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专题01数列
14大高频考点概览
考点01 等差数列的基本量
考点02 等差数列的性质
考点03 等差数列前n项和最值
考点04 等差数列前n项和性质
考点05 等比数列的基本量
考点06 等比数列的性质
考点07 等比数列前n项和性质
考点08 等差等比的证明
考点09 裂项相消法求和
考点10 错位相减法求和
考点11 并项求和法
考点12 数列分奇偶
考点13 数列与不等式
考点14 数列整除与插入项问题
1．(24-25高二下·广东佛山H7联盟·)在公差大于的等差数列中，，，则该数列的公差为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·广东广州协和学校等三校·期中)已知是等差数列，且，，则首项等于（ ）
A．0 B． C． D．
3．(24-25高二下·广东佛山南海区·)记为等差数列的前项和，若，则公差（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．(24-25高二下·广东深圳·期中)已知为数列的前n项和，且，，则（ ）
A．34 B．44 C．56 D．72
5．(24-25高二下·广东阳江第三中学·期中)（多选）数列为等差数列，为其前n项和，已知，则（ ）
A． B．
C． D．
1．(24-25高二下·广东深圳聚龙科学中学教育集团·)已知数列满足，若，则（ ）
A．28 B．13 C．18 D．2
2．(24-25高二下·广东江门新会第二中学·期中)在等差数列中，，则（ ）
A．14 B．15 C．16 D．18
3．(24-25高二下·广东广州南沙东涌中学·期中)若3与13的等差中项是4与的等比中项，则（ ）
A．12 B．16 C．8 D．20
4．(24-25高二下·广东佛山南海区·)已知公比不为1的等比数列满足，且成等差数列，则（ ）
A．－5 B．5 C．－3 D．3
5．(24-25高二下·广东广州真光中学·期中)在等差数列中，若，则的值为（ ）
A．18 B．15 C．12 D．9
1．(24-25高二下·广东茂名化州·期中)记为等差数列的前项和，已知，，则的最大值为（ ）
A．16 B．18 C．23 D．25
2．(24-25高二下·广东江门新会第二中学·期中)（多选）等差数列是递增数列，其公差为，前项和为，满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．当时，最小 D．当时，的最小值为
3．(24-25高二下·广东广州南沙东涌中学·期中) （多选）已知是等差数列的前项和，，且，则（ ）
A．公差 B． C． D．时，最小
4．(24-25高二下·广东佛山南海区·) （多选）记为等差数列的前项和，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．当时，取得最小值
C．当时，取得最大值 D．使得成立的最大自然数是16
5．(24-25高二下·广东广州南沙东涌中学·期中)已知数列的前项和为，.
(1)若是等比数列且公比，求；
(2)若是等差数列且，求的最小值.
1．(24-25高二下·广东江门新会区第一中学·期中)已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（ ）
A．15 B．17 C．19 D．21
2．(24-25高二下·广东卓越教育发展联盟学校·)（多选）已知等差数列的前项和为，且满足，，下列选项正确的是（ ）
A．数列的公差为
B．取最小值时，
C．
D．，，构成等差数列，且公差为
3．(22-23高二下·广东珠海斗门区第一中学·期中) （多选）已知数列满足，为的前n项和，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．存在实数a，使为无穷多项的常数列
D．存在实数，使成等差数列
4．(24-25高二下·广东江门广德实验学校·期中)设等差数列的前n项和为，且，，则______．
5．(24-25高二下·广东广州衡美高级中学·期中)设等差数列的前项和分别为，若，则__________.
1．(24-25高二下·广东江门新会第二中学·期中)在等比数列中，已知，，则公比的值为　　
A．1或 B．1或 C．1 D．
2．(24-25高二下·广东广州协和学校等三校·期中)已知等比数列是递增数列，其前n项和为，，，则（ ）
A．3 B． C．4 D．或4
3．(24-25高二下·广东惠州光正实验学校·期中)（多选）若成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高二下·广东深圳·期中) （多选）已知等比数列的前项和为，公比，，则（ ）
A． B．
C． D．数列是公比为4的等比数列
5．(24-25高二下·广东江门新会第二中学·期中)已知数列满足，且，则数列的前四项和的值为________
1．(24-25高二下·广东广州南沙东涌中学·期中)已知等差数列的公差，，且，，成等比数列，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．(24-25高二下·广东佛山S6高质量发展联盟·期中)在等比数列中，，，则与的等比中项为
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·广东江门新会第二中学·期中)各项均为正数的等比数列中，，，则（ ）
A．2 B．-2 C． D．
4．(24-25高二下·广东肇庆端州区端州中学·期中)在等比数列中，是方程两根，若，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．9
5．(24-25高二下·广东卓越教育发展联盟学校·)已知等差数列的首项和公差均不为0，且满足，，成等比数列，则的值为（ ）
A． B． C． D．
1．(24-25高二下·广东天天向上联盟·期中)等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．24 B．12 C．24或－12 D．－24或12
2．(24-25高二下·广东广州庆丰实验学校·期中)一个等比数列前项的和为48，前项的和为60，则前项的和为（ ）．
A．83 B．108 C．75 D．63
3．(24-25高二下·广东广州衡美高级中学·期中)（多选）已知数列的前项和为，，，则（ ）
A．数列是等比数列
B．
C．
D．数列的前项和为
4．(24-25高二下·广东普宁兴文中学·期中) （多选）若为数列的前项和，且，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．是等比数列 D．是等比数列
5．(24-25高二下·广东广州第二中学教育集团·期中) （多选）已知数列满足，，，则（ ）
A．121是数列中的项 B．
C．是等比数列 D．存在，
1．(24-25高二下·广东江门新会第二中学·期中)已知数列满足，.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式及前n项和
2．(24-25高二下·广东江门鹤山鹤华中学·期中)记数列的前项和为，已知.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记，求数列的前项和为.
