资源简介

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专题04随机变量及其分布
8大高频考点概览
考点01 条件概率
考点02 全概率公式
考点03 离散型随机变量的均值
考点04 离散型随机变量的方差
考点05 离散型随机变量及其分布解答题
考点06 二项分布
考点07 超几何分布
考点08 正态分布
1．(24-25高二下·广东卓越教育发展联盟学校·)（多选）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】利用和可判断A选项；利用全概率公式可得，，即可判断BCD选项
【详解】，
又，
，故A正确；
，所以B错误；
则，所以C正确；
又，
则，故D正确；
故选：ACD
2．(24-25高二下·广东部分高中·期中) （多选）从1，2，3，4，5，6，7，8中任取1个数．事件：取出的数是偶数；事件：取出的数是奇数；事件：取出的数小于7．则（ ）
A．事件，是互斥事件 B．事件，是对立事件
C． D．
【答案】AC
【分析】利用互斥事件、对立事件和条件概率的计算公式依次判断各选项即可得出结果.
【详解】从1，2，3，4，5，6，7，8中任取1个数，取出的数要么是奇数要么是偶数，
不可能既是奇数又是偶数，也不可能既不是奇数也不是偶数，所以事件，是互斥事件，A正确.
当取出的数字为3时，事件与事件，同时发生，事件，不是对立事件，B错误．
，，D错误.
，C正确．
故选：AC
3．(24-25高二下·广东茂名化州·期中)某医学院校计划从5名男生和3名女生中选派2人参加义诊活动，则在派出的2人中，在已知1人是男生的条件下，另1人恰好是女生的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用条件概率公式，结合古典概型，组合和组合数公式计算即可.
【详解】记“派出的2人中有1人是男生”为事件，“另一人恰好是女生”为事件．
则．
故选：C
4．(24-25高二下·广东惠州实验中学·)端午节期间，某城市举行龙舟比赛，龙舟比赛途经桥、桥、桥、桥及桥，活动期间在5座桥边各设置1个志愿者服务点.现有5名志愿者参加其中三座桥—桥、桥及桥的服务，要求这三个服务点都有人参加，设事件为“甲在桥服务点”，事件为“乙和丙分到一起”，则下列结论中错误的是（ ）
A．事件与事件相互独立 B．
C． D．
【答案】C
【分析】对于B选项，分为2，2，1和3，1，1，两种情况，求出5名志愿者参加其中三座桥的情况数，再得到甲在G桥服务点的情况数，得到概率；
对于C选项，求出乙和丙分到一起的情况数，得到概率；
对于A选项，求出事件包含的情况数，得到，根据独立事件的概念得到A正确；
对于D选项，根据条件概率公式求出条件概率.
【详解】对于选项，5名志愿者参加其中三座桥，桥、桥及桥的服务，
要求这三个服务点都有人参加，可以分为2，2，1和3，1，1，
其中分为2，2，1时，共有种情况，其中分为3，1，1时，共有种情况，故共有种，
其中甲独自在桥服务点，此时剩余4名志愿者可以分为2，2和3，1，
当剩余4名志愿者分为2，2时，有种情况，
当剩余4名志愿者分为3，1时，有种情况，
当甲和另外一个人在桥服务点，从剩余4名志愿者先选1人，剩余3人，分为两组，故有种情况，
当甲和另外2人在桥服务点，从剩余4名志愿者先选2人，剩余2人，分为两组，故有种情况，故，所以，B正确；
对于选项，乙和丙分到一起，当5名志愿者分为2，2，1时，有种情况，
当5名志愿者分为3，1，1时，先从剩余3名志愿者选择1人和乙，丙一起，
再将剩余2人进行全排列，有种情况，故，错误；
对于选项，表示甲在桥服务点，乙和丙分到一起，
若甲单独在桥服务点，乙和丙分到一起，且5名志愿者分为2，2，1，则有种情况，
若甲单独在桥服务点，乙和丙分到一起，且5名志愿者分为3，1，1，从剩余2人中选择1人和乙，丙一起，有种情况，
若甲和另外一个人在桥服务点，先从除了乙，丙外的剩余2名志愿者选1人，再进行排列，则有种情况，
当甲和另外2人在桥服务点，则一定是和乙，丙一起，剩余2人进行全排列，共有种情况，
综上，，，
因为，故事件与事件相互独立，正确；
对于选项，，正确.
故选：.
5．(24-25高二下·广东清远211联盟·期中)骰子是质地均匀的正方体，各面分别标有数字1，2，3，4，5，6.现在掷一枚骰子两次，记事件“两次点数的最大值为4”，事件“两次点数的最小值为1”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据样本空间法，以及条件概率公式，即可求解.
【详解】事件A包含，，，，，，，共7种情况，
其中只有和满足“两次点数的最小值为1”，
故.
故选：C
1．(24-25高二下·广东中山龙山中学·期中)已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球.现随机地从1号箱中取出1个球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出1个球，则从2号箱取出红球的概率是_________，从2号箱取出红球来自1号箱的概率是_________ .
【答案】
【分析】根据全概率公式求解即可.
【详解】①设“从2号箱中取出的是红球”，“从1号箱中取出的是红球”，
则，，
，，
故P(A)=；
②由①得从2号箱取出红球的概率是，
则从2号箱取出的红球来自1号箱的概率为，
则从2号箱取出红球来自1号箱的概率为.
故答案为：；.
2．(24-25高二下·广东卓越教育发展联盟学校·)在数字通信中心信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.98和0.02；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1.假设发送信号0和1是等可能的.则接收的信号为1的概率为_____.
【答案】0.46
【分析】由条件概率和贝叶斯公式计算．
【详解】设A表示“发送的信号为0”，B表示“接收的信号为0”，则表示“发送的信号为1”，表示“接收的信号为1”.
则
.
