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重难点06函数零点问题
5大高频考点概览
考点01 零点个数
考点02 已知零点个数求参数
考点03 存在零点求参数
考点04讨论零点个数
考点05 利用比值代换解决零点
1．(24-25高二下·广东广州南海中学·期中)已知函数，有下列说法
①的递增区间是和；
②有三个零点；
③不等式的解集为；
④关于的不等式恒成立，则的最大值为1.
其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①③④
2．(24-25高二下·广东湛江第二十一中学·期中)（多选）已知函数，则（ ）
A．的极小值为
B．有两个零点
C．存在使得关于的方程有三个不同的实根
D．的解集为
3．(24-25高二下·广东东莞万江中学等三校·期中)（多选）关于函数，下列判断正确的是（ ）
A．是的切线方程且平行于x轴
B．函数有且只有1个零点
C．存在正实数k，使得成立
D．对两个不相等的正实数，若，则
4．(24-25高二下·广东实验中学·期中)（多选）已知函数是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．函数在区间上单调递减
C．过点只能作一条直线与相切 D．函数恰有4个零点
5．(24-25高二下·广东广州第七中学·期中)已知函数．
(1)求在处的切线方程；
(2)求函数零点个数；
(3)当时，函数恒成立，求的取值范围．
1．(24-25高二下·广东东莞光正实验学校·期中)已知，若函数有两个零点，则的取值范围为______（区间或集合）.
增 极大值 减
2．(24-25高二下·广东清远211联盟·期中)已经函数，，其中.
(1)若，求的增区间；
(2)当，时，证明不等式恒成立；
(3)若有两个零点，求a的取值范围.
3．(24-25高二下·广东广州衡美高级中学·期中)已知函数
(1)当 时，求函数的单调区间；
(2)若函数 在区间 上有1个零点，求实数k的取值范围；
(3)若 在 上恒成立，求出正整数k的最大值；
4．(24-25高二下·广东广州天河中学·期中)已知函数，．
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)已知函数有两个零点，，
①求实数的取值范围；
②证明：．
5．(24-25高二下·广东汕头潮阳第一中学·期中)已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在上恰有两个零点，求的取值范围.
1．(24-25高二下·广东深圳龙华中学·期中)已知函数，曲线在处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)函数在区间 上存在零点，求的值．
2．(24-25高二下·广东佛山顺德区第一中学·期中)已知函数．
(1)分析函数的单调性．
(2)若，试问是否存在零点．若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由．
(3)若有两个零点，求满足题意的的最小整数值．（参考数据：，）
3．(22-23高二下·广东佛山第一中学·期中)已知函数.
(1)当，判断在区间是否存在极小值点，并说明理由；
(2)已知，设函数.若在区间上存在零点，求实数的取值范围.
4．(23-24高二下·广东广州第十六中学·期中)已知函数
(1)若函数在处取得极值，求的值；
(2)若函数在定义域内存在两个零点，求的取值范围.
5．(23-24高二下·广东汕头潮阳第一中学·期中)已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)当时，求在上的最小值；
(3)若在上存在零点，求的取值范围.
0
单调递增 极大值 单调递减
0
单调递增 极大值 单调递减
1．(24-25高二下·广东佛山H7联盟·)已知是函数的导函数，是的零点，若在上，恒成立，则称是上的“好函数”.
(1)若函数是上的“好函数”，求整数的值.
(2)已知函数.
（i）讨论的零点个数；
（ii）已知是的零点，证明：是上的“好函数”.
2．(24-25高二下·广东广州第十六中学·期中)已知函数
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)在坐标系中画出函数的简图（参考数据；要含有必要的说明和体现必要的图象特征）；
(3)若，讨论函数的零点个数.
3．(23-24高二下·广东广州真光中学·期中)已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)当时，判断的零点个数，并证明结论；
(3)不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
4．(21-22高二下·广东肇庆中学·期中)已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，讨论的零点个数.
5．(21-22高二下·广东顺德德胜学校·期中)已知函数．
(1)判断函数在区间上的零点个数；
(2)若函数在处的切线平行于直线，且在上存在一点，使得成立，求实数m．
1．(24-25高二下·广东清远·期中)已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)是否存在x使得成立？若存在，求x的取值范围，若不存在，请说明理由；
(3)若方程有两个不同的实数解，证明： ．
2．(23-24高二下·广东广州南方学院番禺附属中学·期中)已知函数，其中.
