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专题02一元函数的导数及其应用
16大高频考点概览
考点01 基本初等函数与复合函数的导数
考点02 极限问题
考点03 导数求值
考点04 导数的切线方程
考点05 求已知函数的单调性
考点06 已知函数的单调性求参数
考点07 求已知函数的极值
考点08 已知函数的极值求参数
考点09 求已知函数的值域与最值
考点10 已知函数的值域最值求参数
考点11 求已知函数的零点
考点12 已知函数的零点求参数
考点13 函数与不等式
考点14 不等式恒成立有解问题
考点15 不等式证明问题
考点16 导数与对称性结合
1．(24-25高二下·广东卓越教育发展联盟学校·)下列导数运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据求导法则及求导公式判断ABC，再由复合函数的求导判断D.
【详解】因为，，，
，
所以ACD错误，B正确.
故选：B
2．(24-25高二下·广东深圳龙华中学·期中)（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据复合函数的求导公式计算即可.
【详解】，
故选：B.
3．(24-25高二下·广东江门广德实验学校·期中)（多选）下列求导正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据求导法则及简单复合函数的求导法则计算可得.
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D正确.
故选：BCD
4．(24-25高二下·广东清远211联盟·期中) （多选）下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据导数运算法则，结合每个选项的函数解析式，逐一求解即可.
【详解】对A： ，所以A错误；
对B： ，所以B错误；
对C： ，所以C错误；
对D：，所以D正确；
故选：ABC.
5．(24-25高二下·广东东莞济川中学·期中) （多选）下列函数求导正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】ABD选项，利用导数四则运算法则求解；C选项，利用复合函数求导公式进行求解.
【详解】A选项，，A正确；
B选项，，B正确；
C选项，，C错误；
D选项，，D错误.
故选：AB
1．(24-25高二下·广东东莞济川中学·期中)已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】B
【分析】利用导数的定义即可求解.
【详解】，
所以.
故选：.
2．(24-25高二下·广东清远211联盟·期中)设函数在处存在导数为2，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用导数的定义计算得解.
【详解】由导数的定义可知.
故选：A
3．(24-25高二下·广东深圳新安中学（集团）高中部·期中)若函数在处可导，且，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】结合简单的极限运算，根据导数的定义求解即可.
【详解】.
故选：C
4．(24-25高二下·广东广州庆丰实验学校·期中)若函数在处切线斜率为1，则（ ）
A． B．0.5 C．1 D．2
【答案】B
【分析】利用导数的定义即可求解．
【详解】因为函数在处切线斜率为1，所以
.
故选：B.
5．(24-25高二下·广东广州衡美高级中学·期中)已知函数在处可导，且，则（ ）
A． B．9 C． D．1
【答案】B
【分析】由导数的计算公式可得.
【详解】.
故选：B
1．(24-25高二下·广东深圳·期中)已知函数，则（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
【答案】B
【分析】利用求导，赋值，即可求出.
【详解】求导得，令，得，解得．
故选：B.
2．(24-25高二下·广东江门培英高级中学·期中)若函数，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】求导，令，求得，进而可求解.
【详解】由，
，
令，可得，得，
所以，
所以，
故选：A
3．(24-25高二下·广东江门台山一中、开侨中学两校·期中)已知函数，记为函数的导函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对求导，再求出，即可求解.
【详解】因为，则，
又，所以，则．
故选：B．
4．(24-25高二下·广东茂名电白区·期中)已知函数，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】求导即可代入求解.
【详解】，则，
故选：B
5．(24-25高二下·广东佛山南海区·)设函数是函数的导函数，且满足，则_____．
【答案】1
【分析】先求导，令即可求解.
【详解】由，得，令，得．
故答案为：1.
1．(24-25高二下·广东东莞光明中学·期中)曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义可求切线方程.
【详解】因为，故，
故曲线在点处的切线方程为，
故选：B.
2．(24-25高二下·广东广东华侨中学港澳班·期中)函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求导，代入得切线斜率，利用点斜式，写出切线方程.
【详解】依题意，，
因为，
所以，所以切线方程为，
即，
故选：D.
3．(24-25高二下·广东江门鹤山纪元中学·期中)若曲线在处的切线与曲线也相切，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】根据题意，求得在处的切线为，设直线与曲线相切的切点为，求得，又切点在曲线和切线上，代入即可求解.
【详解】对曲线，在切点处切线的斜率，
所以切线方程为：，
对于曲线，设切点，则在点处切线的斜率，
依题意，即，
又点切点在曲线和切线上，即，
所以，
故选：B.
4．(24-25高二下·广东深圳盐田高级中学等校·期中)已知曲线在点处的切线斜率为，则_______.
【答案】
【分析】对函数求导，根据在处的斜率，即可求得.
【详解】由题意可得，所以.
故答案为：.
5．(24-25高二下·广东佛山顺德区第一中学·期中)过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为_____．
【答案】
【分析】分别求出曲线在点，点处的切线方程，再将点代入化简即可.
【详解】设，，由曲线，得，
所以
曲线在点处的切线方程为，
把代入切线方程，得，又，化简得，
同理可得曲线在点处的切线方程为，
，都满足直线，直线的方程为．
故答案为：
1．(24-25高二下·广东中山杨仙逸中学·期中)（多选）已知函数的图象在处切线的斜率为9，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在上单调递减
C．
D．的图象关于原点中心对称
【答案】ABC
【分析】根据导数的几何意义求得a的值，即可判断A；根据函数单调性与导数的关系，即可判断B；由导数的定义可判断C；由函数的对称性即可判断D.
【详解】，则，
因函数的图像在处的切线斜率为9，
所以，解得，故A正确.
，，
令，得，
所以在上单调递减，故B正确.
由于，故C正确.
函数，，，
所以，则的图象关于点中心对称，故D错误.
故选：ABC
2．(23-24高二下·广东东莞常平中学·期中)函数的单调减区间为___________.
【答案】
【分析】首先求出函数的定义域为，再求出，令，解不等式即可求解.
【详解】函数的定义域为，
且，
令，即，解不等式可得，
所以函数的单调递减区间为.
故答案为：
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，解题的关键是求出导函数，属于基础题.
3．(24-25高二下·广东深圳红岭中学·期中)已知函数．若，则的单调递减区间为_____；若是增函数，则_____．
【答案】 1
【分析】把代入，利用导数求出函数的单调递减区间；利用导数结合单调性列出恒成立的不等式，再由的根相等求解.
【详解】当时，函数的定义域为R，
求导得，由，得，
所以的单调递减区间为；
函数是增函数，则，恒成立，
而，因此，恒成立，
的零点满足，当且仅当的根相等时，恒成立，
因此，令，求导得，当时，；
当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
于是，即有唯一解1，所以.
故答案为：；1
4．(24-25高二下·广东部分高中·期中)已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)求证：．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）代入，对函数求导，求得斜率即可写出直线方程；（2）对函数求导，分，两种情况讨论；
（3）由第二问的单调性可知，通过放缩即可证得不等式成立.