故答案为：
3．(24-25高二下·广东深圳龙岗区布吉高级中学·期中)设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱，3箱，2箱，三厂产品的废品率依次为，，.从这10箱产品中任取一箱，再从这箱中任取一件产品，取得的正品概率为（ ）
A．0.83 B．0.72 C．0.80 D．0.70
【答案】A
【分析】设为事件“取得的产品为正品”，，，分别表示“任取一件产品是甲、乙、丙生产的”，再根据全概率公式计算可得.
【详解】设为事件“取得的产品为正品”，，，分别表示“任取一件产品是甲、乙、丙生产的”，
由题设知，，.
，，，
故 ×＋×＋× .
故选：A
4．(24-25高二下·广东深圳高级中学·期中)甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有6个红球、4个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为奇数，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为偶数，从乙箱子中随机摸出1个球，则摸到白球的概率是___________．
【答案】/0.3
【分析】分别计算出从甲箱中摸到白球的概率和从乙箱中摸到白球的概率，然后利用概率的加法公式即可得解.
【详解】从甲箱中摸白球：掷到点数为奇数的概率为，再从甲箱中摸到白球的概率为，
因此从甲箱中摸到白球的概率为；
从乙箱中摸白球：掷到点数为偶数的概率为，再从乙箱中摸到白球的概率为，
因此从乙箱中摸到白球的概率为，
所以摸到白球的概率为.
故答案为：
5．(24-25高二下·广东湛江吴川第四中学·期中)一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．
(1)求第2次摸到红球的概率；
(2)设第1，2，3次都摸到红球的概率为，第1次摸到红球的概率为，在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为，在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为，求，，，；
(3)对于事件，试根据（2）写出，，，的等量关系式，并加以证明．
【答案】(1)
(2)，，，
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据全概率公式求解即可；
（2）根据相互独立事件乘法公式、条件概率公式及排列数公式求解；
（3）根据（2）猜想，由条件概率公式证明即可.
【详解】（1）记事件“第次摸到红球”为，则第2次摸到红球的事件为，
，，，，
由全概率公式，得 ．
（2）由已知得 ， ，
，，
．
（3）由（2）可得，即，
可猜想：
证明如下：由条件概率及，，
得，，
所以．
1．(24-25高二下·广东佛山H7联盟·) （多选）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则（ ）
2 4 7
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】由离散型随机变量分布列的性质可得的值，再利用期望公式与期望的性质求解即可.
【详解】由离散型随机变量分布列的性质可得，解得，故A错误，B正确;
由期望公式可得，故C正确;
错误.
故选：BC.
2．(24-25高二下·广东惠州实验中学·)已知随机变量取所有值1，2，…，是等可能的，且，则的值为（ ）
A．20 B．19 C．18 D．17
【答案】B
【分析】根据随机变量的数学期望公式及等差数列的前项和公式列出方程，求解方程即可.
【详解】由题意可得，
所以，
解得.
故选：B.
3．(24-25高二下·广东深圳龙华中学·期中)已知随机变量的分布列为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由分布列的性质求出的值，再利用期望公式和性质可求得结果.
【详解】由分布列的性质可得，解得，
所以，
故.
故选：D.
4．(24-25高二下·广东惠州光正实验学校·期中)若随机变量服从二项分布，，则__________．
【答案】4
【分析】根据二项分布的期望公式，结合期望的性质即可求解。
【详解】由于服从二项分布，所以,
故,
故答案为：4
5．(24-25高二下·广东东莞光正实验学校·期中)已知离散型随机变量的分布列为
1 2 3
则等于（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根据分布列结合期望公式运算求解即可.
【详解】由题意可得：.
故选：A.
1．(24-25高二下·广东东莞五校联考·期中)已知随机变量服从正态分布，则（ ）
A．4 B．5 C．7 D．8
【答案】D
【分析】由可得答案.
【详解】因为随机变量服从正态分布，
所以，则.
故选：D.
2．(24-25高二下·广东深圳盐田高级中学等校·期中)已知离散型随机变量X满足，且，则（ ）
A．1 B．0.1 C．0.01 D．1.01
【答案】A
【分析】应用方差的性质求目标方差.
【详解】由题得，所以.
故选：A
3．(24-25高二下·广东东莞光正实验学校·期中)已知随机变量服从二项分布，则=__________，=__________.
【答案】 / /
【分析】根据二项分布的均值与方差的计算公式求解即可.
【详解】因为，
所以，
所以 ，
故答案为：.
4．(24-25高二下·广东东莞光明中学·期中)设随机变量X服从二项分布，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据二项分布的方差公式求解
【详解】由题意，，
故选：B
5．(24-25高二下·广东中山龙山中学·期中)已知随机变量，且，则=（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】由期望的性质有，结合二项分布期望公式求参数，再由其方差公式求.
【详解】由题设，，则，
所以.
故选：D
1．(24-25高二下·广东中山龙山中学·期中)某地2022年校园招聘活动有两环节进行，先笔试合格后才能参加面试，面试合格后便被该企业正式录取，每个环节相互独立.现M大学有甲、乙、丙三名毕业生报名招聘，进入笔试环节设置A、B两个科目，考生须两个科目均合格才算笔试合格，甲通过A、B科目的概率分别为、，乙通过A、B科目的概率分别为、，丙通过A、B科目测试的概率与乙相同.面试环节中各人通过面试的概率均为.
(1)求甲、乙、丙三人中恰有一人通过笔试的概率；
(2)该企业为参加招聘的同学提供了一种奖励方案：只参加了笔试的同学奖励60元.参加了面试的同学再奖励100元.丁同学说，奖金越高难度越大，故这三人获得总奖金为480元的概率肯定低于他们获得总奖金为180元的概率，试通过计算判断丁同学的说法是否正确；
(3)记甲、乙、丙三人被该企业录取的人数为X，求X的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)不正确
(3)分布列见解析，
【分析】（1）设事件表示甲通过笔试，事件表示乙通过笔试，事件表示丙通过笔试，结合独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解；
（2）根据题意，分别求得三人都未进入面试和三人都进入了面试的概率，比较大小，即可求解；
（3）根据题意，分别求得甲、乙、丙被录取的概率，得到随机变量的可能取值，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解.