3．(24-25高二下·广东中山杨仙逸中学·期中)已知数列满足：，（n≥2）．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式及其前n项和的表达式．
4．(24-25高二下·广东广州第二中学教育集团·期中)已知数列满足，且，数列满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明为等差数列；
(3)若，求数列的前n项和.
5．(24-25高二下·广东江门广雅中学等校·期中)已知数列的前n项和为，且.
(1)求；
(2)求的通项公式，并证明为等差数列；
(3)若，求.
1．(24-25高二下·广东江门新会第二中学·期中)设为等差数列的前n项和，若.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和，并求当n为何值时，数列前n和最大，求其最大值；
(3)若数列的通项公式，求证：
2．(24-25高二下·广东深圳·期中)已知等差数列的首项，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，为数列的前n项和，若，求正整数n的值．
3．(24-25高二下·广东佛山南海区·)已知是首项为1的等比数列，数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
4．(24-25高二下·广东惠州光正实验学校·期中)已知等差数列的前n项和为，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
1．(24-25高二下·广东部分高中·期中)记为正项等比数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
2．(24-25高二下·广东部分学校·期中)已知数列满足，
(1)探究数列的单调性；
(2)求数列的前n项和
3．(24-25高二下·广东广州天河中学·期中)已知数列的前项和为，．
(1)证明：数列为等比数列，并求数列的前项和；
(2)设，求数列的前项和．
4．(24-25高二下·广东深圳高级中学·期中)已知数列满足，．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的前项和；
(3)是否存在正整数m、n （m5．(24-25高二下·广东肇庆第六中学·期中)在公差不为0的等差数列中，且，数列的前项和为且
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和．
1．(24-25高二下·广东江门新会区第一中学·期中)两个数列，，，已知数列为等比数列且，数列的前项和为，又满足.
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
2．(24-25高二下·广东肇庆封开县南丰中学·期中)在递增的等比数列中，，且是和的等差中项.
(1)求的通项公式；
(2)若求数列的前项和.
3．(24-25高二下·广东汕头某校·期中)已知数列为等差数列，数列为正项等比数列，且满足，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
4．(24-25高二下·广东广州白云区广州空港实验中学·期中)已知数列满足，．
(1)证明为等比数列，并求的通项公式；
(2)设的前项和为，，证明：数列的前n项和小于．
5．(23-24高二下·广东顺德区北滘中学·期中)设是等差数列，是公比大于0的等比数列，已知，，．
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
1．(25-26高二上·重庆江北中学校·月考)数列满足，则（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
2．(24-25高二下·广东佛山南海区·)已知数列的通项公式为，则（ ）
A．34 B．36 C．38 D．40
3．(24-25高二下·广东佛山H7联盟·)（多选）已知是数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是等比数列
B．
C．数列是等比数列
D．若恒成立，则的取值范围为
4．(24-25高二下·广东江门新会区第一中学·期中)在数列中，，，且对任意的，都有，则的通项公式为______；若，则数列的前项和______.
5．(24-25高二下·广东佛山顺德区第一中学·期中)已知数列的前项和为，且．
(1)求、、的值．
(2)求数列的通项．
(3)求数列的前项和．
1．(24-25高二下·广东深圳红岭中学·期中)（多选）已知数列满足，记分别为数列的前项和，则（ ）
A． B．当时，
C． D．当时，
2．(24-25高二下·广东广州协和学校等三校·期中)已知数列满足，且；数列的前n项和为，满足．
(1)求与的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，若对任意的正整数n，不等式恒成立．求实数的取值范围．
3．(24-25高二下·广东广州第四中学等三校·期中)已知数列的前项和为，且
(1)求，并证明数列是等差数列；
(2)求数列的前项和为
(3)若，求正整数的所有取值．
4．(24-25高二下·广东江门新会区第一中学·期中)已知数列的首项，且满足.
(1)设，求证：数列为等比数列；
(2)设数列前n项和为，求；
(3)若，求满足条件的最大整数.
5．(24-25高二下·广东湛江·期中)已知为数列的前n项和，，.
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前n项的和为，，，求正整数的最小值.
1．(24-25高二下·广东广州广东实验中学越秀学校·期中)已知数列的各项均为正数，且，对于任意的，均有， .若在数列中去掉的项，余下的项组成数列，则（ ）
A．599 B． C．554 D．568
2．(24-25高二下·广东肇庆第六中学·期中)（多选）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，是数列的前项和.以下说法正确的是（ ）
A． B．是数列的第8项
C．当时，最大 D．是公差为的等差数列
3．(24-25高二下·广东佛山顺德区第一中学·期中)已知数列的前项和，数列的前项和，将与的公共项由小到大排列构成新数列，则数列的前5项和等于_____．
4．(24-25高二下·广东部分高中·期中)设数列满足，且．用模取余运算：表示“整数除以整数，所得余数为整数”，如．设其中，则______；数列的前项和为，则______
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专题01数列
14大高频考点概览
考点01 等差数列的基本量
考点02 等差数列的性质
考点03 等差数列前n项和最值
考点04 等差数列前n项和性质
考点05 等比数列的基本量
考点06 等比数列的性质
考点07 等比数列前n项和性质
考点08 等差等比的证明
考点09 裂项相消法求和
考点10 错位相减法求和
考点11 并项求和法
考点12 数列分奇偶
考点13 数列与不等式
考点14 数列整除与插入项问题
1．(24-25高二下·广东佛山H7联盟·)在公差大于的等差数列中，，，则该数列的公差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等差数列的性质求出，再利用等差数列的通项公式得到关于的方程，解方程即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，则，得，
所以，即，
又，解得.
