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专题01 导数及其应用
10大高频考点概览
考点01 导数的概念与极限求值
考点02 导数的运算
考点03 导数中的切线问题
考点04 导数中由单调性求参数范围
考点05 导数中由极值极值点求参数范围
考点06 导数中由最值求参数或求最值
考点07 导数的单调性极值最值综合
考点08 导数研究函数的零点与极值点
考点09 导数研究不等式的恒成立问题
考点10 导数的综合题型
1．(24-25高二下·福建部分名校·期中)若函数满足，，则（ ）
A． B． C．2 D．8
2．(24-25高二下·福建莆田第二中学·期中)设函数在点处可导，且，则的值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
3．(24-25高二下·福建福州八县联盟校·期中)函数在处可导，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
4．(24-25高二下·福建莆田莆田第九中学·期中)已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为__________.
5．(24-25高二下·福建福州第十一中学·期中)设为上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A． B． C．1 D．
6．(24-25高二下·福建龙岩一级校·期中)设函数满足，则（ ）
A．1 B．2 C． D．3
7．(24-25高二下·福建福清·期中)已知函数，为的导函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．(24-25高二下·福建厦门泉州五校·期中)已知函数，且，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
9．(24-25高二下·福建部分名校·期中)下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．(24-25高二下·福建莆田秀屿区实验中学·期中)已知函数，则________
11．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期中)下列求导运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．(24-25高二下·福建三明五县联盟·期中)下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．(24-25高二下·福建福清·期中)已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
14．(24-25高二下·福建三明五县联盟·期中)已知函数，若直线在点处与曲线相切，则直线的方程为______.
15．(24-25高二下·福建福州第十一中学·期中)函数在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A．0 B．1 C． D．e
16．(24-25高二下·福建厦门双十中学·期中)若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
17．(24-25高二下·福建漳州第三中学·期中)若函数和的图象分别分布在某直线的两侧（函数图象与直线没有公共点），则称该直线为函数和的“隔离直线”.已知，，若和在公共定义域上存在“隔离直线”，则该“隔离直线”的斜率取值范围为______.
18．(24-25高二下·福建部分优质高中·)函数与函数公切线的斜率为（ ）
A．或 B． C．或 D．或
19．(24-25高二下·福建三明永安九中、宁化六中、金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)定义:记函数的导函数为，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数；若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数，已知函数，若为区间的凸函数，实数的取值范围是 ______________
20．(24-25高二下·福建福清·期中)已知函数是增函数，则实数的最小值为（ ）
A．-4 B．-2 C．0 D．2
21．(24-25高二下·福建漳州华安一中·期中)已知函数，在其图象上任取两个不同的点、（），总能使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
22．(24-25高二下·福建福州第三中学·期中)若函数在区间上单调递增，则实数b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
23．(24-25高二下·福建部分名校·期中)已知函数在定义域内单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
24．(24-25高二下·福建泉州中远学校·)已知若对任意的正实数，满足当时，恒成立，则实数的取值范围为________．
25．(24-25高二下·福建漳州龙海区港尾中学·期中)若函数在处取得极大值，则（ ）
A． B． C． D．
26．(24-25高二下·福建漳州华安一中·期中)若函数在处有极值10，则________．
27．(24-25高二下·福建漳州龙文区第一中学·期中)函数在处有极小值5，则（ ）
A． B． C．或 D．或3
28．(24-25高二下·福建厦门外国语学校（海沧校区）·期中)若在上的极大值大于1，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
29．(24-25高二下·福建漳州华安一中·期中)已知函数在及处取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)求函数在处的切线方程；
30．(24-25高二下·福建漳州龙文区第一中学·期中)已知函数在处取得极值，其图象在点处的切线与直线平行．
(1)求的值；
(2)若对任意，都有恒成立，求的取值范围．
31．(24-25高二下·福建福州八县联盟校·期中)已知函数在上的最大值为，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
32．(24-25高二下·福建厦门泉州五校·期中)已知函数，.
(1)若为的极值点，求的单调区间和最小值；
(2)是否存在实数，使得的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
33．(24-25高二下·福建福清·期中)已知函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)已知函数在区间上的最小值为，求在该区间上的最大值.
34．(24-25高二下·福建德化第二中学·期中)已知为实数，
(1)求导数；
(2)若是的极值点，求在上的最大值和最小值.
35．(24-25高二下·福建德化第二中学·期中)已知函数.
(1)若点是函数上任意一点，求点到直线的最小距离；
(2)当时，求证函数的图象位图象的上方.
36．(24-25高二下·福建福州福九联盟（高中）·期中)“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将化成，的变形技巧，已知函数，，若，则的最小值为__________
37．【多选题】(24-25高二下·福建三明永安九中、宁化六中、金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)关于函数，下列判断正确的是（ ）
A．函数的极小值是2
B．函数在上有唯一零点
C．存在实数，使得成立
D．对任意两个正实数，且，若，则
38．【多选题】(24-25高二下·福建福清·期中)设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在，使得为曲线的对称轴
D．存在，使得点为曲线的对称中心
39．(24-25高二下·福建厦门双十中学·期中)已知函数．
(1)求的极值，并画出函数的大致图象；
(2)求出方程（）解的个数；
(3)若恒成立，求实数的取值范围．
40．【多选题】(24-25高二下·福建漳州龙海区港尾中学·期中)已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若的图象与轴相切，则
B．若，则没有极值
C．若有最大值，则
D．若，且，则
41．(24-25高二下·福建三明、南平等六地六校·期中)已知函数，e是自然对数的底数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围.
42．(24-25高二下·福建莆田第一中学·期中)已知函数.
(1)求函数的最小值；
(2)若，，证明.
43．(24-25高二下·福建莆田第二中学·期中)已知三次函数过点，且函数在点处的切线恰好是直线．
(1)求函数的解析式；
(2)设函数，若函数在R上有三个不同零点，求实数的取值范围．
44．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期中)已知，
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在上单调递减，求实数的取值范围；
(3)若在区间和内各恰有一个零点，求实数的取值范围.
45．(24-25高二下·福建三明五县联盟·期中)已知函数，.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若，求的取值范围；
(3)若有两个实数解，，证明：.
46．【多选题】(24-25高二下·福建泉州安溪一中、惠安一中、养正中学、泉州实验中·期中)设函数，则下列说法正确的有（ ）
A． B．若方程有唯一的解，则
C． D．若，则
47．【多选题】(24-25高二下·福建福州第一中学·期中)已知函数有唯一零点，则（ ）
A． B．
C．函数有三个极值点 D．函数有唯一极值点
48．(24-25高二下·福建厦门外国语学校（海沧校区）·期中)已知函数.
(1)若函数的极值点在内，求的取值范围；
(2)若有两个零点，求正实数的取值范围.
49．(24-25高二下·福建漳州龙海区港尾中学·期中)若函数在区间上有两个零点，则常数的取值范围为__________．
50．【多选题】(24-25高二下·福建福宁古五校教学联合体·期中)已知函数，则（ ）
A．导函数有无数个零点
B．有无数个零点
C．当时，在上存在极小值点，无极大值点
D．当时，是图象的一条切线
51．(24-25高二下·福建泉州科技中学·)恒成立，则的取值范围是________.．
52．(24-25高二下·福建福清·期中)已知函数，
(1)若函数在点处的切线与直线互相垂直，求实数的值；
(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
53．(24-25高二下·福建厦门杏南中学·期中)已知函数在处取到极值.
(1)求实数的值；
(2)求函数在上的最值；
(3)若恒成立 ，求实数的取值范围.
54．(24-25高二下·福建福州第三中学·期中)已知函数．
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调区间；
(3)当时，关于x的不等式恒成立，求整数a的最大值．
55．(24-25高二下·福建厦门泉州五校·期中)已知对任意，不等式恒成立，则的最小值是______.