【详解】（1）解：设事件表示甲通过笔试，事件表示乙通过笔试，事件表示丙通过笔试，
则，
则甲乙丙三人中恰有一人笔试合格的概率为.
（2）解：若这三名同学获得180元的总奖金，则说明三人都未进入面试，
所以对应概率为，
若这三名同学获得总奖金为480元，则三人都进入了面试，
所以对应概率为，
因，所以丁同学的说法错误.
（3）解：由题意得，甲被录取的概率为，
乙被录取的概率为，
丙被录取的概率为，
根据题意，随机变量的可能取值为，
则，
,
故的分布列如下所示：
0 1 2 3
所以数学期望.
2．(24-25高二下·广东深圳盐田高级中学等校·期中)某高中为了了解同学们对我国四大名著相关文学的掌握情况，从高二年级的学生中随机抽取了20名同学分成两个小组进行了相关测试（满分为100分），测试结束后统计成绩如下表：
A 76 78 83 84 85 90 92 95 98 99
B 63 72 73 75 80 81 84 85 92 99
(1)分别计算A组成绩的极差和B组成绩的第30百分位数；
(2)若对于本次测试，规定：成绩分时为优秀，从A组中随机抽取1名学生，再从B组中随机抽取1名学生，用随机变量X表示这两人的成绩为优秀的人数，求X的分布列和数学期望.
【答案】(1)23，74
(2)分布列见解析，
【分析】（1）先分别计算中 组成绩的极差和 组成绩的第 30百分位数；
（2）再确定随机变量 的取值，计算其对应概率得到分布列，最后计算数学期望.
【详解】（1）由表格可知A组成绩的极差为，
由于为整数，
故B组成绩的第30百分位数为.
（2）根据题意，A组中优秀的学生有5人，B组中优秀的学生有2人，故X的可能取值为.
则 ，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
因此，X的数学期望
3．(24-25高二下·广东深圳红岭中学·期中)某社团由名男生、名女生组成，现举办社团活动，要从这人中随机抽取人参加比赛，比赛共有三项，对于被抽中的人，每人参赛的情况相互独立，概率如下表所示：
参加一项的概率 参加两项的概率 参加三项的概率
女生
男生
规定：每参加项比赛，社团的积分增加分．
(1)在抽取的人中至少有名男生的前提下，求有女生参加比赛的概率；
(2)求该社团最终的积分为分的概率；
(3)若学校提出两种奖励方案，供参加比赛的社团自行选择．
方案一：每个社团奖励“参与奖”元；
方案二：对参赛的社团最终获得的积分按“积分元”的方式兑换奖金．
为使最终获得奖励金额的期望最大，该社团应选择哪种方案？并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)方案二更有利，理由见解析
【分析】（1）利用条件概率公式结合古典概型概率计算公式即可求解；
（2）根据题意，“积分为分”说明“总共参加了场比赛”即“人都是男生，且都参加了三项比赛”，分步计算概率，相乘即可；
（3）针对方案二，进行积分的可能取值和相应概率计算，再根据数学期望公式得到，与方案一比较即可得出结论.
【详解】（1）根据题意，设“抽取的人至少有名男生”为事件，设“有女生参加比赛”为事件，
则，，
利用条件概率公式，可得.
（2）根据题意，该社团最终的积分为分，说明抽取的人都是男生，且人都参加了三项比赛，
所求概率.
（3）对于方案二，设参加比赛的社团最后获得的奖金为，则所有可能取值为、、、、.
则，
，
，
，
.
所以，
即获得的奖励金额的期望大于，故方案二更有利.
4．(24-25高二下·广东东莞光正实验学校·期中)端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，设表示取到的豆沙粽个数.求
(1)的分布列；
(2)的期望与方差；
(3)求至少取到一个豆沙粽的概率.
【答案】(1)答案见详解
(2)，.
(3)
【分析】（1）由题意可知 的可能取值为 ，根据古典概型计算概率即可写出分布列；
（2）由分布列即可计算期望与方差；
（3）先求“一个豆沙粽都没有取到”的概率，再利用对立事件即可求“至少取到一个豆沙粽的概率”.
【详解】（1） 的可能取值为
则 ，
所以 的分布列如下：
0 1 2 3
（2）由（1）可知，
.
（3）记“至少取到一个豆沙粽”记为事件A，则表示“一个豆沙粽都没有取到”
则.
5．(24-25高二下·广东深圳外国语学校高中园·期中)2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
红色外观 蓝色外观
棕色内饰 12 8
米色内饰 2 3
(1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件为小明取到红色外观的模型，事件为小明取到棕色内饰的模型，求和，并判断事件和事件是否独立.
(2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色.拿到的两个模型仅外观或仅内饰同色，可以获得奖金150元，外观和内饰均为同色可以获得奖金300元，外观和内饰都异色可以获得奖金600元，设为奖金额，写出的分布列并求出的数学期望.
【答案】(1)，，事件和事件不独立．
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据古典概型的概率公式和事件的独立性定义即可得出.
（2）依题意的可能取值为，，，求出相应的概率，即可求出分布列，利用期望公式进行计算即可.
【详解】（1）若红色外观的模型，则分棕色内饰个，米色内饰个，则对应的概率，
若小明取到棕色内饰，分红色外观个，蓝色外观个，则对应的概率．
取到红色外观的模型同时是棕色内饰的有个，即，
则，
，，
所以事件和事件不独立．
（2）由题意的可能取值为，，，
则外观和内饰均为同色的概率，
外观和内饰都异色的概率，
仅外观或仅内饰同色的概率，
，，，
则的分布列为：
150 300 600
则（元）．
1．(24-25高二下·广东东莞光明中学·期中)某篮球运动员投篮的命中率为0.2，现投了3次球．
(1)求恰有2次命中的概率；
(2)设命中的次数为，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二项分布可求恰有2次命中的概率；
（2）利用二项分布求出分布列后可求.
【详解】（1）设为：“投了3次球，恰有2次命中”，故.