故选：D.
2．(24-25高二下·广东广州协和学校等三校·期中)已知是等差数列，且，，则首项等于（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等差数列的通项公式建立方程组，解之即可.
【详解】设等差数列的公差为，
由，得，
解得.
故选：C
3．(24-25高二下·广东佛山南海区·)记为等差数列的前项和，若，则公差（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由等差数列的前项和公式可得结果.
【详解】，解得．
故选：B.
4．(24-25高二下·广东深圳·期中)已知为数列的前n项和，且，，则（ ）
A．34 B．44 C．56 D．72
【答案】D
【分析】由题设易得是以为公差的等差数列，进而结合等差数列的通项公式及求和公式求解即可.
【详解】由，得，所以是以为公差的等差数列，
由，得，解得，
所以．
故选：D.
5．(24-25高二下·广东阳江第三中学·期中)（多选）数列为等差数列，为其前n项和，已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据等差数列基本量的计算可得首项和公差，即可结合选项逐一求解.
【详解】由可得，解得，，
故A正确，B错误，
，C正确，
，D错误，
故选：AC
1．(24-25高二下·广东深圳聚龙科学中学教育集团·)已知数列满足，若，则（ ）
A．28 B．13 C．18 D．2
【答案】C
【分析】由，即数列是公差为1的等差数列，利用等差数列即可求解.
【详解】由，所以数列是公差为1的等差数列，
所以，
所以，
所以，
故选：C.
2．(24-25高二下·广东江门新会第二中学·期中)在等差数列中，，则（ ）
A．14 B．15 C．16 D．18
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，进而求出.
【详解】在等差数列中，，则，公差，
所以.
故选：D
3．(24-25高二下·广东广州南沙东涌中学·期中)若3与13的等差中项是4与的等比中项，则（ ）
A．12 B．16 C．8 D．20
【答案】B
【分析】根据等差中项及等比中项性质进行求解.
【详解】3与13的等差中项为8，所以8是4与的等比中项，所以，
解得：.
故选：B.
4．(24-25高二下·广东佛山南海区·)已知公比不为1的等比数列满足，且成等差数列，则（ ）
A．－5 B．5 C．－3 D．3
【答案】A
【分析】设等比数列的公比为，由已知可得，进而求得公比，进而求得.
【详解】设等比数列的公比为，
因为，所以，所以，，
又因为，所以，所以．
故选：A.
5．(24-25高二下·广东广州真光中学·期中)在等差数列中，若，则的值为（ ）
A．18 B．15 C．12 D．9
【答案】D
【分析】由等差数列的下标和性质求出，再化简，即可得出答案.
【详解】在等差数列中，，
则.
故选：D.
1．(24-25高二下·广东茂名化州·期中)记为等差数列的前项和，已知，，则的最大值为（ ）
A．16 B．18 C．23 D．25
【答案】D
【分析】设出公差，根据通项公式和求和公式得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式，当时，，当时，，从而确定当时，取得最大值，求出答案.
【详解】设公差为，则，，
解得，所以，
当时，，当时，，
所以当时，取得最大值，最大值为.
故选：D
2．(24-25高二下·广东江门新会第二中学·期中)（多选）等差数列是递增数列，其公差为，前项和为，满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．当时，最小 D．当时，的最小值为
【答案】ABC
【分析】根据等差数列基本量的计算可得，进而根据单调性判断可得时，，当时，即可判断ABC，根据及时，得时，即可判断D.
【详解】由可得，故，
由于是递增数列，故，，故A正确，B正确，
进而可得当时，，当时，
因此或时，取得最小值，C正确，
由于，故当时，，因此时n的最小值为6，D错误，
故选：ABC
3．(24-25高二下·广东广州南沙东涌中学·期中) （多选）已知是等差数列的前项和，，且，则（ ）
A．公差 B． C． D．时，最小
【答案】AD
【分析】由等差数列的性质有，可得公差的符号和数列中项的正负，判断选项即可.
【详解】是等差数列的前项和，设公差为，，即，
得，所以，即 ，
有，因为，所以，所以，故A正确，B错误；
，故错误；
时，时，所以当时，取得最小值，故D正确.
故选：AD.
4．(24-25高二下·广东佛山南海区·) （多选）记为等差数列的前项和，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．当时，取得最小值
C．当时，取得最大值 D．使得成立的最大自然数是16
【答案】AC
【分析】由题意可得，公差，再结合等差数列及其前项和的性质逐项判断即可.
【详解】因为，则，公差，
当时，；当时，，所以当时，取得最大值．
，所以使得成立的最大自然数是15．
故选：AC．
5．(24-25高二下·广东广州南沙东涌中学·期中)已知数列的前项和为，.
(1)若是等比数列且公比，求；
(2)若是等差数列且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出首项后利用等比数列的基本量计算即可.
（2）求出通项公式，进而求出前项和公式，利用函数性质计算即可.