【详解】（1）当时，，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2），则．
对于方程．
当，即时，，函数在上单调递减；
当，即时，方程有两不等根，
，且，
所以当或时，；当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，函数的单调递增区间为，
单调递减区间为，．
（3）证明：由（2）知，当时，函数在上单调递减，
又，所以当时，，
即当时，．
因为，所以，所以，
即，
所以，
，
，
…
，
累加可得
，
即，
所以．
5．(24-25高二下·广东江门台山一中、开侨中学两校·期中)已知函数的图象在点处的切线方程是．
(1)求，的值；
(2)求函数的单调区间．
【答案】(1)，.
(2)单调增区间为和，单调减区间为．
【分析】（1）求出曲线的斜率，切点坐标，求出函数的导数，利用导函数和斜率的关系，即可求出，
（2）求出导函数的符号，判断函数的单调性即可得到函数的极值．
【详解】（1）由题意可知，
已知函数图象在处的切线方程是，
所以，，
解得，．
（2）由（1）可知，的解析式为，
则，
令，解得或，
令，解得或，则函数在和上单调递增，
令，解得，则函数在上单调递减，
综上所述，的单调增区间为和，单调减区间为．
1．(24-25高二下·广东清远211联盟·期中)已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意在上恒成立，分离参数得，令，利用导数求得其最大值，即可得解.
【详解】依题意，，因为函数在上单调递减，
所以在上恒成立，则，令，则，
令，则，故当时，，
当时，，故在上单调递增，在上单调递减，
故，故，则，
故实数a的取值范围为.
故选：D
2．(24-25高二下·广东佛山顺德区第一中学·期中)已知函数在单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由在恒成立，参变分离求最值即可.
【详解】因为在单调递增，则在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，
由可得
所以函数在单调递增，
故，
，即．
故选：D
3．(24-25高二下·广东深圳·期中)已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【分析】利用求导，将原函数在给定区间上的单调性问题转化成导函数不等式恒成立问题，通过参变分离，进一步化成求对应函数的最大值解决.
【详解】由求导得：，
依题意，在上恒成立，即在上恒成立．
设，易得在上单调递增，所以，
故得，即实数a的取值范围是．
故答案为：.
4．(24-25高二下·广东佛山H7联盟·)已知函数在上单调递增，则的取值范围为__________.
【答案】
【分析】求得可得，根据题意，转化为在上恒成立，令，得转化为在上恒成立，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由函数，可得，
因为在上单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，即在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为当时，，当且仅当时，等号成立，所以，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：.
5．(24-25高二下·广东潮州松昌中学·期中)若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【分析】根据函数在区间上的单调性可得在区间上恒成立，即在区间上恒成立，求出在上的最大值即可求解.
【详解】由，得，
因为函数在区间上单调递增，
所以在区间上恒成立，
即恒成立，因为，所以，所以，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
1．(24-25高二下·广东江门新会第二中学·期中)（多选）已知函数，则（ ）
A．是奇函数
B．有两个极值点
C．有三个零点
D．直线是曲线的切线
【答案】BD
【分析】利用奇函数定义判断A，求得，得出函数的单调区间，求得函数的极值点和极值，以及结合曲线在点处的切线方程，判断BCD.
【详解】函数定义域为R，但，
所以不是奇函数，故A错误；
由函数，可得，令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以当时，函数极大值，极大值为，
当时，函数极小值，极小值为，
又由当无限趋向于负无穷大时，，且函数连续不间断，
所以函数在上有且仅有一个零点，所以B正确，C不正确；
当时，可得，
所以曲线在点处的切线方程为，所以D正确.
故选：BD.
2．(24-25高二下·广东中山龙山中学·期中)已知.
(1)若，求的极值；
(2)当时，，求的取值范围.
【答案】(1)极小值0，无极大值；
(2).
【分析】（1）将代入函数解析式，利用导函数求得的单调性，再求极值即可；
（2）求导，设新函数，分类讨论函数的正负，从而得出函数的单调性，找出符合题意的的取值范围.
【详解】（1）当时，，则，
时，，即单调递减；时，，即单调递增；
故在处有极小值，无极大值，
所以有极小值0，无极大值.
（2）由题意得，，令，
易得在为增函数，
①若，即时，
则时，所以单调递增，
故，符合题意；
②若，即时，
，
故存在，使得，
时，即，单调递减；时，即，单调递增，
故时，，不符合题意.
综上，的取值范围是.
3．(24-25高二下·广东江门新会第二中学·期中)已知函数，，且．求：
(1)求a的值及曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性及求函数极值．
【答案】(1)1，
(2)增区间为：和，减区间为，的极大值是0，极小值是.
【分析】（1）求导可得，由得，再由导数的几何意义求出切线方程即可；
（2）求的根，与的解集，列表格，根据极值的概念即可求解.
【详解】（1）由得，由得，
所以，则，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）函数的定义域为R，，由得或，
0
+ 0 - 0 +
增函数 极大值0 减函数 极小值 增函数
由上表可知，的增区间为：和，减区间为，
所以的极大值是0，极小值是.
4．(24-25高二下·广东惠州光正实验学校·期中)已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，求函数的极值；
(3)若，求函数的单调区间.
【答案】(1)
(2)极大值，无极小值
(3)单调递增区间为
【分析】（1）由已知求导，然后根据导数的几何意义求得切线的斜率，根据点斜式即可求解；
（2）先对求导，令，通过判断的单调性求解函数的单调区间，即可求解；
（3）先对求导，设，通过求导求解函数的最小值，即可判断的单调区间.
【详解】（1）当时，，
所以，，
所以曲线在点处的切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）时，，，
令，则对恒成立，
所以在上单调递减，又，
所以时，，则，在上单调递增；
时，，则，在上单调递减；
故时取得极大值，无极小值；
（3）由题意可知，函数的定义域为，所以，
设，则，
令，则，解得或（舍），
当时，，当时，，
所以在区间上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，所以，所以，
所以，即，
所以函数的单调递增区间为.
5．(24-25高二下·广东江门新会区第一中学·期中)已知函数在处有极值2.
(1)求，的值：
(2)求函数在区间上的最大值.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）对求导，再利用极值的定义得到与，从而列式即可得解；
（2）利用导数判断的单调性，再利用的单调性可求得其最大值，从而得解.
【详解】（1）因为函数在处有极值，且，
所以，解得，
故.
（2）由（1）得：，，
又，
令，得，令，得，
故在上单调递减，在上单调递增
故的最大值是或，
而，，
故函数的最大值是2.
1．(24-25高二下·广东广州天河中学·期中)已知，该函数在时有极值0，则（ ）
A．4 B．7 C．11 D．4或11
【答案】C
【分析】根据和求出的值，再检验是否在处取极值即可.
【详解】容易得，
因在处取极值，
则且，
解得或，
当时，，
则在上单调递增，则无极值，不符合题意；
当时，，
则得或；得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
则在处取极小值，符合题意，
故，则.
故选：C
2．(24-25高二下·广东卓越教育发展联盟学校·) （多选）已知函数在处取到极大值1，则以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．的极小值点为
【答案】ABD
【分析】求出函数的导数，利用所给极值点及极值求得，再由极值的定义验证并判断.
【详解】函数，求导得，
由，得，解得，
，
当时，有，有，是的极小值点，不符合题意；
当时，由，得或；由，得，
因此是的极小值点，是的极大值点，符合题意，ABD正确，C错误.
