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专题03 随机变量及其分布
14大高频考点概览
考点01 求条件概率
考点02 全概率公式
考点03 全概率与贝叶斯公式
考点04 离散型随机变量的分布列性质
考点05 离散型随机变量的均值
考点06 离散型随机变量的方差
考点07 二项分布的均值与方差的计算
考点08 二项分布的求概率问题
考点09 二项分布的实际应用
考点10 超几何分布的均值与方差
考点11 正态分布曲线的性质
考点12 正态分布求指定区间概率
考点13 正态分布的实际应用
考点14 概率综合题型
1．(24-25高二下·福建师范大学附属中学·期中)袋中有5个球，其中红、黄、蓝、白、黑球各一个，从袋中有放回地随机取两次，每次取一个球，记事件：至少一次取到红球，事件：两次取到的球颜色不同，则（ ）
A． B． C． D．
2．【多选题】(24-25高二下·福建厦门大学附属科技中学·期中)一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则下列说法中正确的是（ ）
A．事件，为互斥事件 B．
C．事件B，C为独立事件 D．
3．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期中)一个盒子中装有个红球，个黑球，从中不放回地任取个小球，已知第一次取出黑球的条件下，第二次取出红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高二下·福建福州第十一中学·期中)高二年段有的同学爱好打羽毛球，的同学爱好打乒乓球，的同学爱好羽毛球或爱好乒乓球．在高二学生中随机调查一位同学，若该同学爱好打乒乓球，则该同学也爱好打羽毛球的概率为（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
5．(24-25高二下·福建福州八县联盟校·期中)年福清市元宵晚会共有个语言类节目，个杂技魔术类节目，个歌舞类节目，假设从中依次不放回地随机抽取两个节目参加福州市元宵晚会，求第一次抽到杂技魔术类节目的条件下，第二次抽到语言类节目的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．【多选题】(24-25高二下·福建厦门泉州五校·期中)某生物制药企业使用两条生产线生产同一种疫苗.第1条生产线的疫苗效价不达标的概率为6%，第2条生产线的疫苗效价不达标的概率为5%.生产后的疫苗混放在一起.已知第1、2条生产线生产的疫苗数分别占总数的40%，60%.记“任取一份疫苗是由第条生产线生产（）”为事件，“任取一份疫苗效价不达标”为事件，则（ ）
A． B．
C． D．
7．(24-25高二下·福建厦门杏南中学·期中)某水果店的苹果，来自A基地，来自B基地，A基地苹果的新鲜率为，B基地苹果的新鲜率为，从该水果店随机选取一个苹果，则选到新鲜苹果的概率是_________．
8．(24-25高二下·福建福州高级中学·)随着某市经济的蓬勃发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．(24-25高二下·福建福州八县联盟校·期中)随着互联网的发展，AI的出现为人们提供了很大的便利.某企业员工小唐撰写报告选择文心一言、豆包、DeepSeek的概率均为，而使用文心一言、豆包、DeepSeek出错的概率分别为、、，结果今天他的报告有误，在此条件下，他选择文心一言写报告的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．(24-25高二下·福建泉州丰泽区北附中学·期中)已知一道解答题共有两小问，小李有0.6的概率可以解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（ ）
A．0.46 B．0.22 C．0.18 D．0.04
11．(24-25高二下·福建厦门泉州五校·期中)在量子通信中，通过发送和接收光子实现信息的传递.光子可制备为“0”和“1”两种偏振态.发送器和接收器独立选择测量基，基的匹配规则如下：①当发送器与接收器的测量基相同时，接收器可准确测得光子的偏振态；②当基不同时，接收器测量结果完全随机（即测得“0”或“1”光子的概率均为0.5）.现发射器使用基，从两个“1”、两个“0”光子中随机选取两个依次发送.接收器每次随机地以或基测量，每次发送和接收相互独立.
(1)求发射器第一次发送“0”光子的条件下，第二次发送“1”光子的概率；
(2)求接收器测量到两个“1”光子的概率；
(3)已知接收器测量到两个“1”光子，求发送器正好也是发送两个“1”光子的概率.
12．(24-25高二下·福建厦门第一中学·期中)假设一架坠毁的飞机掉在三个可能区域中的任何一个是等可能的．如果飞机坠落在区域i中，则由于地理环境的影响，经过快速检查后发现其残骸的概率为，，．
(1)求快速检查三个区域后发现这架坠毁飞机残骸的概率；
(2)现快速检查区域1，2之后未发现残骸，求飞机坠落在区域3的条件概率．
13．(24-25高二下·福建三明、南平等六地六校·期中)人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗“AI”，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；该鉴伪技术的误报率是0.02，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（ ）
A． B． C． D．
14．(24-25高二下·福建莆田莆田锦江中学·期中)某工厂有两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是和，已知某批产品的和分别是两个车间生产，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由A车间生产的概率为（ ）
A． B． C． D．
15．(24-25高二下·福建龙岩上杭县实验学校·期中)第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中.某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球 2个白球，乙箱中有4个红球 1个白球.
(1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；
(2)抛一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球.求抽到的球是红球的概率；
(3)在（2）的条件下，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率.
16．(24-25高二下·福建龙岩非一级达标校·期中)随机变量的分布列是
5 8 9
则（ ）
A． B． C． D．
17．(24-25高二下·福建三明第一中学·期中)已知随机变量服从两点分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
18．(24-25高二下·福建莆田第二中学·期中)设某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，则_______．
19．(24-25高二下·福建莆田莆田第四中学·期中)分别在即，5位同学各自写了一封祝福信，并把写好的5封信一起放在心愿盒中，然后每人在心愿盒中各取一封，不放回．设X为恰好取到自己祝福信的人数，则________．
20．(24-25高二下·福建福州八县联盟校·期中)离散型随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则等于（ ）
A． B． C． D．
21．(24-25高二下·福建师范大学附属中学·期中)某班级体育课进行篮球定点投篮测试，规定每人最多投3次，每次只投1个球，每次投篮的结果相互独立.在处每投进一球得3分，在处每投进一球得2分，否则得0分.将学生得分逐次累加并用表示，如果的值不低于3分就判定为通过测试，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止.现有两种投篮方案：方案1：先在处投一球，以后都在处投：方案2：都在处投篮.已知甲同学在处投篮的命中率为，在处投篮的命中率为.
(1)若甲同学选择方案1，求他测试结束后所得总分的分布列和均值；
(2)你认为甲同学选择哪种方案通过测试的概率更大？说明理由.
22．(24-25高二下·福建福州第十一中学·期中)已知随机变量的概率分布如下表
1 2 4
0.2 0.3
则（ ）
A．2.4 B．6.4 C．12 D．16
23．(24-25高二下·福建漳州第三中学·期中)某年级有6名数学老师，其中男老师4人，女老师2人，任选3人参加校级技能大赛.
(1)设所选3人中女老师人数为，求的期望和方差；
(2)如果依次抽取2人参加县级技能大赛，求在第1次抽到男老师的条件下，第2次抽到是女老师的概率.
24．(24-25高二下·福建漳州第三中学·期中)在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响.
(1)已知在安静环境下，语音识别成功的概率为；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6. 某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.3，处于嘈杂环境的概率为0.7 .
（i）求测试结果为语音识别成功的概率；
（ii）已知测试结果为语音识别成功，求当天处于安静环境的概率；
(2)已知当前每次测试成功的概率为，每次测试成本固定，现有两种测试方案：方案一：测试4次；方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次，否则不再测试. 为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案
25．(24-25高二下·福建泉州丰泽区北附中学·期中)某所学校进行知识竞赛，最终甲乙同学进入决赛，争夺冠军，决赛一共有文化 科技 体育三个项目，比赛采取每个项目中回答对问题多的那个同学在该项目获胜并且获得20分，没获胜的同学得0分，三个项目比赛结束，总得分高的同学获得冠军，已知甲同学每个项目获胜的概率分别为，比赛没有平局，且每个项目比赛相互独立.
(1)求乙同学总得分为40分的概率；
(2)用表示甲同学的总得分，求的分布列与期望；
(3)判断甲乙两名同学谁获得冠军的概率大.
26．(24-25高二下·福建厦门泉州五校·期中)已知随机变量满足，，.若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
27．(24-25高二下·福建福州第三中学·期中)已知随机变量X的方差，则__________．
28．(24-25高二下·福建厦门泉州五校·期中)某同学参加投篮比赛.比赛规则如下：先后在两个不同位置投篮.其中第一次投篮投进得1分，投不进得0分，第二次投篮投进得2分，投不进得分，两次投篮的总得分不低于0分就能获奖.已知这位同学在第一个位置投篮投进的概率是，在第二个位置投篮投进的概率为，每次投篮是否投进相互之间没有影响.
(1)求至少投进一个球的概率；
(2)求这位同学两次投篮的总得分的分布列、期望及方差；
(3)求这位同学能获奖的概率.