【详解】（1）设首项为，由题意得，且是等比数列，
故，解得，
则，
（2）设首项为，公差为，且是等差数列，
故，解得，
故，，
由二次函数性质得，当时，取得最小值，但一定为正整数，
则当时，取得最小值，此时.
1．(24-25高二下·广东江门新会区第一中学·期中)已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（ ）
A．15 B．17 C．19 D．21
【答案】C
【分析】设等差数列的项数为，利用等差数列的性质，求出所有奇数和与所有偶数和的比与的关系，求出，即可求出项数.
【详解】设等差数列的项数为，
设所有的奇数项和为，则，
设所有的偶数项和为，则，
由，解得，
项数.
故选：C.
2．(24-25高二下·广东卓越教育发展联盟学校·)（多选）已知等差数列的前项和为，且满足，，下列选项正确的是（ ）
A．数列的公差为
B．取最小值时，
C．
D．，，构成等差数列，且公差为
【答案】ABD
【分析】根据等差数列的性质直接判断各选项.
【详解】A选项，设等差数列的公差为，则由题意知，解得，A选项正确；
B选项：，，
则当时，取得最小值为，B选项正确；
C选项：，，C选项错误；
D选项：，，
即，
同理，D选项正确；
故选：ABD.
3．(22-23高二下·广东珠海斗门区第一中学·期中) （多选）已知数列满足，为的前n项和，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．存在实数a，使为无穷多项的常数列
D．存在实数，使成等差数列
【答案】BD
【分析】A.易得是周期为3的周期数列求解判断；B.根据是周期为3的周期数列求解判断；C.设为常数列，有求解判断；D.根据根据是周期为3的周期数列求解判断.
【详解】当时，，，，，…，∴是周期为3的周期数列，∴，故A错误．
由A可知，，∴，故B正确．
若为常数列，则必有，故，即，此方程无解，故C错误．
当时，由A可知，故D正确．
故选：BD．
4．(24-25高二下·广东江门广德实验学校·期中)设等差数列的前n项和为，且，，则______．
【答案】100
【分析】由等差数列的性质，也是等差数列计算得出.
【详解】因为数列是等差数列，所以仍然是等差数列，
所以也是等差数列，
因为，，
所以，
，
故答案为：100
5．(24-25高二下·广东广州衡美高级中学·期中)设等差数列的前项和分别为，若，则__________.
【答案】
【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式可得出，然后即可得出答案.
【详解】因为，所以.
故答案为：.
1．(24-25高二下·广东江门新会第二中学·期中)在等比数列中，已知，，则公比的值为　　
A．1或 B．1或 C．1 D．
【答案】B
【分析】当时，符合题意； 当时，利用等比数列的通项公式、前项和公式列出方程组，能求出公比的值．
【详解】在等比数列中，
，，
当时，，
当时，，
解得．
公比的值为1或，故选B．
【点睛】本题主要考查等比数列通项公式以及等比数列的求和公式，是基础题．等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.
2．(24-25高二下·广东广州协和学校等三校·期中)已知等比数列是递增数列，其前n项和为，，，则（ ）
A．3 B． C．4 D．或4
【答案】C
【分析】设等比数列公比为，由题可得，结合是递增数列，可确定，即可判断选项正误.
【详解】设等比数列公比为，由题有：，
则
或.
因是递增数列，则这种情况不满足题意；
则.
故选：C
3．(24-25高二下·广东惠州光正实验学校·期中)（多选）若成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】由成等比数列，求出公比，由此能求出结果.
【详解】成等比数列，
当时，；
当时，.
故选：BD.
4．(24-25高二下·广东深圳·期中) （多选）已知等比数列的前项和为，公比，，则（ ）
A． B．
C． D．数列是公比为4的等比数列
【答案】ACD
【分析】首先求出，再由等比数列通项公式及求和公式判断B、C，由等比数列的定义判断D.
【详解】因为，，所以，即A正确；
易知，可知B错误；
将首项和公比代入可得，故C正确；
又，，故数列是首项为，公比为的等比数列，故D正确．
故选：ACD
5．(24-25高二下·广东江门新会第二中学·期中)已知数列满足，且，则数列的前四项和的值为________
【答案】/
【分析】利用等比数列的前n项和公式即可求得结果.
【详解】因为，且，所以数列为以2为首项，为公比的等比数列，
所以，
故答案为：
1．(24-25高二下·广东广州南沙东涌中学·期中)已知等差数列的公差，，且，，成等比数列，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】把，，用基本量和表示，再利用等比中项的性质，即可解出b.
【详解】解：由，，成等比数列，得，即，又，即，化简得，又因为，所以．
故选：B.
【点睛】本题考查等差数列、等比数列的性质，属于基础题。
2．(24-25高二下·广东佛山S6高质量发展联盟·期中)在等比数列中，，，则与的等比中项为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等比中项的性质进行求解即可.
【详解】因为，，所以与的等比中项为.
故选：D
【点睛】本题考查了等比中项的性质，考查了数学运算能力.
3．(24-25高二下·广东江门新会第二中学·期中)各项均为正数的等比数列中，，，则（ ）
A．2 B．-2 C． D．
【答案】A
【解析】根据等比数列的等比中项可得选项.
【详解】因为各项均为正数的等比数列中，，，所以，所以（负值舍去）
故选：A.