故选：ABD
3．(24-25高二上·宁夏石嘴山第三中学·期末)已知函数在处取得极值.
(1)求函数的解析式及单调区间；
(2)求函数在区间的最大值与最小值.
【答案】(1)，单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)最大值为2，最小值为.
【分析】（1）求导，根据，求出，求出解析式，并解不等式，求出单调区间；
（2）在（1）基础上，得到函数极值情况，和端点值比较后得到答案.
【详解】（1），
由题意得，即，解得，
故解析式为，定义域为R，
令，令得或，
令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
显然为极小值点，故，
单调递增区间为，单调递减区间为，
（2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
表格如下：
1
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
又，
故的最大值为2，最小值为.
4．(24-25高二下·广东广州第十六中学·期中)已知函数.
(1)求证：当时，曲线与直线只有一个交点；
(2)讨论的单调性；
(3)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）当时，对求导，分析函数单调性，确定的最值，可证明曲线与直线只有一个交点；
（2）求导，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可求得函数的增区间和减区间；
（3）由（2）中的结论可得出实数的取值范围.
【详解】（1）当时，函数，求导得：，
令，得；令，得；
则函数在上递增，在上递减，故，
所以曲线与直线只有一个交点.
（2）函数的定义域为，
，
当时，对任意的，，
由可得，由可得，
此时函数的增区间为，减区间为；
当时，由可得或，由可得，
此时函数的增区间为、，减区间为；
当时，对任意的，，此时函数的增区间为；
当时，由可得或，由可得，
此时函数的增区间为、，减区间为，
综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为；
当时，函数的增区间为、，减区间为；
当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，函数的增区间为、，减区间为.
（3）由（2）可知，若函数既存在极大值，也存在极小值，则或，
故实数的取值范围是.
5．(24-25高二下·广东实验中学·期中)设函数a为常数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在上是否存在极值？若存在，请求出，若不存在，说明理由；
(3)已知，若为增函数，求a.
【答案】(1)
(2)存在，极值见解析
(3)1
【分析】（1）先求得，从而得到，，再根据导数的几何意义和直线的点斜式方程即可求出切线方程；
（2）先求，要判断是否存在极值，即判断在上单调情况，即判断在上的符号情况；
（3）将为增函数转化为恒成立，从而构造函数，再根据函数的最值即可求得a的值．
【详解】（1）当时，，则，
，切点为，切线斜率为，
切线方程为，整理得，
（2），
当时，递增，无极值；
当时，得，
得得，
所以在单调递减，在单调递增
所以时有极小值，无极大值，
综上：当时，无极值；
当时，有极小值，无极大值．
（3）为增函数，恒成立，
方法1：令，
则，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
当时，取得极小值，也是最小值，
，
令，令，解得，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
又，
．
方法2：，解得，或，
当时，，易知，不符题意；
当时，，设，则，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
当时，取得极小值，也是最小值，，符合题意；
1．(24-25高二下·广东广州第六中学·期中)已知点，分别是函数与图象上的点，则的最大值为________
【答案】
【分析】同构变形得到，构造，求导得到单调性，可得，则，设，求导，得到单调性，故，即得到答案.
【详解】由题意可知，，即，
又，，所以，则.
设，则，所以在上单调递增，
所以，则，所以，则.
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，所以的最大值为.
故答案为：.
2．(24-25高二下·广东深圳·期中)已知函数，是的导函数.
(1)求的值；
(2)求的最值.
【答案】(1)
(2)最小值为，无最大值
【分析】（1）对函数求导得，将与代入即可求解；
（2）由（1）知.令，通过求导研究的单调性与正负，进一步确定的单调性即可求解最值.
【详解】（1）∵，∴.
∴，，∴.
（2）由（1）知.
令，则，∴在上单调递增.
又，
∴当时，，单调递减；当时，，单调递增，
∴在处取极小值也是最小值，无最大值，
即的最小值为，无最大值.
3．(24-25高二下·广东惠州光正实验学校·期中)已知函数；
(1)若直线是曲线在点处的切线，求的最值；
(2)若没有零点，求的取值范围.
【答案】(1)最小值为，无最大值
(2)
【分析】（1）求出函数在处的导数和的值，结合直线方程的点斜式，可求切线方程，求出值，进而求出函数的最值；
（2）利用函数的单调性以及函数与方程零点的关系进行分类讨论求解．
【详解】（1），由题意可得，．
，令，解得，
当时，，当时，，
在上递减，在上递增，
，无最大值．
（2），
当时，，在上递减，
当趋近于时，，且，
所以在上有个零点，不合题意，舍去；
当时，由（1）易知在上递减，在上递增，
，
由题意可得，设，
在上递增，且，当时，，
所以，满足题意
4．(24-25高二下·广东广州协和学校等三校·期中)已知函数在处取得极值．
(1)求的值；
(2)求曲线在点处的切线方程；
(3)求函数在上的最值．
【答案】(1)，
(2)
(3)最大值为，最小值为
【分析】（1）根据极值点和极值可构造方程组求得，验证可得结论；
（2）由导数几何意义可求得切线斜率，结合可求得切线方程；
（3）根据单调性可确定最值点，进而求得最值.
【详解】（1），在处取得极值，
，解得：；
当，时，，
当时，；当时，；
在，上单调递减，在上单调递增，
是的极小值点，满足题意；
综上所述：，.
（2）由（1）得：，，，，
在点处的切线方程为：，即.
（3）由（1）知：在，上单调递减，在上单调递增；
，
又，，，
在上的最大值为，最小值为.
5．(24-25高二下·广东东莞光明中学·期中)若，求：
(1)的单调递减区间；
(2)在上的最小值和最大值．
【答案】(1)的增区间为，减区间为
(2)，.
【分析】（1）求出函数的导数并判断其符号后可得函数的单调区间；
（2）根据（1）中的单调性可得函数的最值.
【详解】（1），
当或时，；当时，，
故的增区间为，减区间为.
（2）由（1）可得在为减函数，在上为增函数，
故，.
1．(24-25高二下·广东肇庆封开县南丰中学·期中)已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意得，易知在区间上单调递增，由在区间上有最小值，可得，即可求解.
【详解】由题意得，
易知在区间上单调递增，
若在区间上有最小值，
则，即，解得.
这时存在，使得在上单调递减，在上单调递增，
即函数在上有极小值，也是最小值，
所以的取值范围是.
故选：A.
2．(24-25高二下·广东东莞光正实验学校·期中)若函数在区间上存在最值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】借助导数研究函数单调性即可得其在何处取得最值，即可得解.
【详解】，
则当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
即在处取得最值，则有，
解得.
故选：C.
3．函数，若在上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求得导数，当时，得到在上单调递减，不符合题意；
当时，结合函数与的图象，得到存在，使得，结合函数的单调性，即可求解.
【详解】由题意，函数，可得，
若时，当时，可得，在上单调递减，
此时函数在没有最小值，不符合题意；
当时，令，即，即与的交点，
画出函数与的图象，如图所示，
结合图象，可得存在，使得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
此时函数在上有最小值，符合题意，
综上可得，实数a的取值范围是.