(1)讨论的单调性；
(2)若函数有两个不同的零点，.
①求实数a的取值范围；
②证明：.
3．(23-24高二下·广东六校联考·期中)已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设函数有两个不同的零点，
（i）求实数的取值范围：
（ⅱ）若满足，求实数的最大值.
4．(23-24高二下·广东东莞常平中学等三校·期中)已知函数.
(1)若是函数的一个极值点，求实数的值；
(2)若函数有两个极值点，其中，
①求实数的取值范围；
②若不等式恒成立，求实数的取值范围.
5．(24-25高二下·广东广州第四中学等三校·期中)已知函数．
(1)当时，求在曲线上的点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若有两个极值点，，证明：．
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重难点06函数零点问题
5大高频考点概览
考点01 零点个数
考点02 已知零点个数求参数
考点03 存在零点求参数
考点04讨论零点个数
考点05 利用比值代换解决零点
1．(24-25高二下·广东广州南海中学·期中)已知函数，有下列说法
①的递增区间是和；
②有三个零点；
③不等式的解集为；
④关于的不等式恒成立，则的最大值为1.
其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【分析】利用导数分析单调性可得①正确；由图象可得②错误；由极值结合函数的图象可得③正确；当时，分离参数后构造函数求导，当结合复合函数的单调性可得④正确.
【详解】对于①，当时，，令；
当时，，令，
所以的递增区间是和，故①正确；
对于②，当时，；当时，；
当时，，又在上为递减函数，在为递增函数，
做出函数图象如下：
所以函数有两个零点，故②错误；
对于③，，结合图象可得不等式的解集为，故③正确；
对于④，当时，不等式恒成立等价于即恒成立，
令，，
令可得，所以当时，，为递减函数；当时，，为递增函数，
所以，即，
当时，不等式恒成立，
当时，，
当时，由简单复合函数的单调性可得；当时，，此时即可；
综上的最大值为1，故④正确；
故选：D
2．(24-25高二下·广东湛江第二十一中学·期中)（多选）已知函数，则（ ）
A．的极小值为
B．有两个零点
C．存在使得关于的方程有三个不同的实根
D．的解集为
【答案】AC
【分析】先求导函数，根据正负确定单调性．判断A；运用极大值和极小值都小于，判断B；运用 y=f(x) 与 y=a 有三个不同交点，即 f(x)=a 有三个不同实根，判断C；运用函数单调性判断D．
【详解】函数的定义域为，，
由得或；由得，有极大值，极小值，A正确；
由极大值和极小值均小于0知最多一个零点，B不正确；
当时，，当时，，当时，有三个不同的实根，C正确；
当时，，此时，D不正确．
故选：AC．
3．(24-25高二下·广东东莞万江中学等三校·期中)（多选）关于函数，下列判断正确的是（ ）
A．是的切线方程且平行于x轴
B．函数有且只有1个零点
C．存在正实数k，使得成立
D．对两个不相等的正实数，若，则
【答案】ABD
【分析】根据导数的几何意义可判断；利用导数判断的单调性，结合可判断；分离参数得，令，求导得，令，求导分析得单调性及最值可得，继而可得的单调性，继而即可判断；根据极值点偏移的求法可判断.
【详解】，则，
对于：在处的切线斜率为，
所以是的切线方程且平行于x轴，故正确；
对于：，
则，
所以函数在上单调递减，
且，
所以函数有且只有1个零点，故正确；
对于：若，可得，
令，则，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
所以在上单调递减，函数无最小值，
所以不存在正实数k，使得成立，故错误；
对于：令，则，
令，
则，
所以在上单调递减，所以，
令，由，得，
则，当时，成立，
对任意两个正实数，且，若，
则，所以，故正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：极值点偏移问题是高考数学中的热点和难点，通常作为压轴题出现，这类题通常考查学生的逻辑推理能力和函数与方程思想，以下是三种常见的解法：
（1）构造法：构造函数，通过判断其在时的符号来确定与的大小关系；代换，结合，得到与的大小关系；再利用函数的单调性解决问题.
