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重难点04导数与切线方程
8大高频考点概览
考点01 在一点处的切线
考点02 过一点的切线
考点03 公切线问题
考点04 切线的平行与垂直问题
考点05 切线的条数问题
考点06 切线存在问题
考点07 与切线有关的最值问题
考点08 切线与数列综合
1．(24-25高二下·广东深圳龙华中学·期中)曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．2 B．1 C． D．
2．(23-24高二下·广东揭阳普宁普师高级中学·期中)已知函数.
(1)求函数在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间和极值.
x 1 3
+ 2 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
3．(24-25高二下·广东东莞光正实验学校·期中)已知函数，
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间和极值.
减 极小值 增 极大值 减
4．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有极小值，且的极小值小于，求实数的取值范围．
- 0 +
递减 极小值 递增
5．(24-25高二下·广东汕头潮阳区河溪中学·期中)已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
1．(24-25高二下·广东天天向上联盟·期中)已知曲线，过点作该曲线的两条切线，切点分别为，，则____________.
2．(24-25高二下·广东深圳华中师范大学龙岗附属中学·期中)已知曲线的切线过原点，则此切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
3．(23-24高二下·广东六校联考·期中)过点作曲线的两条切线，.设，的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
4．(23-24高二下·广东华南师范大学附属中学·期中)已知函数，过原点作曲线的切线，则切点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25高二下·广东广州第二中学教育集团·期中)（多选）已知函数，则下列正确的是（ ）
A．的极小值为0
B．过点的切线方程为
C．有三个实根
D．，当时，恒成立，则a的取值范围是
1．(24-25高二下·广东河源河源中学·)曲线与曲线公切线斜率的最小值为______．
2．(24-25高二下·广东广东华侨中学港澳班·期中)一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为__________．
3．(24-25高二下·广东江门鹤山纪元中学·期中)若曲线在处的切线与曲线也相切，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
4．(24-25高二下·广东东莞三校（东莞大岭山中学、东莞众美中学、东莞松山湖莞美学校）·期中)若函数与的图像存在公共切线，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·广东茂名电白区·期中)已知函数，，点，过点的直线与曲线相切.
(1)求直线的方程；
(2)若函数曲线也与直线相切，求的值；
(3)设函数，当时，求证：.
1．(24-25高二下·广东部分学校·期中)已知函数，若曲线在处的切线与直线相互垂直，则______．
2．(24-25高二下·广东东莞第四高级中学·期中)若曲线在点处的切线与直线垂直，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·广东清远清新区第三中学·期中)已知函数.
(1)若曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值；
(2)若函数在内存在极值，求实数的取值范围；
(3)若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围.
4．(24-25高二下·广东中山第二中学·期中)设函数，．
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值：（其中为自然对数的底数）；
(2)在（1）的条件下求的单调区间和极小值：
(3)若在上存在增区间，求的取值范围．
5．(24-25高二下·广东广州奥林匹克中学·期中)已知函数在点处的切线与直线垂直．
(1)求；
(2)求的单调区间和极值．
1．(24-25高二下·广东卓越教育发展联盟学校·)若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是_____.
2．(24-25高二下·广东佛山H7联盟·) （多选）已知函数在处取得极值0，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．当时，
C．当时，
D．过点且与曲线相切的直线有且只有一条
3．(24-25高二下·广东广东华侨中学港澳班·期中)已知过点可作两条直线与曲线相切，则实数______．
4．(24-25高二下·广东广雅中学·期中)（多选）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数恒有1个极值点
B．当时，曲线恒在曲线上方
C．若函数有2个零点，则
D．若过点存在2条直线与曲线相切，则
5．(24-25高二下·广东深圳新安中学（集团）高中部·期中) （多选）已知函数，则（ ）
A．在区间上单调递增
B．有最大值
C．当时，的图象过的切线有且仅有条
D．关于的方程有两个不等实根，则的取值范围是
1．(24-25高二下·广东深圳实验学校光明部·期中)已知过点不可能作曲线的切线.对于满足上述条件的任意的，函数恒有两个不同的极值点，则的最大值为__________.
2．(24-25高二下·广东湛江·期中) （多选）设函数，直线与曲线相切于点，则（ ）
A．对于给定的，任意的恒过定点 B．对于给定的，存在一条直线，与的交点为定点
C．与的交点的横坐标存在最小值 D．与的交点的纵坐标存在最大值
3．(22-23高二下·广东佛山第一中学·期中) （多选）已知函数，为的导函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，在单调递增
B．当时，在处的切线方程为
C．当时，在上至少有一个零点
D．当时，在是单调函数
4．(23-24高二下·广东东莞常平中学等三校·期中)若直线与曲线（且）无公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．(23-24高二下·广东广州番禺中学·期中)若函数的图象上存在与直线平行的切线，则实数a的取值范围是________．
1．(24-25高二下·广东东莞五校联考·期中)已知点在曲线上，点在 直线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·广东东莞济川中学·期中)已知点是曲线上的一动点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·广东东莞五校联考·期中)、为上在轴两侧的点，过、的切线与轴围成面积的最小值为___________.