（2）由题设可得，
故，，
，，
故.
2．(24-25高二下·广西平果铝城中学·期中)某学校为调查高三年级的体育开展情况，随机抽取了20位高三学生作为样本进行体育综合测试，体育综合测试成绩分4个等级，每个等级对应的分数和人数如下表所示：
等级 不及格 及格 良 优
分数 1 2 3 4
人数 3 9 5 3
(1)若从样本中随机选取2位学生，求所选的2位学生分数不同的概率；
(2)用样本估计总体，以频率代替概率.若从高三年级学生中随机抽取n位学生，记所选学生分数不小于3的人数为X.
（ⅰ）若，求X的分布列与数学期望；
（ⅱ）若，当k为何值时，最大？
【答案】(1)
(2)（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ）时，最大
【分析】（1）设事件“选取的2位学生分数不同”，根据对立事件结合古典概型计算即可得概率；
（2）（ⅰ）时，，结合二项分布求解概率分布列与数学期望；（ⅱ）时，，由于最大，结合二项分布的概率计算可得解不等式可得符合的的值.
【详解】（1）设事件“选取的2位学生分数不同”，
则，
故所选的2位学生分数不同的概率为；
（2）设“学生分数不小于3”，则，
（ⅰ）若，的可能取值为，由题意可得,
又，，
，，
所以的分布列为：
由于，则；
（ⅱ）若，则，
所以，
由于最大，
所以 ，
即，
因为，，所以时，最大.
3．(24-25高二下·广东深圳新安中学（集团）高中部·期中)某区为推进教育数字化转型，通过聚合区域学校的教育资源，依托AI技术搭建了区域智慧题库系统，形成了“通识过关—综合拓展—创新提升”三层动态原库，且三层题量之比为，设该题库中任意1道题被选到的可能性都相同.
(1)现有4人参加一项比赛，若每人分别独立地从该题库中随机选取一道题作答，求这4人中至少有2人的选题来自层的概率；
(2)现采用分层随机抽样的方法，使用智能组卷系统从该题库中选取12道题生成试卷，若某老师要从生成的这份12道题的试卷中随机选取3道题做进一步改编，记该老师选到层题的题数为，求的分布与期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）先求出在层选题的概率和不在层选题的概率，再结合题意得到，最后利用二项分布概率公式求解即可.
（2）先依据题意求出在层最多抽到7道，再求出对应概率，进而求出分布列和数学期望即可.
【详解】（1）因为三层题量之比为，
所以在层选题的概率为，不在层选题的概率为，
设至少2人的选题来自层的概率为，从层选题数量为，
由题意得，而二项分布概率公式为，
则至少2人的选题来自层的概率为，
故.
（2）因为三层题量之比为，
所以在层最多抽到7道，且可取，
则，
，
其分布列为
X
P
所以期望.
4．(24-25高二下·广东广州第六中学·期中)某学校体育课进行投篮练习，投篮地点分为区和区，每一个球可以选择在区投篮也可以选择在区投篮，在区每投进一球得2分，没有投进得0分；在区每投进一球得3分，没有投进得0分．学生甲在两区的投篮练习情况统计如下表：
甲 区 区
投篮次数 30 20
得分 40 30
假设用频率估计概率，且学生甲每次投篮相互独立．
(1)试分别估计甲在区，区投篮命中的概率；
(2)若甲在区投3个球，在区投2个球，
（ⅰ）记甲在区投篮得分为，求的分布列及期望；
（ⅱ）求甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率；
(3)若甲在区，区一共投篮5次，投篮得分的期望值不低于7分，直接写出甲选择在区投篮的最多次数．（结论不要求证明）
【答案】(1)甲在区进球的概率估计为，在区投篮进球的概率估计为．
(2)（ⅰ）分布列见解析，4；（ⅱ）
(3)3次．
【分析】（1）分别求出甲在区、区投篮进球的频率即可估计概率；
（2）（ⅰ）求出甲在区投篮得分的分布列，进而可求得数学期望；（ⅱ）甲在区投篮得分高于在区投篮得分的情况有：区2分区0分、区4分区0分、区4分区3分、区6分区0分、区6分区3分，分别求出相应的概率，求和即可.
（3）分别求出甲在区、区投篮一次得分的期望值，设甲在A区投篮此，则在B区投篮次，根据期望值不低于7分列出不等式求解即可.
【详解】（1）甲在区投篮30次，投进20次，所以估计甲在区投篮进球的概率为，
甲在区投篮20次，投进10次，所以估计甲在区投篮进球的概率为.
（2）据题意，甲在区进球的概率估计为，在区投篮进球的概率估计为．
（ⅰ）所有可能的取值为，
，，
，，
的分布列为
0 2 4 6
的数学期望.
（ⅱ）设事件为“甲在区投篮得分高于在区投篮得分”
甲在区投3个球，得分可能是，在区投2个球，得分可能是．
则甲在区投篮得分高于在区投篮得分的情况有：
区2分区0分，概率估计为，
区4分区0分，概率估计为，
区4分区3分，概率估计为，
区6分区0分，概率估计为，
区6分区3分，概率估计为，
则甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率估计为
（3）甲在A区投篮一次得分的期望为：，
甲在B区投篮一次得分的期望为：，
设甲在A区投篮此，则在B区投篮次，
则总的期望值，解得，
所以甲选择在区投篮的次数最多是3次.
5．(24-25高二下·广东深圳坪山高级中学·期中)据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长透择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生）
(1)若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？
(2)从这8名戴角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数X的期望与方差；
(3)若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从A市的小学生中，随机选出20位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数Y的期望和方差.
【答案】(1)；
(2)，；
(3)佩戴角膜塑形镜的人数的期望是，方差是.
【分析】（1）先根据该市的样本求得这位学生佩戴眼镜的概率和佩戴眼镜是角塑性眼镜的概率，再利用条件概率的计算公式计算即得结果；
（2）从8名学生选3个，男生人数X服从超几何分布，按照，k=0，1，2，写出分布列即可；
（3）依题意随机变量服从二项分布，利用公式计算期望和方差即可.
