资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题03计数原理
13大高频考点概览
考点01 分类加法计数原理
考点02 分步计数原理
考点03 排列数与组合数
考点04 分组分配问题
考点05 捆绑法与插空法
考点06 染色问题
考点07特殊位置特殊元素优先排列
考点08 排数问题
考点09 多面手问题与定序问题
考点10 二项式定理
考点11 （二项式）系数和问题
考点12 （二项式）系数最值问题
考点13 整除问题
1．(24-25高二下·广东深圳明德外语实验学校·期中)已知集合，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中第一，二象限不同点的个数为（ ）
A．18 B．17 C．16 D．10
2．(24-25高二下·广东佛山H7联盟·)三个不同的盒子中分别装有3张不同的白色卡牌 2张不同的黑色卡牌 2张不同的绿色卡牌，某人从这三个盒子中任意取出1张卡牌，则不同的取法有（ ）
A．3种 B．7种 C．10种 D．12种
3．(24-25高二下·广东江门广雅中学等校·期中)某天小李要坐动车或高铁从广州出发去北京，已知当天动车的车次有2个，高铁的车次有10个，则小李当天从广州出发去北京的车次的选择共有（ ）
A．2种 B．10种 C．12种 D．20种
4．(24-25高二下·广东江门新会区第一中学·期中)在如图所示的电路（规定只能闭合其中一个开关）中，接通电源使灯泡发光的方法有（ ）种.

A．4 B．5 C．6 D．8
5．(24-25高二下·广东东莞光正实验学校·期中)书架上有5本不同的理科类书籍，4本不同的文科类书籍，现从书架上取一本书，不同的取法总数有（ ）
A．9种 B．45种 C．种 D．20种
1．(24-25高二下·广东佛山南海区·)现有3名同学去听同时进行的2个有关人工智能的知识讲座，每名同学可以自由选择其中的1个讲座，则不同的选法种数共有（ ）
A．3种 B．6种 C．8种 D．9种
2．(24-25高二下·广东深圳建文外国语学校·期中)书架第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，现从书架第1层，第2层，第3层各取1本书，有多少种不同取法（ ）
A．9种 B．24种 C．种 D．种
3．(24-25高二下·广东深圳龙华中学·期中)深圳市不仅科技创新发达，文化娱乐资源也十分丰富.现有甲、乙、丙三位市民，准备从世界之窗、欢乐谷、锦绣中华民俗村、东部华侨城等四个景点中各自随机选择一个景点游玩，则他们三个人中恰有两人选择同一景点的概率是（）
A． B． C． D．
4．(24-25高二下·广东深圳新安中学（集团）高中部·期中)现有5名同学站成一排，再将甲、乙2名同学加入排列，保持原来5名同学顺序不变， 不同的方法共有（ ）
A．30种 B．56种 C．12种 D．42种
5．(24-25高二下·广东部分学校·期中)小明计划从福建到北京旅游，沿途要经过上海中转，已知小明从福建到上海有3种出行方式，从上海到北京有4种出行方式，则小明从福建到北京的出行方式有（ ）
A．6种 B．7种 C．12种 D．18种
1．(24-25高二下·广东江门培英高级中学·期中)若，则（ ）
A．2 B．3 C．2或4 D．3或4
2．(24-25高二下·广东深圳红岭中学·期中)若，则（ ）
A．28 B．56 C．112 D．120
3．(24-25高二下·广东惠州光正实验学校·期中)（多选）下列结论正确的是（ ）
A．若，则正整数的值是
B．
C．
D．
4．(24-25高二下·广东清远211联盟·期中) （多选）若，则x的值可以为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．(24-25高二下·广东东莞光正实验学校·期中)计算=______（用数字作答）.
1．(24-25高二下·广东深圳高级中学·期中)名同学分本不同的数学书，每名同学至少分一本书，不同分法的种数是（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·广东深圳盐田高级中学等校·期中)某高校的教授为了完成一个课题，将4名研究生助理分配到3个实验室进行为期一周的实验来共同协助该教授完成该课题，要求每名研究生助理只去1个实验室进行实验，且每个实验室至少安排1名研究生助理，则不同的安排方法的种数为（ ）
A．72 B．54 C．48 D．36
3．(24-25高二下·广东佛山H7联盟·)将本不同的书（包括本数学书和本英语书）平均分给甲 乙 丙三人，其中数学书和英语书不能分给同一个人，则不同的分配方法种数是__________.（用数字作答）
4．(24-25高二下·广东深圳坪山高级中学·期中)为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展，坪山高级中学教育集团选派了3名男教师和2名女教师去支援新疆教育，要求这5名教师被分派到3个学校对口支教，每名教师只去一个学校，每个学校至少安排1名教师，其中2名女教师分派到同一个学校，则不同的分派方法有____种
5．(24-25高二下·广东深圳·期中)某高校就业指导中心安排甲、乙、丙、丁等6名同学去四家不同公司实习，每名同学只去一家公司，每家公司至少去1人．
(1)若甲、乙在同一家公司，丙、丁在同一家公司，求有多少种不同的分配方法？
(2)若甲、乙不在同一家公司，求有多少种不同的分配方法？
1．(24-25高二下·广东部分高中·期中)高三毕业来临之际，3名教师，4名女同学和2名男同学排成一排拍照，已知3名教师互不相邻，4名女同学相邻且不在最左边也不在最右边，2名男同学互不相邻且不在最左边也不在最右边，则不同的排法种数共有（ ）
A．1152种 B．384种 C．288种 D．144种
2．(24-25高二下·广东部分学校·期中)（多选）小明和小强等6位同学去电影院观影，已知电影院一排有6个位置，若这6位同学坐在一排，则（ ）
A．不同的坐法有720种
B．若小明和小强坐在一起，则不同的坐法有240种
C．若小明和小强不坐在一起，则不同的坐法有240种
D．若小明在小强的左边，则不同的坐法有300种
3．(24-25高二下·广东肇庆封开县南丰中学·期中)有4名男生、4名女生，全体排成一排，男生互不相邻，求不同的排列方法总数. __________.
4．(22-23高二下·广东鹤山纪元中学·期中)有2名男生和3名女生，按下列要求各有多少种排法或选法，依题意列式并用数字作答：
(1)若选出3人当主持人，要求至少有1名男生，则有多少种不同的选法；
(2)若2名男同学不相邻，共有多少种不同的排法；
(3)若2名男同学中间必须有1人，共有多少种不同的排法.
5．(24-25高二下·广东清远211联盟·期中)为提高和展示学生的艺术水平，也为了激发学生的爱国热情，某校开展国庆文艺汇演，共有6个节目，其中有两个舞蹈，三个唱歌，一个朗诵，现在要安排演出次序.（结果用数值作答）
(1)若朗诵节目不在排头，也不在排尾，有多少种不同排法？
(2)若三个唱歌节目必须相邻，有多少种不同排法？
(3)求两个舞蹈节目不相邻的概率.