（2）利用对称性：找到函数的极值点，构造对称函数，分析的单调性，利用其对称性来证明极值点偏移。
（3）增量法：令，，通过比较与的大小来证明极值点偏移；再利用函数单调性和对称性进行推导.
4．(24-25高二下·广东实验中学·期中)（多选）已知函数是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．函数在区间上单调递减
C．过点只能作一条直线与相切 D．函数恰有4个零点
【答案】ABC
【分析】求得，根据，可判定A；由，利用导数的符号求得函数的单调区间，可判定B；设过点且与函数相切的切点为，求得切线方程，列出方程求得的值，可判定C；令，作出函数的图象，得到，进而的函数零点的个数，可判定D．
【详解】对于A中，由函数，可得，
因为是函数的一个极值点，可得，
解得，经检验适合题意，所以A正确；
对于B中，由，令，解得或，
当时，；当时，；当时，，
故在区间上递增，在区间上递减，在区间上递增，所以B正确；
对于C中，设过点且与函数相切的切点为，
则该切线方程为，
由于切点满足直线方程，则，
整理得，解得，所以只能作一条切线，所以C正确；
对于D中，令，则的根有三个，如图所示，，
所以方程有3个不同根，方程和均有1个根，
故有5个零点，所以D错误.
故选：ABC．
5．(24-25高二下·广东广州第七中学·期中)已知函数．
(1)求在处的切线方程；
(2)求函数零点个数；
(3)当时，函数恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)个
(3)
【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程；
（2）讨论、、，根据函数值符号，且利用导数判断在上恒成立，即可得解；
（3）问题化为在上恒成立，对求导，讨论参数，利用导数研究对应的单调性及其函数符号求参数范围.
【详解】（1）因为，
所以，则，又，
所以在处的切线方程为，即.
（2）当时，，，故恒成立；
当时，；
当时，令，则，
令，，则，即在上单调递增，
所以，故在上单调递增，
所以在上恒成立，即恒成立；
综上，函数只有一个零点为；
（3）由题意，在上 恒成立，
所以在上恒成立，
而，，
令，，则，
对于，，则，
所以在上单调递增，则，可得，
对于，，则，
所以在上单调递增，则，可得，
综上可得，，则，
即在上单调递增，
所以，
当时，，即在上单调递增，此时，符合题意；
当时，，，
所以使，所以当时，
则在上单调递减，所以当时，
即存在区间使，不符合题意；
综上可得，的取值范围为.
1．(24-25高二下·广东东莞光正实验学校·期中)已知，若函数有两个零点，则的取值范围为______（区间或集合）.
【答案】
【分析】由题意可知直线与函数的图象有两个公共点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】令，可得，故直线与函数的图象有两个公共点，
函数的定义域为，，
令，可得，列表如下：
增 极大值 减
所以函数的增区间为，减区间为，该函数的极大值为，
且当时，；当时，.
如下图所示：
当时，直线与函数的图象有两个公共点，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
2．(24-25高二下·广东清远211联盟·期中)已经函数，，其中.
(1)若，求的增区间；
(2)当，时，证明不等式恒成立；
(3)若有两个零点，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3).
【分析】（1）求导，令，可得的增区间；
（2）当，时，要证明不等式恒成立，即证恒成立，即证恒成立，即证恒成立，构造，因为，只需证时单调递增；
（3）参变分离，（）有两个零点，即等价于方程有两个解；等价于与的图象有两个交点，求导，判断的单调性及最值，数形结合，判断交点个数.
【详解】（1）若，，（）；
的定义域为，
，
令，解得，
所以若，的增区间为（或写）.
（2）当，时，要证明不等式恒成立，
即证明恒成立；
令，
∴，
当，∴，即在上单调递增，
∴，
即（），
令，
∴，
∵，∴，即在上单调递增；
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴成立，
即当，时，不等式恒成立.
（3）（）有两个零点，即方程有两个解；
等价于方程有两个解；
等价于与的图象有两个交点；
，
令，解得，
当时，，的图象单调递增；
当时，，的图象单调递减；
当时，有极大值也是最大值，；
时，，
时，，
∴，
即有两个零点时，a的取值范围为.