4．(24-25高二下·广东广州第六中学·期中) （多选）如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．关于直线对称
B．的弦长最大值大于
C．直线被截得弦长的最大值为
D．的面积小于
5．(23-24高二下·广东广州白云区广东第二师范学院实验中学·期中)点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
1．(24-25高二下·广东广州第十六中学·期中)牛顿法求函数零点的操作过程是：先在轴找初始点，然后作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，依次类推，直到求得满足精度的零点近似解为止.设函数，初始点为，若按上述过程操作，则______；所得前个三角形，，，的面积和为______.
2．(24-25高二下·广东广州第二中学教育集团·期中)已知曲线 ，曲线C在点处的切线交轴于点，过作与x轴垂直的直线与C交于点，曲线C在点处的切线交x轴于点，…，依次下去，得到点列：，，，…，，…，设的横坐标为.
(1)求证：；
(2)求数列的前n项和.
3．(24-25高二下·广东广州第六中学·期中)已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为 ，且．
(1)用表示；
(2)若，记，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式．
4．(24-25高二下·广东惠州惠东县·期中)在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而牛顿（IssacNewton，1643-1727）在《流数法》一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解.具体步骤如下：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与x轴交点的横坐标为，并称为r的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与x轴交点的横坐标为，称为r的2次近似值.一般地，曲线在点处的切线为，记与x轴交点的横坐标为，并称为r的次近似值.不断重复以上操作，在一定精确度下，就可取为方程的近似解.现在用这种方法求函数的大于零的零点r的近似值，取.
(1)求和；
(2)求和的关系；
(3)证明:.
5．(24-25高二下·广东深圳实验学校光明部·期中)牛顿法（Newton'smethod）是牛顿在I7世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线的方程为.如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值.再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标记为，称为的二阶近似值.重复以上过程，得的近似值序列：，根据已有精确度，当时，给出近似解.对于函数，已知.
(1)若给定，求的二阶近似值；
(2)设
①试探求函数的最小值与的关系；
②证明：．
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重难点04导数与切线方程
8大高频考点概览
考点01 在一点处的切线
考点02 过一点的切线
考点03 公切线问题
考点04 切线的平行与垂直问题
考点05 切线的条数问题
考点06 切线存在问题
考点07 与切线有关的最值问题
考点08 切线与数列综合
1．(24-25高二下·广东深圳龙华中学·期中)曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】利用商的导数来求切线斜率即可.
【详解】求导得：，
当时，切线斜率，
故选：A.
2．(23-24高二下·广东揭阳普宁普师高级中学·期中)已知函数.
(1)求函数在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间和极值.
【答案】(1)
(2)单调增区间为，，单调减区间为；极大值为，极小值为.
【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，即可写出切线方程；
（2）利用列表法求出单调区间和极值.
【详解】（1）函数的定义域为R.
导函数.
所以，，
所以函数在点处的切线方程为，即.
（2）令，解得：或.列表得：
x 1 3
+ 2 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以函数的单调增区间为，；单调减区间为；
的极大值为，极小值为.
3．(24-25高二下·广东东莞光正实验学校·期中)已知函数，
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间和极值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间、减区间以及极大值、极小值.
【详解】（1）因为，则，所以，，
因此，函数在点处的切线方程为，即.
（2）由，可得，列表如下：
减 极小值 增 极大值 减
所以，函数的减区间为、，增区间为，
该函数的极小值为，极大值为.
4．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有极小值，且的极小值小于，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意计算和，得切线方程为；
（2）先求导得，分和讨论，求出极小值，再由整理有，构造新函数，利用导数求解即可.
【详解】（1）当时，，则，所以，
因为，所以在处的切线方程为．
（2）因为，其中，
则，
①当时，恒成立，此时函数在上单调递增，无极小值，
②当时，令，可得，列表如下：
- 0 +
递减 极小值 递增
所以，
由题意可得，即，
令，则．
因为，当等号成立，
所以函数在单调递增，
所以由，得，
所以实数的取值范围是．
5．(24-25高二下·广东汕头潮阳区河溪中学·期中)已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）当时，先求确定切点，再求确定切线斜率，利用直线方程的点斜式可得切线方程.