1．(24-25高二下·广东佛山H7联盟·)现需要给一个四棱锥的五个顶点涂色，有四种不同的颜色可供选择，要求相邻顶（在同一条棱上的两个顶点）不能涂同一种颜色，则不同的涂色方案种数为（ ）
A．48 B．72 C．96 D．144
2．(24-25高二下·广东广州天河中学·期中)如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有4种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（ ）

A．96 B．144 C．480 D．600
3．(24-25高二下·广东广州衡美高级中学·期中)树人中学的科学社团设计了一块如下图所示的正反面内容相同的双面团牌，给团牌的正反两面6个区域涂色，有3种不同颜色可选，要求同面有公共边的区域不同色，同一区域的两面也不同色，则不同的涂色方法的种数为（ ）
A．36 B．48 C．54 D．56
4．(24-25高二下·广东深圳·期中)（多选）将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则下列说法正确的是（ ）
A B E
C
D
A．若每块区域任意涂上一种颜色，则共有种不同涂法
B．若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则共有24种不同涂法
C．若4种不同颜色全部用上，B，D同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法
D．若4种不同颜色全部用上，B，D不同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法
5．(24-25高二下·广东广州广东实验中学越秀学校·期中)如图，对、、、、五块区域涂色，现有种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有__________种.
1．(24-25高二下·广东阳江第三中学·期中)从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人都入选的不同选法共有（ ）种
A． B． C．30 D．20
2．(24-25高二下·广东汕头潮阳第一中学·期中)年春节档共有部影片定档，某影城根据第一周的观影情况，决定第二周只播放其中的《哪吒之魔童闹海》、《唐探》、《·重启未来》及《蛟龙行动》．为了家庭中的大人和孩子观影便利，该影城对第、周影片播放顺序做出如下要求：《哪吒之魔童闹海》不排第一场，《·重启未来》不排最后一场，《蛟龙行动》和《·重启未来》必须连续安排，则不同的安排方式有（ ）
A．种 B．种 C．10种 D．种
3．(24-25高二下·广东广州天河中学·期中)（多选）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是（ ）
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为
C．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
4．(24-25高二下·广东深圳实验学校光明部·期中)光明部食堂提供汤粉、煲仔饭、焗饭、盖浇饭、意面、鸡翅包饭、窑鸡7种明星菜品，某学生计划周一到周五每天选择一种不同的菜品作为午餐，他周一不想吃汤粉，周五不想吃鸡翅包饭，那么他共有_________种午餐安排方式．（答案用数字表示）
5．(24-25高二下·广东清远·期中)为确保学生身心健康，全面发展，高中课程内容覆盖学科教学、体育、艺术等类别，我校按照教育部的指导，安排上午四节课，下午三节课，现在安排我班一天中语文、英语、物理、政治、体育各一节，数学两节，要求两节数学课都排在上午或下午、且连续，体育课排在下午，则不同的排法有________种．
1．(24-25高二下·广东汕头潮阳区河溪中学·期中)用0，1，2，3，4，5可组成无重复数字的三位数的个数为（ ）
A．98 B．99 C．100 D．101
2．(24-25高二下·广东肇庆第六中学·期中)用0～5这6个数字，可以组成的没有重复数字的三位数的个数为（ ）．
A．100 B．150 C．200 D．225
3．(24-25高二下·广东广州南海中学·期中)只用2，3，4，5四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数有（ ）
A．96 B．144 C．240 D．288
4．(24-25高二下·广东潮州松昌中学·期中)用0，1，2，3，4五个数组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（ ）
A．48个 B．60个 C．72个 D．120个
5．(24-25高二下·广东汕头澄海中学与澄海华侨中学·期中)（多选）已知数学0，1，2，3，4，用它们组成四位数，下列说法正确的有（ ）
A．可以组成无重复数字的四位数96个 B．可以组成有重复数字的四位数404个
C．可以组成无重复数字的四位偶数66个 D．可以组成百位是奇数的四位偶数28个
1．(24-25高二下·广东汕头澄海中学与澄海华侨中学·期中)名同学合影，站成了前排人后排人，现摄影师要从后排人中抽人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ）
A． B． C． D．
2．(23-24高二下·广东清远·期中)“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，经过训练后，龙舟队的名队员在左、右桨位中至少会一个，其中有人会划左桨，人会划右桨．现要选派人划左桨、人划右桨共人去参加比赛，则不同的选派方法共有（ ）
A．26种 B．31种 C．36种 D．37种
3．(23-24高二下·广东深圳科学高中·期中)有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，从中选出人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不同的选派方法有 （ ）
A．种 B．种 C．种 D．72种
4．(23-24高二下·广东广州西关外国语学校·期中)（多选）身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（ ）
A．A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法
B．A与同学不相邻，共有种站法
C．A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法
D．A不在排头，B不在排尾，共有504种站法
1．(24-25高二下·北京朝阳区·期末)在的展开式中，的系数是（ ）
A．40 B．-40 C．10 D．-10
2．(24-25高二下·广东广州奥林匹克中学·期中)的展开式中的系数为（ ）
A．12 B．40 C．60 D．100
3．(24-25高二下·广东实验中学·期中)已知，若的展开式中所有项的二项式系数和为16，则（ ）
A．40 B．41 C．-40 D．-41
4．(24-25高二下·广东深圳红岭中学·期中)的展开式中的系数为_____．（用数字作答）
5．(24-25高二下·广东深圳·期中)若的展开式中各项系数的和为64，则展开式中常数项为______．
1．(24-25高二下·广东惠州实验中学·)已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的是（ ）
A．所有奇数项的二项式系数和为 B．所有项的系数和为
C．二项式系数最大的项为第6项或第7项 D．有理项共5项
2．(24-25高二下·广东汕头潮阳区河溪中学·期中)在二项式展开式中，下列说法不正确的是（ ）
A．第三项的二项式系数为15 B．所有项的二项式系数之和为64
C．有理项共有3项 D．常数项为第五项
3．(24-25高二下·广东深圳福田区外国语高级中学·期中)（多选）已知的展开式中第3项与第7项的系数相等，则（ ）
A．
B．的展开式中项的系数为56
C．奇数项的二项式系数和为128
D．的展开式中项的系数为
4．(24-25高二下·广东卓越教育发展联盟学校·)在的展开式中的系数为2560，则_____．
5．(24-25高二下·广东东莞济川中学·期中)（1）计算；
（2）已知，
求①的值.
②
1．(24-25高二下·广东深圳盐田高级中学等校·期中)已知二项式.
(1)求展开式中的常数项；
(2)求展开式中二项式系数最大的项.