【点睛】方法点晴:
利用导数研究函数零点问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
3．(24-25高二下·广东广州衡美高级中学·期中)已知函数
(1)当 时，求函数的单调区间；
(2)若函数 在区间 上有1个零点，求实数k的取值范围；
(3)若 在 上恒成立，求出正整数k的最大值；
【答案】(1)增区间，减区间
(2)
(3)3
【分析】（1）求导，判断导数的正负可得解；
（2）求导，分和两种情况分类讨论，得到函数的单调性与极值，结合函数的图象，即可求解实数的取值范围；
（3）分类参数得出对恒成立，设函数，求导得函数单调性与极值，即可求解正整数的最大值.
【详解】（1）当时，，，
则，
令，得，令，得，
所以的单调增区间为，减区间为.
（2）由，
当时，由，得，
所以，在上是单调增函数，且图象不间断，
又，所以当时，，
所以函数在区间上没有零点，不合题意.
当时，令，得，
若，则，故在上是单调减函数，
若，则，故在上是单调增函数，
当时，，
又，
所以函数在区间上有1个零点，符合题意．
综上所述，的取值范围为.
（3）由在上恒成立，即，
由，则，对上恒成立，
令，则，
设，则，
所以在是单调增函数，
又，，
所以存在唯一的实数，使得，
当时，，即，
当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，又，即，
，
，又，，
所以的最大值为3，
4．(24-25高二下·广东广州天河中学·期中)已知函数，．
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)已知函数有两个零点，，
①求实数的取值范围；
②证明：．
【答案】(1)
(2)①；②证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程；
（2）①首先判断函数的单调性，以及极值，根据函数的零点个数判断，再通过构造函数，根据函数的单调性，以及零点，求解不等式的解集；②根据函数的单调性，转化为证明，再构造函数，利用导数判断函数的单调性，即可证明.
【详解】（1）当时，，
则，所以，，
所以函数在点处的切线方程为，即；
（2）①函数的定义域为，
又，
当时，恒成立，在上单调递增，所以不可能有2个零点；
当时，当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
当时，，当时，，
所以要满足函数有2个零点，只需，
即，
整理得，
设，函数的定义域为，
则，所以在定义域上单调递增，
且，则不等式的解集为，
所以的取值范围为；
②由①知，，则，
要证明，即证明，
不妨设，
因为，所以，
又，函数在上单调递增，
此时需证明，
当，时，
可得，
因为，即证明，
设，函数的定义域为，
则
，
所以在单调递增，则，
，所以，
所以，
即，命题得证.
5．(24-25高二下·广东汕头潮阳第一中学·期中)已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在上恰有两个零点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；
（2）分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的单调区间，作出函数的大致图象，结合图象即可得解.
【详解】（1）由，得，
则，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）令，则，
令，
则，
令，则，令，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
，当时，，
当时，，
如图，作出函数的大致图象，
因为函数在上恰有两个零点，
所以函数的图象恰有两个交点，
所以的取值范围为.
1．(24-25高二下·广东深圳龙华中学·期中)已知函数，曲线在处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)函数在区间 上存在零点，求的值．
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）根据切线确定切点，再由切点在函数图象上求参数值；
（2）对函数求导，研究函数在区间的单调性，结合零点存在性定理确定零点所在区间即可求参数值.
【详解】（1）因为曲线在处的切线方程为，所以切点为，
所以 ，得；
（2）由（1）得，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极小值 ，又，
所以在区间上存在一个零点，此时，
因为 ， ，
所以在区间上存在一个零点，此时，
综上，或．
2．(24-25高二下·广东佛山顺德区第一中学·期中)已知函数．
(1)分析函数的单调性．
(2)若，试问是否存在零点．若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由．
(3)若有两个零点，求满足题意的的最小整数值．（参考数据：，）
【答案】(1)详见解析；
(2)不存在，理由见解析；
(3)
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可；
（2）分和两种情况讨论，根据解析式特点，构造函数，利用导数求得其最小值，进而说明最小值大于0，即可得出结论；
（3）有两个零点，则有两个零点，利用导数研究函数的零点即可．
【详解】（1）因为，，，
令，则，
因为，所以恒成立，所以即单调递增，
又时，，时，．
所以存在，使得，
所以在上递减，在上递增．
（2），，的零点个数与的零点个数相同．
①当时，，．
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
当时，取得最小值．无零点，即无零点．
②当时，．令．又恒成立，
在上单调递增．
，，故存在，使得；
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
当时，取得最小值．（*）
由，得，代入得．
若有零点，则必有，即，也即．
令，，当时，，单调递增；当时，，单调递减．
，取，，即恒成立，矛盾，故没有零点．
综上所述，当时，没有零点．
（3）若有两个零点，则有两个零点．
由（2）可知，．
在上单调递增，又，，故存在，使得；
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
当时，取得最小值．
由，得，
代入得．
有两个零点，则必有．
设，，当时，恒成立，
在上单调递减，，．
设，．当时，恒成立，在上单调递增，．
下证当时，有两个零点．，，．
在上有两个零点，即在上有两个零点．
综上所述，为满足题意的最小正整数值．
3．(22-23高二下·广东佛山第一中学·期中)已知函数.