（2）求导，分，，讨论导函数的符号，可得函数的单调区间.
【详解】（1）当时，，则，
从而，，
故所求切线方程为，即（或）.
（2）由题意可得.
当，即时，由，得或，由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减；
当，即时，恒成立，则在上单调递增；
当，即时，由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
1．(24-25高二下·广东天天向上联盟·期中)已知曲线，过点作该曲线的两条切线，切点分别为，，则____________.
【答案】3
【分析】设切点，根据导数的几何意义求出曲线的切线方程，将点代入，整理可得，而是此方程的两个实根，结合韦达定理即可求解.
【详解】设切点为，由，得，
则切线的斜率为，
所以切线为，
又切线过点，所以，
整理得，而是此方程的两个实根，
所以.
故答案为：3
2．(24-25高二下·广东深圳华中师范大学龙岗附属中学·期中)已知曲线的切线过原点，则此切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题首先可以设切点坐标为，然后求出导函数以及切线的斜率为，并写出切线方程，最后根据切线过原点即可求出的值以及切线的斜率.
【详解】设切点坐标为，
因为曲线，所以，切线的斜率为，
则切线的方程为，
因为切线过原点，所以，解得，
故此切线的斜率为，
故选：C.
【点睛】本题考查求曲线的切线的斜率，考查导函数的几何性质，函数在某点处的导函数值即函数在这点处的切线斜率，考查计算能力，是简单题.
3．(23-24高二下·广东六校联考·期中)过点作曲线的两条切线，.设，的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出两条切线的斜率，由两直线的夹角公式求得夹角的正切值．
【详解】两条切线，的倾斜角分别为，，
根据题意，，
若点是切点时，切线斜率为，
若点是切点（点不重合），则，
由，解得（舍去），
所以直线斜率为，
则．故选：C．
4．(23-24高二下·广东华南师范大学附属中学·期中)已知函数，过原点作曲线的切线，则切点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用导数的几何意义计算即可.
【详解】由题意可知：，
设切点为，则切线方程为，
因为切线过原点，所以，
解得，则.
故选：B
5．(24-25高二下·广东广州第二中学教育集团·期中)（多选）已知函数，则下列正确的是（ ）
A．的极小值为0
B．过点的切线方程为
C．有三个实根
D．，当时，恒成立，则a的取值范围是
【答案】ACD
【分析】求导后可得单调性，结合极值定义可知A正误；应用切线斜率及点斜式计算求解判断B，作出图象，根据与的交点个数可得C正确；将D中问题转化为在上单调递增，由，采用分离参数的方式可求得D正确.
【详解】由题意知：定义域为R，；
∴当时，；当时，；
∴的单调递减区间为，；单调递增区间为；
对于A，的极小值为，A正确；
对于B，设过点的切线的切点为，则，
切线方程为，将点代入切线方程，解得或，
当时，切点为，切线斜率为0，切线为，
当时，切点为，切线斜率为，切线为，
在点处的切线方程为或，B错误；
对于C，的极大值为，且当时，，由此可得图象如下图所示，
由图象可知：与有三个不同的交点，即有三个实根，C正确；
对于D，由当时，恒成立可得：，
令，则在上单调递增，
∴在上恒成立，∴在上恒成立；
∵在上的最大值为，∴，D正确.
故选：ACD.
1．(24-25高二下·广东河源河源中学·)曲线与曲线公切线斜率的最小值为______．
【答案】
【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义建立关系，再利用导数求出最小值.
【详解】设公切线与曲线、曲线相切的切点分别为，
求导得，，则，且，
由，两边取对数整理得：，代入，可得，
令，求导得，
则当时，，当，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，，
所以斜率的最小值为.
故答案为：
2．(24-25高二下·广东广东华侨中学港澳班·期中)一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为__________．
【答案】-2
【分析】求导，由导数几何意义得到切线方程，对照系数得到，联立得到，故.
【详解】因为，，所以，，
则在点处的切线方程为，即；
在点处的切线方程为：，即，
由已知，由得，故，
故，解得，
所以，因此．
故答案为：．
【点睛】方法点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：
(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；
(2) 已知斜率求切点即解方程；
(3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.
3．(24-25高二下·广东江门鹤山纪元中学·期中)若曲线在处的切线与曲线也相切，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】根据题意，求得在处的切线为，设直线与曲线相切的切点为，求得，又切点在曲线和切线上，代入即可求解.
【详解】对曲线，在切点处切线的斜率，
所以切线方程为：，
对于曲线，设切点，则在点处切线的斜率，
依题意，即，
又点切点在曲线和切线上，即，
所以，
故选：B.