2．(24-25高二下·广东湛江吴川第四中学·期中)（多选）已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（ ）
A．
B．只有第4项的二项式系数最大
C．若，则展开式中常数项为15
D．若展开式中各项系数之和为64，则
3．(24-25高二下·广东深圳龙华中学·期中) （多选）已知的二项式系数和为64，则（）
A． B．常数项是第4项
C．二项式系数最大值为20 D．所有项系数之和等于
4．(24-25高二下·广东广州第七中学·期中) （多选）下列结论错误的是（ ）
A．若，则
B．的展开式中的系数是30
C．在的展开式中，含的项的系数是220
D．的展开式中，有且只有第4项的二项式系数最大
5．(24-25高二下·广东东莞光正实验学校·期中) （多选）关于二项式的展开式，下列说法正确的是（ ）
A．展开式共有6项
B．展开式的所有二项式系数之和为64
C．展开式中不含项
D．展开式的第5项系数最大
1．(24-25高二下·广东江门台山一中、开侨中学两校·期中)南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设、、为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余，记为．已知，若，，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·广东东莞东莞中学松山湖学校·)设被9除所得的余数为m，则的展开式中的常数项为______．
3．(24-25高二下·广东东莞济川中学·期中)（1）化简：.
（2）①用二项式定理证明能被100整除；
②求被100除所得的余数.
4．(24-25高二下·广东佛山H7联盟·)已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)证明：能被3整除.
5．(24-25高二下·广东清远211联盟·期中)已知的展开式中仅有第6项的二项式系数最大（结果用数值作答）.
(1)求的展开式中的系数；
(2)令，证明能被7整除；
(3)若，求实数.
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专题03计数原理
13大高频考点概览
考点01 分类加法计数原理
考点02 分步计数原理
考点03 排列数与组合数
考点04 分组分配问题
考点05 捆绑法与插空法
考点06 染色问题
考点07特殊位置特殊元素优先排列
考点08 排数问题
考点09 多面手问题与定序问题
考点10 二项式定理
考点11 （二项式）系数和问题
考点12 （二项式）系数最值问题
考点13 整除问题
1．(24-25高二下·广东深圳明德外语实验学校·期中)已知集合，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中第一，二象限不同点的个数为（ ）
A．18 B．17 C．16 D．10
【答案】B
【分析】按照横坐标和纵坐标取自的集合以及点所在象限分类讨论，利用加法计数原理即得.
【详解】因在第一，二象限内的点的横坐标可正可负，而纵坐标为正，这样的点分为两类情况：
①点的横坐标取自集合，纵坐标取自集合时，不同的点有个；
②点的横坐标取自集合，纵坐标取自集合时，不同的点有个.
由分类加法计数原理，第一，二象限不同点的个数为个.
故选：B
2．(24-25高二下·广东佛山H7联盟·)三个不同的盒子中分别装有3张不同的白色卡牌 2张不同的黑色卡牌 2张不同的绿色卡牌，某人从这三个盒子中任意取出1张卡牌，则不同的取法有（ ）
A．3种 B．7种 C．10种 D．12种
【答案】B
【分析】利用分类加法计数原理求解即可.
【详解】根据题意，不同的取法有种，
故选：B..
3．(24-25高二下·广东江门广雅中学等校·期中)某天小李要坐动车或高铁从广州出发去北京，已知当天动车的车次有2个，高铁的车次有10个，则小李当天从广州出发去北京的车次的选择共有（ ）
A．2种 B．10种 C．12种 D．20种
【答案】C
【分析】根据分类加法计数原理计算可得.
【详解】根据分类加法计数原理可知小李当天从广州出发去北京的车次的选择共有种.
故选：C
4．(24-25高二下·广东江门新会区第一中学·期中)在如图所示的电路（规定只能闭合其中一个开关）中，接通电源使灯泡发光的方法有（ ）种.

A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【分析】根据分类加法计数原理求解即可.
【详解】接通电源使灯泡发光的方案可分为两类：第一类，闭合中的一个开关，共2种方法；
第二类，闭合中的一个开关，共3种方法.根据分类加法计数原理可知.
故选：B
5．(24-25高二下·广东东莞光正实验学校·期中)书架上有5本不同的理科类书籍，4本不同的文科类书籍，现从书架上取一本书，不同的取法总数有（ ）
A．9种 B．45种 C．种 D．20种
【答案】A
【分析】由分类加法计数原理可得.
【详解】由分类加法计数原理，可知不同的取法有种．
故选：A
1．(24-25高二下·广东佛山南海区·)现有3名同学去听同时进行的2个有关人工智能的知识讲座，每名同学可以自由选择其中的1个讲座，则不同的选法种数共有（ ）
A．3种 B．6种 C．8种 D．9种
【答案】C
【分析】根据乘法原理可直接得解.
【详解】由分步乘法计数原理可知，不同的选法种数共有种．
故选：C
2．(24-25高二下·广东深圳建文外国语学校·期中)书架第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，现从书架第1层，第2层，第3层各取1本书，有多少种不同取法（ ）
A．9种 B．24种 C．种 D．种
【答案】B
【分析】根据分步乘法计数原理直接求解即可.
【详解】由分步计数原理可知：共有种不同走法．
故选：B.
3．(24-25高二下·广东深圳龙华中学·期中)深圳市不仅科技创新发达，文化娱乐资源也十分丰富.现有甲、乙、丙三位市民，准备从世界之窗、欢乐谷、锦绣中华民俗村、东部华侨城等四个景点中各自随机选择一个景点游玩，则他们三个人中恰有两人选择同一景点的概率是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意计算出位游客分别从四个景点中随机选择一个的总的情况，再计算出恰有两个人选择同一景点的情况，根据古典概型有概率为，即可求解．
【详解】三位游客分别从四个景点中随机选择一个，共有种情况；
三人中恰有两人选择同一景点的情况，
可以先从三位游客中选择两个人去同一个景点，有3种不同的方法，景点有4种选择，
最后剩下的游客有3种选择，
所以三人中恰有两人选择同一景点的总情况为：种，
所以恰有两人选择同一景点的概率为．
故选：B．
4．(24-25高二下·广东深圳新安中学（集团）高中部·期中)现有5名同学站成一排，再将甲、乙2名同学加入排列，保持原来5名同学顺序不变， 不同的方法共有（ ）
A．30种 B．56种 C．12种 D．42种
【答案】D
【分析】根据分步乘法原理直接求解即可.
【详解】原来名同学站成一排，有个空位可以插入甲同学，
所以甲同学有种不同的排法.
当甲同学插入后，此时包括原来名同学和甲同学一共有个人，
这个人形成了个空位，所以乙同学有种不同的排法.
故完成将甲、乙名同学加入排列这件事，
分两步：第一步甲同学有种排法，第二步乙同学有种排法，
那么根据分步乘法计数原理，不同的方法共有（种）.
故选：D
5．(24-25高二下·广东部分学校·期中)小明计划从福建到北京旅游，沿途要经过上海中转，已知小明从福建到上海有3种出行方式，从上海到北京有4种出行方式，则小明从福建到北京的出行方式有（ ）
A．6种 B．7种 C．12种 D．18种
【答案】C
【分析】根据分步乘法计数原理计算即可.
【详解】由分步乘法计数原理可知，小明从福建到北京的出行方式有种．
故选：C.
