资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题02 计数原理
15大高频考点概览
考点01 排列数与组合数的计算与证明
考点02 分类加法与分步乘法的综合
考点03 特殊元素特殊位置优先
考点04 相邻与不相邻问题
考点05 染色问题
考点06 数字排列问题
考点07 排列综合题型
考点08 组合计数问题
考点09 分组分配问题
考点10 排列与组合综合题型
考点11 二项式定理求特殊项的系数
考点12 二项式系数与项的系数最值
考点13 二项式系数和与系数和
考点14 特殊项的系数和
考点15 二项式定理的综合
1．(24-25高二下·福建厦门外国语学校（海沧校区）·期中)已知，则=（ ）
A．105 B．120 C．210 D．240
2．(24-25高二下·福建福州八县联盟校·期中)若，则实数的值为（ ）
A．5 B．3 C．10 D．5或3
3．(24-25高二下·福建福州第一中学·期中)若，则（ ）
A．6 B．7 C．12 D．13
4．(24-25高二下·福建福州福九联盟（高中）·期中)已知，则__________
5．(24-25高二下·福建师范大学附属中学·期中)________．
6．【多选题】(24-25高二下·福建泉州丰泽区北附中学·期中)现安排甲、乙、丙、丁4名同学参加三项工作，且每个同学只能参加一项工作，则下列说法正确的是（ ）
A．不同的安排方法共有种
B．若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有种
C．若甲，乙两人都不能去参加项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种
D．若每个同学只能参加一项工作且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有36种
7．(24-25高二下·福建莆田第一中学·期中)某班有5名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队、羽毛球队，每人限报其中一个运动队，则不同的报法种数是（ ）
A． B． C． D．
8．(24-25高二下·福建福州高级中学·)中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
9．(24-25高二下·福建福州福九联盟（高中）·期中)平潭岛是祖国大陆距离台湾最近的地方，岛上的龙凤头海滨浴场（沙滩玩耍或观赏日出）、猴研岛（离台湾最近地方）、长江澳风车田（日落美景）、壳丘头遗址博物馆（了解南岛语族文化）自然风光优美、文化底蕴深厚，是游客喜欢的打卡景点.某天甲、乙、丙三位同学准备从这个景点任选一个景点游玩，则不同游玩方案的种数为（ ）
A． B． C． D．
10．(24-25高二下·福建福清·期中)3名同学分别报名参加足球队、篮球队、排球队、乒乓球队，每人限报一个运动队，不同的报名方法种数有（ ）
A． B． C．24 D．12
11．(24-25高二下·福建泉州科技中学·期中)某单位安排甲、乙、丙、丁、戊五人一周7天的值班工作，每天只有1人值班，甲要求星期一、星期日不值班，且连续3天值班，其他人员每人值班1天，则不同的安排方法种数为（ ）
A．120 B．108 C．96 D．72
12．(24-25高二下·福建厦门外国语学校（海沧校区）·期中)某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲、乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在正中间，不同的安排方法数有（ ）
A．24 B．36 C．40 D．48
13．(24-25高二下·福建厦门松柏中学·期中)甲、乙、丙等6人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法有（ ）
A．128种 B．96种 C．72种 D．48种
14．(24-25高二下·福建仙游第一中学·期中)三个男生三个女生站成一排，已知其中女生甲不在两端，则有且只有两个女生相邻的概率是（ ）
A． B． C． D．
15．(24-25高二下·福建仙游第一中学·期中)某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
16．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期中)将1个白球，2个不同的黑球和3个不同的红球从左到右排成一列，要求2个黑球相邻且3个红球互不相邻，则不同的排列方式有______种.
17．(24-25高二下·福建福州第十一中学·期中)在电影《哪吒之魔童闹海》宣传海报中，哪吒、敖丙、太乙真人、申公豹、鹿童五个主人公站成一排，其中哪吒和敖丙必须相邻，且太乙真人和申公豹不能相邻，那么共有多少种不同的站法（ ）
A．18 B．12 C．28 D．24
18．(24-25高二下·福建莆田莆田第四中学·期中)某校举办校运动会，某班级选出跑步较好的4人参加米接力赛，其中甲、乙两人不跑相邻棒的排法有（ ）
A．8种 B．12种 C．16种 D．24种
19．(24-25高二下·福建厦门第一中学·期中)已知3名教师和4名学生排成一排照相，每位教师互不相邻，且教师甲和学生乙必须相邻，一共有多少种不同的排法？（ ）
A．144 B．288 C．576 D．720
20．(24-25高二下·福建三明永安九中、宁化六中、金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)某城市新修建的一条道路上有12个路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（ ）
A．40 B．35 C．495 D．330
21．(24-25高二下·福建莆田第二中学·期中)春天来了，万物复苏，合肥六中乐之楼楼下的花坛里种了不同颜色的花．如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案数有_______．
22．(24-25高二下·福建三明六校·期中)小张打算对如图的4个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）涂不同颜色.现有6种颜色可供选择（6种颜色不一定用完），则不同的涂色方法种数有（ ）
A．630 B．480 C．360 D．150
23．(24-25高二下·福建部分名校·期中)用五种不同颜色的涂料涂在如图所示的五个区域，相邻两个区域不能同色，且至少要用四种颜色，则不同的涂色方法有（ ）

A．240 B．480 C．420 D．360
24．(24-25高二下·福建福州联盟（高中）·期中)如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（，，，，）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有（ ）

A．2520种 B．3360种 C．3570种 D．4410种
25．(24-25高二下·福建莆田第五中学·期中)用4种不同颜色的颜料给图中五个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有______种.
26．(24-25高二下·福建德化第二中学·期中)用0,1,2,3,4,5这六个数字，
(1)可以组成多少个数字不重复的三位数.
(2)可以组成多少个数字允许重复的三位数.
(3)可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数.
(4)可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数.
(5)可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数.
27．(24-25高二下·福建泉州中远学校·)从0，1，2，5中取三个不同的数字，组成能被5整除的三位数，则不同三位数有（ ）
A．12个 B．10个 C．8个 D．7个
28．(24-25高二下·福建厦门双十中学·期中)若从1，2，3，…，9这9个整数中取出4个不同的数排成一排，依次记为a，b，c，d，则使得为偶数的不同排列方法有（ ）
A．1224种 B．1800种 C．984种 D．840种
29．(24-25高二下·福建厦门外国语学校（海沧校区）·期中)用两个1，两个3，一个5组成的不同的五位数有_________个.
30．(24-25高二下·福建福州第一中学·期中)用数字1，2，3，4组成没有重复数字的三位数，则这些三位数中是3的倍数的有（ ）
A．6个 B．9个 C．12个 D．24个
31．【多选题】(24-25高二下·福建三明六校·期中)“六艺”即“礼 乐 射 御 书 数”，为春秋战国时期读书人必须学习的六种技艺，分别为礼法 乐舞 射箭 驾车 书法和算术.某国学馆开设“传承优秀文化”专题培训班，对这六种技艺要逐项培训，下列叙述正确的是（ ）
A．“礼”与“射”必须相邻的培训方法有种排法
B．先培训“数”后培训“乐”的培训方法种数为种排法
C．课程“乐”不排在第一节，课程“御”不排在最后一节，共有种排法
D．甲 乙 丙 丁 戊五名教师教这六门课程，每名教师至少任教一门课程，求甲不任教“数”的课程安排方案种数为种排法
32．(24-25高二下·北京平谷区第五中学·月考)2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄传》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部现看．
(1)如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？
(2)如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神2》，那么共有多少种不同的选择方法？
(3)如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？
33．(24-25高二下·福建三明第一中学·期中)现有编号为的3个不同的红球和编号为的2个不同的白球．
(1)若将这些球排成一排，且要求两个球相邻，则有多少种不同的排法？
(2)若将这些球排成一排，且要求球排在中间，两个球不相邻，则有多少种不同的排法？
(3)若将这些球放入甲、乙、丙三个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则有多少种不同的放法？
34．(24-25高二下·福建福清·期中)求下列问题的排列数：
(1)4名男生3名女生排成一排，3名女生相邻；
(2)4名男生3名女生排成一排，3名女生不能相邻；
(3)4名男生3名女生排成一排，女生不能排在两端.