4．(24-25高二下·广东肇庆端州区端州中学·期中)在等比数列中，是方程两根，若，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．9
【答案】D
【分析】根据等比数列性质可得,再由根与系数的关系计算可得结果.
【详解】由是方程两根可得，
由等比数列性质可得，解得或（舍）；
所以.
故选：D
5．(24-25高二下·广东卓越教育发展联盟学校·)已知等差数列的首项和公差均不为0，且满足，，成等比数列，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据，，成等比数列求解出首项和公差的关系式，然后根据等差数列的通项公式化简，由此即可求解出结果.
【详解】设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，
所以，
化简可得
，所以，
所以，
故选：D.
1．(24-25高二下·广东天天向上联盟·期中)等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．24 B．12 C．24或－12 D．－24或12
【答案】A
【分析】根据等比数列片段和性质得到方程，求出，再检验即可；
【详解】解：因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，
因为，，所以，
解得或，因为，
所以，则．
故选：A
2．(24-25高二下·广东广州庆丰实验学校·期中)一个等比数列前项的和为48，前项的和为60，则前项的和为（ ）．
A．83 B．108 C．75 D．63
【答案】D
【分析】根据等比数列前项和的性质可求前项的和.
【详解】设等比数列前项和为，
因为等比数列前项的和为48且不为零，则成等比数列，
故，故，
故选：D.
3．(24-25高二下·广东广州衡美高级中学·期中)（多选）已知数列的前项和为，，，则（ ）
A．数列是等比数列
B．
C．
D．数列的前项和为
【答案】ACD
【分析】A选项，变形得到，故是公比为2的等比数列；C选项，结合A，利用等比数列求通项公式得到C正确；B选项，在C基础上，利用求出通项公式；D选项，先得到为公比为的等比数列，利用求和公式得到答案.
【详解】A选项，，
其中，所以是公比为2的等比数列，A正确；
C选项，由A知，，所以，C正确；
B选项，当时，，
当时，，
显然满足，故，B错误；
D选项，，故，
即为公比为的等比数列，且，
所以的前项和为，D正确.
故选：ACD
4．(24-25高二下·广东普宁兴文中学·期中) （多选）若为数列的前项和，且，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．是等比数列 D．是等比数列
【答案】ACD
【分析】由与关系可得出数列的通项公式，再对选项逐一判断即可.
【详解】当时，，
当时，由有，
所以，
所以数列时以为首项，2公比的等比数列，故C正确；
，故A正确；
由，故B错误；
因为，所以是等比数列，故D正确.
故选：ACD.
5．(24-25高二下·广东广州第二中学教育集团·期中) （多选）已知数列满足，，，则（ ）
A．121是数列中的项 B．
C．是等比数列 D．存在，
【答案】ABC
【分析】由递推关系式可知，通过构造等比数列可求得数列的通项公式为，即可计算并判断出ABC正确；再利用不等式进行放缩可得出对于任意的，，可得D错误.
【详解】由可得，，又，
所以是首项为，公比为3的等比数列，即C正确；
所以，由等比数列通项公式可得，即；
当时，，所以121是数列中的第五项，即A正确；
由可得，；即B正确；
易知，当时，，
所以，当时，；
当时，，
即对于任意的，，所以不存在，，
即D错误.
故选：ABC
1．(24-25高二下·广东江门新会第二中学·期中)已知数列满足，.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式及前n项和
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将变形为，然后利用等比数列定义证明即可；
（2）由（1）可知，然后结合等比数列求和公式，利用分组求和思想求解即可.
【详解】（1）因为，所以，即，
又因为，所以，，
所以，故数列是以首项为3，公比为3的等比数列.
（2）由（1）可知，，即，
所以
.
2．(24-25高二下·广东江门鹤山鹤华中学·期中)记数列的前项和为，已知.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记，求数列的前项和为.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由数列的前项和，结合与的关系，求得，进而得到，即可得证；
（2）由（1）求得，结合乘公比错位相减法求和，即可求解.
【详解】（1）解：因为数列的前项和，
当时，可得，
当时，可得，
经检验当时也成立，所以，
则，且，
所以数列是首项为，公比为等比数列．
（2）解：由（1）知：，可得，
所以，
则，
两式相减，可得，
即 ．
3．(24-25高二下·广东中山杨仙逸中学·期中)已知数列满足：，（n≥2）．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式及其前n项和的表达式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由递推关系构造数列再由等比数列的定义可证明；
（2）由（1）求出数列的通项，再由等比数列的求和公式可证明.
【详解】（1）由题得，，
，，
所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列.
（2）由（1）得，，即，
所以前n项和.
4．(24-25高二下·广东广州第二中学教育集团·期中)已知数列满足，且，数列满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明为等差数列；
(3)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)，
【分析】（1）利用累加法结合条件即可求得，验证首项即得通项公式；
（2）由已知数列递推式，利用等差数列定义即可证明；
（3）先求出的解析式，按照和分类裂项相消求和即可.
【详解】（1）由，可得，，且，
则当时，
.
又时也满足上式，故.
（2）∵，∴，
∴是公差为1，首项为1的等差数列.
（3）由（2）得，即.
当时，
数列的前n项和
.
当时，
数列的前n项和
.
所以，.
5．(24-25高二下·广东江门广雅中学等校·期中)已知数列的前n项和为，且.
(1)求；
(2)求的通项公式，并证明为等差数列；
(3)若，求.
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）令即可求解；
（2）通过作差法即可求的通项公式，再由通项公式结构可证等差数列；
（3）由裂项相消法求和即可.