4．(24-25高二下·广东东莞三校（东莞大岭山中学、东莞众美中学、东莞松山湖莞美学校）·期中)若函数与的图像存在公共切线，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别设公切线与和的切点，，根据导数的几何意义列式，再化简可得，再求导分析的最大值即可
【详解】，，
设公切线与的图像切于点，
与曲线切于点，
所以，
故，所以，
所以，
因为，故，
设，
则，令
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以，
所以实数a的最大值为e，
故选：A.
3．(24-25高二下·广东茂名电白区·期中)已知函数，，点，过点的直线与曲线相切.
(1)求直线的方程；
(2)若函数曲线也与直线相切，求的值；
(3)设函数，当时，求证：.
【答案】(1)
(2)2
(3)证明见解析
【分析】（1）（2）设出切点，求导，即可根据点斜式求解直线方程，代入点即可求解切线为，根据直线的斜率得中，即可根据切点代入直线方程求解，
（3）将问题转化为，构造函数，，利用导数求解函数单调性，即可求解，或者构造函数，求导，结合零点存在性定理，求解函数的最值得解.
【详解】（1）设直线与曲线相切于点，因为，所以，则有，故切线方程为，
因为点在上，所以，解得，所以切点坐标为，
切线的方程为，即.
（2）设曲线与相切于点，因为，所以有，所以，，切点为，把切点坐标代入的方程，得，所以.
（3）解法1：，定义域为，
当，，，故只需证明，
令，则，令，得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增
所以，，即，当且仅当时等号成立，
令，则，令，得，
当时，，单调递增，当时，，单调递减
所以，，故，当且仅当时等号成立，
而此时.当时，有.
综上可得，所以，成立.
解法2：
，定义域为，
当，，，故只需证明.
令，则在单调递增，
且，，
所以存在唯一，使，即，故，
，且当时，，时，，
所以，
由，得证.
1．(24-25高二下·广东部分学校·期中)已知函数，若曲线在处的切线与直线相互垂直，则______．
【答案】
【分析】先求得，根据题意得到，即可求得的值，得到答案.
【详解】由函数，可得，
因为曲线在处的切线与直线相互垂直，
可得，解得.
故答案为：.
2．(24-25高二下·广东东莞第四高级中学·期中)若曲线在点处的切线与直线垂直，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】运用导数几何意义及导数公式求得切线的斜率，结合两直线垂直进而求得a的值.
【详解】由题设，知曲线在点处的切线的斜率为，
由，则，
所以.
故选：A
3．(24-25高二下·广东清远清新区第三中学·期中)已知函数.
(1)若曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值；
(2)若函数在内存在极值，求实数的取值范围；
(3)若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）对函数求导，根据曲线在点处的切线与轴平行，可得，即可求；
（2）令，由已知函数在内存在极值，则在内有变号零点，通过求导判断函数的单调性，得出，，解不等式即可求解；
（3）由已知在上恒成立，设，，通过求导判断函数的单调性求得最小值，即可求解.
【详解】（1）因为，
所以，
因为曲线在点处的切线与轴平行，
所以，即，所以；
（2）由（1）可知，
因为函数在内存在极值，
所以在内有变号根，
因为，所以在内有变号根，
令，，
所以，由，得，
所以当时，，单调递减，
且，，
要使在内有变号根，即在内有变号零点，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围为；
（3）若对任意的实数，恒成立，
则，即在上恒成立，
设，，
所以，
设，则，
因为，所以，单调递增，
所以，所以，所以单调递增，
所以，
所以，实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：（1）利用导数讨论函数极值点的问题时，要注意将问题转化为的根的问题，且必须使在根的两侧异号，当的根无法解出时，可采用零点的存在性定理判断出根的范围；（2）求解根据不等式恒成立求参问题时，一般采用参变分离法或者利用分类讨论思想，将问题转化为函数最值问题的求解.
4．(24-25高二下·广东中山第二中学·期中)设函数，．
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值：（其中为自然对数的底数）；
(2)在（1）的条件下求的单调区间和极小值：
(3)若在上存在增区间，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)单调减区间为，单调增区间为，极小值为2
(3)
【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求得的值；
（2）利用导数与单调性以及极值的关系即可求解；
（3）将在上存在增区间转化为有解，分离参数，即可求出的取值范围.
【详解】（1）由题可得 ，
因为曲线在点处的切线与直线垂直，
所以，解得；
（2）由（1）知 ，令，解得
由，解得，由，解得，
所以的单调减区间为，单调增区间为，当时，取得极小值；
（3）由在上存在增区间，
即在上有解，
即在上有解，所以，
令 ，易知在上单调递增，在上单调递减，
则，
所以
即的取值范围为.