35．(24-25高二下·福建莆田第八中学·期中)甲乙丙丁戊五个同学
(1)排成一排，甲乙不相邻，共有多少种不同的排列方法？
(2)排成一排，甲不在首位，乙不在末位，共有多少种不同排列方法？
(3)去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，共有多少种不同游览方法？
(4)分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有多少种不同分配方法？
36．(24-25高二下·福建厦门泉州五校·期中)如图，一套俄罗斯套娃由8个大小各不相同套娃组成，将这8个套娃放置在一个上下两层的展示架上，上层放置3个，下层放置5个，且要求每层的套娃左边都比右边的大，则不同的放置方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
37．(24-25高二下·福建厦门泉州五校·期中)甲、乙、丙三名射击运动员进行射击训练.已知甲、乙、丙的枪中分别装有1、3、3发子弹.每次随机选一人射击，直到所有子弹射完为止.则不同的射击顺序有（ ）
A．140种 B．160种 C．180种 D．200种
38．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期中)将两个1，两个3，一个5从左到右排成一行，则不同的排法种数为（ ）
A．20 B．24 C．30 D．36
39．(24-25高二下·福建福州联盟（高中）·期中)某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有______种.
40．(24-25高二下·福建福州八县联盟校·期中)近几年，网购已逐渐成为透视消费市场和经济发展的一扇窗户.小米直播间共有位主播（男女），现需安排两人分别担任“主推官”和“推荐官”，要求：主推官和推荐官必须由不同性别的主播担任，且小李（男）和小红（女）至少有一人被选中，则不同的安排方案有（ ）
A． B． C． D．
41．(24-25高二下·福建福州第三中学·期中)将6本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，则不同的分法种数为（ ）
A．1440种 B．1560种 C．3960种 D．7200种
42．(24-25高二下·福建厦门泉州五校·期中)现有甲、乙等6人需在五一假期值班3天，每天至少有1人值班，且每人只值班1天.若要求甲、乙在同一天值班，则不同的安排方案有______种.（用数字作答）
43．(24-25高二下·福建师范大学附属中学·期中)某大学开设了《古今数学思想》《世界数学通史》《几何原本》《什么是数学》四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，大一到大三三个学年必须将四门选修课程修完，则每位同学的不同选修方式有（ ）
A．60种 B．78种 C．96种 D．144种
44．(24-25高二下·福建福州第一中学·期中)甲、乙等5位老师到某地3所学校进行送教服务，要求每人只去一所学校，每所学校不能少于1人，且甲、乙在不同一所学校，则不同的安排方法有种__________．
45．(24-25高二下·福建福州高级中学·)某医院的甲、乙、丙、丁、戊5名医生到湖北的A，B，C三个城市支援抗疫，若要求每个城市至少安排1名医生，则A城市恰好只有医生甲去支援的概率为______（用分数表示）．
46．(24-25高二下·湖北宜昌协作体·期中)实施乡村振兴战略，优先发展教育事业.教育既承载着传播知识、塑造文明乡风的功能，更为乡村建设提供了人才支撑，为了补齐落后地区教育发展的短板，解决落后地区优秀教师资源匮乏的问题，某教育局抽调6名优秀教师按照以下要求分配到3所乡村学校去任教.
(1)若三所学校中甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人，有多少种分配方法？
(2)若三所学校中一学校4人，另外两校各1人，有多少种分配方法？
(3)若三所学校每所学校至少一人，有多少种分配方法？
47．【多选题】(24-25高二下·福建三明、南平等六地六校·期中)福建省动植物园举行花卉展览，三明某花卉种植园有种兰花，种三角梅共种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，种精品花卉将全部去展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有种花卉参展，下列选项正确的是（ ）
A．若展馆需要种花卉，有种安排方法
B．若“绿水晶”去展馆，有种安排方法
C．若“绿水晶”不去展馆，有种安排方法
D．若种三角梅不能去往同一个展馆，有种安排方法
48．(24-25高二下·福建泉州科技中学·)将1，2，3，…，9这9个数填入如图所示的格子中（要求每个数都要填入，每个格子中只能填一个数），记第1行中最大的数为，第2行中最大的数为，第3行中最大的数为，则的填法共有_______种.
49．【多选题】(24-25高二下·福建三明沙县区三明北附高级中学·期中)从5名候选人中选派出3人参加A，B，C活动，且每项活动有且仅有1人参加，甲不参加A活动，则（ ）
A．有48种不同的选派方案
B．有36种不同的选派方案
C．若甲参加活动，则有24种不同的选派方案
D．若甲不参加活动，则有36种不同的选派方案
50．【多选题】(24-25高二下·福建厦门外国语学校（海沧校区）·期中)2020年3月，为促进疫情后复工复产期间安全生产，某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到，，三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（ ）
A．所有不同分派方案共种
B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种
C．若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到企业，则所有不同分派方案共12种
D．若企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共32种
51．(24-25高二下·福建泉州丰泽区北附中学·期中)的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
52．(24-25高二下·福建三明、南平等六地六校·期中)的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．120 D．200
53．(24-25高二下·福建福清·期中)若，则 ______.
54．(24-25高二下·福建厦门泉州五校·期中)二项式的展开式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．
55．(24-25高二下·福建莆田第二中学·期中)在的展开式中项的系数为（ ）
A．36 B．45 C．60 D．72
56．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期中)已知的展开式中，前三项的系数成等差数列.
(1)求的值；
(2)求展开式中二项式系数最大的项；
(3)求展开式中所有的无理项的系数和.
57．(24-25高二下·福建福州闽侯县第二中学·期中)已知关于的二项式的二项系数之和为32，其中．
(1)若，求展开式中系数最大的项；
(2)若展开式中含项系数为40，求展开式中所有有理项的系数之和．
58．(24-25高二下·福建莆田第八中学·期中)在的展开式中，若第3项的二项式系数为28，求：
(1)展开式中所有项的二项式系数之和；
(2)展开式中的有理项；
(3)展开式中系数最大的项．
59．(24-25高二下·福建莆田第五中学·期中)已知，N，若的展开式
中， ．
(1)求的值；
(2)求的值．
在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项与第8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在上面（横线处）问题中，解决上面两个问题（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）．
60．【多选题】(24-25高二下·福建福清·期中)关于的展开式，下列结论正确的是（ ）
A．二项式系数和为64 B．所有项的系数之和为1
C．第三项的二项式系数最大 D．系数最大值为240
61．【多选题】(24-25高二下·福建厦门泉州五校·期中)已知二项式，则（ ）
A．展开式中的系数为45 B．展开式中二项式系数最大的项是第6项
C．展开式中各项系数之和为1 D．展开式中系数最大的项是第5项或第7项
62．(24-25高二下·福建莆田莆田第四中学·期中)的展开式中，所有二项式的系数和为（ ）
A．0 B． C．1 D．
63．(24-25高二下·福建永春第一中学·期中)已知的展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，且，则_______．
64．(24-25高二下·福建福州高级中学·)已知的展开式的各项系数之和为，则展开式中有理项共有_____项．
65．【多选题】(24-25高二下·福建泉州安溪一中、惠安一中、养正中学、泉州实验中·期中)的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．展开式共7项 B．x项系数为－280
C．所有项的系数之和为1 D．所有项的二项式系数之和为128
66．【多选题】(24-25高二下·福建泉州中远学校·)已知，则（ ）
A． B．是所有系数中的最大值
C． D．
67．【多选题】(24-25高二下·福建三明、南平等六地六校·期中)若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
68．【多选题】(24-25高二下·福建福州第四中学·)已知，则（ ）
A． B．
C． D．
69．【多选题】(24-25高二下·福建厦门大学附属科技中学·期中)已知，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．二项式系数和为128 D．
70．【多选题】(24-25高二下·福建师范大学附属中学·期中)已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．这8个数中最大
71．(24-25高二下·福建三明六校·期中)已知，且恰能被6整除，则的取值可以是（ ）
A．1 B．4 C．11 D．16
72．(24-25高二下·福建三明永安九中、宁化六中、金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为.
(1)求出展开式的中间项；
(2)设，则当时，求a除以15所得余数.
73．(24-25高二下·福建三明六校·期中)“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（ ）

A．第10行中第5个数最大
B．第2025行中从左往右第1012个数与第1013个数相等
C．
D．第12行中第8个数与第9个数之比为
74．【多选题】(24-25高二下·福建泉州第五中学·期中)“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和，则下列命题中正确的是（ ）
A．在“杨辉三角”中，第行的所有的数字之和为
B．在“杨辉三角”第行的数中，从左到右第个数最大
C．在“杨辉三角”中，从第3行开始，取每行的第4个数得到一数列，则该数列前10项之和为
D．记“杨辉三角”第行的第个数为，则的值恰好是第行的中间一项的数字
75．(24-25高二下·福建厦门大学附属科技中学·期中)进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满十进一就是十进制，满八进一就是八进制，即“满几进一”就是几进制，不同进制的数可以相互转换，如十进制下，，用八进制表示159这个数就是237.现用八进制表示十进制的，则这个八进制数的最后一位为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
76．【多选题】(24-25高二下·福建泉州科技中学·)下列说法正确的是（ ）
A．若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则
B．若，则
C．被8除的余数为1
D．的展开式中含项的系数为5292
77．(24-25高二下·福建三明、南平等六地六校·期中)2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：①本题共3小题，每小题6分，满分18分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分；③部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）．已知在某次新结构数学试题的考试中，某同学三个多选题中第一小题和第二小题都随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个选项，这位同学的多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）共有种情况，则除以36的余数是______．
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专题02 计数原理
15大高频考点概览
考点01 排列数与组合数的计算与证明
考点02 分类加法与分步乘法的综合
考点03 特殊元素特殊位置优先
考点04 相邻与不相邻问题
考点05 染色问题
考点06 数字排列问题
考点07 排列综合题型
考点08 组合计数问题
考点09 分组分配问题
考点10 排列与组合综合题型
考点11 二项式定理求特殊项的系数
考点12 二项式系数与项的系数最值
考点13 二项式系数和与系数和
考点14 特殊项的系数和
考点15 二项式定理的综合
1．(24-25高二下·福建厦门外国语学校（海沧校区）·期中)已知，则=（ ）
A．105 B．120 C．210 D．240
【答案】B
【分析】结合组合数的性质代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，所以
所以
故选：B
2．(24-25高二下·福建福州八县联盟校·期中)若，则实数的值为（ ）
A．5 B．3 C．10 D．5或3
【答案】A
【分析】根据组合数公式及组合数性质即可计算求解.