29．(24-25高二下·福建福州闽侯县第二中学·期中)某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一个礼物，有4个装小兔和3个装小狗，依次不放回地从中取出2个盲盒．
(1)求第1次、第2次取到的都是小兔盲盒的概率；
(2)求第2次取到的是小狗盲盒的概率；
(3)若随机变量表示取到小狗的盲盒数，求的分布列，数学期望及方差．
30．(24-25高二下·福建莆田第二中学·期中)我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．
(1)求甲公司答对题数的分布列；
(2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
31．(24-25高二下·福建福州闽侯县第二中学·期中)下列说法中正确的是（ ）
①设随机变量服从二项分布，则
②小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则；
③；．
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
32．(24-25高二下·福建漳州诏安县桥东中学·期中)已知某篮球运动员每次在罚球线上罚球命中的概率为，该篮球运动员某次练习中共罚球3次，若三次练习结果互不影响，记三次罚球中命中的次数为，则的数学期望______________.
33．(24-25高二下·福建莆田第二中学·期中)已知随机变量，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
34．(24-25高二下·福建三明六校·期中)某机器有四种核心部件A，B，C，D，四个部件至少有三个正常工作时，机器才能正常运行，四个核心部件能够正常工作的概率满足为，，且各部件是否正常工作相互独立，已知，设为在次实验中成功运行的次数，若，则至少需要进行的试验次数为___________.
35．(24-25高二下·福建莆田莆田第十中学·期中)已知，，且，则下列选项中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
36．【多选题】(24-25高二下·福建龙岩非一级达标校·期中)某幼儿园周一至周五每天安排一项活动，如下表：
时间 周一 周二 周三 周四 周五
活动项目 篮球 轮滑 排球 跳绳 围棋
要求每位家长结合孩子的兴趣选择其中的三项.若有四位家长都无特殊情况，分别任选三项，用表示四人中选择跳绳的人数之和，则（ ）
A．每位家长选择跳绳的概率为 B．的可能取值有4个
C． D．
37．(24-25高二下·福建福州闽侯县第二中学·期中)甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为，比赛时均能正常发挥，则在5局3胜制中，甲队打完4局才胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
38．(24-25高二下·福建三明六校·期中)数轴上一个质点在外力的作用下，从原点出发，每隔秒向左或向右移动一个单位，已知向右移动的概率为，向左移动的概率为，共移动次，则质点位于的位置的概率是（ ）
A． B． C． D．
39．(24-25高二下·福建三明五县联盟·期中)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为，连续射击3次，至少击中两次的概率为（ ）
A． B． C． D．
40．(24-25高二下·福建三明第一中学·期中)某科技公司使用新开发的人像识别模型对5个人像进行识别，每个人像识别成功的概率均为p，且每次是否成功相互独立，设X为这5个人像中识别成功的个数，若，且全部识别成功的概率大于全部识别失败的概率，则p=（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.2
41．(24-25高二下·福建三明六校·期中)为迎接“五一劳动节”，某校举行“劳动最光荣”知识竞赛.竞赛共有A B两类试题，每类试题各10道，答对1道A类试题得10分，答对1道B类试题得20分，答错不扣分.参赛者从这两类试题中挑一类来回答（只需选择其中一类回答），每类抽出3道题回答（抽后不放回）.已知小明在A类试题中有7道题会答对，B类试题中每道答对的概率均为.
(1)若小明选择回答A类试题，设小明回答结束后的总得分为，求的分布列和期望.
(2)若小明选择回答B类试题，设小明回答结束后的总得分为，从得分期望考虑，小明应该选择哪类试题回答得分更高？请说明理由.
42．(24-25高二下·福建福州八县联盟校·期中)甲参加一档电视知识竞赛节目，该节目采用三轮两胜制．在每轮比赛中，甲需要回答一个知识问题，回答正确的概率为，回答错误的概率为，每轮比赛的结果是独立的，即每轮比赛甲回答正确的概率不受其他轮次结果的影响．
(1)当时，求甲最终获胜的概率；
(2)为了增加比赛的趣味性，节目组设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得5分，失败者得2分；方案二：最终获胜者得3分，失败者得0分.请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大．
43．(24-25高二下·福建三明沙县区三明北附高级中学·期中)随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活.某市社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，其中有60人喜欢网上买菜.
(1)社区的市民小张周一 二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，如果周一选每平台买菜，那么周二选择平合买菜的概率为，求小张周二选择平台买菜的概率；
(2)用频率估计概率，现从社区随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为随机变量，并记随机变量，求的期望和方差.
44．(24-25高二下·福建福州第四中学·)某商场举行有奖促销活动，凡5月1日当天消费不低于1000元，均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球，其中红球有4个，白球有2个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．
方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，每有1个红球，可立减80元；
方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸出1个球，连摸3次，每摸到1次红球，立减80元．
(1)设方案一摸出的红球个数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差；
(2)设方案二摸出的红球个数为随机变量Y，求Y的分布列、数学期望和方差；
(3)如果你是顾客，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由．
45．(24-25高二下·福建泉州中远学校·)某校为了解高二学生每天的作业完成时长，在该校高二学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示：
时长t（小时）
人数 3 4 33 42 18
用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响，
(1)从该校高二学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率；
(2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有X人可以在2小时内完成各科作业，求X的分布列和数学期望；
(3)从该校高二学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，人在3小时及以上完成各科作业，试写出数学期望，并比较其大小关系.
46．(24-25高二下·福建恒一教育集团联考·期中)设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中有且只有3个红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
47．(24-25高二下·福建龙岩非一级达标校·期中)将8个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1～8.现从中任取4个球，以表示所取球的最大号码.
(1)求的分布列；
(2)求的概率.
48．(24-25高二下·福建福州高级中学·)某企业使用新技术生产某种产品，该产品在出厂前要经历生产和检测两道工序，生产工序的次品率为．检测工序包括智能自动检测和人工抽查检测．智能自动检测为正品，则进入流水线并由人工抽查检测．
(1)现有7件经过生产工序但未经检测工序的产品，其中恰含2件次品，从这7件产品中随机抽取3件，求这3件产品中的次品数的分布列和数学期望；
(2)若智能自动检测的准确率为，求一件产品进入人工抽查检测环节的概率．
49．(24-25高二下·福建莆田第二十五中学·期中)某市共有10所重点大学可供考生选择，其中3所为985高校，5所为211高校，另外2所为特色专业高校．一位考生准备从这10所高校中随机选择4所进行志愿填报，每所高校被选中的概率相同．
(1)求该考生恰好选到2所985高校的概率；
(2)若该考生选到985高校的数量为，求随机变量的分布列和数学期望．
50．(24-25高二下·福建泉州丰泽区北附中学·期中)为响应国家促进消费的政策，某大型商场举办了“消费满减乐翻天”的优惠活动，顾客消费满800元（含800元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种）
方案1：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球．每摸出1次红球，立减150元，若3次都摸到红球，则额外再减200元（即总共减650元）；
方案2：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球．中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠．
(1)顾客A选择抽奖方案2，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率；
(2)顾客B恰好消费了800元，
①若他选择抽奖方案1，求他实付金额的分布列和期望（结果精确到0.01）；
②试从实付金额的期望值分析顾客B选择何种抽奖方案更合理．
51．【多选题】(24-25高二下·福建三明五县联盟·期中)化学课上，老师带同学进行酸碱平衡测量实验，由于物质的量浓度差异，测量酸碱度pH值时会造成一定的误差，甲小组进行的实验数据的误差和乙小组进行的实验数据的误差均符合正态分布，其中，，已知正态分布密度函数，记和所对应的正态分布密度函数分别为，，则（ ）
A．
B．乙小组的实验误差数据相对于甲小组更集中
C．
D．
52．(24-25高二下·福建三明、南平等六地六校·期中)已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
53．【多选题】(24-25高二下·福建三明第一中学·期中)已知两种金属元件（分别记为，）的抗拉强度均服从正态分布，且，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项中正确的是（ ）（参考数据：若，则，）
A．，
B．
C．
D．对于任意的正数，恒有
54．(24-25高二下·福建漳州第三中学·期中)已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
55．(24-25高二下·福建三明沙县区三明北附高级中学·期中)设随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
56．(24-25高二下·福建三明六校·期中)已知随机变量，若，则____________.
57．(24-25高二下·福建恒一教育集团联考·期中)在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为______________．
58．(24-25高二下·福建仙游第一中学·期中)已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（ ）
A．关于直线对称 B．关于直线对称
C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称
59．(24-25高二下·福建泉州科技中学·期中)随机变量，，若，则___________.
60．(24-25高二下·福建永春第一中学·期中)已知随机变量，且，则的值为________．
61．(24-25高二下·福建三明六校·期中)小张每周都去同一家商店购买一箱苹果，该商店的售货员说出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克.根据售货员的表述转化为数学理想模型是该商店所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布.
(1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布.
（i）若该售货员所说属实，则小张从该商店随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求.
（ii）若小张每周都会将从该商店买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4938.77克.小张举报了该商店，从概率的角度说明小张举报该商店的理由.