5．(24-25高二下·广东广州奥林匹克中学·期中)已知函数在点处的切线与直线垂直．
(1)求；
(2)求的单调区间和极值．
【答案】(1)
(2)单调递增区间为、，单调递减区间为，极大值，极小值
【分析】（1）结合导数的几何意义及直线垂直的性质计算即可得；
（2）借助导数可讨论单调性，即可得极值.
【详解】（1），则，
由题意可得，解得；
（2）由，故，
则，，
故当时，，当时，，当时，，
故的单调递增区间为、，的单调递减区间为，
故有极大值，
有极小值.
1．(24-25高二下·广东卓越教育发展联盟学校·)若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是_____.
【答案】
【分析】设公切线为，、分别是与、的切点，应用导数的几何意义求切线方程，根据公切线列方程求得，问题化为直线与曲线 有三个不同的交点，再应用导数研究交点求参数范围.
【详解】设公切线为，
是与的切点，由，得，
是与的切点，由，得，
所以的方程为，因为，整理得，
同理，因为，整理得.
依题意两条直线重合，可得，
两式相除得，所以，代入①得，
由题意此方程有三个不等实根，设，，
即直线与曲线有三个不同的交点，
因为，令，则或，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以有极小值为，有极大值为，
当趋近于0时，趋近于0；当趋近于时，趋近于，
所以当，即时，直线与曲线有三个交点，
故答案为：
2．(24-25高二下·广东佛山H7联盟·) （多选）已知函数在处取得极值0，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．当时，
C．当时，
D．过点且与曲线相切的直线有且只有一条
【答案】ACD
【分析】利用极值点的性质可得方程组求出，可判断A，再利用不等式放缩，结合单调性可判断BC，最后利用导数的几何意义去判断D.
【详解】求导得，则，
解得，，此时，
由于，，，，
所以满足在处取得极大值，则，故A正确；
则，
因为当时，，
所以在和上单调递增，
又因为当时，，
所以在上单调递减，
当时，，则，故B错误；
当时，，则，故C正确；
设切点为，则切线方程为，
又点在切线上，所以 ，
整理得：，解得，
所以过点且与曲线相切的直线有且只有一条，故D正确.
故选：ACD
3．(24-25高二下·广东广东华侨中学港澳班·期中)已知过点可作两条直线与曲线相切，则实数______．
【答案】1或
【分析】设切点，根据导数的几何意义写成切线方程，由切线过点，可得，问题转化为方程有两解求的值，再结合三次函数的单调性和极值可求的值.
【详解】设切点，由，则点处的切线方程为．
将点代入上式，得，即．
设，则．
令，解得或1．
当或时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以当时，取极小值；当时，取极大值．
所以当过点可作两条直线与曲线相切时，或．
故答案为：1或
4．(24-25高二下·广东广雅中学·期中)（多选）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数恒有1个极值点
B．当时，曲线恒在曲线上方
C．若函数有2个零点，则
D．若过点存在2条直线与曲线相切，则
【答案】BCD
【分析】先求导根据参数不同判断极值点个数，然后化归思想把零点问题和切线条数问题转化为方程的根进而转化为函数的交点的个数的问题即可.
【详解】由，可得，
对于A：因为恒成立，所以当时，，此时在单调递减，所以此时不存在极值点，A错误；
对于B：当时，，令，
下面先证明和，
令，则，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以，所以，所以，当且仅当时取到等号，
令，则，
当时，，即函数在上为减函数，
当，，即函数在上为增函数，
所以，所以，当且仅当时取到等号，
由上结论可得，因为不能同时取等号，
所以两式相加可得，即恒成立，
即恒成立，所以曲线恒在曲线上方，故B正确；
对于C：函数有2个零点等价于方程有两个根，
即有两个根，
令，则，
所以当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以，当，当，
所以要使有两个根，则，解得，所以C正确；
对于D：设切点坐标为，则，
又因为切线经过点，所以，
所以，解得，
令，则，所以，
因为过点存在2条直线与曲线相切，所以方程有两个不同的解，
令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，，当时，，
所以要使得方程有两个根，则，故D正确.
故选：BCD.
5．(24-25高二下·广东深圳新安中学（集团）高中部·期中) （多选）已知函数，则（ ）
A．在区间上单调递增
B．有最大值
C．当时，的图象过的切线有且仅有条
D．关于的方程有两个不等实根，则的取值范围是
【答案】AC
【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A选项；分析函数的单调性，利用函数的最值与导数的关系可判断B选项；设切点坐标为，利用导数求出切线方程，再将点的坐标代入切线方程，判断关于的方程解的个数，可判断C选项；令，求导得到其单调性和最值，数形结合可判断D选项.