【详解】因为，
所以或，
所以
故选：A.
3．(24-25高二下·福建福州第一中学·期中)若，则（ ）
A．6 B．7 C．12 D．13
【答案】B
【分析】根据排列数和组合数公式求解即可.
【详解】由，
得，
即，所以.
故选：B.
4．(24-25高二下·福建福州福九联盟（高中）·期中)已知，则__________
【答案】
【分析】根据条件，利用组合数的性质，即可求解.
【详解】因为，则或，解得或，
又，所以，则，
故答案为：.
5．(24-25高二下·福建师范大学附属中学·期中)________．
【答案】69
【分析】由组合数的性质求解即可.
【详解】
．
故答案为：69．
6．【多选题】(24-25高二下·福建泉州丰泽区北附中学·期中)现安排甲、乙、丙、丁4名同学参加三项工作，且每个同学只能参加一项工作，则下列说法正确的是（ ）
A．不同的安排方法共有种
B．若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有种
C．若甲，乙两人都不能去参加项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种
D．若每个同学只能参加一项工作且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有36种
【答案】ACD
【分析】对A，利用分步乘法原理判断；对B，首先从3项工作中选1项无人参加，再将4人安排到两项工作，计算可判断；对C，分组只有（1、1、2）这种情况，分甲乙同组与甲乙不同组两种情况，即可判断；对D，先分组只有（1、1、2）这种情况，再分配计算判断.
【详解】对于A，安排4人参加3项工作，每人有3种安排方法，则有种安排方法，故A正确；
对于B，恰有一项工作无人去参加，则首先从3项工作中选1项无人参加有，
再将4人安排到两项工作有种，故一共有种安排方法，故B错误；
对于C，每项工作都有人去，则人员分组只有（1、1、2）这种情况，
若甲、乙同组，则有种，
若甲、乙不同组，则种分组方法，又甲乙不能去参加项工作，
则安排不含甲乙的一组参加工作，剩下的两组安排参加、两项工作，则种，
综上，一共有种安排方法，故C正确；
对于D，每项工作都有人去，则人员分组只有（1、1、2）这种情况，先分组，再分配，
则不同的安排方法有种，故D正确.
故选：ACD.
7．(24-25高二下·福建莆田第一中学·期中)某班有5名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队、羽毛球队，每人限报其中一个运动队，则不同的报法种数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求每一个同学报名的方法数，再求5个同学不同的报名总数.
【详解】每个同学报名都有4种方式可选，共有5个同学，
则有种报名方法.
故选：D.
8．(24-25高二下·福建福州高级中学·)中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式即得.
【详解】依题意，每个人的选购方式有3种，所以不同的选购方式有种.
故选：A
9．(24-25高二下·福建福州福九联盟（高中）·期中)平潭岛是祖国大陆距离台湾最近的地方，岛上的龙凤头海滨浴场（沙滩玩耍或观赏日出）、猴研岛（离台湾最近地方）、长江澳风车田（日落美景）、壳丘头遗址博物馆（了解南岛语族文化）自然风光优美、文化底蕴深厚，是游客喜欢的打卡景点.某天甲、乙、丙三位同学准备从这个景点任选一个景点游玩，则不同游玩方案的种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件，利用分步计数原理，即可求解.
【详解】因为每位同学均有种选择，由分步计数原理可知，不同游玩方案的种数为，
故选：C.
10．(24-25高二下·福建福清·期中)3名同学分别报名参加足球队、篮球队、排球队、乒乓球队，每人限报一个运动队，不同的报名方法种数有（ ）
A． B． C．24 D．12
【答案】A
【分析】根据分步乘法计算原理可得答案.
【详解】不同的报名方法种数有.
故选：A.
11．(24-25高二下·福建泉州科技中学·期中)某单位安排甲、乙、丙、丁、戊五人一周7天的值班工作，每天只有1人值班，甲要求星期一、星期日不值班，且连续3天值班，其他人员每人值班1天，则不同的安排方法种数为（ ）
A．120 B．108 C．96 D．72
【答案】D
【分析】根据题意，分两步进行分析：先分析甲星期一、星期日不值班，且连续3天值班的情况，再将剩下四个人进行全排列，由分布计数原理可得答案.
【详解】甲要求星期一、星期日不值班，且连续3天值班，
则可以安排在（周二、周三、周四），（周三、周四、周五），（周四、周五、周六），
共3种情况.
剩下四个人进行全排列，安排在剩下4天，有种情况，
则有种不同的安排方法.
故选：D.
12．(24-25高二下·福建厦门外国语学校（海沧校区）·期中)某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲、乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在正中间，不同的安排方法数有（ ）
A．24 B．36 C．40 D．48
【答案】C
【分析】设最后两人为丁和戊，然后分甲、乙在丁、戊之间和丁、戊在甲、乙一侧时讨论即可.
【详解】设剩下的两人分别为丁和戊，
①甲、乙在丁、戊之间，将甲、乙捆绑成一个元素，
丁、戊两人有种排法，甲、乙内部有种排法，丙有4个位置可站，
则共有种；
②丁、戊在甲、乙一侧时，丁、戊可选择甲、乙左侧或右侧，则有种排法，
丁、戊排列有种排法， 甲、乙之间排列也有种排法， 丙有3个位置可站，
则该种情况共有种，
则总共有种不同安排方法.
故选：C.
13．(24-25高二下·福建厦门松柏中学·期中)甲、乙、丙等6人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法有（ ）
A．128种 B．96种 C．72种 D．48种
【答案】B
【分析】分类讨论：乙丙及中间人占据首四位、乙丙及中间人占据中间四位、乙丙及中间人占据尾四位，然后根据分类加法计数原理求得结果.
【详解】因为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间人占据首四位或中间四位或尾四位，
当乙丙及中间人占据首四位，此时还剩最后2位，甲不在两端，
第一步先排末位有种，第二步将甲和中间人排入有种，第三步排乙丙有种，
由分步乘法计数原理可得有种；
当乙丙及中间人占据中间四位，此时两端还剩2位，甲不在两端，
第一步先排两端有种，第二步将甲和中间人排入有种，第三步排乙丙有种，
由分步乘法计数原理可得有种；
乙丙及中间人占据尾四位，此时还剩前2位，甲不在两端，
第一步先排首位有种，第二步将甲和中间人排入有种，第三步排乙丙有种，
由分步乘法计数原理可得有种；
由分类加法计数原理可知，一共有种排法.
故选：B.
14．(24-25高二下·福建仙游第一中学·期中)三个男生三个女生站成一排，已知其中女生甲不在两端，则有且只有两个女生相邻的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用条件概率结合计数原理求解.
【详解】从三个男生三个女生站成一排，已知其中女生甲不在两端，共有 种不同排法，
女生甲不在两端，同时有且只有两个女生相邻分两类
女生甲单独站，则有 ；
女生甲和另一个女生站一起，则有 ,
所以，已知其中女生甲不在两端，则有且只有两个女生相邻的概率是 ．
故选：D.
15．(24-25高二下·福建仙游第一中学·期中)某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【分析】在甲单独参加某项比赛条件下，结合分堆问题的处理方法及分步乘法计数原理求满足条件的方法数，再在甲不单独参加某项比赛条件下，.由分步乘法计数原理及排列知识求满足条件的方法数，最后利用分类加法原理求结论.
【详解】满足条件的报名方法可分为两类：
第一类：甲单独参加某项比赛，
先安排甲，由于甲不能参加跳远，故甲的安排方法有种，
再将余下人，安排到与下的三个项目，
由于每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，
故满足条件的报名方法有,
所以甲单独参加某项比赛的报名方法有种，
第二类：甲与其他一人一起参加某项比赛，
先选一人与甲一起，再将两人安排至某一项目，有种方法，
再安排余下三人，有种方法，
所以甲不单独参加某项比赛的报名方法有种，
所以满足条件的不同的报名方法共有种方法.