56．(24-25高二下·福建厦门杏南中学·期中)已知函数，若在处的切线斜率为，则____________；若恒成立，则的取值范围为____________________
57．(24-25高二下·福建莆田第二中学·期中)已知函数．
(1)当时，求的最小值；
(2)求函数的极值；
(3)当时，不等式在上恒成立，求整数的最大值．
58．(24-25高二下·福建厦门泉州五校·期中)已知函数（）.
(1)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
(2)若，求证：.
59．(24-25高二下·福建三明六校·期中)已知函数.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
60．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期中)已知，
(1)讨论的单调性；
(2)，，求实数的取值范围.
61．【多选题】(24-25高二下·福建三明六校·期中)“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧.如图所示，在点处的切线为.易知，除切点外，图象上其余所有的点均在的上方，故有.显然，选择的切点不同，所得不等式也不同.请根据以上材料，判断下列命题中正确的命题是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
62．(24-25高二下·福建漳州第三中学·期中)已知函数 ，.
(1)求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数单调性；
(3)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围.
63．(24-25高二下·福建福宁古五校教学联合体·期中)已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，在上恒成立，求整数的最大值．
64．(24-25高二下·福建福宁古五校教学联合体·期中)已知函数恒成立，实数的取值范围为____．
65．【多选题】(24-25高二下·福建福州福九联盟（高中）·期中)对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为；
B．有两个零点；
C．若点是函数图象上的动点，则点到直线距离的最小值为
D．若恒成立，则
66．(24-25高二下·福建福清·期中)已知函数，其中.
(1)当时，求出函数的极值并判断方程的解的个数；
(2)当时，证明：对于任意的实数，都有.
67．(24-25高二下·福建师范大学附属中学·期中)已知函数
(1)求的零点个数；
(2)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称.
（i）证明：当时，；
（ii）如果一条平行轴的直线与函数的图象相交于不同的两点和，试判断线段的中点是否属于集合，并说明理由.
68．(24-25高二下·福建福州八县联盟校·期中)在计算机图形学中，若某曲线在内具有“单侧光反射”特性（即存在一条基准线，曲线在该区间内始终上升，并且与基准线在某一点处相切），则称该曲线为“光洁曲线”.曲线对应的函数为“光洁函数”，即函数在上单调递增，此时称为“超光洁函数” ．
(1)若是“超光洁函数”，求的取值范围；
(2)已知光洁曲线的一条基准线与曲线相切，求的方程；
(3)若，，，.证明：.（可用结论：当时，）
69．(24-25高二下·福建龙岩一级校·期中)已知定义在区间D上的函数，，若，，存在一个正实数M，满足，则称是的“M—陪伴函数”．
(1)已知，判断函数是否为函数的“M—陪伴函数”，并说明理由；若是，求M的最小值．
(2)证明：在同一给定闭区间上的函数是函数的“M—陪伴函数”．
(3)已知，若函数是函数的“3—陪伴函数”，求实数m的取值范围．
70．(24-25高二下·福建福宁古五校教学联合体·期中)牛顿法（Newton sMethod）是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线的方程为．若，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值．再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标，记为，称为的二阶近似值．重复以上过程，得的近似值序列：．根据已有精确度，当时，给出近似解．
已知函数．
(1)若给定，求方程的二阶近似值；
(2)求曲线在点处的切线方程，并证明；
(3)若关于的方程的两个根为，证明：．
71．(24-25高二下·福建三明沙县区三明北附高级中学·期中)已知函数
(1)当时，求函数的极大值；
(2)若对任意的，都有成立，求的取值范围；
(3)设，对任意的，且，证明：恒成立．
72．(24-25高二下·福建漳州华安一中·期中)函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降，但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性，函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下：设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凹的（图1），区间为凹的区间；设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凸的（图2），区间为凸的区间.

关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理：设在区间上连续，在区间上具有一阶和二阶导数，那么①如果在上恒有，则在区间上的图象是凹的；如果在区间上的图象是凹的，则在上恒有；②如果在上恒有，则在区间上的图象是凸的；如果在区间上的图象是凸的，则在上恒有；其中是的导函数，为的一阶导数；是的导函数，为的二阶导数.根据以上内容，完成如下问题：
(1)试判断函数图象是凹的还是凸的，用定理证明；
(2)已知函数，求的凹的区间和凸的区间；
(3)若时，恒成立，求实数的取值范围.
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专题01 导数及其应用
10大高频考点概览
考点01 导数的概念与极限求值
考点02 导数的运算
考点03 导数中的切线问题
考点04 导数中由单调性求参数范围
考点05 导数中由极值极值点求参数范围
考点06 导数中由最值求参数或求最值
考点07 导数的单调性极值最值综合
考点08 导数研究函数的零点与极值点
考点09 导数研究不等式的恒成立问题
考点10 导数的综合题型
1．(24-25高二下·福建部分名校·期中)若函数满足，，则（ ）
A． B． C．2 D．8
【答案】A
【分析】由导数的定义及极限的运算即可求解.
【详解】∵
，∴，，
故选：A.
2．(24-25高二下·福建莆田第二中学·期中)设函数在点处可导，且，则的值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用极限的运算法则，即可求解.
【详解】由，
因为，所以.
故选：B.
3．(24-25高二下·福建福州八县联盟校·期中)函数在处可导，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据导数的定义，变形后，即可求解.
【详解】，故，
由导数的定义可知，.
故选：B
4．(24-25高二下·福建莆田莆田第九中学·期中)已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为__________.
【答案】
【分析】由导数的定义即可求解.
【详解】，
所以，
故答案为：
5．(24-25高二下·福建福州第十一中学·期中)设为上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】利用导数定义以及导数的几何意义计算即可.
【详解】易知曲线在点处的切线斜率为，
所以.
故选：D
6．(24-25高二下·福建龙岩一级校·期中)设函数满足，则（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】D
【分析】利用导数的定义即可求值.
【详解】由导数的定义可得，
.
故选：D
7．(24-25高二下·福建福清·期中)已知函数，为的导函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据求导公式求出函数的导函数，再将代入导函数中，从而求得的值.
【详解】对求导可得： ，
将代入导函数中，可得：.
综上，.
故选：C.
8．(24-25高二下·福建厦门泉州五校·期中)已知函数，且，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】通过函数求导代入即可求得参数值.
【详解】∵，∴，解得：.
故选：C.
9．(24-25高二下·福建部分名校·期中)下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出求导公式、导数运算法则逐项求解判断.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，D错误.
故选：C
10．(24-25高二下·福建莆田秀屿区实验中学·期中)已知函数，则________
【答案】
【分析】先求出导函数，再赋值即可解出的值.
【详解】由可得导函数，
令可得，解得.
故答案为：.
11．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期中)下列求导运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用求导公式及导数运算法则逐项分析判断.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：D
12．(24-25高二下·福建三明五县联盟·期中)下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据基本函数的求导公式和求导法则，对每个选项逐一判断.
【详解】对于选项A：，A正确.
对于选项B：，B错误.
对于选项C：，C错误.
对于选项D：，D错误.
故选：A.
13．(24-25高二下·福建福清·期中)已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数几何意义求直线的斜率，进而确定倾斜角.
【详解】由得，则，即直线的斜率为，
根据直线倾斜角与斜率关系及其范围知：的倾斜角为.
故选：D
14．(24-25高二下·福建三明五县联盟·期中)已知函数，若直线在点处与曲线相切，则直线的方程为______.
【答案】
【分析】根据导数的几何意义求出切点处的导数值,再用直线点斜式方程写出即可.
【详解】,
所以,又,
所以切线方程为即,
故答案为: .