【详解】（1）令可得：，
即
（2）由，
可得：，
两式相减可得：，，
当时，不满足，
所以的通项公式为，
令，所以，
由的通项公式可得：，
由通项公式可知：。
所以为等差数列；
（3）由（2）知，当时，
，
所以
1．(24-25高二下·广东江门新会第二中学·期中)设为等差数列的前n项和，若.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和，并求当n为何值时，数列前n和最大，求其最大值；
(3)若数列的通项公式，求证：
【答案】(1)
(2)，，最大值为16
(3)证明见解析
【分析】（1）设等差数列的公差为d，由等差数列前n项和基本量运算得，代入通项公式求解即可.
（2）法一：根据等差数列是递减数列，且，即可得为的最大值；
法二：，利用二次函数性质求解最大值即可.
（3）先利用裂项相消法求和，然后利用证明即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，由题意得：
所以，解得，
所以；
（2）法一：由得，又等差数列的公差，
所以等差数列是递减数列，因为，所以等差数列前4和最大，
此时；
法二：因为，
所以当时，取到最大值.
（3）
，
因为，所以，即.
2．(24-25高二下·广东深圳·期中)已知等差数列的首项，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，为数列的前n项和，若，求正整数n的值．
【答案】(1)
(2)16
【分析】（1）设等差数列的公差为d，结合条件列出方程，利用等差数列的基本量运算求出，即可求得其通项；
（2）写出数列的通项公式，利用裂项相消法求得，依题解方程即得正整数n的值即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，依题意，，因，
则，解得，所以，
故数列的通项公式为．
（2）由（1）知，则，
所以．
由，即，解得，
故满足的正整数n的值为16．
3．(24-25高二下·广东佛山南海区·)已知是首项为1的等比数列，数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件得到方程，求出公比，从而得到通项公式；
（2）先得到，裂项得到，进而求和即可.
【详解】（1）设的公比为，根据题意，当时，．
即，解得．所以．
（2）因为，所以，
方程两边都除以得．
所以．
于是．
4．(24-25高二下·广东惠州光正实验学校·期中)已知等差数列的前n项和为，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的前项和公式可得，再由通项公式即可求解；
（2）由（1）可知，利用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）因为，，所以，
所以；
（2）因为，
所以，
所以
.
1．(24-25高二下·广东部分高中·期中)记为正项等比数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设正项等比数列的公比为，根据可构造方程求得，根据求得，进而求得的通项公式；
（2）由（1）可得，采用错位相减法即可求得结果.
【详解】（1）设正项等比数列的公比为，
因为，所以，所以．
又，
解得．
所以．
（2）由题知，
所以，
，
两式相减得．
所以．
2．(24-25高二下·广东部分学校·期中)已知数列满足，
(1)探究数列的单调性；
(2)求数列的前n项和
【答案】(1)当时，单调递增；当时，单调递减
(2)
【分析】（1）根据等比数列的定义写出通项公式，再应用作差法判断数列的单调性；
（2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求
【详解】（1）因为，且，
所以数列是首项为、公比为的等比数列，
故，即，且，
易得时，，即，数列单调递增，
时，，即，数列单调递减.
（2）由（1）可得，所以，，
两式相减得，
所以
3．(24-25高二下·广东广州天河中学·期中)已知数列的前项和为，．
(1)证明：数列为等比数列，并求数列的前项和；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析；；
(2)
【分析】（1）根据化简结合等比数列定义证明，再结合等比数列前n项和公式分组求和计算求解；
（2）先应用对数运算律化简，再应用错位相减法计算求解.
【详解】（1）数列的前项和为，，，
当时，，
当时，，
所以，
所以，
所以，所以，
所以数列是首项为3，以3为公比的等比数列，
所以，所以，
，
所以；
（2）因为，
所以，
设数列的前项和为，
，
，
，
，
，
，
所以.
4．(24-25高二下·广东深圳高级中学·期中)已知数列满足，．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的前项和；
(3)是否存在正整数m、n （m【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在,
【分析】（1）由等差数列的定义即可证明；
（2）由错位相减法代入计算，即可得到结果；
（3）根据题意，计算即可得到结果.
【详解】（1）证明：根据条件可得，
，
数列是以为首项，1为公差为等差数列.
（2） 数列为以为首项，1为公差的等差数列，
，
，
①，
②，
①-②得：，
.
（3），
当时 ，
当时 ，
当时 ，
又，即 ，
当且仅当时，有.
5．(24-25高二下·广东肇庆第六中学·期中)在公差不为0的等差数列中，且，数列的前项和为且
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，求得，得到等差数列的通项公式；再由数列的满足，结合，得到，结合等比数列的通项公式，求得数列的通项公式；
（2）由（1）得到，结合乘公比错位法求和，即可求得数列的前项和.
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，
由，可得，
因为，解得，所以，
又由数列的前项和为，满足
当时，可得，即，可得；
当时，，
两式相减得，整理得，即，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.
（2）解：由（1）知：，，可得，
所以，
则，
两式相减，可得
，
所以，即数列的前项和为.
1．(24-25高二下·广东江门新会区第一中学·期中)两个数列，，，已知数列为等比数列且，数列的前项和为，又满足.
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据条件，直接求出数列公比，即可求出数列通项公式；再利用与间的关系，即可求出的通项公式；
（2）利用（1）中结果，再利用等差、等比数列的前项和公式，分组求和，即可求解.