故选：A.

4．(24-25高二下·广东普宁兴文中学·期中)已知函数，若的最大值为
(1)求的值；
(2)若在上恒成立，求b的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】先利用导数研究函数的单调性，故可得，可得的方程，解得的值；
分离参数可得，故可设，利用导数研究函数的极值，故得b的取值范围.
【详解】（1）易知函数的定义域为，
根据题意可得，令，得，
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减；
所以，
解得
（2）由（1）知，
因为，所以可化为，
设，
所以，则在上恒成立，
即可得在上单调递减，
，
因此的取值范围是
5．(23-24高二下·广东佛山顺德区第一中学·期中)已知函数．
(1)当时，以点为切点作曲线的切线，求切线方程；
(2)证明：函数有3个零点；
(3)若在区间上有最小值，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）求出函数的导函数，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，最后由点斜式求出切线方程；
（2）利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极值，再结合零点存在性定理证明即可；
（3）结合（2）中函数的极小值点及极小值， 令求出所对应的，从而得到，解得即可.
【详解】（1）当时，则，，
所以，
所以切线方程为，即；
（2）因为定义域为，
又，因为，所以，
由，解得或，由，解得；
则函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
所以，，
又，，
且当时，当时，
即，所以在上存在唯一零点，
由，所以在上存在唯一零点，
由，所以在上存在唯一零点，
所以在和上均不存在零点，
所以函数有且仅有个零点．
（3）由（2）可知的极小值点为，极大值点为，且，
当时，即，则，
解得或，
因为在区间上有最小值，
所以最小值为函数的极小值，即，解得，
所以的取值范围为．
1．(24-25高二下·广东湛江·期中)函数在上的零点和极值点个数之和为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】令解得或，求出满足的解的个数，然后利用导数及三角函数的图像与性质判断函数的单调性从而确定极值点的个数，求和即可.
【详解】令，所以或，
又，所以，，即在区间有5个零点，
，令，解得或 ，
又，所以在区间上有2个解，设为，且，
在区间上有2个解，设为，且，
当时，，，
故在上单调递减，
当时，，
故在单调递增，
故在[0，上有4个变号零点，即在上有4个极值点，
所以在上的零点和极值点个数之和为9.
故选：C
2．(24-25高二下·广东广州第十六中学·期中)已知函数
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)在坐标系中画出函数的简图（参考数据；要含有必要的说明和体现必要的图象特征）；
(3)若，讨论函数的零点个数.
【答案】(1)增区间，减区间，极小值为，无极大值.
(2)图象见详解
(3)答案见详解
【分析】（1）求导后，根据的正负可得单调区间，根据极值点定义可求得极值；
（2）分析，，结合（1）中的单调性和极值，作出函数图象；
（3）将问题转化为与的交点个数问题，结合（2）中图象分析可得结果.
【详解】（1）由，，
则，
令，解得或，令，解得，
所以的单调增区间为，减区间为，，
的极小值为，无极大值.
（2）由时，，结合（1）中的单调性和极值，的图象如下：
（3）由题，的零点个数等价于与的交点个数；
结合（2）中图象可知：
当时，与有且仅有1个交点，
当时，与无交点，
当时，与有且仅有1个交点，
当时，与有2个不同的交点，
综上，当时，函数无零点，当或时，函数有且仅有一个零点，
当时，函数有两个不同的零点.
3．(24-25高二下·广东广州第七中学·期中)已知函数．
(1)求在处的切线方程；
(2)求函数零点个数；
(3)当时，函数恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)个
(3)
【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程；
（2）讨论、、，根据函数值符号，且利用导数判断在上恒成立，即可得解；
（3）问题化为在上恒成立，对求导，讨论参数，利用导数研究对应的单调性及其函数符号求参数范围.
【详解】（1）因为，
所以，则，又，
所以在处的切线方程为，即.
（2）当时，，，故恒成立；
当时，；
当时，令，则，
令，，则，即在上单调递增，
所以，故在上单调递增，
所以在上恒成立，即恒成立；
综上，函数只有一个零点为；
（3）由题意，在上 恒成立，
所以在上恒成立，
而，，
令，，则，
对于，，则，
所以在上单调递增，则，可得，
对于，，则，
所以在上单调递增，则，可得，
综上可得，，则，
即在上单调递增，
所以，
当时，，即在上单调递增，此时，符合题意；
当时，，，
所以使，所以当时，
则在上单调递减，所以当时，
即存在区间使，不符合题意；
综上可得，的取值范围为.
4．(24-25高二下·广东江门新会区第一中学·期中)已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，，讨论的零点个数.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）求，根据a的范围分类讨论导数的正负，从而判断f(x)的单调性；
（2）令并参变分离，将问题转化为三次函数与常数函数图象交点问题.
【详解】（1）的定义域为R，.
若，令，得或，令，得；
若，令，得或，令，得.
综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，，
令，则，
令，
则.
当和时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以的极小值为，的极大值为，
画出函数的大致图象，如图，
由图可知，
当或时，函数有1个零点；
当或时，函数有2个零点；
当时，函数有3个零点.
5．(24-25高二下·广东江门鹤山纪元中学·期中)已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)讨论函数的零点个数.
【答案】(1)当时，函数 在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
(2)当时，函数没有零点；
当或时，函数有1个零点；
当时，函数有2个零点.
【分析】（1）对函数，求导得出，
对进行分类讨论，根据导数和单调性的关系，即可求得函数的单调性.
（2）由题意可知，函数的零点个数转化为函数与
图像交点的个数，分别作出两个函数的图像即可求解.
【详解】（1）函数的定义域为，.
当时，恒成立，所以在上单调递减；
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）令，得.
令，则，
令，得；令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
所以；
当时，，
当时，，所以，
所以函数的图象如图所示，由图可得，

当时，直线与函数的图象没有交点，函数没有零点；
当或时，直线与函数的图象有1个交点，函数有1个零点；
当时，直线与函数的图象有2个交点，函数有2个零点.
1．(24-25高二下·广东广州协和学校等三校·期中)已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设，若有两个零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2)
【分析】（1）先求定义域以及导函数，再分、两种情况，分类讨论出函数的单调性；
（2）将问题转化为在上有两个零点，再结合（1）的单调性可得，再通过以及当时，来说明时在上有两个零点的正确性.
【详解】（1）函数的定义域为，
又，
则当时，恒成立，则在上单调递减；
当时，得；得，
则在上单调递减，在上单调递增，
综上，时，在上单调递减；
时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）因在上单调递增，
则有两个零点等价于在上有两个零点，
由（1）可知，若，则在上至多存在一个零点，不符合题意；
若，欲使在上有两个零点，
则，
令，则，则在上单调递增，
又因，则，
因，
则由零点存在性定理可知，在上存在一个零点；
令，则，
则得，；得，，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，即，
则当时，
，
则由零点存在性定理可知，在上存在一个零点，
则当时，在上有两个零点，存在两个零点，
则实数的取值范围为.
1．(24-25高二下·广东茂名电白区·期中)已知函数.
(1)证明：当时，；
(2)讨论的单调性；
(3)若有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）当时，分析函数单调性，求函数的最小值即可.
（2）分，讨论导函数的符号，确定函数的单调区间.