15．(24-25高二下·福建福州第十一中学·期中)函数在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A．0 B．1 C． D．e
【答案】A
【分析】求得切线斜率，结合垂直关系即可求解.
【详解】，
所以在点处的切线斜率为，
由题意可知，
解得：，
故选：A
16．(24-25高二下·福建厦门双十中学·期中)若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义，得出切线的斜率，代入点斜式方程，得出切线的方程，将原点坐标代入，整理得出.由题意可知，，求解即可得出答案.
【详解】设切点为，
由已知可得.
根据导数的几何意义可知，
切线的斜率为.
代入切线方程为，
整理可得.
又切线经过原点，
所以有，
整理可得.
因为曲线有两条过坐标原点的切线，
所以方程有两个不相等的实数解，
即有，解得或.
故选：B.
17．(24-25高二下·福建漳州第三中学·期中)若函数和的图象分别分布在某直线的两侧（函数图象与直线没有公共点），则称该直线为函数和的“隔离直线”.已知，，若和在公共定义域上存在“隔离直线”，则该“隔离直线”的斜率取值范围为______.
【答案】
【分析】利用导数的几何意义求得两个函数公切线的斜率，画出函数图象，结合图象可得“隔离直线”的斜率取值范围.
【详解】
由题意和的公共定义域为，结合大致图象可知，在上，.
设直线，直线与在上的图象切于点，与在上的图象切于点，
，，则，
则，且，联立解得，，
所以公切线的斜率，结合图象可知，“隔离直线”的斜率的取值范围为.
故答案为：.
18．(24-25高二下·福建部分优质高中·)函数与函数公切线的斜率为（ ）
A．或 B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】设出两曲线的切点坐标，利用导数的几何意义以及利用两点间的斜率公式构造方程即可求得斜率.
【详解】不妨设公切线与函数的切点为，与函数的切点为，
易知，，
因此公切线斜率为，因此，
可得，即，
又易知，整理可得，
即，即，解得或，
因此可得斜率为或，
故选：C.
19．(24-25高二下·福建三明永安九中、宁化六中、金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)定义:记函数的导函数为，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数；若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数，已知函数，若为区间的凸函数，实数的取值范围是 ______________
【答案】
【分析】利用凸函数定义利用导数求得函数的单调性，解不等式即可求得实数的取值范围.
【详解】由题意得，则在上单调递减，
令，则，
则，则，故，
令，则，
故在上单调递增，故，
则，故，
故实数的取值范围为.
故答案为：
20．(24-25高二下·福建福清·期中)已知函数是增函数，则实数的最小值为（ ）
A．-4 B．-2 C．0 D．2
【答案】B
【分析】求出函数的导数，利用导数不小于0建立不等式并分离参数求出最大值即可.
【详解】函数是增函数，由，得，
由，求导得，
由函数在上单调递增，得，，
而，则，
所以实数的最小值为.
故选：B
21．(24-25高二下·福建漳州华安一中·期中)已知函数，在其图象上任取两个不同的点、（），总能使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】等价变形给定不等式，构造函数，利用导数及函数单调性求出范围.
【详解】由及，得，
令函数，有，，
则函数在上为增函数，，，
当时，，当且仅当时取等号，则，
所以实数的取值范围是.
故选：A
22．(24-25高二下·福建福州第三中学·期中)若函数在区间上单调递增，则实数b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数单调递减得出导函数恒非负，再分离参数结合三角函数值域计算求参.
【详解】由题意在上恒成立，
所以，又时，是减函数，（时取得），
所以．
故选：C.
23．(24-25高二下·福建部分名校·期中)已知函数在定义域内单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，再结合二次函数的性质计算可得.
【详解】的定义域为，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，因为函数，
所以当时取得最大值9，
所以，即的取值范围是.
故选：D.
24．(24-25高二下·福建泉州中远学校·)已知若对任意的正实数，满足当时，恒成立，则实数的取值范围为________．
【答案】
【分析】变形给定恒成立的不等式，构造函数，结合已知可得函数在上单调递减，再利用导数列式求解.
【详解】由，得，即，
令函数，依题意，对任意的正实数，，
因此函数在上单调递减，在恒成立，
则在恒成立，而，于是实数的取值范围为．
故答案为：
25．(24-25高二下·福建漳州龙海区港尾中学·期中)若函数在处取得极大值，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出导函数，再根据导函数正负得出函数单调性，进而结合极大值求参数.
【详解】，
当时，单调递增；单调递减；单调递增；
所以处取得极小值，不合题意舍；
当时，单调递增；单调递减；单调递增；
所以处取得极大值，符合题意；
当时，单调递增，无极大值，不合题意舍；
所以．
故选：D.
26．(24-25高二下·福建漳州华安一中·期中)若函数在处有极值10，则________．
【答案】15
【分析】先求导，根据题意有解得，验证在处有极值10即可.
【详解】由题意有，由题意得，解得或，
当时，，，
故在上单调递增，无极值，舍去，
当时，，，
当或时，，当时，，
所以在处取得极小值，满足要求，此时．
故答案为：15.
27．(24-25高二下·福建漳州龙文区第一中学·期中)函数在处有极小值5，则（ ）
A． B． C．或 D．或3
【答案】A
【分析】根据极值点的导数为0和极值点处的函数值条件求出的值，再进行验证即可求解.
【详解】，由题意得，
即，解得或，
当时，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以时，取得极小值，符合题意；
当时，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，，
所以时，取得极大值，不符合题意；
所以，.
故选：.
28．(24-25高二下·福建厦门外国语学校（海沧校区）·期中)若在上的极大值大于1，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求导可得，即可得到与时，都单调无极值点，当时，结合隐零点问题，代入计算，即可得到结果.
【详解】，
当时，，在定义域上单调递减，无极值点，
当时，，在定义域上单调递增，无极值点，
当时，因为，，
而在单调递减，所以存在，使，
在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
于是是在上的极大值点，
此时，即，
由题意，，即，
设，则，
于是在上单调递增，又，
所以，.
故选：B.
29．(24-25高二下·福建漳州华安一中·期中)已知函数在及处取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)求函数在处的切线方程；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据极值点以及根与系数求得.
（2）利用切点和斜率即可求得切线方程.
【详解】（1）依题意，在及处取得极值，
而的两根为，，
所以，，
，，
此时，
所以在区间上，单调递增，
在区间上，单调递减，
所以及是极值点，符合题意.
所以.
（2）由（1）得，，
，，则切线方程为，
化简得，函数在处的切线方程为.
30．(24-25高二下·福建漳州龙文区第一中学·期中)已知函数在处取得极值，其图象在点处的切线与直线平行．
(1)求的值；
(2)若对任意，都有恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得，求出，并检验；
（2）原不等式等价于，对恒立，令，利用导数可求该函数的最大值后可得的取值范围.
【详解】（1）因为，
由题意可得，即，解得，
所以，
故当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，符合题意，
所以，.
（2）由，即，则，对任意，
令，则，
当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，，故，
所以，解得或.
所以的取值范围为.
31．(24-25高二下·福建福州八县联盟校·期中)已知函数在上的最大值为，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由解析式可得，求函数的导函数，分，，，结合导数分析函数在上的单调性，再结合条件确定的范围.
【详解】由可得，
函数，的导函数，，
若，当时，，函数在上单调递增，的最大值为，不符合题意；
若，当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
由函数在上的最大值为，可得，
所以，又，
所以；
若，当时，，函数在上单调递减，
函数在上的最大值为，满足条件，
所以时，函数在上的最大值为.
综上所述，的范围是.
故选：D.
32．(24-25高二下·福建厦门泉州五校·期中)已知函数，.