【详解】对于A选项，对任意的，恒成立，
所以，在区间上单调递增，A对；
对于B选项，当时，，当时，.
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以有最小值，无最大值，B错；
对于C选项，当时，，设切点为，
，则切线斜率为，
所以曲线在点的切线方程为，
将点的坐标代入切线方程为，整理可得，
，即方程有两个不等的实根，
所以，当时，的图象过的切线有且仅有条，C对；
对于D选项，方程，即，
令，而，
当时，，当时，.
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当时，且，如图，
要使方程有两个不等实根，的范围是，D错.
故选：AC.
1．(24-25高二下·广东深圳实验学校光明部·期中)已知过点不可能作曲线的切线.对于满足上述条件的任意的，函数恒有两个不同的极值点，则的最大值为__________.
【答案】
【分析】首先求曲线在点处的切线方程，并转化为直线与函数的图象没有公共点，利用导数分析函数的图象，并求出的取值范围，再将函数的极值点问题，转化为恒有两个不同的变号零点，再利用换元，转化为直线与函数的图象有两个不同的交点，利用导数分析函数的图象和性质，即可求解.
【详解】设是曲线上的任意一点，，
所以在点处的切线方程为，
代入点得，
由于过点不可能作曲线的切线，
则直线与函数的图象没有公共点，
令，则，
所以函数在区间上导数大于零，函数单调递增；在区间上导数小于零，函数单调递减，
所以当时，函数取得极大值也即是最大值，则.
对于满足此条件的任意的，函数恒有两个不同的极值点，
等价于恒有两个不同的变号零点，
等价于方程有两个不同的解，
令，则，
即直线与函数的图象有两个不同的交点.
记，则，
记，则，
时，，时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
令，得.
当时，，时，，当时，，
所以在和上单调递减，上单调递增，
并且当时，，，，
所以.
所以.因为，所以，所以.
即实数的最大值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题有2个关键点，一个关键点是转化为与函数的图象没有公共点，第二部关键点是利用换元构造并分离出常数，转化为函数图象的交点问题.
2．(24-25高二下·广东湛江·期中) （多选）设函数，直线与曲线相切于点，则（ ）
A．对于给定的，任意的恒过定点 B．对于给定的，存在一条直线，与的交点为定点
C．与的交点的横坐标存在最小值 D．与的交点的纵坐标存在最大值
【答案】ABD
【分析】利用导数的几何意义求得在处的切线方程，再根据直线过定点可判断A正确，结合A分析可知，存在使得其与的交点为定点，即B正确，构造函数并求出其单调性即可得出其存在最大值，可得C错误，D正确.
【详解】对于A，，因此切线方程为，
也即 ，恒过定点 ），故A正确；
对于B，由A知存在一条直线，使得与交于点，故B正确；
对于CD，根据定义域知，
设，下面研究值域，因为 ，
当单调递增，当单调递减，
所以存在极大值（也就是最大值），
且当 ，所以的值域为，
也就是横纵坐标均存在最大值1，不存在最小值，故D正确，C错误．
故选：ABD．
3．(22-23高二下·广东佛山第一中学·期中) （多选）已知函数，为的导函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，在单调递增
B．当时，在处的切线方程为
C．当时，在上至少有一个零点
D．当时，在是单调函数
【答案】AB
【分析】A，代入，求，根据指数函数和正弦函数在上的值域即可判断的正负，由此可判断f(x)在上的单调性；
B，代入，求和，根据导数的几何意义和直线的点斜式方程即可求切线方程；
C，代入，求，令，求，根据在上的正负判断的单调性，根据单调性可判断其在上是否有零点；
D，判断在上的正负，由此判断的单调性，由此可判断在上有零点，故可判断f(x)在上不单调．
【详解】当时，，则，
当时，，，则，
所以在上单调递增，故A正确；
因为，，所以在处的切线方程为，故B正确；
当时，，则，
设，则，
当时，，，则，
所以在上单调递增，
当时，，在上无零点，故C错误；
当时，，
所以，
所以在上单调递增，
又，而，
则由零点存在定理可知，存在唯一，使得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在上不单调，故D不正确.
故选：AB.
4．(23-24高二下·广东东莞常平中学等三校·期中)若直线与曲线（且）无公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由时，易知直线与曲线必有一个公共点，当时，由直线与曲线相切，利用导数法求得，再由图象位置判断．
【详解】解：当时，直线与曲线必有一个公共点，不合题意，
当时，若直线与曲线相切，设直线与曲线相切于点，则，得．
由切点在切线上，得，
由切点在曲线上，得，
所以，．
如图所示：
故当直线与曲线（且）无公共点时，．
故选：D
【点睛】思路点睛：时，由单调递增，单调递减容易判断；时，利用导数法研究直线与曲线相切时a的值，再根据对数函数在第一象限内随底数a的增大,图象向x轴靠近而得解.