1．(24-25高二下·广东江门培英高级中学·期中)若，则（ ）
A．2 B．3 C．2或4 D．3或4
【答案】D
【分析】由组合数的性质即可求解.
【详解】由，
可知：或，
所以或，
故选：D
2．(24-25高二下·广东深圳红岭中学·期中)若，则（ ）
A．28 B．56 C．112 D．120
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用组合数的性质求出，再利用组合性质求解.
【详解】由，得，解得，
所以
.
故选：B
3．(24-25高二下·广东惠州光正实验学校·期中)（多选）下列结论正确的是（ ）
A．若，则正整数的值是
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】对于A，根据组合数性质即可求解；对于B，根据排列数的计算性质即可求解；对于C，根据组合数的性质即可求解；对于D，根据组合数的性质即可求解.
【详解】对于A，因为，
所以或，
即或，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，由组合数公式可知，故C正确；
对于D，，，
，
，故D错误．
故选：BC．
4．(24-25高二下·广东清远211联盟·期中) （多选）若，则x的值可以为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】AD
【分析】根据组合数的性质列方程求解即可.
【详解】因为，所以或，解得或.
经检验，都满足条件.
故选：AD
5．(24-25高二下·广东东莞光正实验学校·期中)计算=______（用数字作答）.
【答案】
【分析】由排列数、组合数公式计算即可.
【详解】因为，，所以.
故答案为：
1．(24-25高二下·广东深圳高级中学·期中)名同学分本不同的数学书，每名同学至少分一本书，不同分法的种数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先将4本书分成三组，再分配，即可得到结果.
【详解】将本不同的数学书选2本作为一组，其余2本书各作为一组，共有种情况，
再将分好的三组书分给3名同学，有种情况，
由分步乘法计数原理可得，总的分法有种情况.
故选：C
2．(24-25高二下·广东深圳盐田高级中学等校·期中)某高校的教授为了完成一个课题，将4名研究生助理分配到3个实验室进行为期一周的实验来共同协助该教授完成该课题，要求每名研究生助理只去1个实验室进行实验，且每个实验室至少安排1名研究生助理，则不同的安排方法的种数为（ ）
A．72 B．54 C．48 D．36
【答案】D
【分析】根据分组分配及分步计算原理，先将4人分成3组，再分配到3个实验室可解.
【详解】将4名研究生助理分成3组，有种方法，再将3个组分配到3个实验室有种方法.
故选：D.
3．(24-25高二下·广东佛山H7联盟·)将本不同的书（包括本数学书和本英语书）平均分给甲 乙 丙三人，其中数学书和英语书不能分给同一个人，则不同的分配方法种数是__________.（用数字作答）
【答案】
【分析】方法一：考虑特殊元素，按每个人拿到书的不同结果分配即可求解；法二：考虑特殊元素先分组再分配即可求解.
【详解】方法一：先从甲 乙 丙三人中选一人，这个人既不分数学书，又不分英语书，
有种分配方法，再将数学书和英语书分给剩下两人一人一本，
最后把其余本书平均分给这两个人，有种分配方法，
综上，不同的分配方法种数是.
方法二：各选两本书与数学书 英语书组成一组，然后再分配给三人，
则不同的分配方法种数是.
故答案为：
4．(24-25高二下·广东深圳坪山高级中学·期中)为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展，坪山高级中学教育集团选派了3名男教师和2名女教师去支援新疆教育，要求这5名教师被分派到3个学校对口支教，每名教师只去一个学校，每个学校至少安排1名教师，其中2名女教师分派到同一个学校，则不同的分派方法有____种
【答案】36
【分析】根据2名女教师分派到同一个学校考虑该校是否分配男教师，即可求出答案.
【详解】根据题意，分派方案可分为两种情况:
①2名女教师和1名男教师分派到同一个学校，则有种方法.
②2名女教师分派到同一个学校，且该学校没有分配没有男教师，则有：种方法.故一共有：36种分配方法.
故答案为：36
5．(24-25高二下·广东深圳·期中)某高校就业指导中心安排甲、乙、丙、丁等6名同学去四家不同公司实习，每名同学只去一家公司，每家公司至少去1人．
(1)若甲、乙在同一家公司，丙、丁在同一家公司，求有多少种不同的分配方法？
(2)若甲、乙不在同一家公司，求有多少种不同的分配方法？
【答案】(1)种
(2)种
【分析】（1）应用排列数公式计算求解；
（2）应用分组分类结合排列数及组合数公式计算解题.
【详解】（1）由题知，甲、乙在同一家公司，丙、丁在同一家公司，则另两名同学各在一家公司，
所以共有种不同的分配方法．
（2）6名同学去四家不同的公司，每家公司至少1人，先将6名同学分组，有两种分法：2、2、1、1；3、1、1、1；再分配去4家不同的公司，
则有种不同的分配方法．
若甲、乙在同一家公司，其他4人按2、1、1分去其他三家公司，或1、1、1、1去四家公司，
则有种不同的分配方法，
所以甲、乙不在同一家公司共有种不同的分配方法．
1．(24-25高二下·广东部分高中·期中)高三毕业来临之际，3名教师，4名女同学和2名男同学排成一排拍照，已知3名教师互不相邻，4名女同学相邻且不在最左边也不在最右边，2名男同学互不相邻且不在最左边也不在最右边，则不同的排法种数共有（ ）
A．1152种 B．384种 C．288种 D．144种
【答案】A
【分析】先将4名女同学捆绑在一起看成一个整体并内部排序，再用插空法安排教师和男同学的位置.
【详解】第一步：先将3名教师全排，共有种排法；第二步：将4名女同学＂捆绑＂在一起，共有种排法；第三步：将＂捆绑＂在一起的4名女同学作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插人，有种排法；第四步：首先将2名男同学之中的一人，插人第三步后相邻的两名教师中间，然后将另一个男同学插入由女同学与教师形成的2个空中的其中1个，共有种排法，所以不同的排法种数有：种．
故选：A
2．(24-25高二下·广东部分学校·期中)（多选）小明和小强等6位同学去电影院观影，已知电影院一排有6个位置，若这6位同学坐在一排，则（ ）
A．不同的坐法有720种
B．若小明和小强坐在一起，则不同的坐法有240种
C．若小明和小强不坐在一起，则不同的坐法有240种
D．若小明在小强的左边，则不同的坐法有300种
【答案】AB
【分析】根据题意，结合排列与排列数的计算公式，逐项求解，即可得到答案.
【详解】对于A中，不同的坐法有种，所以A正确；
对于B中，若小明和小强要一起坐，则不同的坐法有种，所以B正确；
对于C中，若小明和小强不坐在一起，则不同的坐法有种，所以C错误；
对于D中，若小明在小强的左边，则不同的坐法有种，所以D错误．
故选：AB．
3．(24-25高二下·广东肇庆封开县南丰中学·期中)有4名男生、4名女生，全体排成一排，男生互不相邻，求不同的排列方法总数. __________.