（3）根据（2）的结论，利用极值的符号，确定实数的取值范围.
【详解】（1）由题意，的定义域为，
当时，，，令，解得.
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
当时有最小值为，.
（2）.
①当时，恒成立，在上单调递增；
②当时，令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
综上：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）①当时，恒成立，在上单调递增，最多有一个零点，不合题意；
②当时，令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
的极小值也是最小值为.
又当时，，当时，因为且比的增长速度快很多，所以.
要使有两个零点，只要即可，
则，可得.
综上，若有两个零点，则的取值范围是.
3．(24-25高二下·广东江门鹤山鹤华中学·期中)已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若函数有两个零点，求的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，求得，分和，两种情况讨论，结合的符号，即可求得函数的单调区间；
（2）根据题意，转化为与函数的图象有两个交点， 求得，利用导数求得函数的单调性与极值，作出函数的图象，结合图象，即可得到的取值范围.
【详解】（1）解：由函数，可得其定义域为，且．
（i）当时，对任意的，，所以在上单调递增；
（ii）当时，若，则，则在上单调递增；
若，则，则在区间上单调递减．
综上所述，当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）解：令，可得，令，其中，
因为函数有两个零点，所以函数与函数的图象有两个交点，
又由，令，可得，
列表如下：
+ 0 -
递增 极小值 递减
所以函数的极小值为，
且当时，；当，；当，，
所以函数的图象，如图所示，
当时，函数与函数的图象有两个交点，
因此，所求的取值范围为；
4．(24-25高二下·广东珠海·期中)已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设，若函数有两个零点，求的取值范围
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）求导，分和两种情况讨论，根据导数的符号，即可求出函数的单调区间；
（2）函数有两个零点，即方程有两个不相等的实数根，即方程有两个不相等的实数根，即直线与函数的图象有两个交点，令，求出函数的单调区间，然后画出函数的简图，结合图像即可得出答案.
【详解】（1）函数的定义域为，，
当时，，所以在上单调递减；
当时，当时，，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2），
函数有两个零点，即方程有两个不相等的实数根，
也即方程有两个不相等的实数根，
即直线与函数的图象有两个交点，
令，则，
当或时，，当时，，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，
所以，，
当时，，且，
所以，函数的图象大致如图，
则的取值范围是.

5．(24-25高二下·广东江门广德实验学校·期中)已知函数在处取得极小值．
(1)求实数的值；
(2)若函数有三个零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得，可得出关于实数、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数的解析式；
（2）分析可知，直线与函数的图象有个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：因为，则，
由题意可得，解得，
当，时，，
显然，函数在处可取得极值.
因此，.
（2）解：问题等价于有三个不等的实数根，求的范围.
由，得或，
由，得，
所以在、上单调递增，在上单调递减，
则函数的极大值为，极小值为，如下图所示：
由图可知，当，直线与函数的图象有个交点，
因此，实数的取值范围是.
1．(24-25高二下·广东深圳·期中)已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用构造法求导可知是在上单调递增．然后再利用单调性即可解不等式.
【详解】令，因为，所以，
所以在上单调递增．
又，所以，
因此不等式可化为，
所以，解得，
即不等式的解集为．
故选：B.
2．(24-25高二下·广东部分高中·期中)已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性，进而求出不等式的解集.
【详解】令，由，得，函数在上单调递增，
由，得，不等式化为，
则，解得，所以不等式的解集为．
故选：B
3．(24-25高二下·广东清远·期中)已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的单调性与对称性解函数不等式即可.
【详解】由函数，所以，则为偶函数，
当时，又因为,且恒成立，
则，所以在时单增,
综上可得等价于,即或,解得
故选:C
4．(24-25高二下·广东广州天河外国语学校·期中)已知函数的定义域为，对任意，有，则不等式的解集是______．
【答案】
【分析】依题意令 ，利用导数得到函数的单调性，则不等式可化为，即，根据单调性转化为自变量的不等式，解之即可.
【详解】函数的定义域为，对任意，有，
令，，则，
所以在上单调递增，
不等式，
即，即，
所以，解得，
所以不等式的解集是.
故答案为：.
5．(24-25高二下·广东佛山H7联盟·)已知函数，曲线在点处的切线方程为.
(1)求的值；
(2)证明：.
【答案】(1)，；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据导数的几何意义，结合，，解方程即可；
（2）根据（1）中所求，利用导数判断函数单调性，求得最小值，即可证明.
【详解】（1）由题可知，
则，解得.
又，所以点在切线上，故.
（2）由（1）知，定义域为.
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增.
所以，故.
1．(24-25高二下·广东深圳聚龙科学中学教育集团·)已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【分析】分析可知函数是上的增函数，也是奇函数，可将所求不等式等价变形为在上恒成立，令，其中，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围.
【详解】显然函数是上的增函数，也是奇函数，
因为在上恒成立，
即在上恒成立，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，其中，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
故．
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
2．(24-25高二下·广东深圳福田区外国语高级中学·期中)已知函数的定义域为，，对任意，恒成立，则的解集为______．
【答案】
【分析】令，得到，得出在上单调递增，再由，进而求得不等式的解集，得到答案.
【详解】令，所以，故在上单调递增，
又由，所以当时，，即，
所以的解集为．
故答案为：．
3．(24-25高二下·广东佛山S6高质量发展联盟·期中)设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【分析】采用构造函数法，设，，则原问题转化为存在唯一的整数，使得在直线的下方，对求导可判断函数在处取到最小值，再结合两函数位置关系，建立不等式且，即可求解
【详解】设，，由题设可知存在唯一的整数，使得在直线的下方，因为，故当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；故，而当时，，，故当且，解之得
故答案为：．
【点睛】本题考查由导数研究函数的极值点，构造函数法求解参数取值范围，数形结合思想，属于难题
4．(24-25高二下·广东广州第十六中学·期中)已知函数，，其中为常数.
(1)若时，求函数图象在点处的切线方程与坐标轴围成的三角形的周长；
(2)讨论在上的单调性；
(3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增
(3)
【分析】（1）当时，，求导得斜率，进而由导数的几何意义及点斜式可求得切线方程，求出该切线与坐标轴的交点，即可求解；
（2）将函数，代入，对函数求导得.对分和两类讨论在上的符号情况即可求解；
（3）令，.依题意，在恒成立，故.结合（2）中在上的单调性即可求解.
【详解】（1）当时，，
∴，，∴，
∴由点斜式方程可知函数图象在点处的切线方程为：，即.
令得，即该切线与轴相交于点；
令得，即该切线与轴相交于点，
∴该切线与坐标轴围成的三角形的周长为.
即函数图象在点处的切线方程为，与坐标轴围成的三角形的周长为.
（2）∵，，
∴，∴.
∵，
∴当时，，，∴，
此时在上单调递增；
当时，∵，令，解得；
令，解得，
此时在上单调递减，在上单调递增.
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）令，.
依题意，在恒成立，故.
由（2）知：当时，在上单调递增，
此时，解得；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
此时显然当时，不符合题意.
综上，实数的取值范围.