(2)若该售货员所说属实，则现从该商店随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差.（结果保留两位小数）
附：①若随机变量服从正态分布，则，，；
②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生.
③参考数据：，，，
，
62．(24-25高二下·福建福州第十一中学·期中)冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼．
(1)已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列
(2)为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率；
(3)经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格 附：．
63．(24-25高二下·福建莆田第二十五中学·期中)某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下:
零件直径 (单位: 厘米) [1.8，2.0]
零件个数 10 25 30 25 10
(1)经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间 内的概率;
(2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望;
(3)在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的 2 倍， 且甲机器生产的零件的次品率为 0.3， 乙机器生产的零件的次品率为0.2， 现从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率.
参考数据: 若随机变量，则，，.
64．(24-25高二下·福建泉州丰泽区北附中学·期中)某工厂5月份生产5000个灯泡，实验得知灯泡使用寿命（单位：小时）服从正态分布，已知，则工厂该月生产灯泡寿命在800小时及其以上的个数约为（ ）
A．4400 B．4500 C．4600 D．4900
65．(24-25高二下·福建三明永安九中、宁化六中、金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)为了解高二学生体育健康情况，学校组织了一次体育健康测试，成绩X近似服从正态分布N(70，72)，已知成绩在77分以上的学生有208人，如果成绩大于84分为优秀，则本次体育健康测试成绩优秀的大约有___________人．
(参考数据：P(μ－σ＜X＜μ＋σ)=0.68，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)=0.96)
66．【多选题】(24-25高二下·福建福州第十一中学·期中)某大学有A，B两个餐厅，学生只能选择其中一个就餐，经过统计分析发现：学生第一天选择两个餐厅的概率均为，而前一天选择了A餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率为；前一天选择B餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率为，如此反复．记某同学第n天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率为.一个月（30天）后，记甲、乙，丙三位同学选择B餐厅的人数为X，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．
67．(24-25高二下·福建厦门双十中学·期中)Catalan数列（卡特兰数列）最早由我国清代数学家明安图（1692-1765）在研究三角函数幂级数的推导过程中发现，成果发表于1774年出版的《割圜密率捷法》中，后由比利时数学家卡特兰（Catalan，1814-1894）的名字来命名，该数列的通项被称为第个Catalan数，其通项公式为.在组合数学中，有如下结论：由个和个构成的所有数列，中，满足“对任意，都有”的数列的个数等于.
已知在数轴上，有一个粒子从原点出发，每秒向左或向右移动一个单位，且向左移动和向右移动的概率均为.
(1)设粒子第3秒末所处的位置为随机变量（若粒子第一秒末向左移一个单位，则位置为；若粒子第一秒末向右移一个单位，则位置为1），求的分布列和数学期望；
(2)记第秒末粒子回到原点的概率为.
（i）求及；
（ii）设粒子在第秒末第一次回到原点的概率为，求.
68．(24-25高二下·福建泉州科技中学·期中)将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以表示没有出现连续3次正面的概率.给出下列四个结论：
①；
②；
③当时，；
④.
其中，所有正确结论的序号是__________.
69．(24-25高二下·福建泉州科技中学·期中)有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（ ）
A．增加，增加 B．增加，减小
C．减小，增加 D．减小，减小
70．(24-25高二下·福建三明五县联盟·期中)某公司邀请棋手与该公司研制的一款人形机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为20，每局比赛，棋手胜加10分；平局不得分；棋手负减10分.当棋手总分为0时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为30时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续.已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立.
(1)求两局后比赛终止的概率；
(2)在3局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率；
(3)在挑战过程中，棋手每胜1局，获奖5千元.记局后比赛终止且棋手获奖1万元的概率为，求的最大值.
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专题03 随机变量及其分布
14大高频考点概览
考点01 求条件概率
考点02 全概率公式
考点03 全概率与贝叶斯公式
考点04 离散型随机变量的分布列性质
考点05 离散型随机变量的均值
考点06 离散型随机变量的方差
考点07 二项分布的均值与方差的计算
考点08 二项分布的求概率问题
考点09 二项分布的实际应用
考点10 超几何分布的均值与方差
考点11 正态分布曲线的性质
考点12 正态分布求指定区间概率
考点13 正态分布的实际应用
考点14 概率综合题型
1．(24-25高二下·福建师范大学附属中学·期中)袋中有5个球，其中红、黄、蓝、白、黑球各一个，从袋中有放回地随机取两次，每次取一个球，记事件：至少一次取到红球，事件：两次取到的球颜色不同，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据独立事件概率的乘法公式，和条件概率公式，求出结果.
【详解】两次抽取一个球，至少一次又两种情况为只有一次红球和两个都是红球，为方便计算，取的对立事件为没有红球，则，
事件为一个红球和一个其他颜色球，则.
由条件概率可知.
故选：D.
2．【多选题】(24-25高二下·福建厦门大学附属科技中学·期中)一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则下列说法中正确的是（ ）
A．事件，为互斥事件 B．
C．事件B，C为独立事件 D．
【答案】ABD
【分析】根据独立事件和互斥事件的概念，判断事件之间的关系，通过古典概型概率公式和条件概率公式求事件概率.
【详解】对A，事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球，因为一次只取一个球，事件，不可能同时发生，所以为互斥事件，A正确.
对B，取出的两球同色分为都是红色和都是白色，则，所以B正确.
对C，已知事件C：取出的两球中至少有一个红球，则对立事件为两个球没有红色，则概率，
积事件为两个红色球，则,可知，所以C错误
对D，由题意知，积事件为第一次取白球，第二次取红球，则，
根据条件概率公式可知，所以D正确.
故选：ABD.
3．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期中)一个盒子中装有个红球，个黑球，从中不放回地任取个小球，已知第一次取出黑球的条件下，第二次取出红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】记事件第一次取出黑球，事件第二次取出红球，利用条件概率公式可求得的值.
【详解】记事件第一次取出黑球，事件第二次取出红球，
则，，
由条件概率公式可得.
故选：B.
4．(24-25高二下·福建福州第十一中学·期中)高二年段有的同学爱好打羽毛球，的同学爱好打乒乓球，的同学爱好羽毛球或爱好乒乓球．在高二学生中随机调查一位同学，若该同学爱好打乒乓球，则该同学也爱好打羽毛球的概率为（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
【答案】B
【分析】先算出同时爱好打乒乓球和羽毛球的概率，再利用条件概率的知识求解.
【详解】设随机调查一位同学，该同学爱好打乒乓球为事件，爱好打羽毛球为事件，
则，，，
则，
则，
则随机调查一位同学，若该同学爱好打乒乓球，则该同学也爱好打羽毛球的概率为.
故选：B
5．(24-25高二下·福建福州八县联盟校·期中)年福清市元宵晚会共有个语言类节目，个杂技魔术类节目，个歌舞类节目，假设从中依次不放回地随机抽取两个节目参加福州市元宵晚会，求第一次抽到杂技魔术类节目的条件下，第二次抽到语言类节目的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设事件第一次抽到杂技魔术类节目为，事件第二次抽到语言类节目为，求，，再根据条件概率的公式求结论即可.
【详解】设事件第一次抽到杂技魔术类节目为，事件第二次抽到语言类节目为，
则，
，
则第一次抽到杂技魔术类节目的条件下，第二次抽到语言类节目的概率
，
故选：D.
6．【多选题】(24-25高二下·福建厦门泉州五校·期中)某生物制药企业使用两条生产线生产同一种疫苗.第1条生产线的疫苗效价不达标的概率为6%，第2条生产线的疫苗效价不达标的概率为5%.生产后的疫苗混放在一起.已知第1、2条生产线生产的疫苗数分别占总数的40%，60%.记“任取一份疫苗是由第条生产线生产（）”为事件，“任取一份疫苗效价不达标”为事件，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】利用全概率及条件概率公式分别求出各个选项的值即可判断各个选项的正误.
【详解】
，故A正确；
，故B正确；
由题意可知，，故C正确.
，故D错误.
故选：ABC.
7．(24-25高二下·福建厦门杏南中学·期中)某水果店的苹果，来自A基地，来自B基地，A基地苹果的新鲜率为，B基地苹果的新鲜率为，从该水果店随机选取一个苹果，则选到新鲜苹果的概率是_________．
【答案】/
【分析】由已知结合全概率公式求解即可.
【详解】设选取的苹果来自A基地为事件，选取的苹果来自B基地为事件，
选到新鲜苹果为事件，
所以，，，，
所以
，
所以从该水果店随机选取一个苹果，则选到新鲜苹果的概率是.
故答案为：.
8．(24-25高二下·福建福州高级中学·)随着某市经济的蓬勃发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式求解概率即可.
【详解】设事件示“自驾”，事件表示“坐公交车”，事件表示“骑共享单车”，事件“表示迟到”，
由题意可知：，，，，
则，，
若小明迟到了，则他自驾去上班的概率是．
故选：B
9．(24-25高二下·福建福州八县联盟校·期中)随着互联网的发展，AI的出现为人们提供了很大的便利.某企业员工小唐撰写报告选择文心一言、豆包、DeepSeek的概率均为，而使用文心一言、豆包、DeepSeek出错的概率分别为、、，结果今天他的报告有误，在此条件下，他选择文心一言写报告的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件设出事件，并根据全概率公式，贝叶斯概率公式，即可求解.