故选：C.
16．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期中)将1个白球，2个不同的黑球和3个不同的红球从左到右排成一列，要求2个黑球相邻且3个红球互不相邻，则不同的排列方式有______种.
【答案】24
【分析】视两个黑球为一个整体，利用相邻问题与不相邻问题列式求解.
【详解】视2个黑球为一个整体，与白球排列，再将3个红球插入每个排列的3个间隙，
所以不同的排列方式为（种）.
故答案为：24
17．(24-25高二下·福建福州第十一中学·期中)在电影《哪吒之魔童闹海》宣传海报中，哪吒、敖丙、太乙真人、申公豹、鹿童五个主人公站成一排，其中哪吒和敖丙必须相邻，且太乙真人和申公豹不能相邻，那么共有多少种不同的站法（ ）
A．18 B．12 C．28 D．24
【答案】D
【分析】利用捆绑法将相邻的两人看成一个大元素，再与无特殊要求的元素进行排列，最后将不相邻的元素利用插空法排列即可得出结果.
【详解】将哪吒和敖丙捆绑在一起，与鹿童进行排列，共有种，
再把太乙真人和申公豹利用插空法放到符合题意的3个空隙当中，共有种，
因此共有种不同的站法.
故选：D
18．(24-25高二下·福建莆田莆田第四中学·期中)某校举办校运动会，某班级选出跑步较好的4人参加米接力赛，其中甲、乙两人不跑相邻棒的排法有（ ）
A．8种 B．12种 C．16种 D．24种
【答案】B
【分析】利用不相邻问题插空法即可求解.
【详解】先对剩下两个人进行全排列，有种，此时有3个空位置，再对甲、乙两人进行排列，有种，
根据分步乘法计数原理，共有种排法．
故选：B
19．(24-25高二下·福建厦门第一中学·期中)已知3名教师和4名学生排成一排照相，每位教师互不相邻，且教师甲和学生乙必须相邻，一共有多少种不同的排法？（ ）
A．144 B．288 C．576 D．720
【答案】C
【分析】利用捆绑法和插空法结合分步乘法计数原理求解即可.
【详解】先将教师甲和学生乙捆绑成一个元素，与另外3名学生全排列，则有种方法，
再将剩下的两名教师插入除去与教师甲相邻的四个空位中，有种方法，
所以由分步乘法计数原理可知共有种不同的排法，
故选：C
20．(24-25高二下·福建三明永安九中、宁化六中、金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)某城市新修建的一条道路上有12个路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（ ）
A．40 B．35 C．495 D．330
【答案】B
【分析】根据题意，将问题转化为将熄灭的4盏灯插到，排成一排的亮着的8盏灯的空位中，即插空法，从而得解.
【详解】根据题意，原来有12盏路灯，熄灭其中的4盏灯，还有8盏是亮着的，
先将亮的8盏灯排成一排，由于两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，
则亮着的8盏灯的空位中有7个符合条件的空位，
进而在这7个空位中，任取4个插入熄灭的4盏灯，有种方法.
故选：B.
21．(24-25高二下·福建莆田第二中学·期中)春天来了，万物复苏，合肥六中乐之楼楼下的花坛里种了不同颜色的花．如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案数有_______．
【答案】420
【分析】根据题意，按所使用的花卉颜色种数进行分类，三种颜色共有种方案，四种颜色共有种方案，五种颜色共有种方案，相加即可.
【详解】由题意知，最少用三种颜色的花卉，按照花卉选种的颜色可分为三类方案，即用三种颜色、四种颜色、五种颜色.
（1）当用三种颜色时，花池2,4同色和3,5同色，此时共有种方案；
（2）当用四种颜色时，花池2,4同色或3,5同色，此时共有种方案；
（3）当用五种颜色时，花池都不同色，此时共有种方案；
因此，所有栽种方案共有种.
故答案为：420.
22．(24-25高二下·福建三明六校·期中)小张打算对如图的4个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）涂不同颜色.现有6种颜色可供选择（6种颜色不一定用完），则不同的涂色方法种数有（ ）
A．630 B．480 C．360 D．150
【答案】A
【分析】将图中的地图涂色，最少需要2种颜色，最多可用4种颜色，可对所用颜色的种数分类计数．
【详解】四部分分别记为，如图所示，
由题意知给四部分涂色，至少要用两种颜色，故可分成三类涂色：
第一类，用4种颜色涂色，有种方法．
第二类，用3种颜色涂色，选3种颜色的方法有种．在涂的过程中，选对顶的两部分（或）涂同色，另两部分涂异色有种选法；3种颜色涂上去有种涂法，根据分步计数原理求得共种涂法．
第三类，用两种颜色涂色，选颜色有种选法，用一种颜色，涂一种颜色，有种涂法，故共种涂法．
所以共有涂色方法种．
故选：A.
23．(24-25高二下·福建部分名校·期中)用五种不同颜色的涂料涂在如图所示的五个区域，相邻两个区域不能同色，且至少要用四种颜色，则不同的涂色方法有（ ）

A．240 B．480 C．420 D．360
【答案】D
【分析】按照分类加法和分步乘法计算原理，对5个区域进行分步、分类涂色即可.
【详解】先不考虑至少要用四种颜色，完成涂色需要分5步，按照顺序依次涂区域CADEB，
C区域有5种颜色可选，A区域有4种颜色可选，D区域有3种颜色可选；
若E区域与D区域颜色相同，E区域有1种颜色可选，则B区域有3种颜色可选；
若E区域与D区域颜色不同，E区域有2种颜色可选，则B区域有2种颜色可选；
再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得共有种；
如果只使用三种颜色涂色（小于三种无法涂色），则A，B同色且D,E同色，共有种涂色方法；
所以满足题意的不同的涂色方法有种.
故选：D.
24．(24-25高二下·福建福州联盟（高中）·期中)如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（，，，，）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有（ ）

A．2520种 B．3360种 C．3570种 D．4410种
【答案】D
【分析】利用分类加法计数原理，分步乘法计数原理解决.
【详解】分4步进行分析：
①对于区域，有7种颜色可选；
②对于区域，与区域相邻，有6种颜色可选；
③对于区域，与、区域相邻，有5种颜色可选；
④对于区域、
若与颜色相同，区域有5种颜色可选，
若与颜色不相同，区域有4种颜色可选，区域有4种颜色可选，
则区域、有种选择.
综上所述，不同的涂色方案有种.
故选：D.
25．(24-25高二下·福建莆田第五中学·期中)用4种不同颜色的颜料给图中五个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有______种.
【答案】72
【分析】先对1，2，3三个区域涂色，再讨论1和5区域是否同色，结合排列数分析求解.
【详解】先对1，2，3三个区域涂色，有种涂法，
当1和5区域同色时，有种涂法；
当1和5区域不同色时，有种涂法；
综上所述：共有种涂法.
故答案为：72.
26．(24-25高二下·福建德化第二中学·期中)用0,1,2,3,4,5这六个数字，
(1)可以组成多少个数字不重复的三位数.
(2)可以组成多少个数字允许重复的三位数.
(3)可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数.
(4)可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数.
(5)可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数.
【答案】(1)100
(2)180
(3)48
(4)131
(5)175
【分析】（1）分析可知，数字不重复的三位数中，首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，利用分步乘法计数原理可得结果；
（2）分析可知，数字允许重复的三位数中，首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，利用分步乘法计数原理可得结果；
（3）根据分步乘法原理，先选个位数字，再选百位数字，再选十位数字即可求解；
（4）分三种情况讨论：个位数、两位数、三位数，分别计算出这三种情况下满足条件的自然数的个数，利用分类加法计数原理可得结果.
（5）根据分类加法原理，按首位数字为3或4；首位数字为5，百位数字不是4；首位数字为5,百位数字是4分类即可求解.
【详解】（1）若组成的数字为数字不重复的三位数，则首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，
所以，数字不重复的三位数个数为.
（2）若组成的数字为数字允许重复的三位数，则首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，
所以，数字允许重复的三位数的个数为个.
（3）分3步：
先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种选法；
再选百位数字有4种选法；
十位数字也有4种选法；
由分步计数原理知所求三位数共有个
（4）若组成的数字为数字不重复的小于1000的自然数，分以下三种讨论：
①数字为个位数，共6个；
②数字为两位数，则首位不能为零，个位无限制，共个；
数字为三位数，共有100个.
综上所述，数字不重复的小于1000的自然数个数为个.