(1)当，判断在区间是否存在极小值点，并说明理由；
(2)已知，设函数.若在区间上存在零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)存在极小值点，理由见解析
(2)
【分析】（1） 当时，则，求导后得，令，再利用导数从而可求解.
（2）由题可得，令，即转化为有解，构造函数，由导数可得有唯一零点，从而将问题转化为在有解，再构造函数，利用导数求出函数的值域，从而可求出实数的取值范围.
【详解】（1）当，则，
所以，设则，
由单调递增，且，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，
又，
所以存在极小值点.
（2）令，则，
又，
所以.
令，
故有解，
设，
则，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，
所以有唯一的零点，
若在区间上存在零点，
即在上有解，
整理可得，
令，则，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，
所以，解得，
所以的取值范围为.
【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理；（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
4．(23-24高二下·广东广州第十六中学·期中)已知函数
(1)若函数在处取得极值，求的值；
(2)若函数在定义域内存在两个零点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用极值点的意义得到，从而求得，再进行验证即可得解；
（2）分类讨论的取值范围，利用导数得到的性质，从而得到且，解之即可得解.
【详解】（1）因为，则，
因为函数在处取得极值，所以，解得，
当时，可得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值，符合题意，故.
（2）由，其中，
当时，可得，单调递增，
此时函数至多有一个零点，不符合题意；
当时，令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以当时，取得极大值，也是最大值，
最大值为，
又，且当时，，
所以要使得函数有两个零点，则满足，
即，解得，
所以实数的取值范围是.
5．(23-24高二下·广东汕头潮阳第一中学·期中)已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)当时，求在上的最小值；
(3)若在上存在零点，求的取值范围.
【答案】(1)极大值为，没有极小值.
(2)0
(3)
【分析】（1）利用导函数求函数的极值；
（2）根据导函数求函数的最值；
（3）根据的导数，对进行分类，结合函数的单调性和极值可得的取值范围.
【详解】（1）当时，，定义域：，，
令，则，变化时，，的变化情况如下表：
0
单调递增 极大值 单调递减
则的极大值为：，没有极小值；
（2）当时，，定义域：，
，
令，定义域：，，
则在上是增函数，则，所以，
即在上是增函数，则.
（3），定义域：，
，
令，定义域：，，
（1）当时，，则在上是减函数，则，
当时，，则在上是减函数，，不合题意；
当时，，，则存在，使，即，
变化时，，的变化情况如下表：
0
单调递增 极大值 单调递减
则，只需，即；
（2）当时，由（1）知在上是增函数，，不合题意；
（3）当时，在上是增函数，在上是增函数，
则在上是增函数，，不合题意，
综上所述，的取值范围是.
1．(24-25高二下·广东佛山H7联盟·)已知是函数的导函数，是的零点，若在上，恒成立，则称是上的“好函数”.
(1)若函数是上的“好函数”，求整数的值.
(2)已知函数.
（i）讨论的零点个数；
（ii）已知是的零点，证明：是上的“好函数”.
【答案】(1).
(2)（i）答案见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）将问题转换为在上恒成立，即在上恒成立，故只需由函数单调性即可得解；
（2）（i）将问题转换为在上的零点个数，求导分类讨论函数单调性，结合零点存在定理即可求解；（ii）当时，只需证明，当，只需证明，结合两种情形即可得证.