(1)若为的极值点，求的单调区间和最小值；
(2)是否存在实数，使得的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)的单调递增区间是，单调递减区间是；最小值为
(2)存在，
【分析】（1）由题意得出，求出的值，再利用导数分析函数的单调性与最值，即可得出结果；
（2）对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，结合可求出实数的值.
【详解】（1）因为函数，，则.
因为是极值点，所以，即，解得，此时.
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，所以，合乎题意.
因此函数的单调递增区间是，单调递减区间是，最小值为.
（2）因为函数，，则.
令，得，即.
①若，则，
当时，，在上单调递减，则.
令，解得，矛盾.
②若，，
当时，，当时，.
此时，函数在单调递减，在单调递增.
，令，解得，合乎题意.
综上，存在，使得的最小值为.
33．(24-25高二下·福建福清·期中)已知函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)已知函数在区间上的最小值为，求在该区间上的最大值.
【答案】(1)和.
(2).
【分析】（1）求出函数的导数，解导数小于0的不等式即可.
（2）由（1）求出函数在上的单调性，进而求出最值.
【详解】（1）函数的定义域为R，
求导得，由，得或 .
所以函数的单调递减区间是和.
（2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
因此函数在上的最小值为，解得，
而，，，
所以函数在上的最大值为.
34．(24-25高二下·福建德化第二中学·期中)已知为实数，
(1)求导数；
(2)若是的极值点，求在上的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用求导法则求导整理即得；
（2）先由极值点求得，对函数求导，得到函数的单调区间和极值点，结合区间端点的函数值比较，即得函数在给定区间上的最值.
【详解】（1）由求导得：；
（2）因是的极值点，故，解得，
则，，
因，由得或，由得，
则函数在和上单调递增，在上单调递减.
故当时，取得极大值，为，
当时，取得极小值，为，
又，
故.
35．(24-25高二下·福建德化第二中学·期中)已知函数.
(1)若点是函数上任意一点，求点到直线的最小距离；
(2)当时，求证函数的图象位图象的上方.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设与函数的图象相切于点，求导，解得，再利用点到直线的距离公式即可得出．
（2）构造新函数，求出的导函数，判断出在上恒成立，判断出递增，求出的最小值，判断出最小值大于0，判断出，判断出，得证．
【详解】（1）设与函数的图象相切于点，
因为，所以，
因为，解得，所以，
所以点到直线的最小距离为.
（2）令，，
所以，
因为时，，
所以在上单调递增，
所以，即，
所以当时，函数的图象位图象的上方.
36．(24-25高二下·福建福州福九联盟（高中）·期中)“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将化成，的变形技巧，已知函数，，若，则的最小值为__________
【答案】1
【分析】由，即，所以，函数在上单调递增，则，所以，令，设，利用导数求其最小值即可.
【详解】依题意：，即，
则，
设，则在恒成立，
所以函数在上单调递增，则，
，
令，显然在上单调递增，,
设，，
在区间上单调递减，在区间上单调递增，
.
故答案为：1.
37．【多选题】(24-25高二下·福建三明永安九中、宁化六中、金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)关于函数，下列判断正确的是（ ）
A．函数的极小值是2
B．函数在上有唯一零点
C．存在实数，使得成立
D．对任意两个正实数，且，若，则
【答案】BD
【分析】对于A，直接求导，由导数与单调性、极值的关系直接判断即可；对于B，求导得单调递减，结合零点存在定理即可求解；对于C，当x且趋于无穷大时，无限接近于0，也无限趋于0，从而也趋于0，由此即可判断；对于D，通过分析得知只需证明，进一步通过换元并构造函数即可得证．
【详解】对于A，因为，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极小值，所以A错误；
对于B，函数，则，
由于，
即在上恒成立，
所以函数在上单调递减，
又当时，，当时，，
所以函数在上有唯一零点，
即函数有且只有1个零点，故B正确；
对于C，由，
可得当x且趋于无穷大时，无限接近于0，也无限趋于0，
故不存在实数，使得成立，
即不存在实数，使得成立，C错误；
对于D，由得
要证，只要证，即证，
由于，故令，则，
故在上单调递增，
则，即成立，故成立，所以D正确．
故选：BD．
38．【多选题】(24-25高二下·福建福清·期中)设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在，使得为曲线的对称轴
D．存在，使得点为曲线的对称中心
【答案】ABD
【分析】对于A，利用导数确定函数的单调区间，求出极值即可判断；由当，可得，结合A，即可判断B；判断是否有解，即可判断C；求解，即可判断D.
【详解】解：对于A，因为，
令，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的极大值为，极小值为，
所以有三个零点，故A正确；
对于B，由A可知，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以是的极大值点，故B正确；
对于C，因为，
，
因为无解，
所以不存在，使得为曲线的对称轴，故C错误；
对于D，因为，
，
当函数关于点中心对称时，
则有点，
即，
所以，解得，
所以当时，函数的图象关于中心对称，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】结论点睛：函数关于对称，则有；函数关于中心对称，则有.
39．(24-25高二下·福建厦门双十中学·期中)已知函数．
(1)求的极值，并画出函数的大致图象；
(2)求出方程（）解的个数；
(3)若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)极小值，无极大值，作图见解析
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）对求导，令，结合导数符号判断极值，并结合的单调性、极值、最值等性质画出函数图象；
（2）利用数形结合易得的解的个数；
（3）构造函数，将原不等式转化为恒成立的问题，令，结合导数求出在的最小值，即得到的取值范围．
【详解】（1）由题意，由，得；由，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，无极大值；
由的单调性及，，，
当时，函数的图象在轴下方，随着的减小，的图象无限接近轴，
所以的大致图象如下．
（2）由（1）中函数图象可得，
当时，方程的解个数为0个；
当或时，方程的解个数为1个；
当时，方程的解个数为2个．
（3）由，可得，
即，进一步变形为，
令，则，
显然在上单调递增，所以恒成立，
即恒成立，令，，
，令，得，
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
所以，则，
即实数的取值范围是．
40．【多选题】(24-25高二下·福建漳州龙海区港尾中学·期中)已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若的图象与轴相切，则
B．若，则没有极值
C．若有最大值，则
D．若，且，则
【答案】ABD
【分析】由导数的几何意义解方程组可得A正确；由导分析可得B正确；求导分析单调性和最值可得C错误；极值点偏移问题，设，构造函数，求导分析单调性可得D正确.
【详解】对于A，的定义域为，且．
设的图象与轴相切于点，则，解得，故选项A正确；
对于B，若，则，所以是增函数，故没有极值，故选项B正确；
对于C，若有最大值，则．令，得．
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以有最大值．
令，得，故选项C错误；
对于D，若，则在单调递增，在单调递减．
因为，不妨设．
设，，则，
所以在单调递增，所以．
又，所以，即．
又，所以，
因为，，且在单调递减，所以，即．故选项D正确．
故选：ABD．
41．(24-25高二下·福建三明、南平等六地六校·期中)已知函数，e是自然对数的底数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求出导函数，分和分类讨论计算函数的单调性；
（2）把方程有两个不等实根转化为与有2个交点，结合导函数得出函数的单调性及最值，计算求出参数范围.
【详解】（1），，
若，则恒成立，所以在上单调递增，
若，，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
综上可知，时，的增区间是，
当时，的减区间是，增区间是；
（2）方程，显然当时，方程不成立，则，，
若方程有两个不等实根，即与有2个交点，
，
当时，，在区间和单调递减，
并且时，，当时，
当时，，单调递增，
时，当时，取得最小值，，
如图，函数的图象，
与有2个交点，则.
42．(24-25高二下·福建莆田第一中学·期中)已知函数.
(1)求函数的最小值；
(2)若，，证明.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出，分、讨论可得答案；
（2）根据转化为证明，构造函数、，利用导数判断可得的答案.