【详解】设事件为选择文心一言，事件为选择豆包，事件为选择DeepSeek，事件为报告有误，
，，，，
所有，
.
故选：C
10．(24-25高二下·福建泉州丰泽区北附中学·期中)已知一道解答题共有两小问，小李有0.6的概率可以解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（ ）
A．0.46 B．0.22 C．0.18 D．0.04
【答案】B
【分析】令表示第一问解答出来，表示第二问解答出来，应用对立事件的概率求法得、，再应用全概率公式求解答出第二问的概率.
【详解】令表示第一问解答出来，表示第二问解答出来，
则，，，故，，
所以.
故选：B
11．(24-25高二下·福建厦门泉州五校·期中)在量子通信中，通过发送和接收光子实现信息的传递.光子可制备为“0”和“1”两种偏振态.发送器和接收器独立选择测量基，基的匹配规则如下：①当发送器与接收器的测量基相同时，接收器可准确测得光子的偏振态；②当基不同时，接收器测量结果完全随机（即测得“0”或“1”光子的概率均为0.5）.现发射器使用基，从两个“1”、两个“0”光子中随机选取两个依次发送.接收器每次随机地以或基测量，每次发送和接收相互独立.
(1)求发射器第一次发送“0”光子的条件下，第二次发送“1”光子的概率；
(2)求接收器测量到两个“1”光子的概率；
(3)已知接收器测量到两个“1”光子，求发送器正好也是发送两个“1”光子的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式，结合条件概率公式求解即可；
（2）利用概率的乘法公式、加法公式，结合全概率公式求解即可；
（3）直接利用条件概率公式求解即可；
【详解】（1）设事件“发射器第一次发送“0”偏振态的光子”，
事件“第二次发送“1”的光子”偏振态，
则，，
由条件概率公式，；
（2）设事件“接收器测量到两个1偏振态光子”，
事件“发射器先后发射了0，0光子”，
事件“发射器先后发射了0，1光子”，
事件“发射器先后发射了1，0光子”，
事件“发射器先后发射了1，1光子”，
事件“发射器使用基发送1偏振态光子时接收器测量结果为1”，
事件“发射器使用基发送0偏振态光子时接收器测量结果为0”.
，，
，，，，
则，，
，.
由全概率公式，得：
.
（3）.
12．(24-25高二下·福建厦门第一中学·期中)假设一架坠毁的飞机掉在三个可能区域中的任何一个是等可能的．如果飞机坠落在区域i中，则由于地理环境的影响，经过快速检查后发现其残骸的概率为，，．
(1)求快速检查三个区域后发现这架坠毁飞机残骸的概率；
(2)现快速检查区域1，2之后未发现残骸，求飞机坠落在区域3的条件概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题，发现这架坠毁飞机残骸分3种情况，利用全概率公式求解；
（2）设事件表示飞机坠落在区域3，事件表示检查区域1，2未发现残骸，利用条件概率公式，全概率公式求出，，再利用贝叶斯定理求解.
【详解】（1）根据题意，飞机坠落在区域1，2，3的概率均为，
所以快速检查三个区域后发现这架坠毁飞机残骸的概率：
.
（2）设事件表示飞机坠落在区域3，事件表示检查区域1，2未发现残骸，
则，，
利用贝叶斯定理可得.
所以快速检查区域1，2之后未发现残骸，飞机坠落在区域3的概率为.
13．(24-25高二下·福建三明、南平等六地六校·期中)人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗“AI”，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；该鉴伪技术的误报率是0.02，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果.
【详解】设A=“视频是“AI”合成”，设B=“鉴定结果为“AI””，
则，
由贝叶斯公式得：
，
故选：B．
14．(24-25高二下·福建莆田莆田锦江中学·期中)某工厂有两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是和，已知某批产品的和分别是两个车间生产，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由A车间生产的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据贝叶斯公式求得正确答案.
【详解】依题意，该产品是由A车间生产的概率为：
.
故选：A
15．(24-25高二下·福建龙岩上杭县实验学校·期中)第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中.某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球 2个白球，乙箱中有4个红球 1个白球.
(1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；
(2)抛一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球.求抽到的球是红球的概率；
(3)在（2）的条件下，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设出事件，运用条件概率公式求解即可；
（2）设出事件，运用全概率公式求解即可；
（3）设出事件，运用贝叶斯概率公式求解即可.
【详解】（1）记事件表示“抽出的2个球中有红球”，事件表示“两个球都是红球”，
则，故
（2）设事件表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件表示“抽到红球”，
则 ，
可得
（3）在（2）的条件下.
16．(24-25高二下·福建龙岩非一级达标校·期中)随机变量的分布列是
5 8 9
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据随机变量的分布列建立方程，解之即可求解.
【详解】由，解得.
故选：B
17．(24-25高二下·福建三明第一中学·期中)已知随机变量服从两点分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由分布列的性质可求.
【详解】因为服从两点分布，故，
故选：A.
18．(24-25高二下·福建莆田第二中学·期中)设某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，则_______．
【答案】/0.046875
【分析】前两次抽到的都是次品，第三次抽到的是正品，列出算式求得结果.
【详解】表明前两次抽到的都是次品，第三次抽到的是正品.
故，
故答案为：.
19．(24-25高二下·福建莆田莆田第四中学·期中)分别在即，5位同学各自写了一封祝福信，并把写好的5封信一起放在心愿盒中，然后每人在心愿盒中各取一封，不放回．设X为恰好取到自己祝福信的人数，则________．
【答案】
【分析】根据题意，由条件可得的可能取值，然后分别求得取的概率，即可得到的值.
【详解】由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，5
对应概率依次为：，
，
，
，
则.
故答案为：
20．(24-25高二下·福建福州八县联盟校·期中)离散型随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件，利用分布列的性质得到，即可求解.
【详解】由题知，解得，所以，
又，
故选：B.
21．(24-25高二下·福建师范大学附属中学·期中)某班级体育课进行篮球定点投篮测试，规定每人最多投3次，每次只投1个球，每次投篮的结果相互独立.在处每投进一球得3分，在处每投进一球得2分，否则得0分.将学生得分逐次累加并用表示，如果的值不低于3分就判定为通过测试，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止.现有两种投篮方案：方案1：先在处投一球，以后都在处投：方案2：都在处投篮.已知甲同学在处投篮的命中率为，在处投篮的命中率为.
(1)若甲同学选择方案1，求他测试结束后所得总分的分布列和均值；
(2)你认为甲同学选择哪种方案通过测试的概率更大？说明理由.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)甲同学选择方案2通过初赛的可能性更大，理由见解析
【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率加法公式求出概率，列出分布列，求出数学期望即可.
（2）利用相互独立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率加法公式求出概率，再进行比较即可.
【详解】（1）设甲同学在A处投中为事件A，在处第i次投中为事件，
由已知得，，的取值为，
则，
，
，
，
所以的分布列为：
0 2 3 4
所以的数学期望为.
（2）设甲同学选择方案1通过初赛的概率为，选择方案2通过初赛的概率为，
则由（1）有：，
又 ，
所以，所以甲同学选择方案2通过初赛的可能性更大.
22．(24-25高二下·福建福州第十一中学·期中)已知随机变量的概率分布如下表
1 2 4
0.2 0.3
则（ ）
A．2.4 B．6.4 C．12 D．16
【答案】D
【分析】根据分布列性质可得，再由期望公式以及期望值性质计算可得结果.
【详解】易知，解得，
所以，
可得.
故选：D
23．(24-25高二下·福建漳州第三中学·期中)某年级有6名数学老师，其中男老师4人，女老师2人，任选3人参加校级技能大赛.
(1)设所选3人中女老师人数为，求的期望和方差；
(2)如果依次抽取2人参加县级技能大赛，求在第1次抽到男老师的条件下，第2次抽到是女老师的概率.
【答案】(1)1，
(2)
【分析】（1）的所有可能取值为0，1，2，求出概率得到分布列，利用期望公式结合方差公式即可得答案．
（2）结合分步计数原理以及排列知识，利用条件概率转化求解即可．
【详解】（1）的所有可能取值为0，1，2，依题意得：
，，，
的分布列为：
0 1 2
所以，
；
（2）设第1次抽到男老师为事件，第2次抽到女老师为事件
则第1次抽到男老师且第2次抽到女老师为事件，
根据分步计数原理，．
所以．
24．(24-25高二下·福建漳州第三中学·期中)在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响.
(1)已知在安静环境下，语音识别成功的概率为；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6. 某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.3，处于嘈杂环境的概率为0.7 .