【详解】（1）易知在上单调递增，且，则是唯一的零点.
因为是上的“好函数”，且，
所以在上恒成立，即.
因为在上单调递增，且，
所以整数.
（2）（i）因为，且，所以的零点个数等价于函数在上的零点个数.
当时，没有零点.
当时，，令，则，
所以当时，单调递减，当时，单调递增.
又，所以当时，，此时没有零点；
当时，，此时有一个零点；
当时，，又，
所以结合的单调性可知，在和上各恰有一个零点，
即在上存在一个零点，在上存在一个零点.
综上，当时，没有零点；当时，有一个零点；当时，有两个零点.
（ii）证明：①若，由（i）可知，在上没有零点，且，
则在上单调递增，，且.
因为，所以.
设函数，则，当时，单调递减，
当时，单调递增，故.
故当时，.
②若，由（i）可知，在上存在一个零点，
即在上存在唯一的极大值点，故当时，.
由（i）可知，，且，
则当时，.
又因为，且在上单调递增，
所以存在唯一的零点，且满足.
设函数，
则.
由上可知，在上单调递减，且，
则，此时.
综上，由①②可知，当时，，故是上的“好函数”.
2．(24-25高二下·广东广州第十六中学·期中)已知函数
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)在坐标系中画出函数的简图（参考数据；要含有必要的说明和体现必要的图象特征）；
(3)若，讨论函数的零点个数.
【答案】(1)增区间，减区间，极小值为，无极大值.
(2)图象见详解
(3)答案见详解
【分析】（1）求导后，根据的正负可得单调区间，根据极值点定义可求得极值；
（2）分析，，结合（1）中的单调性和极值，作出函数图象；
（3）将问题转化为与的交点个数问题，结合（2）中图象分析可得结果.
【详解】（1）由，，
则，
令，解得或，令，解得，
所以的单调增区间为，减区间为，，
的极小值为，无极大值.
（2）由时，，结合（1）中的单调性和极值，的图象如下：
（3）由题，的零点个数等价于与的交点个数；
结合（2）中图象可知：
当时，与有且仅有1个交点，
当时，与无交点，
当时，与有且仅有1个交点，
当时，与有2个不同的交点，
综上，当时，函数无零点，当或时，函数有且仅有一个零点，
当时，函数有两个不同的零点.
3．(23-24高二下·广东广州真光中学·期中)已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)当时，判断的零点个数，并证明结论；
(3)不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2)只有一个零点，证明见解析；
(3)．
【分析】（1）求出函数的导数，再由导数值的正负情况研究函数的单调性作答.
（2）根据函数单调性，结合零点存在性定理即可证明.
（3）将给定不等式等价转化，构造函数和，分类探讨其单调性及最值作答.
【详解】（1）由函数的定义域为，且，
若，令，解得，当时，；当时，，
若，令，解得或，
①若时，即时，
当时，；当时，；
②若时，即时，
当或，；当时，；
③若时，即时，可得，且仅；
④若时，即时，
当或，；当时，；
综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，．
（2）只有一个零点证明：由（1）知，当时，单调递增，
又由，可得，此时在只有一个零点；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，，
当时，函数取得极大值，极大值为，在没有零点；
当时，函数取得极小值，其中，
在没有零点；
当时，，；又，
，由，必有正根，
当时，
取，显然，有，所以在有一个零点．
综上，命题成立．
（3）由在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，则，
令，则，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
当时，在内存在唯一的零点，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，，单调递增，
所以，，
因为，所以，，
所以，
因为，所以，所以，
所以实数的取值范围为．
【点睛】思路点睛：证明不等式恒成立，可以转化为函数最值问题，或者转化为一边函数的最小值大于另一边函数的最大值.
4．(21-22高二下·广东肇庆中学·期中)已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，讨论的零点个数.
【答案】(1)答案详见解析
(2)答案详见解析
【分析】（1）先求得，然后对进行分类讨论，由此求得的单调区间.
（2）由分离常数，然后利用构造函数法，结合导数求得零点的个数.
【详解】（1），，
当时，，在上单调递减.
当时，令，解得，
所以在区间上，单调递增，
在区间上，单调递减.