【详解】（1）因为数列为等比数列，设数列的公比为，
又，，所以，解得，所以，
又数列的前项和为①，
当时，②，由①②得到，
又，，所以，则，满足，
所以.
（2）由（1）知，
所以.
2．(24-25高二下·广东肇庆封开县南丰中学·期中)在递增的等比数列中，，且是和的等差中项.
(1)求的通项公式；
(2)若求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件求出，结合可得公比，由此计算可得数列的通项公式.
（2）利用分组求和法可得.
【详解】（1）∵是和的等差中项，∴，
∵，∴，解得，故.
设等比数列的公比为，则，解得或（舍），
∴，
∴.
（2）由（1）得，
∴
.
3．(24-25高二下·广东汕头某校·期中)已知数列为等差数列，数列为正项等比数列，且满足，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用等差数列等比数列公式即可求解两个数列的通项；
（2）利用裂项相消法和等比数列求和公式即可求和.
【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为，
则，解得：，
所以数列的通项公式为；
数列的通项公式.
（2），
数列的前项和．
.
4．(24-25高二下·广东广州白云区广州空港实验中学·期中)已知数列满足，．
(1)证明为等比数列，并求的通项公式；
(2)设的前项和为，，证明：数列的前n项和小于．
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据条件利用配凑的方式，将数列配凑成数列第项与第项的等式关系，即可证明，利用等比数列的通项公式求出通项，再求出的通项公式；
（2）根据通项公式的特点，求出的表达式，进而求出的通项公式， 的通项公式，利用裂项相消法求前n项和，观察所求出来的式子可证明结果.
【详解】（1），
，
又，
是首项为，公比为的等比数列，
，
即．
（2）
．
所以．
所以，
数列的前n项和为．
故数列的前n项和小于.
5．(23-24高二下·广东顺德区北滘中学·期中)设是等差数列，是公比大于0的等比数列，已知，，．
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，根据题意建立方程组，求解即可；
（2）由，利用分组求和法求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，且．
依题意得，解得，所以或．
又因为，所以，所以，
故，．
（2），
．
1．(25-26高二上·重庆江北中学校·月考)数列满足，则（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据数列的递推关系可求
【详解】因为，故为奇数，故，
而为偶数，故，因为为偶数，故.
故选：B.
2．(24-25高二下·广东佛山南海区·)已知数列的通项公式为，则（ ）
A．34 B．36 C．38 D．40
【答案】D
【分析】根据数列的通项公式代入求解即可.
【详解】．
故选：D.
3．(24-25高二下·广东佛山H7联盟·)（多选）已知是数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是等比数列
B．
C．数列是等比数列
D．若恒成立，则的取值范围为
【答案】ABD
【分析】根据数列的递推公式可证明A正确；由等比数列通项公式计算可得B正确；采用分组求和以及等比数列前项和公式计算可得C错误；对为奇数和偶数进行分类讨论，再结合数列单调性解不等式即可求得D正确.
【详解】对于A，由题可知，则，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，A正确；
对于B，，
，B正确；
对于C，，
所以
，
则，
故不是等比数列，C错误.
对于D，由题可知
易知当为奇数时，单调递增且；当为偶数时，单调递减，且；
若恒成立，则当为奇数时，，所以；
当为偶数时，，所以.
综上，的取值范围为，D正确.
故选：ABD.
4．(24-25高二下·广东江门新会区第一中学·期中)在数列中，，，且对任意的，都有，则的通项公式为______；若，则数列的前项和______.
【答案】
【分析】由，可得，即是等比数列，可求得，变形为，即可得到是等差数列，可求得，从而求得；，利用分组求和以及等差等比前项和公式，先求出为正偶数时的表达式，再求为正奇数时的表达式，即可得到.
【详解】因为，，所以.
因为，所以，
又，则有 ，
所以，
所以是以4为首项，2为公比的等比数列.
所以，
所以，
又，所以是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，所以.
由题意可得 ，
则的奇数项为以为首项，为公比的等比数列；偶数项是以为首项，为公差的等差数列.
所以当为偶数，且时，
；
当为奇数，且时，为偶数，
.
时，，满足.
所以，当为奇数，且时，有.
综上，.
故答案为：；
【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加法、累积法求通项的方法分析、探讨项与项之间的关系而解决问题.
5．(24-25高二下·广东佛山顺德区第一中学·期中)已知数列的前项和为，且．
(1)求、、的值．
(2)求数列的通项．
(3)求数列的前项和．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】（1）根据递推公式代入计算求解；
（2）分奇偶两种情况，当为奇数时，当为偶数时，应用分别求出通项公式；
（3）应用裂项相消法计算求解.
【详解】（1）由条件知，
，．
（2）当为奇数且时，，也符合，
所以当为奇数时，；
当为偶数时，；
所以数列
（3）由题可知，所以，
所以数列的前项和为
1．(24-25高二下·广东深圳红岭中学·期中)（多选）已知数列满足，记分别为数列的前项和，则（ ）
A． B．当时，
C． D．当时，
【答案】ACD
【分析】构造常数列求出数列判断A；利用等差数列前项和公式求解判断B；利用裂项相消法求和C；由单调性判断D.
【详解】对于A，数列中，由，得，因此数列是常数列，
，，A正确；
对于B，数列为等差数列，，显然是递增数列，
当时，，B错误；
对于C，，，
因此，C正确；
对于D，当时，，而数列是递增数列，
则，因此，D正确.