5．(24-25高二下·广东广州南海中学·期中)已知函数，
(1)若，求函数的最小值；
(2)设函数，讨论函数的单调性；
(3)若在区间上存在一点，使得成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）当时，求出函数的解析式，利用导数分析函数的单调性，即可求出函数的最小值；
（2）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用函数单调性与导数的关系可求得函数的增区间和减区间；
（3）由题意可知，当时，，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上单调性，结合可求得实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，其中，则，
由可得，由可得，
所以，函数的减区间为，增区间为，
所以，.
（2）因为，其中，
则，
当时，即当时，由可得，由可得，
此时，函数的减区间为，增区间为；
当时，即当时，
由可得，由可得或，
此时，函数的增区间为、，减区间为；
当时，即当时，对任意的，，
此时，函数的增区间为，无减区间；
当时，即当时，
由可得或，由可得，
此时，函数的增区间为、，减区间为.
综上所述，当时，函数的减区间为，增区间为；
当时，函数的增区间为、，减区间为；
当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，函数的增区间为、，减区间为.
（3）由（2）可知，当时，函数在上单调递增，则，不合乎题意；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
（i）若，则时，则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
设，其中，则，
所以，函数在上单调递减，则，合乎题意；
（ii）若，即当时，函数在上单调递减，
所以，，解得，
因为，则.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】思路点睛：讨论含参函数的单调性，通常注意以下几个方面：
（1）求导后看最高次项系数是否为，须需分类讨论；
（2）若最高次项系数不为，通常是二次函数，若二次函数开口方向确定时，再根据判别式讨论无根或两根相等的情况；
（3）再根据判别式讨论两根不等时，注意两根大小比较，或与定义域比较. ．
1．(24-25高二下·广东佛山顺德区第一中学·期中)已知函数．
(1)求的极值，并在给定的直角坐标系中画出函数的大致图象（不用说明理由）；
(2)求证：．
【答案】(1)极小值为，无极大值，图见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出导函数，再解不等式和即可得出的单调性，进而求出极值；根据单调性以及函数的正负性即可画出图象.；
（2）构造函数，根据单调性求最小值即可.
【详解】（1），
当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
因此极小值为，无极大值；
当时，；当时，，且，
结合单调性，可画出函数的大致图象，如下图所示：
（2）要证，只要证，
令，则，
则得；得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，即恒成立，
所以．
2．(24-25高二下·广东广东仲元中学、深圳龙城高级中学·期中)已知函数且．
(1)当时，判断函数零点的个数；
(2)讨论函数的单调区间；
(3)当时，证明：．
【答案】(1)个
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论；
（2）对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间；
（3）当时，将所证不等式变形为，令，求出的取值范围，令，其中，利用导数分析函数的单调性，求出该函数的最小值，证得即可.
【详解】（1）当时，，该函数的定义域为，
则，令，可得或，列表如下：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以，函数的增区间为、，减区间为，
所以，函数的极大值为，极小值为，
当时，，
当时，，，由零点存在定理可知，存在，使得，
综上所述，当时，函数有且只有一个零点.
（2）函数且的定义域为，
且，
当时，由可得或，由可得，
此时，函数的增区间为、，减区间为；
当时，由可得或，由可得，
此时，函数的增区间为、，减区间为.
故当时，函数的增区间为、，减区间为；
当时，函数的增区间为、，减区间为.
（3）当时，，
要证，即证，
即证，
令，其中，则，
所以，函数在上单调递增，
当时，；当时，.
所以，函数的值域为，
要证，即证，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以，函数的减区间为，增区间为，
所以，，
因此，对任意的，，故原不等式得证.
3．(24-25高二下·广东东莞光明中学·期中)已知函数．
(1)若有两个零点，且，求的取值范围；
(2)在（1）的条件下，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数后判断单调性，结合最值的符号和零点存在定理可求的取值范围；
（2）结合（1）中的函数性质可得，我们先证明：，利用已知的单调性将欲求证的此不等式转化为，后者可利用导数证明，再证明，从而可得题设中的不等式.
【详解】（1），
当时，，当时，，
故在上为单调递减，在上为单调递增，
因为有两个零点，故，故.
当时，，而，
设，则，故在上为增函数，
故，故，
而，故当时，确有两个实数根，
综上，.
（2）由（1）可得，
先证明：，即证，
而，故即证，
而，故即证，
即证，而，
故即证：，
设，则，
设，则，
故在上为减函数，故，
故在上为增函数，故即成立，
故.
设，则，
故在上为增函数，故，
故，故，
故 .
4．(24-25高二下·广东深圳实验学校光明部·期中)已知函数．
(1)当时，证明：
(2)若函数的图象始终在直线上方，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）当时，可得，把不等式转化为证明，令，求得，得到函数的单调性，以及，证得，即可得到原不等式成立；
（2）根据题意，转化为，令，求得，当时，得到单调递减，结合，不符合题意；当时，求得的单调性，且，令，转化为在成立，令，利用导数求得在单调递增，结合，得到，即，进而求得实数的取值范围.
【详解】（1）解：当时，可得，
要证不等式，即证，
令函数，可得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，即，
所以原不等式成立；
（2）解：要使得函数的图象始终在直线上方，即在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
可得，
当时，，此时函数单调递减，
又由，所以在上不恒成立，（舍去）；
当时，，即，解得，
当时，；当时，；
所以在单调递减，在上单调递增，
所以，
要使得在上恒成立，只需，
令，即在成立，
即在成立，
令，可得，
所以在单调递增，
因为，所以，即，所以，
所以实数的取值范围为.
5．(24-25高二下·广东湛江·期中)设函数．
(1)时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若有两个极值点且，证明：．
【答案】(1)
(2)答案见解析.
(3)证明见解析
【分析】（1）当时，求出切线斜率，然后得到切线方程；
（2）求出函数的导数，通过的讨论，判断导函数的符号，然后求解函数的单调性；
（3）利用函数的极值点以及函数的单调性，转化证明即可．
【详解】（1）的定义域为 ．
所以，，
因此曲线在点处的切线方程为，
取得．
（2）．
（i）时，在单调递增．
（ii）时，令，则 ，
，．
则单调递增． 单调递减．
综上所得，
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（3）由（2）知，因为是方程 的两根，所以．可得.
等价于 ．
其中 ．
因此待证式等价于，两侧同时加，得，
即证，等价于 ，
由且得，
记，则 ，
记，则，所以单调递减，
所以，则，所以单调递减，所以，证毕．
1．(24-25高二下·广东实验中学·期中)已知函数及其导函数的定义域均为R，记且，为偶函数，则（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．-2
【答案】D
【分析】首先根据为偶函数和得到的一些等式关系，再通过对已知等式求导进一步推导的性质，如周期性等，然后求出的值，最后根据的奇偶性和的周期性求出的值，进而得出结果.
【详解】解：因为为偶函数，，所以，
对两边同时求导，得，
所以有 ，所以函数的周期为8，
在中，令，所以，
因此，因为为偶函数，
所以有（1），
（2），
由（1），（2）可得： ，所以，
故选：D．
2．(24-25高二下·广东深圳·期中)（多选）已知函数的极大值为，则（ ）
A．有1个零点 B．当时，
C．曲线关于点对称 D．过点与曲线相切的直线有2条
【答案】ABD
【分析】利用导数说明函数的单调性，由极大值求出参数的值，即可判断A，结合单调性判断B，由判断C，设切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，即可求出，从而判断D.