【答案】
【分析】先排女生，再将男生插入到空位中可得.
【详解】先将女生排成一排，有种，再将男生插入到5个空位中，有种，
由分步乘法计数原理可得，不同的排列方法总数为种.
故答案为：
4．(22-23高二下·广东鹤山纪元中学·期中)有2名男生和3名女生，按下列要求各有多少种排法或选法，依题意列式并用数字作答：
(1)若选出3人当主持人，要求至少有1名男生，则有多少种不同的选法；
(2)若2名男同学不相邻，共有多少种不同的排法；
(3)若2名男同学中间必须有1人，共有多少种不同的排法.
【答案】(1)9
(2)72
(3)36
【分析】（1）首先求都是女生的选法，再利用间接法，即可求解；
（2）利用插空法，即可求解；
（3）首先先选2名男生中间的一人，再排列2名男生，再看成一个元素，和剩下的2名女生全排列，即可求解.
【详解】（1）选出3人当主持人有种情况，选出3人当主持人没有男生有种情况，
则至少有1名男生有种选法；
（2）2名男同学不相邻，先排3个女生种排法，有4个空排2名男生，
则2名男同学不相邻共有种排法；
（3）2名男同学中间必须有1人，先选1名女生在2名男同学中间种排法，再排捆绑后的整体和其他人，
则2名男同学中间必须有1人共有种排法.
5．(24-25高二下·广东清远211联盟·期中)为提高和展示学生的艺术水平，也为了激发学生的爱国热情，某校开展国庆文艺汇演，共有6个节目，其中有两个舞蹈，三个唱歌，一个朗诵，现在要安排演出次序.（结果用数值作答）
(1)若朗诵节目不在排头，也不在排尾，有多少种不同排法？
(2)若三个唱歌节目必须相邻，有多少种不同排法？
(3)求两个舞蹈节目不相邻的概率.
【答案】(1)480
(2)144
(3)
【分析】（1）特殊元素（朗诵节目）优先考虑，再排其它的即可；
（2）相邻元素用捆绑法解题即可；
（3）不相邻元素用插空法求出符合条件的所有排法，再用古典概型求概率即可.
【详解】（1）朗诵节目不在排头，也不在排尾，则朗读节目有种排法，
然后再排剩余的5个节目，共有种排法，
根据分步乘法计数原理，6个节目共有种排法.
（2）三个唱歌节目捆绑共种排法，再和其它三个节目进行排列，
共有种不同排法.
（3）先排三个唱歌和一个朗诵，共种排法，两个舞蹈节目不相邻，插入个空有种排法，
所以符合条件的排法共种排法，
6个节目的所有排法有种，
所以两个舞蹈节目不相邻的概率.
1．(24-25高二下·广东佛山H7联盟·)现需要给一个四棱锥的五个顶点涂色，有四种不同的颜色可供选择，要求相邻顶（在同一条棱上的两个顶点）不能涂同一种颜色，则不同的涂色方案种数为（ ）
A．48 B．72 C．96 D．144
【答案】B
【分析】分用四种、三种颜色，再结合排列数求出不同情况下的方案数，即可得.
【详解】若用四种颜色，则同色或同色，则涂色方案有种；
若用三种颜色，则同色且同色，则涂色方案有种.
综上，不同的涂色方案有种.
故选：B
2．(24-25高二下·广东广州天河中学·期中)如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有4种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（ ）

A．96 B．144 C．480 D．600
【答案】B
【分析】由分步乘法计数原理按步骤去涂色即可.
【详解】第一步涂陕西有4种选择，第二步涂湖北有3种选择，第三步涂安徽有3种选择，第四步涂江西有2选择，第五步涂湖南有2种选择，
所以共有种涂色方案.
故选：B
3．(24-25高二下·广东广州衡美高级中学·期中)树人中学的科学社团设计了一块如下图所示的正反面内容相同的双面团牌，给团牌的正反两面6个区域涂色，有3种不同颜色可选，要求同面有公共边的区域不同色，同一区域的两面也不同色，则不同的涂色方法的种数为（ ）
A．36 B．48 C．54 D．56
【答案】C
【分析】利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，结合排列组合，计算求解.
【详解】若只用2种不同的颜色，则正反面的上下区域同色，中间区域涂剩下的一种颜色即可，所以有种涂色方法.
若用3种不同的颜色，当正反面都只用2种颜色时，有种涂色方法；
当正面用2种颜色，反面用3种颜色时，则在正面未用的颜色不能涂在反面的中间，所以有种涂色方法；
同理，当正面用3种颜色，反面用2种颜色时，也有种涂色方法；
当正反两面都用3种颜色时，有种涂色方法.
所以共有54种不同的涂色方法.
故选：C.
4．(24-25高二下·广东深圳·期中)（多选）将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则下列说法正确的是（ ）
A B E
C
D
A．若每块区域任意涂上一种颜色，则共有种不同涂法
B．若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则共有24种不同涂法
C．若4种不同颜色全部用上，B，D同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法
D．若4种不同颜色全部用上，B，D不同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法
【答案】AB
【分析】根据所用颜色种数，以及各区域所用颜色的规定，运用两个计数原理逐一计算判断即可.
【详解】对于A，每块区域任意涂上一种颜色，即每块区域都有4种选择，则有种不同涂法，A正确；
对于B，若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则B和D同色，A和E同色，则共有种不同涂法，故B正确；
对于C，因4种不同颜色全部用上，B，D同色，相邻区域不同色，故可以先涂B，D区域，有种涂法，
因三个区域都与B，D相邻，故只需将余下的3种颜色在上全排，有种涂法，则共有种涂法，故C错误；
对于D，按照ABC的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有种涂法，
因B，D不同色（D只有一种颜色可选），此时ABCD四块区域所用颜色各不相同，涂E只能与A同色，此时共有24种涂法，故D错误．
故选：AB.
5．(24-25高二下·广东广州广东实验中学越秀学校·期中)如图，对、、、、五块区域涂色，现有种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有__________种.
【答案】
【分析】依次填、、、、区域，讨论、同色和异色两种情况，结合分类加法和分步乘法计数原理可得结果.
【详解】先涂区域，有种选择，再涂区域，有种选择，
接下涂、区域，若、区域颜色相同，则区域有种选择；
若、区域颜色不同，则区域有种选择，区域有种选择；
最后涂区域，有种选择，
由分类加法和分步乘法计数原理可知，不同的涂色方法种数为种.
故答案为：.
1．(24-25高二下·广东阳江第三中学·期中)从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人都入选的不同选法共有（ ）种
A． B． C．30 D．20
【答案】C
【分析】从除了甲乙外的人中任选一人，再将甲，乙和所选的人进行全排列，即可求出甲、乙两人都入选的不同选法的种数.
【详解】由题意，
甲乙两人都入选，还要先在其他5人里选一人有种，再和甲乙一起全排列有，
∴甲乙两人都入选的不同选法有（种）.
故选：C.