5．(23-24高二下·广东广州番禺中学·期中)若函数的图象上存在与直线平行的切线，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【分析】函数存在与直线平行的切线，等价于在上有解，分离出参数，转化为求函数值域问题即可求得答案．
【详解】解：函数存在与直线平行的切线，
即在上有解，
而，
即在上有解，
得在上有解，
，当且仅当时“＝”成立．
，
的取值范围是．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题先把问题转化为在上有解，从而用分离参数法再转化为求函数的值域．
1．(24-25高二下·广东东莞五校联考·期中)已知点在曲线上，点在 直线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用导数的几何意义求出切点坐标，求点到直线的距离的最小值等价于求斜率为3的切线的切点到直线的距离，最后利用平行线间的距离公式计算即可．
【详解】函数的定义域为，，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
作出和的图象如图：
令，可得，（舍去），
所以曲线上斜率为3的切线的切点为，
该切线方程为，与直线平行，
两平行线间的距离即为到直线的距离，
即的最小值即为．
故选：A．
2．(24-25高二下·广东东莞济川中学·期中)已知点是曲线上的一动点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】当曲线在点处的切线与已知直线平行时点到该直线的距离最小，结合导数的几何意义和点到直线的距离公式计算即可求解.
【详解】联立得，则，
所以直线与曲线不相交，
因此当曲线在点处的切线与直线平行时，点到该直线的距离最小.
因为，直线的斜率，所以，解得，则，
所以到直线的距离最小，最小值为.
故选：C
3．(24-25高二下·广东东莞五校联考·期中)、为上在轴两侧的点，过、的切线与轴围成面积的最小值为___________.
【答案】/
【分析】设点、，不妨设，利用导数求出曲线在点、处的切线方程，求出点的坐标，以及，可得出的表达式，利用基本不等式结合导数法可求得面积的最小值.
【详解】对函数求导得，设点、，不妨设，
所以，曲线在点处的切线方程为，可得，
同理可知，曲线在点处的切线方程为，
联立可得，即点，
在直线方程中，令，可得，即点，
同理可得点，
所以，，
，
令，令，
，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，则.
当且仅当时，的面积取得最小值.
故答案为：.
4．(24-25高二下·广东广州第六中学·期中) （多选）如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．关于直线对称
B．的弦长最大值大于
C．直线被截得弦长的最大值为
D．的面积小于
【答案】ACD
【分析】对于A，求函数的反函数，结合反函数性质判断A，对于B，联立证明直线与曲线有两个交点，设右侧的交点为，左侧的交点为，求交点的距离，判断B，设为曲线的切线，结合导数的几何意义求，结合对称性判断C，证明左侧交点的横坐标大于，过点做的切线，再做该切线关于对称的直线，过，做切线的垂线，与两切线分别交于，求矩形的面积，判断D.
【详解】对于A：由，
所以函数的反函数为，
所以关于直线对称，故A正确；
对于B：有.
设，则，
由.
由，
所以在上单调递减，在上单调递增.
且，
所以存在，使得，另.
所以曲线与直线有两个交点，设右侧的交点为，左侧的交点为，
则，所以，
结合图象可得，的弦长最大值小于，故B错误；
对于C：因为直线与直线垂直，
设为曲线的切线，由，
所以切点为，所以切线方程为.
直线与的距离为.
所以直线被截得弦长的最大值为，即.故C正确；
对于D：由，所以B中.
过点做的切线，再做该切线关于对称的直线，
过，做切线的垂线，与两切线分别交于，
如图所示，构成矩形，
该矩形将图形包含在内，所以的面积小于矩形的面积.
又，
所以矩形的面积为.所以D正确.
故选：ACD.
5．(23-24高二下·广东广州白云区广东第二师范学院实验中学·期中)点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】问题转化为过点的切线与直线平行时，点P到直线的距离最小，利用导数的几何意义求得点的坐标，再用点到直线的距离公式即可求得答案.
【详解】因为点是曲线上任意一点，
所以当点处的切线和直线平行时，点到直线的距离最小．
因为直线的斜率等于1，曲线的导数，
令，可得或(舍去)，
所以在曲线上与直线平行的切线经过的切点坐标为，
所以点P到直线的最小距离为.
故选：D.
1．(24-25高二下·广东广州第十六中学·期中)牛顿法求函数零点的操作过程是：先在轴找初始点，然后作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，依次类推，直到求得满足精度的零点近似解为止.设函数，初始点为，若按上述过程操作，则______；所得前个三角形，，，的面积和为______.