（5）分4类：
千位数字为3或4时，后面三个数位上可随便选择，此时共有个；
千位数字为5，百位数字为0,1,2,3之一时，共有个；
千位数字为5，百位数字是4，十位数字为0,1之一时，共有个；
④也满足条件；
故所求四位数共有个.
27．(24-25高二下·福建泉州中远学校·)从0，1，2，5中取三个不同的数字，组成能被5整除的三位数，则不同三位数有（ ）
A．12个 B．10个 C．8个 D．7个
【答案】B
【分析】根据能被5整除的数的特征，分类讨论，结合排列组合即可求解.
【详解】能被5整除的三位数末位数字得是0或5，
当末位数字为0时，此时有个符合条件的三位数，
当末位数字为5时，此时有个符合条件的三位数，
因此一共有个，
故选：B
28．(24-25高二下·福建厦门双十中学·期中)若从1，2，3，…，9这9个整数中取出4个不同的数排成一排，依次记为a，b，c，d，则使得为偶数的不同排列方法有（ ）
A．1224种 B．1800种 C．984种 D．840种
【答案】A
【分析】考虑为偶数和为奇数两种情况，判断的奇偶性，根据中偶数的个数计算得到答案.
【详解】当为偶数，则为偶数，有；
当为奇数，则为奇数，四个数均为奇数，有.
所以不同排列方共有1224种．
故选：A
29．(24-25高二下·福建厦门外国语学校（海沧校区）·期中)用两个1，两个3，一个5组成的不同的五位数有_________个.
【答案】30
【分析】利用消序法来解决相同元素的排列问题即可.
【详解】由题意得：不同的五位数有：个，
故答案为：.
30．(24-25高二下·福建福州第一中学·期中)用数字1，2，3，4组成没有重复数字的三位数，则这些三位数中是3的倍数的有（ ）
A．6个 B．9个 C．12个 D．24个
【答案】C
【分析】依题意可知由和组成的三位数是的倍数，再由排列数公式计算可得.
【详解】从数字中选择个数，有；；；共四种情况，
其中由和组成的三位数是的倍数，
所以这些三位数中是3的倍数的有个.
故选：C.
31．【多选题】(24-25高二下·福建三明六校·期中)“六艺”即“礼 乐 射 御 书 数”，为春秋战国时期读书人必须学习的六种技艺，分别为礼法 乐舞 射箭 驾车 书法和算术.某国学馆开设“传承优秀文化”专题培训班，对这六种技艺要逐项培训，下列叙述正确的是（ ）
A．“礼”与“射”必须相邻的培训方法有种排法
B．先培训“数”后培训“乐”的培训方法种数为种排法
C．课程“乐”不排在第一节，课程“御”不排在最后一节，共有种排法
D．甲 乙 丙 丁 戊五名教师教这六门课程，每名教师至少任教一门课程，求甲不任教“数”的课程安排方案种数为种排法
【答案】BCD
【分析】利用捆绑法可判断A；定序问题使用除法可判断B；分“射”排在最后一周，剩下的课程没有限制和“射”不排在最后一周从中间四周选一周，再选一门课程排在最后一周，其他没有限制，然后与加法计数原理求解可判断C；分甲只任教1科和甲任教2科，然后与加法计数原理求解可判断D.
【详解】对于A，先排“礼、射”有种，然后将“礼、射”看作一个课程，与其余4个全排有，
所以满足条件的培训方法种数为，故A错误；
对于B，先全排有种，“数”和“乐”的顺序有2种，满足顺序排法相同，
所以满足条件的排法有种，故B正确；
对于C，当“乐”排在第一节时有种排法，当“御”排在最后一节时有种排法，
全排有种，当“乐”排在第一节且“御”排在最后一节时有种排法，
所以当“乐”不排在第一节且“御”不排在最后一节时有种排法，故C正确；
对于D，当甲只任教1科时有种排法；当甲任教2科时有种排法，
所以甲不任教“数”的课程安排方案有种，故D正确.
故选：BCD.
32．(24-25高二下·北京平谷区第五中学·月考)2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄传》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部现看．
(1)如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？
(2)如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神2》，那么共有多少种不同的选择方法？
(3)如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？
【答案】(1)24
(2)16
(3)144
【分析】（1）根据题意直接全排列即可；
（2）根据题意利用分步乘法计数原理即可求得答案；
（3）根据题意先选2人观看同一部电影，然后安排另外2人观看其余的3部电影即可.
【详解】（1）因为这4名同学选择观看的影片均不相同，
所以不同的选择方法共有种；
（2）因为甲、乙2名同学选择观看的影片已确定，
所以其余2人观看影片的不同方法有种；
（3）因为这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，
所以不同的选择方法有种.
33．(24-25高二下·福建三明第一中学·期中)现有编号为的3个不同的红球和编号为的2个不同的白球．
(1)若将这些球排成一排，且要求两个球相邻，则有多少种不同的排法？
(2)若将这些球排成一排，且要求球排在中间，两个球不相邻，则有多少种不同的排法？
(3)若将这些球放入甲、乙、丙三个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则有多少种不同的放法？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由捆绑法求解即可；
（2）先确定A，再将安排在两边，进而可求解；
（3）将5个小球按3，1，1和2，2，1分3组，再全排列即可；
【详解】（1）将两个球捆绑在一起和其他球进行全排列，有种不同的排法．
（2）先把球排在中间位置，再从球的两侧各选一个位置排两个球，其余球任意排列，所以有 种不同的排法．
（3）先把5个小球分成3组，再放入3个盒子中．
若按3，1，1分配，则有种不同的放法；
若按2，2，1分配，则有种不同的放法．
所以共有种不同的放法．
34．(24-25高二下·福建福清·期中)求下列问题的排列数：
(1)4名男生3名女生排成一排，3名女生相邻；
(2)4名男生3名女生排成一排，3名女生不能相邻；
(3)4名男生3名女生排成一排，女生不能排在两端.
【答案】(1)720(种)
(2)1440(种)
(3)1440(种)
【分析】（1）利用捆绑法进行排列计算可得结果；
（2）利用插空法先排男生，再将女生插空排列计算可得结果；
（3）根据特殊元素排法将两端排上男生再进行全排列即可得结果.
【详解】（1）根据相邻问题捆绑法得，先将3名女生全排列，并作为一个元素，再和其余4名男生一起排列，
共有(种)不同的安排方法.
（2）根据不相邻问题插空法得，先将4名男生进行全排列，再将3名女生插在5个空位上，
共有(种)不同的排列方法.
（3）先从4名男生中取2人排在两端，再将其余5人排在中间5个位置上，
共有(种)不同的排列方法.
35．(24-25高二下·福建莆田第八中学·期中)甲乙丙丁戊五个同学
(1)排成一排，甲乙不相邻，共有多少种不同的排列方法？
(2)排成一排，甲不在首位，乙不在末位，共有多少种不同排列方法？
(3)去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，共有多少种不同游览方法？
(4)分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有多少种不同分配方法？
【答案】(1)72；
(2)78；
(3)243；
(4)150.
【分析】（1）根据给定条件，利用不相邻问题插空法列式计算即得.
（2）求出无限制条件的排列数，去掉甲在首位或者乙在末位的排列数即可.
（3）根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算即得.
（4）把5人按或分组，再把每一种分组方法安排到三个城市即可得解.
【详解】（1）排成一排，甲乙不相邻，先将丙丁戊排成一列有种方法，再将甲乙插空隙中，有种方法，
所以共有不同排法数为（种）.
（2）排成一排，无限制条件的排列有，甲不在首位，乙不在末位的反面是甲在首位或乙在末位，共有，
则甲不在首位，乙不在末位的不同排法有（种）.
（3）去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，因此每个人都有种选择，
所以不同游览方法有（种）.
（4）分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，则先把5人按分组，有种分组方法，
按分组，有种分组方法，因此不同分组方法数为，
再把每一种分组安排到三个城市，有种方法，
所以不同分配方法种数是.
36．(24-25高二下·福建厦门泉州五校·期中)如图，一套俄罗斯套娃由8个大小各不相同套娃组成，将这8个套娃放置在一个上下两层的展示架上，上层放置3个，下层放置5个，且要求每层的套娃左边都比右边的大，则不同的放置方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】A
【分析】根据题意，只需从8个套娃中任选3枚放在上层，或者任选5枚放在下层都可以达到要求，故得方法数.
【详解】依题意，只需从8枚套娃中任选3枚放上层，有种，因为每层套娃左边都比右边的大，
则上下排法均只有1种，所以不同的摆放方法有种.
故选：A.
37．(24-25高二下·福建厦门泉州五校·期中)甲、乙、丙三名射击运动员进行射击训练.已知甲、乙、丙的枪中分别装有1、3、3发子弹.每次随机选一人射击，直到所有子弹射完为止.则不同的射击顺序有（ ）
A．140种 B．160种 C．180种 D．200种
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用组合计数问题列式计算得解.