2．(24-25高二下·广东汕头潮阳第一中学·期中)年春节档共有部影片定档，某影城根据第一周的观影情况，决定第二周只播放其中的《哪吒之魔童闹海》、《唐探》、《·重启未来》及《蛟龙行动》．为了家庭中的大人和孩子观影便利，该影城对第、周影片播放顺序做出如下要求：《哪吒之魔童闹海》不排第一场，《·重启未来》不排最后一场，《蛟龙行动》和《·重启未来》必须连续安排，则不同的安排方式有（ ）
A．种 B．种 C．10种 D．种
【答案】A
【分析】根据已知条件，分《哪吒之魔童闹海》排最后一场、《哪吒之魔童闹海》排第二场、《哪吒之魔童闹海》排第三场三种情况分别计算安排方法数，最后分类加法公式计算总数即可.
【详解】分三种情况：
第一种：《哪吒之魔童闹海》排最后一场，因为《蛟龙行动》和《·重启未来》
必须连续安排，所以用捆绑法有种可能，并看成一个元素，
剩下元素有种排法，所以共有种排法；
第二种：《哪吒之魔童闹海》排第二场，
因为《蛟龙行动》和《·重启未来》必须连续安排，而且《·重启未来》不排最后一场，
所以《蛟龙行动》和《·重启未来》只能排在第四、第三两场，《唐探 》排第一场，这种情况共种排法；
第三种：《哪吒之魔童闹海》排第三场，
因为《蛟龙行动》和《·重启未来》必须连续安排，而且《·重启未来》不排最后一场，
所以《蛟龙行动》和《·重启未来》排在前两场有种排法，《唐探》排最后一场，这种情况共有种排法.
综上符合条件的电影安排方法总数为种.
故选：A.
3．(24-25高二下·广东广州天河中学·期中)（多选）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是（ ）
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为
C．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
【答案】AC
【分析】利用分步乘法计数原理求解可判断A；先把5人分为4个组再安排到4项工作求解可判断B；利用分类加法计数原理求解可判断C；利用分类加法计数原理求解可判断D.
【详解】对于A，若每人都安排一项工作，则每人选择一项工件有4种选法，
所以不同的方法数为种，故A正确；
对于B，若每项工作至少有1人参加，则有一项工作有2人，其余3项工作各1人，
先将5人分成4个组种分法，再安排这4个组的人各负责一项工作有种，
由分步计数原理有，故B错误；
对于C，因为每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，
故需从丙、丁、戊中选1人或2人从事司机工作，
若安排丙、丁、戊中1人从事司机工作有，若安排丙、丁、戊中2人从事司机工作有，
故不同安排方案的种数是，故C正确；
对于D，如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，
把5名同学分按3，1，1分组安排有种安排方法，
把5名同学分按2，2，1分组安排有种安排方法，
故这5名同学全部被安排的不同方法数为种，故D错误.
故选：AC.
4．(24-25高二下·广东深圳实验学校光明部·期中)光明部食堂提供汤粉、煲仔饭、焗饭、盖浇饭、意面、鸡翅包饭、窑鸡7种明星菜品，某学生计划周一到周五每天选择一种不同的菜品作为午餐，他周一不想吃汤粉，周五不想吃鸡翅包饭，那么他共有_________种午餐安排方式．（答案用数字表示）
【答案】1860
【分析】利用间接法求解即可.
【详解】从7种菜品中选5种的排列数为种，
周一排汤粉的排列数有种，周五排鸡翅包饭的排列数有，
周一排汤粉且周五排鸡翅包饭的排列数有.
所以他周一不想吃汤粉，周五不想吃鸡翅包饭，那么他共有.
故答案为：.
5．(24-25高二下·广东清远·期中)为确保学生身心健康，全面发展，高中课程内容覆盖学科教学、体育、艺术等类别，我校按照教育部的指导，安排上午四节课，下午三节课，现在安排我班一天中语文、英语、物理、政治、体育各一节，数学两节，要求两节数学课都排在上午或下午、且连续，体育课排在下午，则不同的排法有________种．
【答案】264
【分析】分两节数学排在上午、下午两种情况讨论即可.
【详解】（1）若两节数学排在下午，有两种情况，1,2节或2,3节，剩下一节对应体育，
第二步，上午4节课全排列即可，有，故共有种，
（2）若两节数学排在上午，有1,2或2,3或3,4，共3种排法，
第二步，排体育，易知有3种排法，
第三步，剩下4节课，全排列，有，故共有，
所以共有种，
故答案为：264
1．(24-25高二下·广东汕头潮阳区河溪中学·期中)用0，1，2，3，4，5可组成无重复数字的三位数的个数为（ ）
A．98 B．99 C．100 D．101
【答案】C
【分析】由分步乘法计数原理代入计算，即可得到结果.
【详解】先填百位数，有种选法，
再填十位数，有种选法，
最后填个位数，有种选法，
由分步乘法计数原理可得，
一共可以组成无重复数字的三位数个.
故选：C
2．(24-25高二下·广东肇庆第六中学·期中)用0～5这6个数字，可以组成的没有重复数字的三位数的个数为（ ）．
A．100 B．150 C．200 D．225
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用排列计数问题，结合排除法列式求解.
【详解】依题意，从6个数字中任取3个的排列数为，其中数字0在百位的有个，
所以组成的没有重复数字的三位数的个数为.
故选：A
3．(24-25高二下·广东广州南海中学·期中)只用2，3，4，5四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数有（ ）
A．96 B．144 C．240 D．288
【答案】B
【分析】由分步乘法计数原理分三步求解即可.
【详解】从2，3，4，5四个数字选个作为重复数字，共有种选法，
将不重复的个数字全排列，有种排法，
不重复的个数字排好后形成个空位，从中选个空位插入重复数字，
共有种选法，
根据分步乘法计数原理，可得，
所以这样的五位数有个.
故选：.
4．(24-25高二下·广东潮州松昌中学·期中)用0，1，2，3，4五个数组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（ ）
A．48个 B．60个 C．72个 D．120个
【答案】B
【分析】利用特殊元素优先法，结合计数原理以及排列数，可得答案.
【详解】若五位数的个位为零，其余数位随意安排，其情况数为，
若五位数的个位不为零，而个位仅有两种选择，万位有种选择，其情况数为，
所以五位数为偶数的情况数为.
故选：B
5．(24-25高二下·广东汕头澄海中学与澄海华侨中学·期中)（多选）已知数学0，1，2，3，4，用它们组成四位数，下列说法正确的有（ ）
A．可以组成无重复数字的四位数96个 B．可以组成有重复数字的四位数404个
C．可以组成无重复数字的四位偶数66个 D．可以组成百位是奇数的四位偶数28个
【答案】AB
【分析】由两个计数原理逐个判断即可；
【详解】对于A，可以组成无重复数字的四位数（个），A正确；
对于B，可以组成有重复数字的四位数（个），B正确；
对于C，若个位数为0，则有（个），
若个位数不为0，则有（个），
所以可以组成无重复数字的四位偶数（个），C错误；
对于D，可以组成百位是奇数的四位偶数（个），D错误．
故选：AB
1．(24-25高二下·广东汕头澄海中学与澄海华侨中学·期中)名同学合影，站成了前排人后排人，现摄影师要从后排人中抽人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】第一步可先从后排人中选人共有种，第二步可认为前排放个座位，选出个座位让后排的人坐，由于其他人的顺序不变，求出共有种坐法，最后利用分步乘法原理即可.