（2），当时，令，得，
由于，所以，
设，
所以在区间上单调递减，
在区间上单调递增，
所以，且，，
所以当时，没有零点，
当时，有个零点，
当时，有个零点.
【点睛】求解函数单调区间的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间.如果导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论.
5．(21-22高二下·广东顺德德胜学校·期中)已知函数．
(1)判断函数在区间上的零点个数；
(2)若函数在处的切线平行于直线，且在上存在一点，使得成立，求实数m．
【答案】(1)答案见解析
(2)或
【分析】（1）先参变分离，即讨论，与的函数图像的交点个数问题.
（2）先根据条件求得的值，再构造函数，即讨论与0的大小关系.
【详解】（1）令，
得
记，，，由此可知
在上递减，在上递增，
且，，时
故时，在无零点
或时，在恰有一个零点
时，在有两个零点．
（2）的定义域为，
∵，函数在处的切线平行于直线．
∴，
∴．
若在上存在一点，使得成立，构造函数 在上的最小值小于零．
①当时，即时，在上单调递减，所以的最小值为，由 可得，
∴，
∴；
②当时，即时，在上单调递增，所以的最小值为，由 可得；
③当时，即时，可得的最小值为，
∵，
∴，，
此时，不成立．
综上所述：可得所求m的范围是或．
【点睛】导数题常用的解题方法：①参变分离，②构造新的函数，③函数，方程，不等式相互转化.
1．(24-25高二下·广东清远·期中)已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)是否存在x使得成立？若存在，求x的取值范围，若不存在，请说明理由；
(3)若方程有两个不同的实数解，证明： ．
【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）通过求导，根据导数的正负来确定函数的单调区间；
（2）借助前面的单调性讨论，得到最值，要使能成立，则只能，得到计算即可；
（3）由有两个不同的实数解得，构造并研究其函数值符号得，由有两个不同的实数解，构造，并利用导数研究性质可得，令，则方程有两个不同的实数解，构造设，导数研究性质得，进而得到，即可证.
【详解】（1）首先对函数求导，可得：
，函数的定义域为，
令，即，因为，则，解得，
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减，
综上所得，函数的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）由前面知道，的最大值为，要使能成立，则只能，即，则，有前面讨论，知道函数的单调递增区间是，单调递减区间是.则.
（3）由，得，
若有两个不同的实数解，则，
两式相减得，所以．
不妨设，则，
所以在上单调递增，此时，所以．
所以，即，所以①．
由，得有两个不同的实数解，
令，
当时单调递增，当时单调递减，
由，，所以．
令，则方程有两个不同的实数解．
由前面（1）（2）知，则有．
设，则，
当时，单调递减，当时，单调递增，
此时，即，故，当且仅当时等号成立．
不妨设直线与直线交点的横坐标分别为，
则，
所以②．
综上，．
2．(23-24高二下·广东广州南方学院番禺附属中学·期中)已知函数，其中.
(1)讨论的单调性；
(2)若函数有两个不同的零点，.
①求实数a的取值范围；
②证明：.
【答案】(1)答案见详解
(2)①；②证明见详解
【分析】（1）求导，分类讨论最高项系数的符号和两根大小，利用导数分析原函数的单调性；
（2）①分析可知，构建，利用导数判断的单调性和最值，结合图象分析求解；②分析可知原不等式等价于，换元令，构建，利用导数判断其单调性，结合单调性分析证明.
【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且，
若，则，
当，则；当，则；
可知在内单调递增，在内单调递减；
若，令，解得或，
当，即时，令，解得或；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减；
当，即时，则，
可知在内单调递增；
当，即时，令，解得或；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减；
综上所述：若，在内单调递增，在内单调递减；
若，在内单调递增，在内单调递减；
若，在内单调递增；
若，在内单调递增，在内单调递减.
（2）①有两个不同的零点，
即有两个不同实根，得，
令，，
令，得，
当时，，可知在上单调递增，
当时，，可知在上单调递减，
当时，取得最大值，且 ，当时，
得的大致图像如图所示：
可得，所以实数a的取值范围为.
②当时，有两个不同的零点.
两根满足，，
两式相加得：，两式相减得：，
上述两式相除得，
不妨设，要证：，只需证：，
即证，
设，令，
则，
可知函数在上单调递增，且 .