【详解】（1）根据题中样本数据，设“这位小学生佩戴眼镜”为事件A，则，
“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件，则“这位小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜”为事件，则，
故所求的概率为： ，
所以从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，则他戴的是角膜塑形镜的概率是；
（2）依题意，佩戴角膜塑形镜的有人，其中名是男生，名是女生，故从中抽3人，男生人数X的所有可能取值分别为0，1，2，
其中：；
；
.
所以男生人数的分布列为：
所以，
，
（3）由已知可得：
则：，
所以佩戴角膜塑形镜的人数的期望是，方差是.
1．(24-25高二下·广东广雅中学·期中)某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关．某同学只能背诵其中的6篇，试求：
(1)抽到他能背诵的古诗词的数量的分布列；
(2)他能过关的概率．
【答案】(1)分布列见解析
(2)
【分析】（1）记抽到他会背诵的古诗词的数量为，由题意分析服从超几何分布，直接求出概率，写出分布列即可；
（2）利用第一问直接求出能过关的概率．
【详解】（1）记抽到他会背诵的古诗词的数量为，则的所有可能取值为0，1，2，3，
且服从超几何分布，
所以．
所以，，
，，
的概率分布列为：
0 1 2 3
（2）他能过关的概率为．
2．(24-25高二下·广东东莞四校联考·期中)某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为.
(1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率；
(2)若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为，求的分布列.
【答案】(1)；
(2)答案见解析
【分析】（1）先根据古典概率概率公式结合组合数的运算求得，然后再利用古典概型求得所求事件的概率即可；
（2）先求出随机变量的可能取值，然后计算对应的概率值，写出分布列即可.
【详解】（1）由题意知共有个集团，取出2个集团的方法总数是，其中全是大集团的情况有，
故全是大集团的概率是，
整理得到，解得，
若2个全是大集团，共有（种）情况，
若2个全是小集团，共有（种）情况，
故在取出的2个集团是同一类集团的情况下，全为小集团的概率为；
（2）由题意知，随机变量的可能取值为0，1，2，3，
，
，
故的分布列为
0 1 2 3
3．(22-23高二下·广东东莞东华高级中学·期中)某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答
(1)求甲、乙共答对2道题目的概率；
(2)设甲答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差；
(3)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)应选拔甲学生代表学校参加竞赛
【分析】（1）甲、乙两名学生共答对2个问题分为：甲2个乙0个，甲1个乙1个，分别计算概率相加得答案.
（2）设学生甲答对的题数为，则的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，从而求出，；
（3）设学生乙答对题数为，则所有可能的取值为0，1，2，3，由题意知～B（3，），从而求出，，由=，＜，得到甲代表学校参加竞赛的可能性更大．
【详解】（1）由题意得甲、乙两名学生共答对2个问题的概率：
．
（2）设学生甲答对的题数为，则的所有可能取值为1,2,3．
， ， ．
X 1 2 3
P
的分布列为：
所以，．
（3）设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为0，1，2，3．则．
所以，．
因为，，即甲、乙答对的题目数一样，但甲较稳定，
所以应选拔甲学生代表学校参加竞赛．
4．(23-24高二下·广东珠海实验中学、河源高级中学、中山实验中学·)每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2018年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表：
年龄段（单位：岁）
被调查的人数 10 15 20 25 5
赞成的人数 6 12 20 12 2
(1)从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此年龄在的概率为，求出表格中，的值；
(2)若从年龄在的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为，求的分布列及数学期望．
【答案】(1)，
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）的值等于总人数减去其余各组人数的和，利用的概率为求出的值；
（2）利用分层抽样的比例可以求出10人中，赞成的有8人，不赞成的有2人，而表示从10人中抽取的4人中赞成“延迟退休”的人数，所以的可能取值为2，3，4，然后求出其对应的概率，就可完成的分布列.
【详解】（1）因为总共抽取100人进行调查，所以，
因为从赞成“延迟退休”的人中任选1人，其年龄在的概率为，所以．
（2）从年龄在中按分层抽样抽取10人，赞成的抽取人，不赞成的抽取2人，再从这10人中随机抽取4人，则随机变量的可能取值为2，3，4.
则，
，
．
所以的分布列为
2 3 4
所以.
5．(23-24高二下·广东外语外贸大学附属外国语学校·期中)某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．
(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；
(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；
【分析】（1）利用组合的知识计算出基本事件总数和满足题意的基本事件数，根据古典概型概率公式求得结果；
（2）确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可计算出每个取值对应的概率，进而得到分布列和数学期望.
【详解】（1）名同学中，会法语的人数为人，
从人中选派人，共有种选法；其中恰有人会法语共有种选法；
选派的人中恰有人会法语的概率.
（2）由题意可知：所有可能的取值为，
；；
；；
的分布列为：
数学期望为
1．(24-25高二下·广东深圳聚龙科学中学教育集团·)已知随机变量服从正态分布，且，则_____．
【答案】/
【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得结果.
【详解】因为随机变量服从正态分布，且，
则．
故答案为：.
2．(24-25高二下·广东惠州光正实验学校·期中)在某市年月份的高三质量检测考试中，理科生的数学成绩服从正态分布已知参加本次考试的全市理科生约有人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是分，那么他的数学成绩大约排在全市第（ ）参考数值：；，
A．名 B．名 C．名 D．名
【答案】A
【分析】将正态总体向标准正态总体转化，求出概率
，随后乘以总人数即可得到答案．
【详解】解：因为理科生的数学成绩服从正态分布，，，
所以
，
所以，
故该学生的数学成绩大约排在全市第名．
故选．
3．(24-25高二下·广东惠州光正实验学校·期中)某公司在一次年终总结合上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入个红球和个白球（球的形状和大小都相同），抽奖规则如下：从袋中一次性摸出个球，把白球换成红球再全部放回箱中，设此时箱中红球个数为，则每位员工颁发奖金万元.