【详解】（1）函数的解析式为，则，
①当时恒成立，函数单调递增，无最值；
②当时，令，则，
当，函数单调递减，
当，函数单调递增，
在处取最小值，即，
函数的最小值为；
（2）若时，，
即证明，
因为，所以，则，
则只需证明，
令，则，
当即，，单调递增，
当即，，单调递减，
所以，可得，
令，则，
当， ，单调递减，
当，，单调递增，
所以，可得，
因为与取等号的条件不同，所以，
所以.
43．(24-25高二下·福建莆田第二中学·期中)已知三次函数过点，且函数在点处的切线恰好是直线．
(1)求函数的解析式；
(2)设函数，若函数在R上有三个不同零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算性质进行求解即可.
（2）根据函数的零点的定义，结合导数的性质，利用构造函数法进行求解即可.
【详解】（1），
由题意可知：；
（2）令，
设，
当或时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
所以的极大值是，极小值是，
且当时，，时，，
因为若函数在R上有三个不同零点，
故所求为.
44．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期中)已知，
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在上单调递减，求实数的取值范围；
(3)若在区间和内各恰有一个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）当时，求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）由题意可知对任意的恒成立，参变分离可得对任意的恒成立，利用导数求出函数在区间上的最小值，由此可得出实数的取值范围；
（3）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在定义域内的单调性，结合题意进行验证，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，则，所以，，
故当时，曲线在点处的切线方程为.
（2）因为，则对任意的恒成立，
参变分离得对任意的恒成立，
令，其中，则，
因为函数在区间上为增函数，此时，
即对任意的恒成立，
所以函数在上为减函数，故，
故实数的取值范围是.
（3）因为，可得，解得，
即函数的定义域为，且，
，
令，其中，则，
由可得或，列表如下：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以，函数的极大值为，
极小值为，且当时，
（i）当时，对任意的，，
此时，函数在上单调递减，则函数在只有一个零点，不合乎题意；
（ii）当时，对任意的，，
此时，函数在上单调递增，则函数在只有一个零点，不合乎题意；
（iii）当时，由图可知，存在、且，
当或时，；当时，.
所以，函数的单调递减区间为、，递增区间为，
因为函数在区间、内各有一个零点，
所以，，所以，，即，
当时，；当时，，
此时，函数在区间和上各有一个零点，合乎题意；
（iv）当时，在区间上只有一个零点，不合乎题意；
（v）当时，则存在、且，
当或时，；当时，.
此时，函数的增区间为、，减区间为，
因为，所以，函数在区间上单调递减，
故当时，，此时函数在区间上无零点，不合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是.
45．(24-25高二下·福建三明五县联盟·期中)已知函数，.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若，求的取值范围；
(3)若有两个实数解，，证明：.
【答案】(1)单调减区间为，单调增区间在为.
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数的正负求解原函数的单调区间；
（2）等价变形为，构造函数求最值即可；
（3）由（2）知方程要有两实数解，则，即，欲证，转化为证明即可，通过构造函数，利用函数的单调性来证明.
【详解】（1）（1）当时， ，则
令，
当时,在上单调递减，
当时,在上单调递增，
所以单调减区间为，单调增区间在为.
（2）由可知，，，
即在上恒成立，
设，，
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增，
所以时，取得最小值，最小值为，
由题意知，即，故的取值范围为；
（3）方程有两实数解，，
即有两实数解，不妨设，
由（2）知方程要有两实数解，则，即，
同时，，，
，则，在单调递减，
欲证，即证，，
等价于，即，
等价于，
整理得①，
令，①式为，又在单调递增，
故①式等价于，即，
令，，
当时，，在单调递增，
又，，即，
所以，则.
46．【多选题】(24-25高二下·福建泉州安溪一中、惠安一中、养正中学、泉州实验中·期中)设函数，则下列说法正确的有（ ）
A． B．若方程有唯一的解，则
C． D．若，则
【答案】AC
【分析】对于A，开六次方即可判断；对于B，先看方程有唯一的解时的范围，具体可以利用导数研究函数单调性，进而研究方程的根的情况；对于C，用分析可知，只需判断是否成立即可，构造函数结合导数即可判断；对于D，举反例即可判断.
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，令，由复合函数单调性可知，的单调性相同，
对求导得，，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
令，当从0的右边趋于0时，趋于负无穷，此时趋于0，
当趋于正无穷时，也趋于正无穷，注意到，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当从0的右边趋于0时，此时趋于，
当趋于正无穷时，也趋于正无穷，，
所以若方程有唯一的解，则或，故B错误；
对于C，要证，只需证明，
即只需证明，
令，求导得，
所以当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
所以，故C正确；
对于D， 取，满足，但不成立，故D错误.
故选：AC.
47．【多选题】(24-25高二下·福建福州第一中学·期中)已知函数有唯一零点，则（ ）
A． B．
C．函数有三个极值点 D．函数有唯一极值点
【答案】ABD
【分析】令，则，构造函数令，利用导数求出函数的单调区间及极值点，进而可判断AB；再利用导数结合极值点的定义即可判断CD.
【详解】令，则，
令，则，
令，则，
当时，，函数为增函数，
又，，
所以存在，使得，即，即，
当时，，，函数为减函数，
当时，，，函数为增函数，
又且时，，时，，
因为函数在上存在唯一零点，
所以，所以，故A正确；
所以，即，
即，所以，故B正确；
则，则，
令，则，
所以函数在上单调递增，
又，
所以存在，使得，
则当时，，即，
当时，，即，
所以函数有唯一极值点，故C错误，D正确.
故选：ABD.
48．(24-25高二下·福建厦门外国语学校（海沧校区）·期中)已知函数.
(1)若函数的极值点在内，求的取值范围；
(2)若有两个零点，求正实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用函数的极值点是其导数的零点，从而用求导思想来研究零点即可.
（2）利用函数零点即其图象与轴交点的横坐标，从而利用导数来判断单调性，即可数形结合求解.
【详解】（1）由，
则，
要使函数的极值点在内，
则在上有解，
即在上有解，则，解得，
即m的取值范围为.
（2）由，，
则，
因为，，令，得，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
又时，，时，，
要使有两个零点，则恒成立，
设，则，
所以函数在上单调递增，又，
则，解得.
综上所述，m取值的范围为.
49．(24-25高二下·福建漳州龙海区港尾中学·期中)若函数在区间上有两个零点，则常数的取值范围为__________．
【答案】
【分析】根据零点和方程实数根的关系，转化为函数与函数的图象在区间上有两个公共点，利用导数分析函数的性质，即可求解.
【详解】令，则．
因为函数在区间上有两个零点，
所以函数与函数的图象在区间上有两个公共点．
又，所以在单调递减，在上单调递增，
所以．又，，所以，
所以．
故答案为：
50．【多选题】(24-25高二下·福建福宁古五校教学联合体·期中)已知函数，则（ ）
A．导函数有无数个零点
B．有无数个零点
C．当时，在上存在极小值点，无极大值点
D．当时，是图象的一条切线
【答案】AC
【分析】对于A，转换为和的交点个数情况即可；对于B，转换为和的交点个数情况即可；对于C，通过分析可知只需研究的根的情况即可，进一步求导即可判断；对于D，分析可知只需判断是否等于1即可.