（i）求测试结果为语音识别成功的概率；
（ii）已知测试结果为语音识别成功，求当天处于安静环境的概率；
(2)已知当前每次测试成功的概率为，每次测试成本固定，现有两种测试方案：方案一：测试4次；方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次，否则不再测试. 为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案
【答案】(1)（i）；（ii）
(2)方案一
【分析】（1）（i）设出基本事件利用条件概率以及全概率公式计算可得结果；（ii）由概率的乘法公式计算即可；
（2）求得两方案对应的期望值，取期望值较小的即可.
【详解】（1）记事件=“某天进行测试时处于安静环境”，=“某天进行测试时处丁嘈杂环境”，事件=“测试结果语音识别成功”.
根据题意得
（i）由全概率公式得
（ii）“已知测试结果语音识别成功，当天处于安静环境的概率”，就是在事件发生的条件下发生的概率，
即
（2）方案一的测试次数的数学期望为4.
用表示“方案二测试的次数”，由题意得的可能取值为3，5.
则
所以方案二测试次数的数学期望为.
又因为，
所以以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择方案一.
25．(24-25高二下·福建泉州丰泽区北附中学·期中)某所学校进行知识竞赛，最终甲乙同学进入决赛，争夺冠军，决赛一共有文化 科技 体育三个项目，比赛采取每个项目中回答对问题多的那个同学在该项目获胜并且获得20分，没获胜的同学得0分，三个项目比赛结束，总得分高的同学获得冠军，已知甲同学每个项目获胜的概率分别为，比赛没有平局，且每个项目比赛相互独立.
(1)求乙同学总得分为40分的概率；
(2)用表示甲同学的总得分，求的分布列与期望；
(3)判断甲乙两名同学谁获得冠军的概率大.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)甲获胜概率更大
【分析】（1）利用互斥事件的概率加法公式即可求出；
（2）依题可知，，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望；
（3）分别求出甲和乙获胜概率进行比较即可.
【详解】（1）设三个项目乙获胜的事件分别为，乙同学总得分40分记为事件，
则，且
.
（2）由题可知
甲总得分的分布列：
0 20 40 60
.
（3）甲获胜的概率为，
乙获胜的概率为，
因为，
所以甲获胜概率更大.
26．(24-25高二下·福建厦门泉州五校·期中)已知随机变量满足，，.若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】利用期望和方差公式将数学期望和方差用概率表述出来，然后比较大小即可.
【详解】∵，，
∴，
∵，，，
∴.
故选：B.
27．(24-25高二下·福建福州第三中学·期中)已知随机变量X的方差，则__________．
【答案】12
【分析】根据方差的性质即可求解．
【详解】，
故答案为：12．
28．(24-25高二下·福建厦门泉州五校·期中)某同学参加投篮比赛.比赛规则如下：先后在两个不同位置投篮.其中第一次投篮投进得1分，投不进得0分，第二次投篮投进得2分，投不进得分，两次投篮的总得分不低于0分就能获奖.已知这位同学在第一个位置投篮投进的概率是，在第二个位置投篮投进的概率为，每次投篮是否投进相互之间没有影响.
(1)求至少投进一个球的概率；
(2)求这位同学两次投篮的总得分的分布列、期望及方差；
(3)求这位同学能获奖的概率.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，，
(3)
【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件及对立事件的概率公式求解.
（2）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望、方差.
（3）利用对立事件的概率公式求解.
【详解】（1）设至少投进一个球为事件，则.
（2）这位同学投篮三次的总得分的所有可能取值为，0，2，3，
，，
，，
随机变量的分布列是
0 2 3
，，
所以.
（3）设这位同学获奖为事件，则，所以获奖的概率为.
29．(24-25高二下·福建福州闽侯县第二中学·期中)某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一个礼物，有4个装小兔和3个装小狗，依次不放回地从中取出2个盲盒．
(1)求第1次、第2次取到的都是小兔盲盒的概率；
(2)求第2次取到的是小狗盲盒的概率；
(3)若随机变量表示取到小狗的盲盒数，求的分布列，数学期望及方差．
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，，
【分析】（1）设事件“第次取到的是小兔盲盒”，，求出，，再根据条件概率的概率公式计算可得；
（2）设事件“第次取到的是小狗盲盒”，，求出，，，再根据全概率的概率公式计算可得；
（3）列出随机变量的所有可能的值，求出对应的概率，可得分布列，并求期望与方差.
【详解】（1）设事件“第次取到的是小兔盲盒”，，
因为，，
所以，
即第次、第次取到的都是小兔盲盒的概率为.
（2）设事件“第次取到的是小狗盲盒”，，
因为，，，
所以由全概率公式，可知第次取到的是小狗盲盒的概率为
；
（3）由题意可取，，，
所以，，.
所以的分布列为：
0 1 2
则，.
30．(24-25高二下·福建莆田第二中学·期中)我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．
(1)求甲公司答对题数的分布列；
(2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
【答案】(1)分布列见解析
(2)甲公司竞标成功的可能性更大
【分析】（1）设甲公司答对题数为随机变量可能取值为，求得相应的概率，列出分布列；
（2）由（1）中随机变量的分布列，求得，，设乙公司能正确回答的题目数为随机变量可能取值为，利用独立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，求得，，结合，且，即可得到结论.
【详解】（1）由题意，设甲公司答对题数为随机变量，则的可能取值为，
则，，，
所以随机变量的分布列为：
（2）由（1）中随机变量的分布列，可得，
.
设乙公司能正确回答的题目数为随机变量，则的可能取值为，
则，，
，，
所以随机变量的分布列为：
所以，
，
由，且，所以甲公司竞标成功的可能性更大.
31．(24-25高二下·福建福州闽侯县第二中学·期中)下列说法中正确的是（ ）
①设随机变量服从二项分布，则
②小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则；
③；．
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
【答案】A
【分析】利用二项分布的概率公式计算出的值即可判断①；分别求出，再利用条件概率公式计算出的值即可判断②；利用期望，方差的性质即可判断③.
【详解】对于①，因为随机变量服从二项分布，
所以，故①正确；
对于②，小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，
每人只去一个景点有种方案，
4个人去的景点互不相同且小赵独自去一个景点有种方案，
所以，
小赵独自去一个景点有种方案，所以，
所以，故②正确；
对于③，因为，故③错误.
综上可知，①②正确，③错误.
故选：A
32．(24-25高二下·福建漳州诏安县桥东中学·期中)已知某篮球运动员每次在罚球线上罚球命中的概率为，该篮球运动员某次练习中共罚球3次，若三次练习结果互不影响，记三次罚球中命中的次数为，则的数学期望______________.
【答案】/
【分析】由二项分布的均值公式即可求解.
【详解】由题意可得，则.
故答案为：
33．(24-25高二下·福建莆田第二中学·期中)已知随机变量，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据已知条件求出的值，然后根据二项分布的期望和方差的公式以及线性变换后的随机变量的期望方差公式逐一分析选项.
【详解】因为随机变量服从二项分布，，
所以.
因为，所以.
求得，.
对于选项A：
，所以选项A错误.
对于选项B：
由前面求得，所以B错误.
对于选项C：
由前面求得，所以C错误.
对于选项D：
因为随机变量，所以，所以D正确.
故选：D.
34．(24-25高二下·福建三明六校·期中)某机器有四种核心部件A，B，C，D，四个部件至少有三个正常工作时，机器才能正常运行，四个核心部件能够正常工作的概率满足为，，且各部件是否正常工作相互独立，已知，设为在次实验中成功运行的次数，若，则至少需要进行的试验次数为___________.
【答案】54
【分析】设，则，借助相互独立事件的乘法公式可表示出一次实验中成功运行的概率，则当该概率取的最大值时，需要最少的试验次数，借助导数研究单调性即可得该概率的最大值，结合二项分布期望公式即可得解.
【详解】设，则，
所以，
设一次实验中成功运行的概率为，
则
，
，
令，
，
当时，，当时，；
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，
故，
由服从二项分布，故有，则.
故答案为：54
35．(24-25高二下·福建莆田莆田第十中学·期中)已知，，且，则下列选项中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据，且求得，再逐项判断.
【详解】因为，且，
所以，即，
因为在上递增，且，
所以，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，，故D错误；
故选：D
36．【多选题】(24-25高二下·福建龙岩非一级达标校·期中)某幼儿园周一至周五每天安排一项活动，如下表：
时间 周一 周二 周三 周四 周五
活动项目 篮球 轮滑 排球 跳绳 围棋
要求每位家长结合孩子的兴趣选择其中的三项.若有四位家长都无特殊情况，分别任选三项，用表示四人中选择跳绳的人数之和，则（ ）
A．每位家长选择跳绳的概率为 B．的可能取值有4个
C． D．
【答案】AD
【分析】根据古典概型计算判断A，应用次独立事件概率乘积公式计算判断B，C，D.
【详解】每位家长选择跳绳的概率，A选项正确；
的可能取值为0，1，2，3，4，
，
故B，C错误，AD正确.
故选：AD.
37．(24-25高二下·福建福州闽侯县第二中学·期中)甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为，比赛时均能正常发挥，则在5局3胜制中，甲队打完4局才胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用相互独立事件的概率公式求解即可.