可得，即，所以.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数；
（3）利用导数研究的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．
3．(23-24高二下·广东六校联考·期中)已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设函数有两个不同的零点，
（i）求实数的取值范围：
（ⅱ）若满足，求实数的最大值.
【答案】(1)答案见解析；
(2)（i）；（ⅱ）.
【分析】（1）求导，分类讨论参数和时，函数的单调性即可.
（2）（ⅰ）利用参数分离可得，令，利用导数研究函数的单调性，极值，数形结合即可；
（ⅱ）由已知，设，可得，设，利用导数研究函数的单调性，可求额，再利用的单调性可求得，进而求得结果.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得，由，得，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，的递增区间是，无递减区间；
当时，的递增区间是，递减区间是.
（2）（ⅰ）由，得，令，求导得，
当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，，
而当时，恒成立，且，
由有两个零点，即方程有两个不等的正根，亦即直线与的图象有两个公共点，
因此，即，
所以实数的取值范围是.
（ⅱ）由，得，且，
不妨设，将代入，
得，即，
令，求导得，令，
求导得，则函数在上单调递减，
有，即，函数在上单调递减，
由，得，则，
因此函数在上单调递减，即，
于是，有，则，
又，令，，
由（ⅰ）知，在上递增，而，因此在上递增，
则，即，解得，
所以a的最大值是.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究①转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
③得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
4．(23-24高二下·广东东莞常平中学等三校·期中)已知函数.
(1)若是函数的一个极值点，求实数的值；
(2)若函数有两个极值点，其中，
①求实数的取值范围；
②若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)①，②
【分析】（1）对函数求导，依题意可得，解得，经检验符合题意；
（2）①将函数有两个极值点转化为方程有两个不同的正数根，再由函数与方程的思想可知函数与函数的图象在上有两个不同交点，利用数形结合可得；
②由两极值点的关系通过构造函数可将不等式恒成立问题转化为函数对任意的恒成立，利用导数并对实数的取值分类讨论即可求得.
【详解】（1）易知，又是函数的一个极值点，
，即.
此时，令，
在上单调递增，且，
当，当，
在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极小值点，即符合题意；
因此实数的值为.
（2）①因为，且有两个极值点，
所以方程在上有两个不同的根，即方程有两个不同的正数根，
将问题转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点，
则，令，解得，
当时，单调递减，当时，单调递增，
且当时，，故作出的图象如下：
由图象可得满足题意，即.
即实数的取值范围为；
②由①知是的两个根，
故，则，
不妨设，又，所以可得，
可得，即，所以；
故由可得，
即，所以；
也即，化简得，
由于，所以等价于对任意的恒成立，
令，故对任意的恒成立，
则，
设，则，
（i）当时，单调递增，
故单调递减，故，不满足，舍去；
（ii）当时，单调递减，
故单调递增，故，故恒成立，符合题意；
（iii）当时，令，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
又，故时，，此时单调递减，故，
因此当时，，不符合题意，舍去.
综上，实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用两极值点关系可得，并通过构造函数将不等式问题转化为函数在指定区间上恒成立问题，利用导函数求出函数最值即可求得实数的取值范围.
5．(24-25高二下·广东广州第四中学等三校·期中)已知函数．
(1)当时，求在曲线上的点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若有两个极值点，，证明：．
【答案】(1)；
(2)详见解析；
(3)详见解析.
【分析】（1）根据导数的几何意义求出；
（2）求出导函数，在定义域内分类讨论解含参不等式即可求出；
（3）由题意得，，，而 ，只需证明，即证：，即证：对任意的恒成立即可．
【详解】（1）由题可知，当时，，
，，切点为，切线的斜率为，
切线方程为：，即；
（2）对函数求导可得，．
当时，．则在上单调递增．
当时，．则，．
令，则，或．，则，
综上：当时，在上单调递增，
当时，在和上单调递增，
在上单调递减．
（3）有两个极值，，
，是方程的两个不等实根，
则，，，
．
要证：．即证：．
不妨设，即证：．
即证：对任意的恒成立．
令，．则．
从而在上单调递减，故．
所以．
【点睛】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，训练了构造函数法证明不等式的成立，属难题.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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