【详解】甲、乙、丙三人共射击7次，从中任取3次让丙射击，再从余下4次中取3次让乙射击，剩下的1次让甲射击，
所以不同的射击顺序有种.
故选：A
38．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期中)将两个1，两个3，一个5从左到右排成一行，则不同的排法种数为（ ）
A．20 B．24 C．30 D．36
【答案】C
【分析】利用分步乘法计数原理及组合计数问题列式求解.
【详解】从5个位置中任取两个排1，从余下3个位置中任取两个排2，最后一个位置排5，
所以不同的排法种数为.
故选：C
39．(24-25高二下·福建福州联盟（高中）·期中)某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有______种.
【答案】30
【分析】根据分步乘法计数原理可得不同的组合方式有种.
【详解】根据题意可知，第一步，派1名男队员共有种；
第二步，派1名男队员共有种，
所以由分步乘法计数原理可得不同的组合方式有种.
故答案为：
40．(24-25高二下·福建福州八县联盟校·期中)近几年，网购已逐渐成为透视消费市场和经济发展的一扇窗户.小米直播间共有位主播（男女），现需安排两人分别担任“主推官”和“推荐官”，要求：主推官和推荐官必须由不同性别的主播担任，且小李（男）和小红（女）至少有一人被选中，则不同的安排方案有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分三种情况讨论：小李（男）被选中，小红（女）没被选中；小李（男）没被选中，小红（女）被选中；小李（男）和小红（女）都被选中.结合分类加法计数原理可得结果.
【详解】分三种情况讨论：
小李（男）被选中，小红（女）没被选中，则需在另外名女主播中再选择一人，
此时，不同的安排方案种数为种；
小李（男）没被选中，小红（女）被选中，则需在另外名男主播中再选择一人，
此时，不同的安排方案种数为种；
小李（男）和小红（女）都被选中，此时不同的安排方案种数为种.
综上所述，不同的安排方案种数为种.
故选：C.
41．(24-25高二下·福建福州第三中学·期中)将6本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，则不同的分法种数为（ ）
A．1440种 B．1560种 C．3960种 D．7200种
【答案】B
【分析】先进行分组，有1，1，2，2和1，1，1，3两种情况，利用排列组合知识分别求出两种情况下的情况数，再相加求出答案．
【详解】先将6本书进行分为4组，每个学生至少一本，有1，1，2，2和1，1，1，3两种情况，
其中分为1，1，2，2的情况有种，
分为1，1，1，3的情况有种，
故不同的分法种数为，
故选：B．
42．(24-25高二下·福建厦门泉州五校·期中)现有甲、乙等6人需在五一假期值班3天，每天至少有1人值班，且每人只值班1天.若要求甲、乙在同一天值班，则不同的安排方案有______种.（用数字作答）
【答案】150
【分析】将甲乙捆绑在一起，与剩下的4个人一起分组，再分两种情况讨论即可.
【详解】将甲乙捆绑在一起，与剩下的4个人一起分组.
分成1，1，3型的方案有：；
分成1，2，2型的方案有：，
总的方案有种.
故答案为：150.
43．(24-25高二下·福建师范大学附属中学·期中)某大学开设了《古今数学思想》《世界数学通史》《几何原本》《什么是数学》四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，大一到大三三个学年必须将四门选修课程修完，则每位同学的不同选修方式有（ ）
A．60种 B．78种 C．96种 D．144种
【答案】B
【分析】结合题意可得每位同学每年所修课程数可以分为或或，先将课程分组，再分配到三个学年，最后按照分类加法计数原理、分步乘法计数原理计算即可.
【详解】由题意可知三年修完四门课程，且每年至多选三门，
则每位同学每年所修课程数可以分为或或，
若按选修四门课程，则先将四门选修课分成三组，有种不同方式，
再分配到三个学年，由分步乘法计数原理可得共有种不同的选修方式；
若按选修四门课程，则先将四门选修课分成三组，有种不同方式，
再分配到三个学年，由分步乘法计数原理可得共有种不同的选修方式；
若按选修四门课程，则先将四门选修课分成三组，有种不同方式，
再分配到三个学年，由分步乘法计数原理可得共有种不同的选修方式；
所以每位同学的不同选修方式有种．
故选：B．
44．(24-25高二下·福建福州第一中学·期中)甲、乙等5位老师到某地3所学校进行送教服务，要求每人只去一所学校，每所学校不能少于1人，且甲、乙在不同一所学校，则不同的安排方法有种__________．
【答案】
【分析】先将甲乙两人安排到不同学校，再根据分步乘法计数原理，利用间接法计算即可.
【详解】设学校为，先把甲乙两人安排到不同学校，有种，
不妨设甲在，乙在，只需剩余3人至少有1人去即可，
利用间接法计算，有种不同安排方法，
根据分步乘法计数原理可知，共有种不同安排方法.
故答案为：.
45．(24-25高二下·福建福州高级中学·)某医院的甲、乙、丙、丁、戊5名医生到湖北的A，B，C三个城市支援抗疫，若要求每个城市至少安排1名医生，则A城市恰好只有医生甲去支援的概率为______（用分数表示）．
【答案】
【分析】利结合分组分配问题，利用分步乘法原理求出基本事件的个数，再利用组合求出事件包含的基本事件个数，最后利用古典概型概率公式求解即可.
【详解】分两步，第一步，把5名医生分成三组，有1，1，3和1，2，2两种分法，
当分成1，1，3时，有种情况，当分成1，2，2时，有种情况；
第二步，把这三组分到三个城市．则共有种情况．
A城市恰好只有医生甲去支援，即将剩下的4名医生分配到2个城市．
则共有（种），因此所求概率．
故答案为：
46．(24-25高二下·湖北宜昌协作体·期中)实施乡村振兴战略，优先发展教育事业.教育既承载着传播知识、塑造文明乡风的功能，更为乡村建设提供了人才支撑，为了补齐落后地区教育发展的短板，解决落后地区优秀教师资源匮乏的问题，某教育局抽调6名优秀教师按照以下要求分配到3所乡村学校去任教.
(1)若三所学校中甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人，有多少种分配方法？
(2)若三所学校中一学校4人，另外两校各1人，有多少种分配方法？
(3)若三所学校每所学校至少一人，有多少种分配方法？
【答案】(1)60
(2)90
(3)540
【分析】（1）按照分步乘法计数原理计算可得结果；
（2）按照分组分配的方式计算可得结果；
（3）可分为三类，在每一类中再利用分步乘法计数原理计算可得结果.
【详解】（1）6名教师选1名到甲学校任教有种方法，
从剩余的5名教师中选2名到乙学校有种方法，
剩余3名教师都分配到丙学校去任教有种方法，
则三所学校中甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人共有种分配方法；
（2）6名教师按，，分为三个组，有种方法，
则三所学校中一校4人，另外两校各1人共有种分配方法.
（3）由题可得教师的分配方案可以是：①，，；②1，1，4；③2，2，2，
①6名教师按，，分为三个组有种方法，
则6人分配到三所学校共有种分配方法；
②6名教师按，，分为三个组有种分法，
则6人分配到三所学校共有种分配方法；
③6名教师平均分配到3所学校有种方法
则6人分配到三所学校每所学校至少一人一共有：种方法
47．【多选题】(24-25高二下·福建三明、南平等六地六校·期中)福建省动植物园举行花卉展览，三明某花卉种植园有种兰花，种三角梅共种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，种精品花卉将全部去展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有种花卉参展，下列选项正确的是（ ）
A．若展馆需要种花卉，有种安排方法
B．若“绿水晶”去展馆，有种安排方法
C．若“绿水晶”不去展馆，有种安排方法
D．若种三角梅不能去往同一个展馆，有种安排方法
【答案】AB
【分析】对于A，从种精品花卉中安排种花卉给展馆即可；对于B，若“绿水晶”去 展馆，将剩下种花卉分到展馆即可；对于C，若“绿水晶”不去展馆，则其必须去展馆，将剩下种花卉分到展馆即可；对于D，若2种三角梅不能去往同一个展馆，则其分别在两个展馆，根据排列组合计算即可.
【详解】对于选项A，若展馆需要种花卉，种精品花卉选种安排在展馆即可，有种安排方法，所以选项A正确；
对于选项B，若“绿水晶”去展馆，将剩下种花卉分到展馆即可，展馆至少有一种，
则有种安排方法，所以选项B正确；
对于C，若“绿水晶”不去展馆，则其必须去展馆，将剩下种花卉分到展馆即可，
则展馆至少有一种，则有种安排方法，所以选项C错误；
对于选项D，若种三角梅不能去往同一个展馆，则其分别在两个展馆，有种安排方法，
将种兰花安排在两个展馆，每种兰花都有种安排方法，则种兰花共有种安排方法，
则有种安排方法，所以选项D错误.