【详解】因为甲队与乙队实力之比为，所以每局比赛中甲获胜的概率为，
则甲队打完4局才胜，说明在前三局中甲胜两局，且在第4局中获胜，
其概率为，
故选：D.
38．(24-25高二下·福建三明六校·期中)数轴上一个质点在外力的作用下，从原点出发，每隔秒向左或向右移动一个单位，已知向右移动的概率为，向左移动的概率为，共移动次，则质点位于的位置的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题设分析质点的移动方式，再应用独立事件的概率求法求概率即可.
【详解】由题意，要使移动次质点位于的位置，需左移5次，右移3次，
所以质点位于的位置的概率.
故选：D
39．(24-25高二下·福建三明五县联盟·期中)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为，连续射击3次，至少击中两次的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用独立重复试验的概率公式计算即可.
【详解】至少击中两次包括击中2次和击中3次,
所以至少击中两次的概率为,
故选:C.
40．(24-25高二下·福建三明第一中学·期中)某科技公司使用新开发的人像识别模型对5个人像进行识别，每个人像识别成功的概率均为p，且每次是否成功相互独立，设X为这5个人像中识别成功的个数，若，且全部识别成功的概率大于全部识别失败的概率，则p=（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.2
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用二项分布的方差公式求解.
【详解】依题意，，则，解得或，
由全部识别成功的概率大于全部识别失败的概率，得，即，则，
所以.
故选：A
41．(24-25高二下·福建三明六校·期中)为迎接“五一劳动节”，某校举行“劳动最光荣”知识竞赛.竞赛共有A B两类试题，每类试题各10道，答对1道A类试题得10分，答对1道B类试题得20分，答错不扣分.参赛者从这两类试题中挑一类来回答（只需选择其中一类回答），每类抽出3道题回答（抽后不放回）.已知小明在A类试题中有7道题会答对，B类试题中每道答对的概率均为.
(1)若小明选择回答A类试题，设小明回答结束后的总得分为，求的分布列和期望.
(2)若小明选择回答B类试题，设小明回答结束后的总得分为，从得分期望考虑，小明应该选择哪类试题回答得分更高？请说明理由.
【答案】(1)分布列见解析，21；
(2)应该选择类试题，理由见解析.
【分析】（1）根据已知有可能的取值为，并求出对应概率，即可得分布列，进而求期望；
（2）设表示小明回答类试题中答对的题数且，应用二项分布的期望及期望性质求，结合（1）结果得结论.
【详解】（1）由题设，可能的取值为，
，
，
所以的分布列为
0 10 20 30
所以
（2）设表示小明回答类试题中答对的题数，易知，
故，又，则.
因为，故小明应该选择类试题回答得分更高.
42．(24-25高二下·福建福州八县联盟校·期中)甲参加一档电视知识竞赛节目，该节目采用三轮两胜制．在每轮比赛中，甲需要回答一个知识问题，回答正确的概率为，回答错误的概率为，每轮比赛的结果是独立的，即每轮比赛甲回答正确的概率不受其他轮次结果的影响．
(1)当时，求甲最终获胜的概率；
(2)为了增加比赛的趣味性，节目组设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得5分，失败者得2分；方案二：最终获胜者得3分，失败者得0分.请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大．
【答案】(1)
(2)方案一
【分析】（1）分和两种情况求甲最终获胜的概率；
（2）由（1）可知甲最终获胜的概率，分别求方案一和方案二的期望，即可比较大小.
【详解】（1）记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，“甲最终获胜”为事件
于是，与为互斥事件，
由于，
则，即甲最终获胜的概率为.
（2）由（1）可知，
若选用方案一，记甲最终获得积分为分，则可取
则的分布列为：
5
则
若选用方案二，记甲最终获得积分为分，则可取3，0
则的分布列为：
3 0
则
所以
答：方案一始终更优
43．(24-25高二下·福建三明沙县区三明北附高级中学·期中)随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活.某市社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，其中有60人喜欢网上买菜.
(1)社区的市民小张周一 二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，如果周一选每平台买菜，那么周二选择平合买菜的概率为，求小张周二选择平台买菜的概率；
(2)用频率估计概率，现从社区随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为随机变量，并记随机变量，求的期望和方差.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据全概率公式计算可得结果；
（2）易知随机变量服从二项分布，可求出对应期望值和方差，再根据期望值和方差性质计算可得结果.
【详解】（1）设事件“小张周一选择平台买菜”；事件“小张周二选择平台买菜”，
则
因此
所以小张周二选择平台买菜的概率为；
（2）根据题意可得喜欢网上买菜的概率为
显然从社区随机抽取20名市民，喜欢网上买菜的市民人数服从二项分布，
即
可得
又
所以
44．(24-25高二下·福建福州第四中学·)某商场举行有奖促销活动，凡5月1日当天消费不低于1000元，均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球，其中红球有4个，白球有2个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．
方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，每有1个红球，可立减80元；
方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸出1个球，连摸3次，每摸到1次红球，立减80元．
(1)设方案一摸出的红球个数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差；
(2)设方案二摸出的红球个数为随机变量Y，求Y的分布列、数学期望和方差；
(3)如果你是顾客，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由．
【答案】(1)分布列见解析，，
(2)分布列见解析，，．
(3)应选择方案一的抽奖方式，理由见解析
【分析】（1）由条件确定的可能取值，求取各值得概率，可得分布列，结合公式求期望和方差；
（2）由条件确定的可能取值，判断，结合二项分布的分布列求法确定其分布列，再由公式求期望和方差，
（3）通过比较随机变量期望和方差的大小，确定选择方案.
【详解】（1）设方案一摸出的红球个数为X，则X的所有可能取值为，
，，．
X的分布列为：
X 1 2 3
P
所以，．
（2）设方案二摸出的红球个数为Y，则Y的所有可能取值为．
则，
所以，，
，，
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
所以，．
（3）因为，，
即两种方案抽取的红球个数的数学期望一样，但方案一更稳定，
所以应选择方案一的抽奖方式．
45．(24-25高二下·福建泉州中远学校·)某校为了解高二学生每天的作业完成时长，在该校高二学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示：
时长t（小时）
人数 3 4 33 42 18
用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响，
(1)从该校高二学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率；
(2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有X人可以在2小时内完成各科作业，求X的分布列和数学期望；
(3)从该校高二学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，人在3小时及以上完成各科作业，试写出数学期望，并比较其大小关系.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)所以，，．
【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解即可；
（2）由题意可知X的所有取值，再利用古典概型的概率公式求出相应概率，进而得出分布列，再结合期望公式求解即可；
（3）由题意可知，，再结合二项分布的数学期望求解.
【详解】（1）设“从该校高二学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业”为事件A，
所以．
（2）因为样本中“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有（人），其中可以在2小时内完成的有3人，若从这7人中随机取3人，则X的所有可能取值为0，1，2，3，
则，，
，，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
所以X的数学期望为．
（3）由题意可知，，，
所以，，
所以．
46．(24-25高二下·福建恒一教育集团联考·期中)设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中有且只有3个红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，摸出的红球个数服从超几何分布，根据超几何分布的概率分布列计算即可.
【详解】从袋中任取4个球，其中红球的个数X 服从参数为的超几何分布，
故有3个红球的概率为
故选： C.
47．(24-25高二下·福建龙岩非一级达标校·期中)将8个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1～8.现从中任取4个球，以表示所取球的最大号码.
(1)求的分布列；
(2)求的概率.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）利用分步乘法计数原理以及组合数可计算分布列；
（2）根据计算即可.
【详解】（1）由题意可知，的可能取值有，
则，，
，，，
所以的分布列为
4 5 6 7 8
（2）由（1）知，.
48．(24-25高二下·福建福州高级中学·)某企业使用新技术生产某种产品，该产品在出厂前要经历生产和检测两道工序，生产工序的次品率为．检测工序包括智能自动检测和人工抽查检测．智能自动检测为正品，则进入流水线并由人工抽查检测．
(1)现有7件经过生产工序但未经检测工序的产品，其中恰含2件次品，从这7件产品中随机抽取3件，求这3件产品中的次品数的分布列和数学期望；
(2)若智能自动检测的准确率为，求一件产品进入人工抽查检测环节的概率．
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为；
(2)
【分析】（1）根据超几何分布列出其分布列即可；
（2）设“智能自动检测为合格品”，“产品为合格品”，则根据题意可得 ，，，再利用全概率公式计算即可.
【详解】（1）可能取的值为0，1，2，
且，，，
所以的分布列为
则.
（2）记“智能自动检测为合格品”，“产品为合格品”，
则由题意知，，，
则，
所以由全概率公式知
，
所以一件产品进入人工抽查检测环节的概率为．
49．(24-25高二下·福建莆田第二十五中学·期中)某市共有10所重点大学可供考生选择，其中3所为985高校，5所为211高校，另外2所为特色专业高校．一位考生准备从这10所高校中随机选择4所进行志愿填报，每所高校被选中的概率相同．
(1)求该考生恰好选到2所985高校的概率；
(2)若该考生选到985高校的数量为，求随机变量的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）先求出从10所高校中任取4所的总数，再求出恰有2所985高校的取法，再用古典概型的概率公式计算即可；
（2）先分析出该考生选到985高校的个数取值为0，1，2，3，再利用超几何分布计算出取不同值时的概率，进而列出分布列，求出数学期望.