【详解】对于A，，当时，，
注意到的值域是，且它的图象是一条波浪起伏的曲线，如下图,
从而导函数有无数个零点，故A正确；
对于B，如图所示，
注意到的值域是，且它的图象是一条波浪起伏的曲线，
而显然是增函数，且当时，，
也就是说此时的图象与的图象才可能有交点，
由于区间长度有限，故交点个数必定有限，故B错误；
对于C，当且时，，，
当时，，
所以我们只需研究的根的情况即可，
设，
求导得，，
因为在上都单调递增，
所以在上单调递增，
注意到，
从而在上存在唯一的使得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以，因为，
所以存在唯一的使得，
当时，，当时，，
所以在时，单调递减，在时单调递增，
所以在上存在极小值点，无极大值点，故C正确；
对于D，当时，，注意到，且也经过点，
对求导得，，因为，故D错误.
故选：AC.
51．(24-25高二下·福建泉州科技中学·)恒成立，则的取值范围是________.．
【答案】≥
【分析】将不等式进行变换，构造新函数，求导判断单调性，求出最值，进而求得的范围.
【详解】因为，所以令，
则，即恒成立.
设，则.
当时，；当时，.
所以在单调递减，在上单调递增，
所以，
要使得不等式恒成立，则，解得.
故答案为：.
52．(24-25高二下·福建福清·期中)已知函数，
(1)若函数在点处的切线与直线互相垂直，求实数的值；
(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2) .
【分析】（1）根据导数几何意义，利用切线斜率可构造方程求得的值；
（2）对于分类讨论，构造函数结合导数判断函数单调性，求得参数的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为，
所以，
得，由，解得.
（2）由题意得，在上恒成立.
①当时，不等式可化为，
令，则，
当时， .
所以函数在上单调递增.
所以在处取得最小值 ，
故实数的取值范围.
②当 时，由得，
此时，不符合题意.
综上，的取值范围为 .
53．(24-25高二下·福建厦门杏南中学·期中)已知函数在处取到极值.
(1)求实数的值；
(2)求函数在上的最值；
(3)若恒成立 ，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)最小值为，最大值为
(3)
【分析】（1）求，再根据求出值，再检验即可；
（2）结合（1）可得在上的单调性，即可求最值；
（3）参变分离得出恒成立，通过构造函数研究其最小值即可.
【详解】（1）由题意知，，
因函数在处取到极值，则，解得，
此时，
令，得，令，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
故是函数的极值点，故符合题意.
（2）由（1）得在上单调递减，在上单调递增，
又，
则的最小值为，最大值为.
（3）由恒成立可得恒成立，
令，则，
令，则，
故当时 ，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
而，，且时 ，，
故当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，因此，
即实数的取值范围是.
54．(24-25高二下·福建福州第三中学·期中)已知函数．
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调区间；
(3)当时，关于x的不等式恒成立，求整数a的最大值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)-2
【分析】（1）求导确定切线斜率即可求解；
（2）求导得到，对分类讨论，可得单调区间；
（3）构造函数，，求导确定函数单调性，求得最值即可求解；
【详解】（1）定义域为，，
当时，，，
则曲线在点处的切线为．
（2）因为定义域为，，
当时，，所以在上单调递增；
当时，
x
0
极大值
综上：当时的单调递增区间是，无单调递减区间；
当时的单调递减区间为，单调递增区间为；
（3）依题知，恒成立，即恒成立，
设，
则，
当时，令，解得
x
0
极大值
则恒成立，
整理得．
设，，则恒成立，
所以在上单调递增，又且，
且，，
故整数a的最大值为．
55．(24-25高二下·福建厦门泉州五校·期中)已知对任意，不等式恒成立，则的最小值是______.
【答案】/
【分析】将不等式等价转化后，利用同构思想，设，通过求导判断其单调性，利用单调性将化成，即，设（），判断其单调性，求得，即可求得的最小值.
【详解】由可得，
两边同乘得（），
即.
构造函数，则有（*）.
，设，则，
当时，；当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，即，故得在单调递增，
则由（*）可得，得，即.
令（），则，
当时，；当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
则，故，即的最小值是.
故答案为：.
56．(24-25高二下·福建厦门杏南中学·期中)已知函数，若在处的切线斜率为，则____________；若恒成立，则的取值范围为____________________
【答案】
【分析】对函数求导，进而求导数值；法一：问题化为恒成立，利用导数求右侧的最小值，即可得；法二：由，应用导数及放缩法求参数范围.
【详解】，，则，
法一：恒成立，得，即，
令，则，
令，，得，则在上单调递增，
由指数函数与反比例函数，使得，
所以时，，时，，
即时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故有极小值，即最小值，
由，，则，即；
法二：，
令且，则，故在上单调递增，则，
由，则，在上，即在上单调递减，在上，即在上单调递增，
所以，即，
综上，，而，当且仅当，即时取“=”，
所以.
故答案为：；.
57．(24-25高二下·福建莆田第二中学·期中)已知函数．
(1)当时，求的最小值；
(2)求函数的极值；
(3)当时，不等式在上恒成立，求整数的最大值．
【答案】(1)；
(2)当时，函数不存在极值；
当时，函数存在极大值，此时，不存在极小值.
(3)4.
【分析】（1）当时，，求出其导函数，通过判断导函数的正负区间，得到函数的单调性，进而可求得其最小值；
（2）将函数代入，得的解析式，求出其导函数，通过讨论得范围，求出函数的单调区间，进而可得其极值；
（3）代入得值，将问题转化为对任意恒成立，令，即恒成立，通过求导，判断其单调性，求得得最小值即可.
【详解】（1）当时，，其定义域为，
则，
令，即，解得，
所以当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以，当时，函数取得最小值，即，
所以当时，的最小值为，此时.
（2）由题意得，，其定义域为，
则，
①当时，恒成立，所以函数在上单调递增，
所以不存在极值；
②当时，令，解得，
所以当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以，当时，存在极大值，无极小值；
综上所述，当时，函数不存在极值；
当时，函数存在极大值，此时，不存在极小值.
（3）由题意知，当时，不等式在上恒成立，
即，等价于在上恒成立，
设，即
则，
令，则，
当时，恒成立，则在上单调递增，
又，，
所以，使，即，
当，，即，
当，，即，
即在上单调递减，在上单调递增，
当，存在最小值，即，
由，得，
，
所以，
又，所以的最大值为4.
58．(24-25高二下·福建厦门泉州五校·期中)已知函数（）.
(1)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
(2)若，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）通过求导判断在上单调递增，根据参数分类讨论函数在上的单调性，分析其极值，即可确定参数的取值范围；
（2）利用（1）得到，将待证不等式等价转化为要证（），构造函数（），求导判断其单调性，结合即可得证.
【详解】（1），，
令，因，由，
可得在上单调递增，即在上单调递增.
当时，在上恒成立，
故得在上单调递增，则，符合题意；
当时，.
令，则，
当时，；当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
故.
所以，又在上单调递增，且，
故，使得，
则当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
故，不符合题意.
综上所述，实数的取值范围是.
（2）由（1）得，当，时，，
即，要证不等式，（），
只需证，
即证，即只需证（），
设（），
则，
当时，恒成立，故在上单调递增，
又，所以恒成立，所以原不等式成立.
59．(24-25高二下·福建三明六校·期中)已知函数.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程即可；
（2）问题化为在上恒成立，利用导数求右侧的最大值，即可得参数范围.
【详解】（1）由题设的定义域是，
则，所以，即，
即在处的切线方程为.
（2）因为，得恒成立.
即，在上恒成立，
设，则，
令，得（舍去），
当时，在单调递增，
当时，在单调递减，
当时，取得极大值，也是最大值，且，
若在上恒成立，则，
故实数的取值范围是.
60．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期中)已知，
(1)讨论的单调性；
(2)，，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）求出函数的导数，按分类讨论求解函数的单调性.
（2）由（1）的结论，按分类讨论，求出函数在上的最小值，进而求出范围.