【详解】解：第一步可先从后排人中选人共有种；
第二步可认为前排放个座位，选出个座位让后排的人坐，
由于其他人的顺序不变，所以有种坐法；
综上知不同调整方法的种数为.
故选：D.
2．(23-24高二下·广东清远·期中)“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，经过训练后，龙舟队的名队员在左、右桨位中至少会一个，其中有人会划左桨，人会划右桨．现要选派人划左桨、人划右桨共人去参加比赛，则不同的选派方法共有（ ）
A．26种 B．31种 C．36种 D．37种
【答案】D
【分析】首先求出既会划左桨又会划右桨、只会划左桨与只会划右桨的人数，再分三种情况讨论，最后根据分类加法计数原理计算可得.
【详解】依题意名队员中有人会划左桨，人会划右桨，
则既会划左桨又会划右桨的有人，记这两人分别为、，
所以只会划左桨有人，只会划右桨有人，
据此分种情况讨论：
①从只会划左桨的人中选人划左桨，从剩下的人中选人划右桨，则有种选法；
②从只会划左桨的人中选人划左桨，从、中选人划左桨，
再从剩下的会划右桨的个人中选人划右桨，则有种选法；
③从只会划左桨的人中选人划左桨，、这人划左桨，
另外会划右桨的人划右桨，则有种选法，
综上可得一共有种不同的选法.
故选：D．
3．(23-24高二下·广东深圳科学高中·期中)有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，从中选出人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不同的选派方法有 （ ）
A．种 B．种 C．种 D．72种
【答案】C
【分析】由条件确定既会跳舞又会唱歌的人数，根据选出的人中既会跳舞又会唱歌的人数，分类求满足条件的选派方法数，结合分类加法计数原理求解即可.
【详解】根据题意，有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，
则既会跳舞又会唱歌的有人，
只会唱歌的有人，只会跳舞的有人;
若选出2人，没有既会跳舞又会唱歌，则有种选法，
若选出2人中有1人既会跳舞又会唱歌，则有种选法，
若选出2人全部是既会跳舞又会唱歌的，则有种选法，
综上共有种选法.
故选：C.
4．(23-24高二下·广东广州西关外国语学校·期中)（多选）身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（ ）
A．A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法
B．A与同学不相邻，共有种站法
C．A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法
D．A不在排头，B不在排尾，共有504种站法
【答案】ABD
【分析】由定序排列即可判断A；由插空法即可判断B；由捆绑法即可判断C；分类讨论A的位置即可判断D．
【详解】对于A，将三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有种站法，
故A正确；
对于B，先排，共有种站法，A与同学插空站，有种站法，
故共有种站法，故B正确；
对于C，将三位同学捆绑在一起，且A只能在C与D的中间，有2种情况，
捆绑后有种站法，故共有种站法，故C错误；
对于D，当在排尾时，随意站，则有种站法；
当不在排头也不在排尾时，有种，有种，剩下同学随意站有种，
共有种，
故A不在排头，B不在排尾，共有种站法，故D正确；
故选：ABD．
1．(24-25高二下·北京朝阳区·期末)在的展开式中，的系数是（ ）
A．40 B．-40 C．10 D．-10
【答案】A
【分析】先求出二项展开式的通项，根据题意要求确定的值，代入通项即可求得.
【详解】的展开式的通项为，
依题意需使，解得，故的系数是.
故选：A.
2．(24-25高二下·广东广州奥林匹克中学·期中)的展开式中的系数为（ ）
A．12 B．40 C．60 D．100
【答案】C
【分析】由，再写出展开式的通项，利用通项计算可得.
【详解】因为，
其中展开式的通项为（），
所以的展开式中含的项为，
所以展开式中的系数为.
故选：C
3．(24-25高二下·广东实验中学·期中)已知，若的展开式中所有项的二项式系数和为16，则（ ）
A．40 B．41 C．-40 D．-41
【答案】A
【分析】由题意，利用二项式系数的性质求得，再利用赋值法求得要求式子的值.
【详解】∵的展开式的所有项的二项式系数和为，∴.
∵，
令，可得，
令，可得，
再令，可得，
即，
∴.
故选：A
4．(24-25高二下·广东深圳红岭中学·期中)的展开式中的系数为_____．（用数字作答）
【答案】
【分析】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项后即可得解.
【详解】的展开式通项为，
的展开式通项为，
所以，的展开式通项为，
由可得或，
因此，展开式中的系数为.
故答案为：.
5．(24-25高二下·广东深圳·期中)若的展开式中各项系数的和为64，则展开式中常数项为______．
【答案】
【分析】令，先求出，再根据二项式的展开式的通项公式求解即可.
【详解】令，得，解得，
的展开式的通项公式为，
，
令，得，所以展开式中常数项为．
故答案为：.
1．(24-25高二下·广东惠州实验中学·)已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的是（ ）
A．所有奇数项的二项式系数和为 B．所有项的系数和为
C．二项式系数最大的项为第6项或第7项 D．有理项共5项
【答案】D
【分析】根据展开式的通项公式以及二项式系数的性质求解判断各选项即可.
【详解】由题意，，所以，
则所有奇数项的二项式系数和为，故A错误，
令，得所有项的系数和为，故B错误，
由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，故C错误，
因为展开式通项为，
，
要使展开式中的项为有理项，则为整数，
此时，3，6，9，12，共有5项，故D正确.
故选：D.
2．(24-25高二下·广东汕头潮阳区河溪中学·期中)在二项式展开式中，下列说法不正确的是（ ）
A．第三项的二项式系数为15 B．所有项的二项式系数之和为64
C．有理项共有3项 D．常数项为第五项
【答案】C
【分析】结合二项展开式的通项公式可判断ACD的真假，利用二项式系数的性质可判断B的真假.
【详解】设展开式的第项为，
则：.
所以的二项式系数为，故A正确；
由为整数，可得的值可以为，故展开式中有理项为4项，故C错误；
由 ，所以为常数项，故D正确；
对B：根据二项式系数的性质可得：所有项的二项式系数之和为，故B正确.
故选：C
3．(24-25高二下·广东深圳福田区外国语高级中学·期中)（多选）已知的展开式中第3项与第7项的系数相等，则（ ）
A．
B．的展开式中项的系数为56
C．奇数项的二项式系数和为128
D．的展开式中项的系数为
【答案】ACD
【分析】利用二项式定理求得的展开通项公式，从而得到关于的方程，解出的值判断AB，利用所有奇数项的二项式系数和为判断C，根据二项式定理判断D.