故选：AB.
48．(24-25高二下·福建泉州科技中学·)将1，2，3，…，9这9个数填入如图所示的格子中（要求每个数都要填入，每个格子中只能填一个数），记第1行中最大的数为，第2行中最大的数为，第3行中最大的数为，则的填法共有_______种.
【答案】60480
【分析】按第行、第行、第行的顺序进行填写，结合组合和排列的知识求得正确答案.
【详解】第3行，，可选的位置有3个，其余2个位置任取2个数，共有种情况.
第2行，取剩下6个数中最大的数为，可选的位置有3个，
其余2个位置任取2个数，共有种情况，
第1行，剩下3个数任意排列，则有种情况，
故共有种填法.
故答案为：
49．【多选题】(24-25高二下·福建三明沙县区三明北附高级中学·期中)从5名候选人中选派出3人参加A，B，C活动，且每项活动有且仅有1人参加，甲不参加A活动，则（ ）
A．有48种不同的选派方案
B．有36种不同的选派方案
C．若甲参加活动，则有24种不同的选派方案
D．若甲不参加活动，则有36种不同的选派方案
【答案】AC
【分析】分甲参加、不参加活动讨论，利用排列组合问题及分类加法计数原理计算，可得答案.
【详解】从5名候选人中，且每项活动有且仅有1人参加，
若甲不参加活动，则从余下的人中选出3人参加3项活动，
有种不同的选派方案，故C正确；
若甲参加活动，只能从B、C活动选出1项，有种选法，
再从余下的4人中选出2人参加剩下的2项活动，有种选法，
有种不同的选派方案，故D错误；
一共有种不同的选派方案，故A正确B错误.
故选：AC.
50．【多选题】(24-25高二下·福建厦门外国语学校（海沧校区）·期中)2020年3月，为促进疫情后复工复产期间安全生产，某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到，，三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（ ）
A．所有不同分派方案共种
B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种
C．若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到企业，则所有不同分派方案共12种
D．若企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共32种
【答案】BC
【分析】对于选项A：利用分步计数原理求解判断；对于选项B：按1，1，2分组求解判断；对于选项C：根据每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到企业，分A企业分2人和1人两类求解判断；对于选项D：分企业没有派医生去和派1名医生两类求解判断.
【详解】对于选项A：所有不同分派方案共有34种，故错误；
对于选项B：若每家企业至少分派1名医生，则有种，故正确；
对于选项C：若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到企业，若A企业分2人，则有种；若A企业分1人，则有种，所以共有种，故正确；
对于选项D：若企业没有派医生去，每名医生有2种选择，则共有种，若企业派1名医生则有种，所以共有种，故错误；
故选：BC．
51．(24-25高二下·福建泉州丰泽区北附中学·期中)的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二项式展开式通项公式来求指定项系数.
【详解】由，
当，解得，
所以的系数为，
故选：A.
52．(24-25高二下·福建三明、南平等六地六校·期中)的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．120 D．200
【答案】A
【分析】由题意首先确定展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定的系数.
【详解】展开式的通项公式为，
当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；
当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；
据此可得：的系数为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查二项式定理具体展开项的系数求解问题，解题的关键是写出的通项，再分类讨论的值，确定的系数，考查学生的分类讨论思想与运算能力，属于中档题.
53．(24-25高二下·福建福清·期中)若，则 ______.
【答案】
【分析】先求出展开式的通项公式，然后求出其的2次项系数和3次项系数，从而可出.
【详解】因为展开式的通项公式为，
所以.
故答案为：
54．(24-25高二下·福建厦门泉州五校·期中)二项式的展开式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出二项式展开式的通项，令x的次数为0求出r，回代即可.
【详解】通项公式为，
令，解得，二项式展开式中的常数项为.
故选：D.
55．(24-25高二下·福建莆田第二中学·期中)在的展开式中项的系数为（ ）
A．36 B．45 C．60 D．72
【答案】A
【分析】利用二项展开式的通项公式进行合理赋值即可得到答案.
【详解】的展开式的二项式通项为，
令，可得．
的展开式的二项式通项为，令，则．
故项的系数为．
故选：A
56．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期中)已知的展开式中，前三项的系数成等差数列.
(1)求的值；
(2)求展开式中二项式系数最大的项；
(3)求展开式中所有的无理项的系数和.
【答案】(1)8；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据二项展开式的通项公式和等差中项知识求出；
（2）根据二项式系数性质可知第5项的二项式系数最大，求解即可；
（3）确定所有无理项，再利用赋值法求出目标值.
【详解】（1）展开式的通项为：，
由展开式中的前三项系数成等差数列，得，
整理得：，而，解得，
所以的值为8.
（2）由（1）知，展开式中第5项的二项式系数最大，
所以二项式系数最大项为.
（3）展开式的通项为，
当时，为无理项，即展开式的偶数项，
令展开式的奇数项系数和为，偶数项系数和为，
则，，解得，
所以展开式中所有的无理项的系数和为.
57．(24-25高二下·福建福州闽侯县第二中学·期中)已知关于的二项式的二项系数之和为32，其中．
(1)若，求展开式中系数最大的项；
(2)若展开式中含项系数为40，求展开式中所有有理项的系数之和．
【答案】(1)和
(2)
【分析】（1）利用，解得，求出展开式的通项公式，即可得到展开式中系数最大的项；
（2）利用展开式中含项系数为40，解得，利用的指数为整数，求出展开式中所有有理项，从而得到有理项的系数之和.
【详解】（1）由于关于的二项式的二项式系数之和为32，所以，解得，
则二项式的展开式的通项公式为：，
当时，，所以当或时，展开式的系数最大，
故系数最大项为和
（2）由（1）可得二项式的展开式的通项公式为：，
令，解得：，
因为展开式中含项系数为40，所以，由，得，
所以二项式的展开式的通项公式为：，
当为整数，可取0，2，4，
所以展开式中所有有理项为，，，
故展开式中所有有理项的系数之和为.
58．(24-25高二下·福建莆田第八中学·期中)在的展开式中，若第3项的二项式系数为28，求：
(1)展开式中所有项的二项式系数之和；
(2)展开式中的有理项；
(3)展开式中系数最大的项．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用给定的二项式系数求出，再利用二项式系数的性质求得答案.
（2）求出二项式的展开式的通项，由的幂指数为有理数求解即得.
（3）由展开式通项的系数，列出不等式组并求解即得.
【详解】（1）依题意，，而，解得，
所以展开式中所有项的二项式系数之和为.
（2）二项式展开式通项为，
当为整数时，为有理项，则，
因此当时，；当时，；当时，，
所以展开式中的有理项为．
（3）设第项的系数最大，则，即，
整理得，解得，由，得或，
所以展开式中系数最大的项为．
59．(24-25高二下·福建莆田第五中学·期中)已知，N，若的展开式
中， ．
(1)求的值；
(2)求的值．
在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项与第8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在上面（横线处）问题中，解决上面两个问题（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）．
【答案】(1)
(2)0
【分析】（1）利用二项式系数的性质分别求解；
（2）利用赋值法求项的系数和.
【详解】（1）在二项式的展开式中，
若选填①，只有第6项的二项式系数最大，则展开式中有11项，即；
若选填②，第4项与第8项的二项式系数相等，则，即；
若选填③，所有二项式系数的和为，则，即．故；
（2）由（1）知，于是中，取，得；
取，得
∴所求
60．【多选题】(24-25高二下·福建福清·期中)关于的展开式，下列结论正确的是（ ）
A．二项式系数和为64 B．所有项的系数之和为1
C．第三项的二项式系数最大 D．系数最大值为240
【答案】ABD
【分析】根据二项式定理的性质逐一判断即可.
【详解】对A，二项式系数和为，正确；
对B，令，，所以所有项的系数之和为1，正确；
对C，二项式系数最大的是第四项，错误；
对D，通项公式为，
所以，，，，
，，,，
所以系数最大值为240，正确.
故选：ABD
61．【多选题】(24-25高二下·福建厦门泉州五校·期中)已知二项式，则（ ）
A．展开式中的系数为45 B．展开式中二项式系数最大的项是第6项
C．展开式中各项系数之和为1 D．展开式中系数最大的项是第5项或第7项
【答案】BD
【分析】利用二项式定理求出指定项的系数判断A；利用二项式系数的性质求解判断BD；赋值计算判断C.
【详解】对于A，展开式中的项为，系数为，A错误；
对于B，中间项的二项式系数最大，因此展开式中二项式系数最大的项是第6项，B正确；
对于C，令，，得展开式中各项系数之和为，C错误；
对于D，展开式中奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，且系数的绝对值均为对应项的二项式系数，
又，因此展开式中系数最大的项是第5项或第7项，D正确.