【详解】（1）函数的定义域为，
求导得，
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，由，得；由，得或，
函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，，函数在上单调递增；
当时，由，得；由，得或，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，
，，因此；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
则，依题意，，
令函数，求导得，
令函数，求导得，函数在上单调递减，
，函数在上单调递减，而，
由，得，因此，
所以实数的取值范围是.
61．【多选题】(24-25高二下·福建三明六校·期中)“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧.如图所示，在点处的切线为.易知，除切点外，图象上其余所有的点均在的上方，故有.显然，选择的切点不同，所得不等式也不同.请根据以上材料，判断下列命题中正确的命题是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】ACD
【分析】构造函数并应用导数研究不等式恒成立判断A、C、D；取判断B.
【详解】令，则，
令，则，
故在上单调递增，又，
当时，此时在上单调递减，
当时，此时在上单调递增，
所以，则，A对；
由，则，若，有，此时，
所以，即不成立，B错；
令，则，
令，则，即在上单调递增，
又，当时，，即，此时在上单调递减，
当时，即，此时在上单调递增，
所以，即恒成立，C对；
令，则，
令，则，即在上单调递增，
由，故使，
当时，，此时在上单调递减，
当时，，此时在上单调递增，
所以，又，则，
所以，故，，D对.
故选：ACD
62．(24-25高二下·福建漳州第三中学·期中)已知函数 ，.
(1)求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数单调性；
(3)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3).
【分析】（1）利用导函数求出切线斜率，结合切点坐标写出切线的点斜式方程，整理成一般式方程即可；
（2）利用导函数，分类讨论参数在不同取值范围时，根据导函数值的正负得出函数的单调性；
（3）利用导函数分别求出函数的最值，根据“恒成立”和“能成立”得到关于的不等式，再次利用导函数求单调性结合特殊点函数值解不等式即可.
【详解】（1）由求导可得，，
又，
所以在处的切线方程为，即.
（2）由题意，，，定义域为，
则，
因为，所以，
当时，，故在上单调递减；
当时，令得，令得，
故在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）当时，若对于任意，总存在，使得，
即在上的最小值大于等于在的最小值，
由（2）知，时，在上单调递减，在上单调递增，
故，
，，
因为，所以在上恒成立，故在上单调递减，
则，
所以，即，
令，，
则，
故在上单调递减，
又，
所以当时，，当时，，
故m的取值范围为.
63．(24-25高二下·福建福宁古五校教学联合体·期中)已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，在上恒成立，求整数的最大值．
【答案】(1)答案见解析.
(2)整数的最大值为2.
【分析】（1）求导，分、和三种情况，利用导数判断函数单调性；
（2）参变分离可得，构建，只需证，利用导数求其最值，并结合零点代换分析求解.
【详解】（1）
当时，，单调递减；
当时，，此时若，则，单调递减；
若，则，单调递增；
若，则，单调递减；
当时，，此时若，则，单调递减；
若，则，单调递增；
若，则，单调递减；
综上所述：
当时，在上单调递减；
当时，在和上单调递减，在上单调递增；
当时，在和上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，，即，
化简得，
因为，所以，即.
下证在上恒成立，
令，只需证.
，令，则，
因为，所以，所以单调递增，
，，
所以存在，使得，
即当，，，单调递减；
当，，，单调递增；
所以
，
因为，所以，所以，
所以整数的最大值为2.
【点睛】参变分离：含参不等式问题一般采用参变分离解决，具体步骤是先将含参不等式等价转化为或的形式，然后求的最大值或最小值，得出的取值范围.
64．(24-25高二下·福建福宁古五校教学联合体·期中)已知函数恒成立，实数的取值范围为____．
【答案】
【分析】将原不等式转化为关于的表达式，通过构造辅助函数，求其最大值，从而确定的取值范围.
【详解】由原式恒成立，等价于恒成立，
令，则的最小值为的最大值.
则，
令，得方程，解得（为唯一解），即，
所以当，，单调递增，
当，，单调递减，
因此，是的极大值点，即最大值点，
所以的最大值为，
由，得，即，
所以，
所以，
故答案为：.
65．【多选题】(24-25高二下·福建福州福九联盟（高中）·期中)对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为；
B．有两个零点；
C．若点是函数图象上的动点，则点到直线距离的最小值为
D．若恒成立，则
【答案】ACD
【分析】利用导数分析函数的单调性，最值，取极限即可判断选项A，B；在点处的切线与直线平行时，点到直线距离的最小，求出切点，由点到直线的距离求解即可判断选项C；等价于，利用导数分，讨论求解即可判断选项D.
【详解】对于A，由于，所以，
令，解得，
若，，若，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，故A正确；
对于B，时，，当，，
时，，当，，，
所以有一个零点，故B错误；
对于C，在点处的切线与直线平行时，点到直线距离最小，
令，解得，所以，
所以切点为，故到直线的距离为：.故C正确；
对于D，等价于（*），
设，等价于，
则，
①当时，，则在上单调递增，
又，若，则与（*）矛盾舍去.
②当时，由可知，满足，
，，
在区间上单调递减，在区间上单调递增，
，
令，则，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，，
即，与取交集，.故D正确.
故选：ACD.
66．(24-25高二下·福建福清·期中)已知函数，其中.
(1)当时，求出函数的极值并判断方程的解的个数；
(2)当时，证明：对于任意的实数，都有.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出导函数及函数的单调区间，然后利用极值的概念求解即可；将方程解的个数转化为与交点的个数，根据函数的单调性及零点作出函数示意图，数形结合即可求解；
（2）将所证不等式等价转化为证明，令，，设，多次求导研究其单调性，即可证明.
【详解】（1）当时，，则，
当时；当时，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数有极小值，无极大值.
方程解的个数，转化为与交点的个数，
由于在上单调递减，在上单调递增，
所以，
令，解得.且时，；时，，

所以，当时，方程有0个解，
当或时，方程有1个解，
当时，方程有2个解.
（2）要证，
不妨设，即证，
两边同时除以并化简，即证，
令，则，设，
，令，则在上恒成立，
得在上单调递增，
故，故在上单调递增.
所以，从而命题得证.
67．(24-25高二下·福建师范大学附属中学·期中)已知函数
(1)求的零点个数；
(2)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称.
（i）证明：当时，；
（ii）如果一条平行轴的直线与函数的图象相交于不同的两点和，试判断线段的中点是否属于集合，并说明理由.
【答案】(1)有且只有两个零点
(2)（i）证明见解析；（ii）点不属于集合，理由见解析
【分析】（1）利用导数确定函数的单调性，再由零点存在定理证明即可；
（2）（i）求得，，令，利用导数可得函数在区间上是增函数，从而得当时，，得到证明即可；
（ii）利用导数可得在区间内是增函数，在区间内是减函数，在处取得极大值，且有，结合（2）可得，从而可得，证明结论即可.
【详解】（1）因为，
当时，；
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
且，
故函数在区间内有一个零点，所以函数有且只有两个零点；
（2）（i）因为，
函数的图象与函数的图象关于直线对称，
所以，于是，
记，则，
当时，，从而，又，
所以，于是函数在区间上是增函数，
因为，所以，当时，，
即当时，；
（ii）不属于，理由如下：
设和，
因为线段平行轴，所以得且，又，
所以在区间内是增函数，
在区间内是减函数且在处取得极大值，
①若，由，得，与矛盾；
②若，由，得，与矛盾；
根据①，②可得，不妨设，
由（2）可知，所以，
因为，所以，又，由在区间内是增函数，
所以，即，所以，即点不属于集合.