【详解】对于A：函数的定义域为，
又，所以当时，，
当时，，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，即，解得（负值已舍去），
所以，则极小值为，所以有个零点，故A正确；
对于B：由，得，，所以，
又在上单调递增，所以，故B正确；
对于C：因为
，所以曲线关于点对称，故C错误；
对于D：设过点的直线与曲线相切于点，
所以切线方程，
将点代入切线方程为，、
整理得，即，解得或，
过点的直线与曲线相切于点或，
因此过点与曲线相切的直线有条，故D正确．
故选：ABD
3．(24-25高二下·广东深圳实验学校光明部·期中) （多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线在点处的切线方程为
B．当时，是的极值点
C．存在实数，使得的图象关于点对称
D．若在区间内存在极值点，则的取值范围是
【答案】ACD
【分析】根据导数的几何意义求解切线方程即可得判断A；根据导数极值点的定义和性质即可判断B，D；根据函数对称性，确定使得的图象关于点对称时的值，即可判断C.
【详解】函数，则，
对于A，，，则曲线在点处的切线方程为，即，故A正确；
对于B，当时，，所以函数在上单调递增，无极值点，故B不正确；
对于C，若函数的图象关于点对称，则，
又，所以恒成立，故，
所以存在，使得的图象关于点对称，故C正确；
对于D，若在区间内存在极值点，则有变号零点，
所以，设，
则时函数单调递增，时函数单调递减，
又，
所以要使得有变号零点故的取值范围是，故D正确.
故选：ACD.
4．(24-25高二下·广东茂名电白区·期中)已知函数存在对称中心，则在对称中心处的切线方程是_____.
【答案】
【分析】法一：由极值点的中点即为对称中心，即可求解；法二：由对称中心的概念，求得对称中心，进而可求解.
【详解】解法1：，令，得，，
当，时，，当时，，
所以在区间，单调递增，在单调递减，
，分别是函数的极大、极小值点，
因为函数存在对称中心，
所以函数的对称中心为两极值点间的对称中心，因为，
所以在对称中心处的切线方程为，
即；
解法2：设是函数存在对称中心，
则，得，
整理得，
所以，，得，，
即函数的对称中心为，
又，则，
所以在对称中心处的切线方程是，
即.
故答案为：
5．(24-25高二下·广东珠海·期中)已知函数.
(1)若，且是增函数，求a的最小值；
(2)证明：曲线是中心对称图形；
(3)若当且仅当成立，求b的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）求导，分析可知，求出可求的最小值；
（2）根据题意可证，即可得结果；
（3）分析可知为的一个解，即可得，结合对称性可知原题意等价于在内恒成立，设，构建函数，可得在上恒成立，求导，结合恒成立问题分析求解即可.
【详解】（1）若时，，
可知的定义域为，且，
若是增函数，即在内恒成立，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
即，则，解得，
所以的最小值为.
（2）因为的定义域为，
且，
所以图象为中心对称图形，且对称中心为.
（3）因为当且仅当成立，
结合（2）所得对称中心，知为的一个解，
即，可得，关于点对称，
根据对称性可知：原题意等价于在内恒成立，
即为在上恒成立，
设，则，得在上恒成立，
设，可知在上恒成立，
则，
因为，则，可得，
当，，
故恒成立，可知在上为增函数，则，符合题意；
当，当时，，
可知在内单调递减，故，不合题意；
综上所述：b的取值范围为.
【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.
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专题02一元函数的导数及其应用
16大高频考点概览
考点01 基本初等函数与复合函数的导数
考点02 极限问题
考点03 导数求值
考点04 导数的切线方程
考点05 求已知函数的单调性
考点06 已知函数的单调性求参数
考点07 求已知函数的极值
考点08 已知函数的极值求参数
考点09 求已知函数的值域与最值
考点10 已知函数的值域最值求参数
考点11 求已知函数的零点
考点12 已知函数的零点求参数
考点13 函数与不等式
考点14 不等式恒成立有解问题
考点15 不等式证明问题
考点16 导数与对称性结合
1．(24-25高二下·广东卓越教育发展联盟学校·)下列导数运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·广东深圳龙华中学·期中)（ ）
A． B．
C． D．
3．(24-25高二下·广东江门广德实验学校·期中)（多选）下列求导正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．(24-25高二下·广东清远211联盟·期中) （多选）下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．(24-25高二下·广东东莞济川中学·期中) （多选）下列函数求导正确的是（ ）
A． B．
C． D．
1．(24-25高二下·广东东莞济川中学·期中)已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（ ）
A． B． C．1 D．3
2．(24-25高二下·广东清远211联盟·期中)设函数在处存在导数为2，则（ ）
A． B． C．2 D．4
3．(24-25高二下·广东深圳新安中学（集团）高中部·期中)若函数在处可导，且，则（ ）
A． B． C． D．2
4．(24-25高二下·广东广州庆丰实验学校·期中)若函数在处切线斜率为1，则（ ）
A． B．0.5 C．1 D．2
5．(24-25高二下·广东广州衡美高级中学·期中)已知函数在处可导，且，则（ ）
A． B．9 C． D．1
1．(24-25高二下·广东深圳·期中)已知函数，则（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
2．(24-25高二下·广东江门培英高级中学·期中)若函数，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．(24-25高二下·广东江门台山一中、开侨中学两校·期中)已知函数，记为函数的导函数，则（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高二下·广东茂名电白区·期中)已知函数，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
5．(24-25高二下·广东佛山南海区·)设函数是函数的导函数，且满足，则_____．
1．(24-25高二下·广东东莞光明中学·期中)曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．(24-25高二下·广东广东华侨中学港澳班·期中)函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·广东江门鹤山纪元中学·期中)若曲线在处的切线与曲线也相切，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
4．(24-25高二下·广东深圳盐田高级中学等校·期中)已知曲线在点处的切线斜率为，则_______.
5．(24-25高二下·广东佛山顺德区第一中学·期中)过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为_____．
1．(24-25高二下·广东中山杨仙逸中学·期中)（多选）已知函数的图象在处切线的斜率为9，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在上单调递减
C．
D．的图象关于原点中心对称
2．(23-24高二下·广东东莞常平中学·期中)函数的单调减区间为___________.
3．(24-25高二下·广东深圳红岭中学·期中)已知函数．若，则的单调递减区间为_____；若是增函数，则_____．
4．(24-25高二下·广东部分高中·期中)已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)求证：．
5．(24-25高二下·广东江门台山一中、开侨中学两校·期中)已知函数的图象在点处的切线方程是．
(1)求，的值；
(2)求函数的单调区间．
1．(24-25高二下·广东清远211联盟·期中)已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．(24-25高二下·广东佛山顺德区第一中学·期中)已知函数在单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·广东深圳·期中)已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是______．
4．(24-25高二下·广东佛山H7联盟·)已知函数在上单调递增，则的取值范围为__________.
5．(24-25高二下·广东潮州松昌中学·期中)若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为__________.