故选：BD
62．(24-25高二下·福建莆田莆田第四中学·期中)的展开式中，所有二项式的系数和为（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】A
【分析】令代入二项式，可得各项系数之和计算求解.
【详解】令，则各项系数的和为.
故选：A.
63．(24-25高二下·福建永春第一中学·期中)已知的展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，且，则_______．
【答案】242
【分析】利用赋值法，通过代入和，结合已知条件得到，求出的值.
【详解】由题意得,则，令，得，
令，得，所以．
故答案为：242．
64．(24-25高二下·福建福州高级中学·)已知的展开式的各项系数之和为，则展开式中有理项共有_____项．
【答案】6
【分析】先应用赋值法求出，再应用通项公式计算求解即可.
【详解】令，得，则或（舍去）．
∴的展开式的通项为．
当时，为有理项，故有理项共有6项．
故答案为：6.
65．【多选题】(24-25高二下·福建泉州安溪一中、惠安一中、养正中学、泉州实验中·期中)的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．展开式共7项 B．x项系数为－280
C．所有项的系数之和为1 D．所有项的二项式系数之和为128
【答案】BD
【分析】A选项，根据二项式展开式的特点判断；B选项，写出通项，然后利用通项求项系数；C选项，利用赋值法求所有项的系数和；D选项，根据所有项的二项式系数之和的公式计算.
【详解】由题意得展开式共8项，故A错；
通项为，令，解得，
所以项系数为，故B正确；
令中得，
所以所有项的系数之和为，故C错；
所有项的二项式系数和为，故D正确.
故选：BD.
66．【多选题】(24-25高二下·福建泉州中远学校·)已知，则（ ）
A． B．是所有系数中的最大值
C． D．
【答案】AD
【分析】对于A：令计算；对于B：确定的系数的正负即可判断；对于C：令，令得到两个式子相加即可；对于D：令整理化简即可.
【详解】对于A：令得，A正确；
对于B：是的系数，，明显其系数小于零，不可能是所有系数中的最大值，B错误；
对于C：令得，
令得，
两式相加得，则，C错误；
对于D：令得，
等式两边同时乘以得，D正确.
故选：AD.
67．(24-25高二下·福建三明、南平等六地六校·期中)若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】将，，代入判断ACD，利用二项式展开式的通项公式判断B即可.
【详解】将代入得，解得，A正确；
由二项式定理可知展开式的通项为，
令得，所以，B错误；
将代入得，
即，C正确；
将代入得，
即①，
将代入得，
即②，
①+②得，所以，
①-②得，所以，
所以，D正确；
故选：ACD
68．【多选题】(24-25高二下·福建福州第四中学·)已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】设令，利用赋值法可判断ACD选项；利用二项展开式通项可判断B选项.
【详解】令.
对于A选项，，A错；
对于B选项，的展开式通项为，
令，可得，则，B对；
对于C选项，
，C对；
对于D选项，，
所以，，D错.
故选：BC.
69．【多选题】(24-25高二下·福建厦门大学附属科技中学·期中)已知，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．二项式系数和为128 D．
【答案】AD
【分析】令可判断A，令可判断B，求出二项式系数和可判断C，对两边求导，令可判断D.
【详解】由，
对于A，令得，故A正确；
对于B，令得，所以，故B错误；
对于C，二项式系数和为，故C错误；
对于D，对两边求导，得
，令得，故D正确.
故选：AD.
70．【多选题】(24-25高二下·福建师范大学附属中学·期中)已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．这8个数中最大
【答案】AC
【分析】由题设可知，进而求出具体的二项式系数判断A，C，利用二项式系数的性质判断D，利用整体代入法判断B即可.
【详解】，
所以，
对于A，结合已知可得，则A正确；
对于B，令，得到，则，
而，解得，则B错误；
对于C，由二项式定理可得
，则C正确；
对于D，由二项式系数的性质得在这8个数中最大，则D错误.
故选：AC.
71．(24-25高二下·福建三明六校·期中)已知，且恰能被6整除，则的取值可以是（ ）
A．1 B．4 C．11 D．16
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用二项式定理，结合整除思想求解.
【详解】依题意，，
而能被6整除，则是6的正整数倍，ABD不满足，C满足.
故选：C
72．(24-25高二下·福建三明永安九中、宁化六中、金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为.
(1)求出展开式的中间项；
(2)设，则当时，求a除以15所得余数.
【答案】(1)4320；
(2)0.
【分析】（1）根据二项式系数的比例及组合数列方程求得，进而得到二项式的展开式，即可得中间项；
（2）由题设，应用二项式展开式确定a除以15所得余数.
【详解】（1）根据题意，，即，又，故，
二项式为，展开式的通项公式，，
所以展开式中间项是第四项，故中间项是4320；
（2）当时，由题设有
，显然能够被整除，故a除以15所得余数为.
73．(24-25高二下·福建三明六校·期中)“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（ ）

A．第10行中第5个数最大
B．第2025行中从左往右第1012个数与第1013个数相等
C．
D．第12行中第8个数与第9个数之比为
【答案】D
【分析】利用图中所给杨辉三角结合组合数的性质即可判断A，B，D，利用组合数的性质计算即可判断C.
【详解】对于A，由杨辉三角性质得在第行里，有共个数，
所以第10行中正中间即第个数最大，故A错误，
对于B，由杨辉三角性质得第行第个数为，
则在第行中，第个数为，第1013个数为，
由组合数性质得，故B错误，
对于C，由组合数运算性质得 ，故C错误.
对于D，由已知得第12行中第8个数为，第9个数为，
则它们的比为，则第8个数与第9个数之比为，故D正确.
故选：D
74．【多选题】(24-25高二下·福建泉州第五中学·期中)“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和，则下列命题中正确的是（ ）
A．在“杨辉三角”中，第行的所有的数字之和为
B．在“杨辉三角”第行的数中，从左到右第个数最大
C．在“杨辉三角”中，从第3行开始，取每行的第4个数得到一数列，则该数列前10项之和为
D．记“杨辉三角”第行的第个数为，则的值恰好是第行的中间一项的数字
【答案】ACD
【分析】对于A，利用所有的二项式系数之和为即可判断；对于B，利用“杨辉三角”中数字的左右对称性和左增右减的性质易判断；对于C，先写出数列的前10项之和为，再运用组合数的性质计算即得；对于D，先写出表示的式子，通过两个角度考虑展开式中的系数即可推理得到.
【详解】对于A，第行的所有的数字之和为，故A正确；
对于B，第行的数中，从左到右共有个数，则第个数最大，故B错误；
对于C，从第3行开始，取每行的第4个数得到一数列，则该数列前10项之和为，
因 ，故C正确；
对于D，依题意，，则，
下面证明.
分别从两个角度考虑二项式展开式中的系数，由的通项可知的系数为，
由考虑，的系数为：，
故有，而第行的中间一项为第项，即，故D正确.
故选：ACD.
75．(24-25高二下·福建厦门大学附属科技中学·期中)进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满十进一就是十进制，满八进一就是八进制，即“满几进一”就是几进制，不同进制的数可以相互转换，如十进制下，，用八进制表示159这个数就是237.现用八进制表示十进制的，则这个八进制数的最后一位为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】D
【分析】由，通过二项式定理展开即可求解.
【详解】，
而，故最后一位数为7，
故选：D.
76．【多选题】(24-25高二下·福建泉州科技中学·)下列说法正确的是（ ）
A．若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则
B．若，则
C．被8除的余数为1
D．的展开式中含项的系数为5292
【答案】BD
【分析】根据二项式系数的性质判断A的真假；利用“赋值法”判断B的真假；利用二项式定理判断C的真假；求的系数，判断D的真假.
【详解】对A：若第2,3项的二项式系数相等且最大，则；若只有第3项的二项式系数最大，则；
若第3,4项的二项式系数相等且最大，则.故A错误；
对B：令可得；令可得，
所以，故B正确；
对C：因为 ，
所以被8除的余数为7，故C错误；
对D：因为
.
所以的系数为，故D正确.
故选：BD
77．(24-25高二下·福建三明、南平等六地六校·期中)2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：①本题共3小题，每小题6分，满分18分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分；③部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）．已知在某次新结构数学试题的考试中，某同学三个多选题中第一小题和第二小题都随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个选项，这位同学的多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）共有种情况，则除以36的余数是______．
【答案】13
【分析】先分析得这位同学第一小题和第二小题都可能得0分，4分或6分，第三小题可能得0分，2分或3分，再列举出所有的得分，找到，利用二项式定理解决余数问题.
【详解】这位同学第一小题和第二小题都可能得0分，4分或6分，
第三小题可能得0分，2分或3分，
如图，当第三题得0分时，有可能总得分为：，
当第三题得2分时，有可能总得分为：，
当第三题得3分时，有可能总得分为：，
所以这位同学的多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）为：
，即，
则
，
.
故答案为：13.
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