68．(24-25高二下·福建福州八县联盟校·期中)在计算机图形学中，若某曲线在内具有“单侧光反射”特性（即存在一条基准线，曲线在该区间内始终上升，并且与基准线在某一点处相切），则称该曲线为“光洁曲线”.曲线对应的函数为“光洁函数”，即函数在上单调递增，此时称为“超光洁函数” ．
(1)若是“超光洁函数”，求的取值范围；
(2)已知光洁曲线的一条基准线与曲线相切，求的方程；
(3)若，，，.证明：.（可用结论：当时，）
【答案】(1)
(2)或
(3)证明见解析
【分析】（1）方法一：结合定义可得为增函数，根据单调性与导数的关系可得恒成立，化简得，结合二次函数性质可求的范围；
方法二：结合定义可得为增函数，根据单调性与导数的关系可得恒成立，化简得，在上恒成立，结合二次函数性质可求结论；
（2）方法一：设直线与曲线相切于点，设直线与曲线相切于点，由条件结合导数的几何意义可得，解方程求可得结论；
方法二：设直线与曲线相切于点，设直线与曲线相切于点，求两曲线的切线方程，对比可得，解方程可得结论；
（3）方法一：设，则，令，则，通过证明，，由此可得，结合所给结论证明，由此证明为增函数，结合单调性证明结论，
方法二：证明，，再结合所给关系证明在上单调递增，令，，利用导数证明在上单调递增，由此可得，再证明结论.
【详解】（1）方法一：设，
则 ，
由题意可知恒成立，
故在上恒成立，
即在上恒成立，
故，解得，
方法二：设，
则，
由题意可知恒成立，
故在上恒成立，
即，在上恒成立，
，
（2）方法一：设直线与曲线相切于点，直线的斜率为，
因为，则，
设直线与曲线相切于点，
因为，则，
因此有，
整理得，解得或，
当时，的方程为，
当时，的方程为，
方法二：设直线与曲线相切于点，
则，，
设直线与曲线相切于点，
则，，
所以，
整理得，解得或，
当时，的方程为，
当时，的方程为，
（3）方法一：设，
则，
令，
则，
设，则，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以，
故，当且仅当时取等号，
设，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以，
故，当且仅当时取等号，
所以，即，
所以在上单调递增，又时，，
所以时，，所以，
所以在上单调递增，
所以，即，
所以，同理，，
累加可得，
即，
方法二：，
令，则 ，
设，则，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以，
故，当且仅当时取等号，
设，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以，
故，当且仅当时取等号，
所以，即，
所以在上单调递增，
令，，
则，又单调递增，
所以，则在上单调递增，
又当，，
所以时，，，
所以，即，
所以，
所以，
即.
69．(24-25高二下·福建龙岩一级校·期中)已知定义在区间D上的函数，，若，，存在一个正实数M，满足，则称是的“M—陪伴函数”．
(1)已知，判断函数是否为函数的“M—陪伴函数”，并说明理由；若是，求M的最小值．
(2)证明：在同一给定闭区间上的函数是函数的“M—陪伴函数”．
(3)已知，若函数是函数的“3—陪伴函数”，求实数m的取值范围．
【答案】(1)是，理由见解析，的最小值是
(2)证明见解析；
(3)
【分析】（1）根据陪伴函数定义计算得，则，则确定的最小值；
（2）通过放缩得，再记，则，则得到，即证明原命题；
（3）根据陪伴函数的定义得，通过合理变形并整体求导得，则故．再设新函数，通过多次求导和隐零点法即可得到其范围.
【详解】（1）假设是的＂—陪伴函数＂，
则，
即，
则．
因为且，所以，则，
因此，因此是的＂－ 伴函数＂，且的最小值是．
（2）已知，
，
.
记，则．
记，则，
即，
因此是的＂M—陪伴函数＂，
即在同一给定闭区间上的函数是函数的＂M－陪伴函数＂．
（3）由题知，
即，不妨假设，
则，
则，且，
所以函数单调递增，函数单调递减，
所以，
则．又，
所以，
故．
令，则，
令，易知在上单调递减，
则，所以，
则在上单调递减，则，
因此．
令，则．
令，易知在上单调递减，且，
则，即．
当时，，即，则在上单调递增；
当时，，即，则在上单调递减．
所以．
由，得，则，
因此．
又，所以，
即实数的取值范围为．
70．(24-25高二下·福建福宁古五校教学联合体·期中)牛顿法（Newton sMethod）是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线的方程为．若，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值．再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标，记为，称为的二阶近似值．重复以上过程，得的近似值序列：．根据已有精确度，当时，给出近似解．
已知函数．
(1)若给定，求方程的二阶近似值；
(2)求曲线在点处的切线方程，并证明；
(3)若关于的方程的两个根为，证明：．
【答案】(1)
(2)；证明见详解
(3)证明见详解
【分析】（1）根据题中给定方法，求出，求出即可；
（2）求导，根据导数的几何意义求切线方程，构建，利用导数可证，即可得结果；
（3）利用导数分析的单调性，结合题意可得，分析可得，即可得，构建，利用导数可证，可得，即可得结果.
【详解】（1）构建函数，则，
可得，
当时，，
同理，且，所以；
（2）因为，则，
可得，
即切点坐标为，切线斜率，
所求切线方程为，即；
构建，则，
构建，
则在内单调递增，且，
可知在内存在唯一零点，
当，，即；
当，，即；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，
又因为，即，，
可得，
所以，当且仅当时，等号成立，
令，可得，即；
（3）由得，
当时，；当时，，
可知在上单调递增，在上单调递减，则，
当时，；时，；
若方程的两个根为，则，
当时，，则；
可得，即，
设，则，
当时，；当时，，
可知在上单调递增，在上单调递减，则，
可得，当且仅当时取等号，
则，即，
所以.
71．(24-25高二下·福建三明沙县区三明北附高级中学·期中)已知函数
(1)当时，求函数的极大值；
(2)若对任意的，都有成立，求的取值范围；
(3)设，对任意的，且，证明：恒成立．
【答案】(1)0
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的极大值.
（2）根据给定条件，分享参数并构造函数，利用导数求出最大值即可得解.
（3）等价变形不等式并换元，再构造函数，利用导数证明不等式.
【详解】（1）当时，，求导得，
当时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时函数取得极大值.
（2），，，求导得，
当时，，当时，，函数在上递增，在上递减．
则当时函数取得最大值，，
所以的取值范围是.
（3）依题意，，
对任意的，且， ，
令，不等式化为，
令，求导得，
函数在上单调递增，，因此，
所以恒成立.
【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.
72．(24-25高二下·福建漳州华安一中·期中)函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降，但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性，函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下：设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凹的（图1），区间为凹的区间；设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凸的（图2），区间为凸的区间.

关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理：设在区间上连续，在区间上具有一阶和二阶导数，那么①如果在上恒有，则在区间上的图象是凹的；如果在区间上的图象是凹的，则在上恒有；②如果在上恒有，则在区间上的图象是凸的；如果在区间上的图象是凸的，则在上恒有；其中是的导函数，为的一阶导数；是的导函数，为的二阶导数.根据以上内容，完成如下问题：
(1)试判断函数图象是凹的还是凸的，用定理证明；
(2)已知函数，求的凹的区间和凸的区间；
(3)若时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)图象是凸的，证明见解析；
(2)的凹的区间为，的凸的区间为.
(3).
【分析】（1）求以及，判断的正负可证明；
（2）求以及的解，即可求出函数的凹凸区间；
（3）将恒成立变形为恒成立，分别求两个函数的单调区间，可判断两个函数的最值，从而求出的范围.
【详解】（1）的图象是凸的.
因为，，
又，所以，所以图象是凸的.
（2）因为函数，所以的定义域为，
，，
令，则，令，则，
故的凹的区间为，的凸的区间为.
（3）由题意可知，定义域为，
且等价于，
令，，，，
则，，
，当时，，当时，，
时，，时，，
故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，
则，，
若恒成立，则，解得：.
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