(1)求的分布列与数学期望；
(2)若企业有1000名员工，他们为企业贡献的利润近似服从正态分布，为各位员工贡献利润数额的均值，计算结果为万元，为数据的方差，计算结果为万元，为激励为企业做出突出贡献的员工，现决定该笔奖金只有贡献利润大于万元的员工可以获得，且用于奖励的总奖金按抽奖方案所获奖金的数学期望值计算，求获奖员工的人数及每人可以获得奖金的平均数值（保留到整数）.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)人，万元
【分析】（1）依题意可得的可能取值为，，，，求出所对应的概率即可得到分布列与数学期望；
（2）由（1）求出奖金总金额，根据正态分布求出概率，即可估计人数，与每人可以获得奖金的平均数值.
【详解】（1）依题意可得的可能取值为，，，，
则，，
，，
∴的分布列为：
3 4 5 6
∴.
（2）由（1）可知给员工颁发奖金的总数为（万元），
设每位职工为企业的贡献利润数额为，则，
所以获得奖金的职工数约为
（人），
则获奖员工可以获得奖金的平均数值为（万元）.
4．(24-25高二下·广东东莞三校（东莞大岭山中学、东莞众美中学、东莞松山湖莞美学校）·期中)质监部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别各随机抽取桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图：
(1)写出频率分布直方图（甲）中的值；记甲、乙两种食用油桶样本的质量指标的方差分别为，，试比较，的大小（只要求写出答案）；
(2)估计在甲、乙两种食用油中随机抽取桶，恰有一桶的质量指标大于的概率；
(3)由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值服从正态分布．其中近似为样本平均数，近似为样本方差，设表示从乙种食用油中随机抽取桶，其质量指标值位于的桶数，求的数学期望．
注：①同一组数据用该区问的中点值作代表，计算得
②若，则，．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据频率之和为，即小矩形的面积为计算的值，根据图象判断乙的分布比较集中，方差小，甲波动大，方差大；
（2）根据频率分布直方图分布计算甲和乙两种食用油质量指标小于等于的频率，和大于的频率，将所求事件分为两种情况求概率；
（3）所求事件的概率为 ， ，根据二项分布求期望.
【详解】（1）由频率分布直方图可得：，解得；
记甲、乙两种食用油桶样本的质量指标的方差分别为，，
由频率分布直方图可得.
（2）设事件：在甲种食用油中随机抽取桶，其质量指标不大于，
事件：在乙种食用油中随机抽取桶，其质量指标不大于，
事件：在甲、乙两种食用油中随机抽取桶，恰有一个桶的质量指标不大于，且另一个不大于，
则，，
∴
（3）计算得：，
，由条件得，
从而，
∴从乙种食用油中随机抽取桶，其质量指标值位于的概率是，
根据题意得，
∴.
5．(23-24高二下·广东深圳人大附中深圳学校·期中)某省2023年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分：思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A、B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省部分学校联合组织了一次高二年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．
(1)其中一所学校某班生物学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换赋分如表：
原始分 97 95 91 90 89 87 85 84 84 83
赋分 99 97 95 95 94 92 91 90 90 90
现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物的赋分不低于95分的人数为X，求X的分布列和数学期望：
(2)假设此次高二学生生物学科原始分Y近似服从正态分布．现随机抽取了100名高二学生的此次生物学科的原始分，后经调查发现其中有一名学生舞弊，剔除掉这名学生成绩后，记ξ为其他被抽到的原始分不低于80分的学生人数，预测当取得最大值时k的值．
附，若，则，．
【答案】(1)分布列见解析，；
(2)或16
【分析】（1）X服从超几何分布，由超几何分布的概率公式即可求得分布列以及数学期望；
（2）由正态分布性质得，再由二项分布结合已知列出不等式组即可得解.
【详解】（1）据题意可知：X服从参数为10，4，3的超几何分布，
因此，
则，，
，，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
X的数学期望为.
（2）据题意可知，
那么 有，
要使取最大值，只需，
得：且，
故：当或16时，取得最大值.
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专题04随机变量及其分布
8大高频考点概览
考点01 条件概率
考点02 全概率公式
考点03 离散型随机变量的均值
考点04 离散型随机变量的方差
考点05 离散型随机变量及其分布解答题
考点06 二项分布
考点07 超几何分布
考点08 正态分布
1．(24-25高二下·广东卓越教育发展联盟学校·)（多选）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·广东部分高中·期中) （多选）从1，2，3，4，5，6，7，8中任取1个数．事件：取出的数是偶数；事件：取出的数是奇数；事件：取出的数小于7．则（ ）
A．事件，是互斥事件 B．事件，是对立事件
C． D．
3．(24-25高二下·广东茂名化州·期中)某医学院校计划从5名男生和3名女生中选派2人参加义诊活动，则在派出的2人中，在已知1人是男生的条件下，另1人恰好是女生的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高二下·广东惠州实验中学·)端午节期间，某城市举行龙舟比赛，龙舟比赛途经桥、桥、桥、桥及桥，活动期间在5座桥边各设置1个志愿者服务点.现有5名志愿者参加其中三座桥—桥、桥及桥的服务，要求这三个服务点都有人参加，设事件为“甲在桥服务点”，事件为“乙和丙分到一起”，则下列结论中错误的是（ ）
A．事件与事件相互独立 B．
C． D．
5．(24-25高二下·广东清远211联盟·期中)骰子是质地均匀的正方体，各面分别标有数字1，2，3，4，5，6.现在掷一枚骰子两次，记事件“两次点数的最大值为4”，事件“两次点数的最小值为1”，则（ ）
A． B． C． D．
1．(24-25高二下·广东中山龙山中学·期中)已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球.现随机地从1号箱中取出1个球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出1个球，则从2号箱取出红球的概率是_________，从2号箱取出红球来自1号箱的概率是_________ .
2．(24-25高二下·广东卓越教育发展联盟学校·)在数字通信中心信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.98和0.02；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1.假设发送信号0和1是等可能的.则接收的信号为1的概率为_____.
