两个零点，
所以，即，
令
要满足题意需，
易知在上单调递增，且
所以，
取，则，
取，则，
令，
则时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，即，
即，
则在及上分别有两个零点，显然符合题意，
故.
4．(22-23高二下·广东广州白云中学·期中)已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）对函数求导，再对进行分类讨论，根据和，即可得函数的单调性；
（2）根据（1）的单调区间，对进行分类讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到的取值范围.
【详解】（1）由题意可得，
当时，由，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增；
当时，，则，
由，得，由，得或，
则在上单调递减，在，上单调递增；
当时，在上恒成立，则在上单调递增；
当时，，则，
由，得，由，得或，
则在上单调递减，在，上单调递增．
综上可得：当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在，上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在，上单调递增．
（2）由（1）可知当时，在上单调递减，在上单调递增．
要使有两个零点，需至少满足，即，
当时，，
，
则在与上各有一个零点，即符合题意．
当时，只有一个零点，则不符合题意．
当时，由，当时，，，
则在上恒成立．
由（1）可知在上单调递增或先递减后递增，则不可能有两个零点，即不符合题意．
综上可得，的取值范围为．
【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：
（1）直接法：直接根据题设条件对参数进行分类讨论，构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．
5．(21-22高二下·广东珠海第二中学·期中)已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)设，若方程有三个不同的解，求a的取值范围.
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】（1）首先求函数的导数，分和讨论函数的单调性；
（2）参变分离后得，再设，，根据两个函数的图象，求得实数的取值范围.
【详解】（1），
当时，，函数在单调递增，
当时，，得
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
综上可知，当时，函数在单调递增，
当时，函数的单调递增区间是，
函数的单调递减区间是
（2）由，化简为，
设，设，则，
，当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，函数的最大值，
画出函数的图象，由图可知与的交点对应的，一正一负，
如图，画出函数的图象，
当，时，对应的值有3个，
在单调递增，当时，
所以
1．(23-24高二下·广东深圳人大附中深圳学校·期中)已知函数．
(1)讨论在区间上单调性；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2)
【分析】（1）先求导函数，结合指数函数的单调性分区间讨论即可；
（2）分离参数，构造新函数利用导数研究其单调性与最值结合隐零点计算即可.
【详解】（1）由，
在时，，
若，即在区间上单调递增；
若，即在区间上单调递减；
若，令，令，
可知在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：时，在区间上单调递增；
时，在区间上单调递减；
时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）根据题意可知恒成立，
设，
则，
令，
则定义域上单调递增，易知，
即，使得，
即时，，此时单调递减，
时，，此时单调递增，
则，
所以，即
2．(22-23高二下·广东华侨中学·期中)已知，．
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)在和上单调递增，在上单调递减
(2)
【分析】（1）将导数化为求其零点并讨论零点的大小，结合导数的符号求解. （2）结合第（1）问的结果，利用函数的单调性、极值的符号构造不等式求解.
【详解】（1）∵
，
∵，∴，
当，，单调递增，当，，单调递减，
当，，单调递增．
综上所述，在和上单调递增，在上单调递减．
（2）情况一：若，即时，由的单调性，其在上恒为正，无零点，
在增区间至多有一个零点，不符题意．
情况二：若，即时，
由于，由零点存在定理，在区间上存在一个零点，
取，则，，，
，
当时，，由于在区间上单调递增，
故在恒为正，无零点，由零点存在定理，在区间上存在一个零点，符合题意，
情况三：若，即时，同情况二可得在增区间恒为正，无零点，
仅有一个零点，不符题意.
综上，a的取值范围是．
3．(21-22高二下·广东广州六中·期中)已知函数，其中.
(1)若定义在上的函数满足，求的单调区间；
(2)证明：有唯一极值点，且.
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（1）按和分类确定的正负得单调性；
（2）时，计算的极值得结论成立，时，求出导函数，再一次求导确定的单调性，结合零点存在定理得有唯一零点，得有唯一极值点，并得出与的关系，的范围，求出，用代入法变二元函数为一元函数，然后不等式变形，引入新函数，多次求导后，得出的最小值是0，从而得证不等式成立．
【详解】（1）时，，时，，时，，
的减区间是，增区间是，
时，，由得或，
设 ，，时，，递增，
所以时，，
所以或时，，时，，
所以的增区间是和，减区间是；
（2）由（1）时，，有唯一零点，且，
时，，
，设，
，因为，所以恒成立，
即在上是增函数，
而由（1）知，所以，
所以，，
所以在也即在上有唯一零点，时，，递减，时，，递增，
所以有唯一极值，且，，即，，由得，，
所以 ，
要证，即证，
只要证：（），
令，
，
令 ，
，
令，则，
设，则，时，，递减，时，，递增，所以，所以在时恒成立，
即，
所以，
所以，从而是增函数，又，，
所以存在，使得，即，
时，，时，，
所以即在上递减，在上递增，
，，所以时，，时，，
所以在上递减，在上递增，
，所以，即（）成立．
所以成立．
【点睛】本题考查导数与单调性的关系，用导数研究函数的极值点，证明不等式．难点之一是不等式中含有多个变量，需要由变量的性质消元化为一元函数，难点这二是不等式变形后引入新函数，需要多次求导才能确定其最小值．本题属于困难题．
4．(22-23高二下·广东江门新会陈经纶中学·期中)已知函数.
（1）若，求的最小值；
（2）求函数的单调区间.
【答案】（1） ；（2）答案见解析.
【分析】（1）若，利用导数得出在的单调性即可求解.
（2）再讨论、、、函数的单调区间即可.
【详解】（1）若，定义域为，
，
由可得，
由可得，
所以在单调递减，在单调递增，
所以的最小值为；
（2）
①当时，，由可得，
由可得，
此时的单调递减区间为，单调递增区间为，
②当时，由可得或
由可得，
此时的单调递减区间为，单调递增区间为和，
③当时，恒成立，此时的单调递增区间为，
④当时，由可得或，
由可得，
此时的单调递减区间为，单调递增区间为和，
综上所述：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为和，
当时， 的单调递增区间为，
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为和，
【点睛】思路点睛：利用导数研究函数的单调性的步骤：
①写定义域，对函数求导；
②在定义域内，解不等式和
③写出单调区间.
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