【详解】（1）从10所高校中，任取4所，共有种取法，
恰有2所985高校的取法为：，
该考生恰好选到2所985高校的概率为；
（2）设为该考生选到985高校的个数，则的取值为0，1，2，3．
，
，
，
，
则
0 1 2 3
.
50．(24-25高二下·福建泉州丰泽区北附中学·期中)为响应国家促进消费的政策，某大型商场举办了“消费满减乐翻天”的优惠活动，顾客消费满800元（含800元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种）
方案1：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球．每摸出1次红球，立减150元，若3次都摸到红球，则额外再减200元（即总共减650元）；
方案2：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球．中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠．
(1)顾客A选择抽奖方案2，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率；
(2)顾客B恰好消费了800元，
①若他选择抽奖方案1，求他实付金额的分布列和期望（结果精确到0.01）；
②试从实付金额的期望值分析顾客B选择何种抽奖方案更合理．
【答案】(1)
(2)①分布列见解析，；②选择方案
【分析】（1）设事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“能够享受优惠”，求解在第一次摸到红球后，从7个球中不放回摸2个球的情况和摸出两球为红球和一红一蓝两种情况的种数，即可求解；
（2）①设顾客B选择抽奖方案1时实付金额为元，由二项分布即可求解；②设顾客B选择抽奖方案2时实付金额为元，根据超几何分布求得均值，比较随机变量和的均值即可判断.
【详解】（1）设事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“能够享受优惠”，
在第一次摸到红球后，抽奖盒中还剩4个红球和3个蓝球，共7个球，
享受优惠包含摸出2个红球和摸出3个红球这两种情况，
从7个球中不放回摸2个球，总情况有种，
摸出两个红球的情况有种，
摸出1红1蓝的情况有种，
所以；
（2）①设顾客B选择抽奖方案1时实付金额为元，
从装有5个红球，3个蓝球的抽奖盒中摸一个球，摸到红球的概率为，摸到蓝球的概率为，
当摸出0个红球时，，
当摸出1个红球时，，
当摸出2个红球时，，
当摸出3个红球时，，
所以实付金额的分布列为
800 650 500 150
实付金额的期望为
；
②设顾客B选择抽奖方案2时实付金额为元，
当摸出0个红球或1个红球时，，
当摸出2个红球时，，
当摸出3个红球时，，
所以，
所以，所以从实付金额的期望值分析，顾客B选择抽奖方案2更合理.
51．【多选题】(24-25高二下·福建三明五县联盟·期中)化学课上，老师带同学进行酸碱平衡测量实验，由于物质的量浓度差异，测量酸碱度pH值时会造成一定的误差，甲小组进行的实验数据的误差和乙小组进行的实验数据的误差均符合正态分布，其中，，已知正态分布密度函数，记和所对应的正态分布密度函数分别为，，则（ ）
A．
B．乙小组的实验误差数据相对于甲小组更集中
C．
D．
【答案】AC
【分析】由正态分布密度函数曲线的图象及性质可判断A，B；利用正态分布密度函数曲线的对称性以及原则即可判断C，D.
【详解】由正态分布密度函数曲线可知，数据的标准差越小，数据越集中在均值附近，峰值越大，反之，标准差越大，数据越分散，峰值越小.
对于两个小组的误差，甲组的标准差，乙组的标准差
显然甲组的标准差更小，故峰值更大，数据相对乙组更集中，故A正确，B错误；
故C正确;
而对于任何正态分布都有
故，故D错误.
故选：AC.
52．(24-25高二下·福建三明、南平等六地六校·期中)已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件，利用正态分布的对称性，得，再结合条件，即可求解.
【详解】因为服从正态分布，则，又，
所以，
故选：B.
53．【多选题】(24-25高二下·福建三明第一中学·期中)已知两种金属元件（分别记为，）的抗拉强度均服从正态分布，且，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项中正确的是（ ）（参考数据：若，则，）
A．，
B．
C．
D．对于任意的正数，恒有
【答案】AB
【分析】对于A，由正态分布的高矮和对称轴的位置可判断其正误，对于B，根据正态分布的对称性可求给定区间上的概率，故可判断其正误，对于CD，根据面积的大小可判断它们正误.
【详解】对于A，因为的正态分布曲线高而廋，的正态分布曲线矮而胖，故，
由两条曲线的对称轴的位置可得，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，由A可得，故，C错误；
对于D，对于任意的正数t，由图象可知：
表示的面积始终小于表示的面积，
则恒有，D错误.
故选：AB
54．(24-25高二下·福建漳州第三中学·期中)已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由正态分布的对称性，即可得出结论.
【详解】由题意，
随机变量服从正态分布，，
∵，由正态分布的对称性可得：
，
故.
故选：A.
55．(24-25高二下·福建三明沙县区三明北附高级中学·期中)设随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正态曲线的对称性计算可得.
【详解】因为且，
所以，
所以，
所以.
故选：A
56．(24-25高二下·福建三明六校·期中)已知随机变量，若，则____________.
【答案】/ 0.4
【分析】根据正态分布的对称性求解即可.
【详解】因为随机变量，且，
所以，
又，
所以，
故答案为：0.4
57．(24-25高二下·福建恒一教育集团联考·期中)在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为______________．
【答案】/
【分析】由条件结合正态分布的性质可得，，
由此可求，再求即可.
【详解】因为在内取值的概率为，服从正态分布，
所以，且，
所以，
所以，
所以在内取值的概率为，
故答案为：.
58．(24-25高二下·福建仙游第一中学·期中)已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（ ）
A．关于直线对称 B．关于直线对称
C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称
【答案】C
【分析】利用连续型随机变量服从正态分布，结合正态密度曲线的性质计算可判断每个选项的正误.
【详解】由连续型随机变量服从正态分布，
可得，可得，所以正态密度曲线关于对称，
即，
由，可得在时增加较快，在时增加越来越慢，
所以无对称轴，故AB错误；
，
所以关于点成中心对称，故C正确，D错误.
故选：C.
59．(24-25高二下·福建泉州科技中学·期中)随机变量，，若，则___________.
【答案】/
【分析】分析可知，结合正态分布的对称性运算求解.
【详解】因为，可知，
若，
可得，
所以.
故答案为：.
60．(24-25高二下·福建永春第一中学·期中)已知随机变量，且，则的值为________．
【答案】/
【分析】根据题意，求得，结合正态分布曲线的对称性，即可求解.
【详解】由随机变量，且，可得，
根据正态分布曲线的对称性，可得.
故答案为：.
61．(24-25高二下·福建三明六校·期中)小张每周都去同一家商店购买一箱苹果，该商店的售货员说出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克.根据售货员的表述转化为数学理想模型是该商店所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布.
(1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布.
（i）若该售货员所说属实，则小张从该商店随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求.
（ii）若小张每周都会将从该商店买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4938.77克.小张举报了该商店，从概率的角度说明小张举报该商店的理由.
(2)若该售货员所说属实，则现从该商店随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差.（结果保留两位小数）
附：①若随机变量服从正态分布，则，，；
②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生.
③参考数据：，，，
，
【答案】(1)（i）；（ii）理由见解析；
(2).
【分析】（1）（i）根据已知，应用特殊区间的概率及正态分布的对称性求；（ii）根据（i）结果及已知小概率事件的定义得结论；
（2）设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为，且，应用特殊区间的概率求得，进而有并应用二项分布的方差公式求方差.
【详解】（1）（i）依题意得，，所以.
设，因为，
则；
（ii）由（i）得.
因为小张计算出这25箱苹果质量的平均值为4938.77克，且，
所以，则小张购买的这25箱苹果质量的平均值为4938.77克属于小概率事件，
小概率事件基本不会发生，这就是小张举报该超市的理由.
（2）设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为，则.
设，由，
得
，
根据题意，得随机变量，故.
62．(24-25高二下·福建福州第十一中学·期中)冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼．
(1)已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列
(2)为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率；
(3)经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格 附：．
【答案】(1)分布列见解析
(2)
(3)高二年级学生体能检测合格
【分析】（1）由题意有服从超几何分布，利用超几何分布即可求解；
（2）利用条件概率公式即可求解；
（3）利用正态分布的区间即可求解.
【详解】（1）由题意的可能取值为，
所以，
所以的分布列为
1 2
（2）令事件表示“甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲前2局比赛均获胜”，
所以，
所以，
，
所以；
（3）由已知有，所以，
所以 ，
所以高二年级学生体能检测合格.
63．(24-25高二下·福建莆田第二十五中学·期中)某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下:
零件直径 (单位: 厘米) [1.8，2.0]
零件个数 10 25 30 25 10
(1)经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间 内的概率;
(2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望;
(3)在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的 2 倍， 且甲机器生产的零件的次品率为 0.3， 乙机器生产的零件的次品率为0.2， 现从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率.