3．(24-25高二下·广东深圳龙岗区布吉高级中学·期中)设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱，3箱，2箱，三厂产品的废品率依次为，，.从这10箱产品中任取一箱，再从这箱中任取一件产品，取得的正品概率为（ ）
A．0.83 B．0.72 C．0.80 D．0.70
4．(24-25高二下·广东深圳高级中学·期中)甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有6个红球、4个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为奇数，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为偶数，从乙箱子中随机摸出1个球，则摸到白球的概率是___________．
5．(24-25高二下·广东湛江吴川第四中学·期中)一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．
(1)求第2次摸到红球的概率；
(2)设第1，2，3次都摸到红球的概率为，第1次摸到红球的概率为，在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为，在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为，求，，，；
(3)对于事件，试根据（2）写出，，，的等量关系式，并加以证明．
1．(24-25高二下·广东佛山H7联盟·) （多选）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则（ ）
2 4 7
A． B．
C． D．
2．(24-25高二下·广东惠州实验中学·)已知随机变量取所有值1，2，…，是等可能的，且，则的值为（ ）
A．20 B．19 C．18 D．17
3．(24-25高二下·广东深圳龙华中学·期中)已知随机变量的分布列为，则（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高二下·广东惠州光正实验学校·期中)若随机变量服从二项分布，，则__________．
5．(24-25高二下·广东东莞光正实验学校·期中)已知离散型随机变量的分布列为
1 2 3
则等于（ ）
A． B．2 C． D．
1．(24-25高二下·广东东莞五校联考·期中)已知随机变量服从正态分布，则（ ）
A．4 B．5 C．7 D．8
2．(24-25高二下·广东深圳盐田高级中学等校·期中)已知离散型随机变量X满足，且，则（ ）
A．1 B．0.1 C．0.01 D．1.01
3．(24-25高二下·广东东莞光正实验学校·期中)已知随机变量服从二项分布，则=__________，=__________.
4．(24-25高二下·广东东莞光明中学·期中)设随机变量X服从二项分布，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．(24-25高二下·广东中山龙山中学·期中)已知随机变量，且，则=（　　）
A．1 B．2 C． D．
1．(24-25高二下·广东中山龙山中学·期中)某地2022年校园招聘活动有两环节进行，先笔试合格后才能参加面试，面试合格后便被该企业正式录取，每个环节相互独立.现M大学有甲、乙、丙三名毕业生报名招聘，进入笔试环节设置A、B两个科目，考生须两个科目均合格才算笔试合格，甲通过A、B科目的概率分别为、，乙通过A、B科目的概率分别为、，丙通过A、B科目测试的概率与乙相同.面试环节中各人通过面试的概率均为.
(1)求甲、乙、丙三人中恰有一人通过笔试的概率；
(2)该企业为参加招聘的同学提供了一种奖励方案：只参加了笔试的同学奖励60元.参加了面试的同学再奖励100元.丁同学说，奖金越高难度越大，故这三人获得总奖金为480元的概率肯定低于他们获得总奖金为180元的概率，试通过计算判断丁同学的说法是否正确；
(3)记甲、乙、丙三人被该企业录取的人数为X，求X的分布列和数学期望.
0 1 2 3
2．(24-25高二下·广东深圳盐田高级中学等校·期中)某高中为了了解同学们对我国四大名著相关文学的掌握情况，从高二年级的学生中随机抽取了20名同学分成两个小组进行了相关测试（满分为100分），测试结束后统计成绩如下表：
A 76 78 83 84 85 90 92 95 98 99
B 63 72 73 75 80 81 84 85 92 99
(1)分别计算A组成绩的极差和B组成绩的第30百分位数；
(2)若对于本次测试，规定：成绩分时为优秀，从A组中随机抽取1名学生，再从B组中随机抽取1名学生，用随机变量X表示这两人的成绩为优秀的人数，求X的分布列和数学期望.
X 0 1 2
P
3．(24-25高二下·广东深圳红岭中学·期中)某社团由名男生、名女生组成，现举办社团活动，要从这人中随机抽取人参加比赛，比赛共有三项，对于被抽中的人，每人参赛的情况相互独立，概率如下表所示：
参加一项的概率 参加两项的概率 参加三项的概率
女生
男生
规定：每参加项比赛，社团的积分增加分．
(1)在抽取的人中至少有名男生的前提下，求有女生参加比赛的概率；
(2)求该社团最终的积分为分的概率；
(3)若学校提出两种奖励方案，供参加比赛的社团自行选择．
方案一：每个社团奖励“参与奖”元；
方案二：对参赛的社团最终获得的积分按“积分元”的方式兑换奖金．
为使最终获得奖励金额的期望最大，该社团应选择哪种方案？并说明理由．
4．(24-25高二下·广东东莞光正实验学校·期中)端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，设表示取到的豆沙粽个数.求
(1)的分布列；
(2)的期望与方差；
(3)求至少取到一个豆沙粽的概率.
0 1 2 3
5．(24-25高二下·广东深圳外国语学校高中园·期中)2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
红色外观 蓝色外观
棕色内饰 12 8
米色内饰 2 3
(1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件为小明取到红色外观的模型，事件为小明取到棕色内饰的模型，求和，并判断事件和事件是否独立.
(2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色.拿到的两个模型仅外观或仅内饰同色，可以获得奖金150元，外观和内饰均为同色可以获得奖金300元，外观和内饰都异色可以获得奖金600元，设为奖金额，写出的分布列并求出的数学期望.
150 300 600
1．(24-25高二下·广东东莞光明中学·期中)某篮球运动员投篮的命中率为0.2，现投了3次球．
(1)求恰有2次命中的概率；
(2)设命中的次数为，求．
2．(24-25高二下·广西平果铝城中学·期中)某学校为调查高三年级的体育开展情况，随机抽取了20位高三学生作为样本进行体育综合测试，体育综合测试成绩分4个等级，每个等级对应的分数和人数如下表所示：
等级 不及格 及格 良 优
分数 1 2 3 4
人数 3 9 5 3
(1)若从样本中随机选取2位学生，求所选的2位学生分数不同的概率；
(2)用样本估计总体，以频率代替概率.若从高三年级学生中随机抽取n位学生，记所选学生分数不小于3的人数为X.