【详解】因为的展开式通项为（且），
所以的展开式的第项的系数为，
依题意可得，所以，故A正确；
因为的展开式通项为（且），
所以项的系数为，故B错误；
奇数项的二项式系数和为，故C正确；
根据二项式定理，表示个相乘，
所以在这个因式中，其中个选择，个选择，个选择，
所以的展开式中项的系数为，故D正确；
故选：ACD
4．(24-25高二下·广东卓越教育发展联盟学校·)在的展开式中的系数为2560，则_____．
【答案】
【分析】由二项式展开式中的系数为2560，列出方程即可求解．
【详解】的展开式通项为，
令，故，
故答案为：．
5．(24-25高二下·广东东莞济川中学·期中)（1）计算；
（2）已知，
求①的值.
②
【答案】（1）59；（2）①16；②1
【分析】（1）根据组合数和排列数计算公式得到答案；
（2）①令，得到的值；②令，得到.
【详解】（1）；
（2）①中，令得
，故；
②中，令得，
故.
1．(24-25高二下·广东深圳盐田高级中学等校·期中)已知二项式.
(1)求展开式中的常数项；
(2)求展开式中二项式系数最大的项.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由二项式的通项确定值，再代入通项即可求得；
（2）根据二项式定理性质，结合，即可确定二项式系数最大的项为第四项，即可求得.
【详解】（1）易得二项式的通项公式为：
，.
令，解得，
故该二项式的展开式中的常数项为.
（2）因，二项展开式共有7项，
由二项式定理性质知二项式系数最大的项为第四项，
即.
2．(24-25高二下·广东湛江吴川第四中学·期中)（多选）已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（ ）
A．
B．只有第4项的二项式系数最大
C．若，则展开式中常数项为15
D．若展开式中各项系数之和为64，则
【答案】ABC
【分析】根据二项式系数和计算判断A，根据展开式项数判断B，应用通项公式计算判断C，应用赋值法求系数和判断D.
【详解】A：展开式各项的二项式系数之和为，则，故A正确；
B：当为偶数时，中间项的二项式系数最大，由，第4项作为中间项，其二项式系数最大，B正确；
C：当时，展开式通项为，令，解得，此时常数项为，C正确；
D：由题设，令，则，解得或，D错误；
故选：ABC.
3．(24-25高二下·广东深圳龙华中学·期中) （多选）已知的二项式系数和为64，则（）
A． B．常数项是第4项
C．二项式系数最大值为20 D．所有项系数之和等于
【答案】ABC
【分析】根据给定条件，利用二项式系数的性质求出，再根据二项式及展开式通项，组合数，赋值法逐项判断即可．
【详解】对于A，由题意，二项式系数和为64，则，解得，故A正确；
对于B，通项公式为，令，得，则第四项为常数项，故B正确；
对于C，二项式系数最大项为中间项第四项，所以为，故C正确；
对于D，令则系数和为，故D错误．
故选：ABC．
4．(24-25高二下·广东广州第七中学·期中) （多选）下列结论错误的是（ ）
A．若，则
B．的展开式中的系数是30
C．在的展开式中，含的项的系数是220
D．的展开式中，有且只有第4项的二项式系数最大
【答案】AD
【分析】根据组合数的性质可判断AD，由二项式展开式的特征可判断BC.
【详解】对于A，由于，所以或，解得或，故A错误；
对于B, 的展开式通项为，
令，即，所以的系数为，故B正确；
对于C，的展开式中，
含的项的系数是
，故C正确；
对于D，的展开式中，第4项和第5项的二项式系数为，由组合数的性质可知最大且，故D错误.
故选：AD
5．(24-25高二下·广东东莞光正实验学校·期中) （多选）关于二项式的展开式，下列说法正确的是（ ）
A．展开式共有6项
B．展开式的所有二项式系数之和为64
C．展开式中不含项
D．展开式的第5项系数最大
【答案】BCD
【分析】根据给定条件，利用二项式定理及二项式系数的性质逐项分析判断.
【详解】对于A，展开式共有7项，A错误；
对于B，展开式的所有二项式系数之和为，B正确；
对于C，展开式的通项，
而无解，因此展开式中不含项，C正确；
对于D，由选项C知，展开式奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，第1，3，5项的系数
分别为，因此展开式的第5项系数最大，D正确.
故选：BCD
1．(24-25高二下·广东江门台山一中、开侨中学两校·期中)南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设、、为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余，记为．已知，若，，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】写出二项展开式通项，分析可知，当为奇数时，；当为偶数时，.利用赋值法可求出，利用二项展开式求出被除的余数，即可得出合适的选项.
【详解】的展开式通项为，
又因为，
所以，，
当为奇数时，；当为偶数时，.
令，则，
所以，，
所以，
又，
故被除余，而被除余数为，被整除，被除余数为，
被除余数为，
故选：A.
2．(24-25高二下·广东东莞东莞中学松山湖学校·)设被9除所得的余数为m，则的展开式中的常数项为______．
【答案】70
【分析】由得出值，再根据的展开式通项列方程求解即可．
【详解】因为，
所以，
所以被9除所得的余数为8，即,
则的展开式通项为，
令，即常数项为，
故答案为：70．
3．(24-25高二下·广东东莞济川中学·期中)（1）化简：.
（2）①用二项式定理证明能被100整除；
②求被100除所得的余数.
【答案】（1）；（2）①证明见解析；②81.
【分析】（1）利用二项式定理的合并得，即可化简；
（2）①，利用二项式定理展开即可证明；
②，利用二项式定理展开即可求解；
【详解】（1）
.
（2）①
，
显然能被100整除；
②
，
所以被100除所得的余数为81.
4．(24-25高二下·广东佛山H7联盟·)已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)证明：能被3整除.
【答案】(1).
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由的展开式中的系数为，得到，即可求解；
（2）分别令和，得出关系式，两式相减，即可求解；
（3）当，可得，结合，进而证得能被3整除.
【详解】（1）由的展开式中的系数为，
所以，即解得.
（2）由，
令，得，
令，得，
两式相减得.
（3）证明：当，可得，
，
所以能被3整除.
5．(24-25高二下·广东清远211联盟·期中)已知的展开式中仅有第6项的二项式系数最大（结果用数值作答）.
(1)求的展开式中的系数；
(2)令，证明能被7整除；
(3)若，求实数.
【答案】(1)3360
(2)证明见解析
(3)103680
【分析】（1）展开式中仅有第6项的二项式系数最大，所以展开式共有11项，或者计算求解即可得出结果；
（2）易知，由二项展开式计算可得结果.
（3） ，利用展开式计算即可得出结果.
【详解】（1）方法1：展开式中仅有第6项的二项式系数最大，所以展开式共有11项，，
方法2：，解得，得.
的通项公式：，
令，得的系数.
（2）
所以能被7整除.
（3）
，
∴.
令得，
.
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