1．(24-25高二下·广东江门新会第二中学·期中)（多选）已知函数，则（ ）
A．是奇函数
B．有两个极值点
C．有三个零点
D．直线是曲线的切线
2．(24-25高二下·广东中山龙山中学·期中)已知.
(1)若，求的极值；
(2)当时，，求的取值范围.
3．(24-25高二下·广东江门新会第二中学·期中)已知函数，，且．求：
(1)求a的值及曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性及求函数极值．
0
+ 0 - 0 +
增函数 极大值0 减函数 极小值 增函数
4．(24-25高二下·广东惠州光正实验学校·期中)已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，求函数的极值；
(3)若，求函数的单调区间.
5．(24-25高二下·广东江门新会区第一中学·期中)已知函数在处有极值2.
(1)求，的值：
(2)求函数在区间上的最大值.
1．(24-25高二下·广东广州天河中学·期中)已知，该函数在时有极值0，则（ ）
A．4 B．7 C．11 D．4或11
2．(24-25高二下·广东卓越教育发展联盟学校·) （多选）已知函数在处取到极大值1，则以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．的极小值点为
3．(24-25高二上·宁夏石嘴山第三中学·期末)已知函数在处取得极值.
(1)求函数的解析式及单调区间；
(2)求函数在区间的最大值与最小值.
1
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
4．(24-25高二下·广东广州第十六中学·期中)已知函数.
(1)求证：当时，曲线与直线只有一个交点；
(2)讨论的单调性；
(3)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围.
5．(24-25高二下·广东实验中学·期中)设函数a为常数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在上是否存在极值？若存在，请求出，若不存在，说明理由；
(3)已知，若为增函数，求a.
1．(24-25高二下·广东广州第六中学·期中)已知点，分别是函数与图象上的点，则的最大值为________
2．(24-25高二下·广东深圳·期中)已知函数，是的导函数.
(1)求的值；
(2)求的最值.
3．(24-25高二下·广东惠州光正实验学校·期中)已知函数；
(1)若直线是曲线在点处的切线，求的最值；
(2)若没有零点，求的取值范围.
4．(24-25高二下·广东广州协和学校等三校·期中)已知函数在处取得极值．
(1)求的值；
(2)求曲线在点处的切线方程；
(3)求函数在上的最值．
5．(24-25高二下·广东东莞光明中学·期中)若，求：
(1)的单调递减区间；
(2)在上的最小值和最大值．
1．(24-25高二下·广东肇庆封开县南丰中学·期中)已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·广东东莞光正实验学校·期中)若函数在区间上存在最值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
3．函数，若在上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高二下·广东普宁兴文中学·期中)已知函数，若的最大值为
(1)求的值；
(2)若在上恒成立，求b的取值范围.
5．(23-24高二下·广东佛山顺德区第一中学·期中)已知函数．
(1)当时，以点为切点作曲线的切线，求切线方程；
(2)证明：函数有3个零点；
(3)若在区间上有最小值，求的取值范围．
1．(24-25高二下·广东湛江·期中)函数在上的零点和极值点个数之和为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．(24-25高二下·广东广州第十六中学·期中)已知函数
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)在坐标系中画出函数的简图（参考数据；要含有必要的说明和体现必要的图象特征）；
(3)若，讨论函数的零点个数.
3．(24-25高二下·广东广州第七中学·期中)已知函数．
(1)求在处的切线方程；
(2)求函数零点个数；
(3)当时，函数恒成立，求的取值范围．
4．(24-25高二下·广东江门新会区第一中学·期中)已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，，讨论的零点个数.
5．(24-25高二下·广东江门鹤山纪元中学·期中)已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)讨论函数的零点个数.
1．(24-25高二下·广东广州协和学校等三校·期中)已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设，若有两个零点，求实数的取值范围．
1．(24-25高二下·广东茂名电白区·期中)已知函数.
(1)证明：当时，；
(2)讨论的单调性；
(3)若有两个零点，求实数的取值范围.
3．(24-25高二下·广东江门鹤山鹤华中学·期中)已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若函数有两个零点，求的取值范围．
+ 0 -
递增 极小值 递减
4．(24-25高二下·广东珠海·期中)已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设，若函数有两个零点，求的取值范围
5．(24-25高二下·广东江门广德实验学校·期中)已知函数在处取得极小值．
(1)求实数的值；
(2)若函数有三个零点，求实数的取值范围．
1．(24-25高二下·广东深圳·期中)已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·广东部分高中·期中)已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．(24-25高二下·广东清远·期中)已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高二下·广东广州天河外国语学校·期中)已知函数的定义域为，对任意，有，则不等式的解集是______．
5．(24-25高二下·广东佛山H7联盟·)已知函数，曲线在点处的切线方程为.
(1)求的值；
(2)证明：.
1．(24-25高二下·广东深圳聚龙科学中学教育集团·)已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_____．
2．(24-25高二下·广东深圳福田区外国语高级中学·期中)已知函数的定义域为，，对任意，恒成立，则的解集为______．
3．(24-25高二下·广东佛山S6高质量发展联盟·期中)设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是__________．
4．(24-25高二下·广东广州第十六中学·期中)已知函数，，其中为常数.
(1)若时，求函数图象在点处的切线方程与坐标轴围成的三角形的周长；
(2)讨论在上的单调性；
(3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
5．(24-25高二下·广东广州南海中学·期中)已知函数，
(1)若，求函数的最小值；
(2)设函数，讨论函数的单调性；
(3)若在区间上存在一点，使得成立，求的取值范围．
1．(24-25高二下·广东佛山顺德区第一中学·期中)已知函数．
(1)求的极值，并在给定的直角坐标系中画出函数的大致图象（不用说明理由）；
(2)求证：．
2．(24-25高二下·广东广东仲元中学、深圳龙城高级中学·期中)已知函数且．
(1)当时，判断函数零点的个数；
(2)讨论函数的单调区间；
(3)当时，证明：．
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
3．(24-25高二下·广东东莞光明中学·期中)已知函数．
(1)若有两个零点，且，求的取值范围；
(2)在（1）的条件下，求证：．
4．(24-25高二下·广东深圳实验学校光明部·期中)已知函数．
(1)当时，证明：
(2)若函数的图象始终在直线上方，求的取值范围．
5．(24-25高二下·广东湛江·期中)设函数．
(1)时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若有两个极值点且，证明：．
1．(24-25高二下·广东实验中学·期中)已知函数及其导函数的定义域均为R，记且，为偶函数，则（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．-2
2．(24-25高二下·广东深圳·期中)（多选）已知函数的极大值为，则（ ）
A．有1个零点 B．当时，
C．曲线关于点对称 D．过点与曲线相切的直线有2条
3．(24-25高二下·广东深圳实验学校光明部·期中) （多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线在点处的切线方程为
B．当时，是的极值点
C．存在实数，使得的图象关于点对称
D．若在区间内存在极值点，则的取值范围是
4．(24-25高二下·广东茂名电白区·期中)已知函数存在对称中心，则在对称中心处的切线方程是_____.
5．(24-25高二下·广东珠海·期中)已知函数.
(1)若，且是增函数，求a的最小值；
(2)证明：曲线是中心对称图形；
(3)若当且仅当成立，求b的取值范围.
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