参考数据: 若随机变量，则，，.
【答案】(1)
(2)的分布列见解析；
(3)
【分析】（1）根据正态分布的性质，进而可得；
（2）以频率估计概率得随机抽取1个直径在区间内的概率为，由题意满足二项分布，根据二项分布的概率公式和期望公式可得；
（3）根据条件概率和全概率公式可得.
【详解】（1）由题意，
得.
（2）由题意，随机抽取一个零件，直径在区间的概率为，
故由题意满足二项分布，
故，，
，，
，
故的分布列为
0 1 2 3 4
的数学期望为
（3）设事件为“从这批零件中随机抽取一件来自甲机器生产”，事件为“从这批零件中随机抽取一件为次品”
则为“从这批零件中随机抽取一件来自乙机器生产”，
由题意，，，，
则，
，
故，
故从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率为.
64．(24-25高二下·福建泉州丰泽区北附中学·期中)某工厂5月份生产5000个灯泡，实验得知灯泡使用寿命（单位：小时）服从正态分布，已知，则工厂该月生产灯泡寿命在800小时及其以上的个数约为（ ）
A．4400 B．4500 C．4600 D．4900
【答案】B
【分析】由已知，可得，则，则可求得该月生产灯泡寿命在800小时及其以上的个数.
【详解】因为灯泡使用寿命（单位：小时）服从正态分布，且，
所以，
所以，
则工厂该月生产灯泡寿命在800小时及其以上的个数约为
个，
故选：B.
65．(24-25高二下·福建三明永安九中、宁化六中、金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)为了解高二学生体育健康情况，学校组织了一次体育健康测试，成绩X近似服从正态分布N(70，72)，已知成绩在77分以上的学生有208人，如果成绩大于84分为优秀，则本次体育健康测试成绩优秀的大约有___________人．
(参考数据：P(μ－σ＜X＜μ＋σ)=0.68，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)=0.96)
【答案】26
【分析】由已知求得，，利用对称性求得，可得成绩在77分以上的学生有208人，求得高二学生总人数，求出，利用概率求得结果．
【详解】解：由高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(70，72)，得，，
，又成绩在77分以上的学生有208人，则高二学生总数为；
，则本次体育健康测试成绩优秀的大约有人.
故答案为：26.
66．【多选题】(24-25高二下·福建福州第十一中学·期中)某大学有A，B两个餐厅，学生只能选择其中一个就餐，经过统计分析发现：学生第一天选择两个餐厅的概率均为，而前一天选择了A餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率为；前一天选择B餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率为，如此反复．记某同学第n天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率为.一个月（30天）后，记甲、乙，丙三位同学选择B餐厅的人数为X，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．
【答案】ABC
【分析】对于A，由于每人每次只能选择有A，B两个餐厅，因此可判断A正确，由递推公式并结合等比数列定义判断可得B正确，利用等比数列通项公式计算出后可知当时，，所以，再由二项分布公式计算可得C正确，D错误.
【详解】对于A，由于每人每次只能选择有A，B两个餐厅中的其中一个，所以，即A正确；
对于B，依题意可知，可得，
又时，可得，所以，
因此数列是以为首相，为公比的等比数列，即B正确；
对于C，由选项B分析可知，所以；
当时，，所以，可得，即C正确；
对于D，结合C选项分析可得，因此D错误.
故选：ABC
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据题意得出递推公式，再由递推公式利用数列构造可证明是等比数列，再由等比数列定义计算可得通项公式，进而判断出结论.
67．(24-25高二下·福建厦门双十中学·期中)Catalan数列（卡特兰数列）最早由我国清代数学家明安图（1692-1765）在研究三角函数幂级数的推导过程中发现，成果发表于1774年出版的《割圜密率捷法》中，后由比利时数学家卡特兰（Catalan，1814-1894）的名字来命名，该数列的通项被称为第个Catalan数，其通项公式为.在组合数学中，有如下结论：由个和个构成的所有数列，中，满足“对任意，都有”的数列的个数等于.
已知在数轴上，有一个粒子从原点出发，每秒向左或向右移动一个单位，且向左移动和向右移动的概率均为.
(1)设粒子第3秒末所处的位置为随机变量（若粒子第一秒末向左移一个单位，则位置为；若粒子第一秒末向右移一个单位，则位置为1），求的分布列和数学期望；
(2)记第秒末粒子回到原点的概率为.
（i）求及；
（ii）设粒子在第秒末第一次回到原点的概率为，求.
【答案】(1)分布列见解析，0
(2)（i），；（ii）
【分析】（1）根据二项分布的概率公式求解概率，即可求解分布列以及期望，
（2）（i）根据相互独立事件的乘法概率公式即可求解（i），
（ii）设事件A：粒子在第2n秒末第一次回到原点，事件B：粒子第1秒末向右移动一个单位，
根据，结合的定义，即可求解．
【详解】（1）依题可知，的可能取值为，
，，
，，
的分布列如下：
-3 -1 1 3
.
（2）（i），，
（ii）设事件：粒子在第秒末第一次回到原点，
事件：粒子第1秒末向右移动一个单位.
，
记粒子往左移动一个单位为，粒子往右移动一个单位为，
以下仅考虑事件.
设第秒末粒子的运动方式为，其中；沿用（1）中对粒子位置的假设，
则粒子运动方式可用数列表示，
如：表示粒子在前4秒按照右 右 左 左的方式运动.
由粒子在第秒末第一次回到原点，可知
数列的前项中有个1和个.
，，
粒子在余下秒中运动的位置满足，
即，
粒子在余下秒中运动方式的总数为，
，又，
.
【点睛】方法点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望
（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，
可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）．
68．(24-25高二下·福建泉州科技中学·期中)将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以表示没有出现连续3次正面的概率.给出下列四个结论：
①；
②；
③当时，；
④.
其中，所有正确结论的序号是__________.
【答案】①③④
【分析】由的对立事件概率可得和，可判断①②，再由第n次分正反面，依次讨论前n-1的正反及前n-2次，从而得到概率的递推关系，可判断④，由及，可得，从而可判断③.
【详解】当时，，①正确；
当时，出现连续3次正面的情况可能是：正正正反、反正正正，
所以，②错误；
要求，即抛掷n次没有出现连续3次正面的概率，
分类进行讨论，
若第n次反面向上，前n-1次未出现连续3此正面即可；
若第n次正面向上，则需要对第n-1进行讨论，依次类推，得到下表：
第n次 n-1次 n-2次 概率
反面
正面 反面
正面 正面 反面
所以，④正确；
由上式可得
，
所以，
又，满足当时，，③正确.
故答案为：①③④.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是找到第n次和第n-1和第n-2次的关系，通过分类讨论及列表格的形式得到，属于难题.
69．(24-25高二下·福建泉州科技中学·期中)有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（ ）
A．增加，增加 B．增加，减小
C．减小，增加 D．减小，减小
【答案】C
【分析】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，可得出，再从甲盒子里随机取一球，则服从两点分布，所以，，从而可判断出和的增减性.
【详解】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，其中，其中，且，.
故从甲盒中取球，相当于从含有个红球的个球中取一球，取到红球个数为.
故，
随机变量服从两点分布，所以，随着的增大，减小；
，随着的增大，增大.
故选：C.
【点睛】本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题.
70．(24-25高二下·福建三明五县联盟·期中)某公司邀请棋手与该公司研制的一款人形机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为20，每局比赛，棋手胜加10分；平局不得分；棋手负减10分.当棋手总分为0时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为30时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续.已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立.
(1)求两局后比赛终止的概率；
(2)在3局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率；
(3)在挑战过程中，棋手每胜1局，获奖5千元.记局后比赛终止且棋手获奖1万元的概率为，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）两局后比赛终止有两种情况：先平后胜达到 30 分或两负达到 0 分，利用相互独立事件概率公式计算；
（2）先求出 3 局后比赛终止的概率以及 3 局后挑战成功的概率，再利用条件概率公式计算；
（3）根据获奖金额确定胜的局数，再结合比赛终止条件得到比赛局数与胜、负局数的关系，从而得出概率表达式，进而求最大值.
【详解】（1）设每局比赛甲胜为事件，每局比赛甲平为事件，每局比赛甲负为事件，
设“两局后比赛终止”为事件，
因为棋手与机器人比赛局，所以棋手可能得分或30分比赛终止．
（i）当棋手得分为分，则局均负，即；
（ii）当棋手得分为30分，则局先平后胜，即．
因为、互斥，所以
．
所以两局后比赛终止的概率为．
（2）设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件．
因为
，
．
所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为
．
所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为．
（3）因为局获奖励万元，说明甲共胜局．
（i）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜，
且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有种，
（ii）当棋手第局以30分比赛终止，说明前局中有负胜，
且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种，
则“局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率
，．
所以．
因为，所以，
所以，所以单调递减，
所以当时，取最大值为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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