（ⅰ）若，求X的分布列与数学期望；
（ⅱ）若，当k为何值时，最大？
3．(24-25高二下·广东深圳新安中学（集团）高中部·期中)某区为推进教育数字化转型，通过聚合区域学校的教育资源，依托AI技术搭建了区域智慧题库系统，形成了“通识过关—综合拓展—创新提升”三层动态原库，且三层题量之比为，设该题库中任意1道题被选到的可能性都相同.
(1)现有4人参加一项比赛，若每人分别独立地从该题库中随机选取一道题作答，求这4人中至少有2人的选题来自层的概率；
(2)现采用分层随机抽样的方法，使用智能组卷系统从该题库中选取12道题生成试卷，若某老师要从生成的这份12道题的试卷中随机选取3道题做进一步改编，记该老师选到层题的题数为，求的分布与期望．
X
P
4．(24-25高二下·广东广州第六中学·期中)某学校体育课进行投篮练习，投篮地点分为区和区，每一个球可以选择在区投篮也可以选择在区投篮，在区每投进一球得2分，没有投进得0分；在区每投进一球得3分，没有投进得0分．学生甲在两区的投篮练习情况统计如下表：
甲 区 区
投篮次数 30 20
得分 40 30
假设用频率估计概率，且学生甲每次投篮相互独立．
(1)试分别估计甲在区，区投篮命中的概率；
(2)若甲在区投3个球，在区投2个球，
（ⅰ）记甲在区投篮得分为，求的分布列及期望；
（ⅱ）求甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率；
(3)若甲在区，区一共投篮5次，投篮得分的期望值不低于7分，直接写出甲选择在区投篮的最多次数．（结论不要求证明）
0 2 4 6
5．(24-25高二下·广东深圳坪山高级中学·期中)据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长透择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生）
(1)若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？
(2)从这8名戴角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数X的期望与方差；
(3)若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从A市的小学生中，随机选出20位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数Y的期望和方差.
1．(24-25高二下·广东广雅中学·期中)某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关．某同学只能背诵其中的6篇，试求：
(1)抽到他能背诵的古诗词的数量的分布列；
(2)他能过关的概率．
0 1 2 3
2．(24-25高二下·广东东莞四校联考·期中)某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为.
(1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率；
(2)若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为，求的分布列.
0 1 2 3
3．(22-23高二下·广东东莞东华高级中学·期中)某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答
(1)求甲、乙共答对2道题目的概率；
(2)设甲答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差；
(3)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？
X 1 2 3
P
4．(23-24高二下·广东珠海实验中学、河源高级中学、中山实验中学·)每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2018年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表：
年龄段（单位：岁）
被调查的人数 10 15 20 25 5
赞成的人数 6 12 20 12 2
(1)从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此年龄在的概率为，求出表格中，的值；
(2)若从年龄在的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为，求的分布列及数学期望．
2 3 4
5．(23-24高二下·广东外语外贸大学附属外国语学校·期中)某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．
(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；
(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列和数学期望．
1．(24-25高二下·广东深圳聚龙科学中学教育集团·)已知随机变量服从正态分布，且，则_____．
2．(24-25高二下·广东惠州光正实验学校·期中)在某市年月份的高三质量检测考试中，理科生的数学成绩服从正态分布已知参加本次考试的全市理科生约有人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是分，那么他的数学成绩大约排在全市第（ ）参考数值：；，
A．名 B．名 C．名 D．名
3．(24-25高二下·广东惠州光正实验学校·期中)某公司在一次年终总结合上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入个红球和个白球（球的形状和大小都相同），抽奖规则如下：从袋中一次性摸出个球，把白球换成红球再全部放回箱中，设此时箱中红球个数为，则每位员工颁发奖金万元.
(1)求的分布列与数学期望；
(2)若企业有1000名员工，他们为企业贡献的利润近似服从正态分布，为各位员工贡献利润数额的均值，计算结果为万元，为数据的方差，计算结果为万元，为激励为企业做出突出贡献的员工，现决定该笔奖金只有贡献利润大于万元的员工可以获得，且用于奖励的总奖金按抽奖方案所获奖金的数学期望值计算，求获奖员工的人数及每人可以获得奖金的平均数值（保留到整数）.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，.
3 4 5 6
4．(24-25高二下·广东东莞三校（东莞大岭山中学、东莞众美中学、东莞松山湖莞美学校）·期中)质监部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别各随机抽取桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图：
(1)写出频率分布直方图（甲）中的值；记甲、乙两种食用油桶样本的质量指标的方差分别为，，试比较，的大小（只要求写出答案）；
(2)估计在甲、乙两种食用油中随机抽取桶，恰有一桶的质量指标大于的概率；
(3)由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值服从正态分布．其中近似为样本平均数，近似为样本方差，设表示从乙种食用油中随机抽取桶，其质量指标值位于的桶数，求的数学期望．
注：①同一组数据用该区问的中点值作代表，计算得
②若，则，．
5．(23-24高二下·广东深圳人大附中深圳学校·期中)某省2023年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分：思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A、B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省部分学校联合组织了一次高二年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．
(1)其中一所学校某班生物学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换赋分如表：
原始分 97 95 91 90 89 87 85 84 84 83
赋分 99 97 95 95 94 92 91 90 90 90
现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物的赋分不低于95分的人数为X，求X的分布列和数学期望：
(2)假设此次高二学生生物学科原始分Y近似服从正态分布．现随机抽取了100名高二学生的此次生物学科的原始分，后经调查发现其中有一名学生舞弊，剔除掉这名学生成绩后，记ξ为其他被抽到的原始分不低于80分的学生人数，预测当取得最大值时k的值．
附，若，则，．
X 0 1 2 3
P
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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