【答案】
【分析】导数求切点处切线的方程，得，，，表示出，然后利用等比数列求和公式可得答案.
【详解】设，则，因为，所以，
则处切线为，
切线与轴相交得，则，因为得，
所以，
，
所以.
所以，前个三角形，，，的面积和为
.
故答案为：；.
2．(24-25高二下·广东广州第二中学教育集团·期中)已知曲线 ，曲线C在点处的切线交轴于点，过作与x轴垂直的直线与C交于点，曲线C在点处的切线交x轴于点，…，依次下去，得到点列：，，，…，，…，设的横坐标为.
(1)求证：；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）依题意可得，利用导数的几何意义求出切线方程，即可求出的坐标，从而得证；
（2）首先求出处的切线的方程，即可求出，从而求出，则，最后利用错位相减法求和.
【详解】（1）因为，所以
因为的横坐标为，所以的坐标为.
由，可得曲线在处的切线的斜率为，
所以处的切线的方程为.
令，得，即的坐标为，所以.
（2）由（1）得处的切线的方程为，
令，得，即的坐标为，故，
所以首项为，公比为的等比数列，所以，则，
记数列的前n项和为，
则，①
所以，②
①②得
，
所以数列的前n项和为.
3．(24-25高二下·广东广州第六中学·期中)已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为 ，且．
(1)用表示；
(2)若，记，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式．
【答案】(1)
(2)证明见解析；
【分析】（1）求导函数，将切点横坐标代入，得切线的斜率，写出切线方程并计算其与x轴交点的横坐标，写出即可.
（2）由与的关系，得与的关系，证明数列成等比，先写出的通项公式，再利用写出的通项公式即可.
【详解】（1）因为，所以，
则曲线在点处的切线方程为，
将点代入方程，得，
因为为正实数，所以为正实数，.
（2）因为，所以，
，由题意得，
则，而，
则，故为公比为的等比数列，且，
得到，故，
两边取指数得到，解得.
4．(24-25高二下·广东惠州惠东县·期中)在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而牛顿（IssacNewton，1643-1727）在《流数法》一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解.具体步骤如下：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与x轴交点的横坐标为，并称为r的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与x轴交点的横坐标为，称为r的2次近似值.一般地，曲线在点处的切线为，记与x轴交点的横坐标为，并称为r的次近似值.不断重复以上操作，在一定精确度下，就可取为方程的近似解.现在用这种方法求函数的大于零的零点r的近似值，取.
(1)求和；
(2)求和的关系；
(3)证明:.
【答案】(1)，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题干中的为的1次近似值和为的2次近似值的定义即可求解；
（2）求出直线的方程， 直接求横截距即可.
（3）借助第（2）题的结论，根据几何意义得到，后面再根据此不等式进行放缩得到，再进行放缩得，利用不等式的性质和数列分组求和即可.
【详解】（1）由题意得，，，
，
令，得，，
，所以，
令，得.
（2）由题意得，，
令，得.
（3）由（2）知，，
所以，
由几何意义易知：，
所以，
由得，，
即，所以，
所以，
所以，
即.
【点睛】关键点点睛：第（1）问的关键是对新定义的理解，然后结合所学知识进行每一个的处理即可得出，第（2）问的关键是求出切线的方程即可得证，第（3）问的关键是由几何意义得到，从而可以放缩，放缩后的类比等比数列的构造，为不等式的证明提供了关键性的处理.
5．(24-25高二下·广东深圳实验学校光明部·期中)牛顿法（Newton'smethod）是牛顿在I7世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线的方程为.如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值.再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标记为，称为的二阶近似值.重复以上过程，得的近似值序列：，根据已有精确度，当时，给出近似解.对于函数，已知.
(1)若给定，求的二阶近似值；
(2)设
①试探求函数的最小值与的关系；
②证明：．
【答案】(1)
(2)①；②证明见解析
【分析】（1）根据给定方法，求出，求出即可.
（2）①求出函数，，利用导数探讨函数的最小值，结合求出与的关系.
②由①的结论，构造函数，利用导数探讨函数在上的单调性即可推理得证.
【详解】（1）函数，求导得，
依题意，，当时，，
同理，而，所以．
（2）由（1）知，，则，
，求导得，
令，求导得，
在上单调递增，函数在上单调递增，，
由，得，且，则，
，当时，，当时，，
于是函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在处取得最小值．
②由①知，，令，求导得，
令，求导得，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，而，
则当时，恒成立，即函数在上单调递减，
而，因此，所以．
【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数函数的单调性，极（最）值问题处理.
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