故选：ACD
2．(24-25高二下·广东广州协和学校等三校·期中)已知数列满足，且；数列的前n项和为，满足．
(1)求与的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，若对任意的正整数n，不等式恒成立．求实数的取值范围．
【答案】(1)；；
(2)
【分析】（1）利用等差数列的定义求出数列的通项公式；利用求出数列的通项公式；
（2）利用错位相减求和求出，转化为恒成立，设，判断出的单调性可得答案.
【详解】（1）因为，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以；
由知，当时，由得，
由得，
当时，，
可得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以；
（2）由（1），
，
，
两式相减得
，
所以，
则即恒成立，
即恒成立，
设，则，
当时，，当时，，
所以的最大值为，
所以.
3．(24-25高二下·广东广州第四中学等三校·期中)已知数列的前项和为，且
(1)求，并证明数列是等差数列；
(2)求数列的前项和为
(3)若，求正整数的所有取值．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
(3)可取1，2，3
【分析】（1）将代入即可得出.当时，由化简得出，根据定义法即可证明；
（2）由（1）得出，利用错位相减法即可得出；
（3）由（1）（2）得出，则.代入不等式化简可得出.构造函数，根据函数的单调性以及函数值，即可得出答案.
【详解】（1）当时，有，解得.
当时，有，
，
作差可得，
所以有，
所以有.
又，
所以数列为以为首项，为公差的等差数列，
所以.
（2）由（1）可知，，则.
所以， ，
则，
作差可得，
，
所以，.
（3）由（1）（2）可知，，.
所以，，.
由可得，，
整理可得.
令，
易知在上单调递增，在上单调递增，
所以，在上单调递增.
又，
，，，
所以，当时，有，
即在时不成立.
所以可取1，2，3.
4．(24-25高二下·广东江门新会区第一中学·期中)已知数列的首项，且满足.
(1)设，求证：数列为等比数列；
(2)设数列前n项和为，求；
(3)若，求满足条件的最大整数.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）化简已知条件，根据等比数列的定义即可证明结果；
（2）根据（1）的结论及等比数列的前和公式，即可求解；
（3）利用分组和求法以及数列的单调性，即可求得最大整数.
【详解】（1）由题意，数列满足，可得，
所以，又，所以，
则为常数，所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）知数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
（3）由（1）知，所以，
设数列的前项和为，
则
，
若，即，令，
则，
所以数列为递增数列，又，，
所以满足的最大整数的值为.
5．(24-25高二下·广东湛江·期中)已知为数列的前n项和，，.
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前n项的和为，，，求正整数的最小值.
【答案】(1)
(2)24
【分析】（1）根据题意，当时，，两式相减，求得，结合累乘法，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）得，结合裂项相消法，求得，得到不等式，进而求得的最小值.
【详解】（1）解：当时，，因为，
两式相减，可得，
所以，可得，
又因为，，…，，
累乘得，所以.
（2）解：由（1）知，可得，
所以，
所以，解得，故的最小值为24.
1．(24-25高二下·广东广州广东实验中学越秀学校·期中)已知数列的各项均为正数，且，对于任意的，均有， .若在数列中去掉的项，余下的项组成数列，则（ ）
A．599 B． C．554 D．568
【答案】D
【分析】先由与的递推关系式推出的通项公式，进而得到的通项公式，然后根据与的通项公式，找出它们相同的项，从而可求的前20项的和.
【详解】因为，所以，又因为，所以，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即，
所以，，
所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，即，
所以，，
由得，所以，
所以
.
故选：D.
2．(24-25高二下·广东肇庆第六中学·期中)（多选）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，是数列的前项和.以下说法正确的是（ ）
A． B．是数列的第8项
C．当时，最大 D．是公差为的等差数列
【答案】ABC
【分析】根据题意，求得，结合题意，得到数列的通项，结合等差数列的求和公式，逐项判定，即可求解.
【详解】由等差数列的首项，公差，可得，
对于A中，根据题意，可得，，所以公差为，
所以数列的通项公式为，所以A正确；
对于B中，由，令，解得，所以B正确；
对于C中，令，解得，
所以或时，取得最大值，所以C正确；
对于D中，由，可得，
则，
所以是公差为的等差数列，所以D错误.
故选：ABC.
3．(24-25高二下·广东佛山顺德区第一中学·期中)已知数列的前项和，数列的前项和，将与的公共项由小到大排列构成新数列，则数列的前5项和等于_____．
【答案】682
【分析】分别求出数列和的通项，再把它们的公共项求出来即可.
【详解】当时，，
当时，，
当时，满足上式，所以，
同理可求得，
设的第项与的第项相等，则，即，，
当时，，当时，，则，
当时，，当时，，则，
当时，，当时，，则，
当时，，当时，，则，
当时，，当时，，则，
故数列的前5项和等于．
故答案为：
4．(24-25高二下·广东部分高中·期中)设数列满足，且．用模取余运算：表示“整数除以整数，所得余数为整数”，如．设其中，则______；数列的前项和为，则______
【答案】 16 219
【分析】列举出数列的各项，则各项除以4所得余数组成以6为周期的周期数列，得，分类讨论为或不为6的整数倍，求出对应的，即可求出；结合等差、等比数列前项求和公式计算即可求解.
【详解】由，且得，
，
所以数列各项除以4的余数为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，
则各项除以4所得余数组成以6为周期的周期数列，
所以，
当为6的整数倍时，；
当不为6的整数倍时，，所以；
当时，
，
故．
故答案为：16；219
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