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重难点03数列中的最值（取值范围）与不等式
7大高频考点概览
考点01 等差数列前n项和最值
考点02 对勾函数求最值
考点03 单调性求最值（取值范围）
考点04 不等式恒成立问题
考点05 解不等式
考点06 裂项相消法证明不等式
考点07 单调性法证明不等式
1．(24-25高二下·广东茂名电白区·期中)已知数列的前项和为，若.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和，并求的最大值.
2．(24-25高二下·广东广东华侨中学港澳班·期中)已知数列的前项和为，满足，则下列判断正确的是（ ）
A．数列为等差数列 B．
C．数列存在最大值 D．数列存在最大值
3．(24-25高二下·广东江门新会区第一中学·期中)（多选）若数列为等差数列，为前n项和，，，，下列说法中正确的有（ ）
A． B．
C．和均为的最大值 D．
4．(24-25高二下·广东肇庆封开县南丰中学·期中)设为等差数列的前项和，若公差，且，则当取最大值时，的值为______.
5．(24-25高二下·广东江门广德实验学校·期中) （多选）已知等差数列的前n项和为Sn（n∈N*），公差d≠0，S6=90，a7是a3与a9的等比中项，则下列选项正确的是（ ）
A．a1=22 B．d=－2
C．当n=10或n=11时，Sn取得最大值 D．当Sn>0时，n的最大值为20
1．(24-25高二下·广东深圳·期中)若数列满足（，d为常数），则称数列为调和数列．已知数列为调和数列，且，则的最大值为______.
2．(23-24高二下·广东华南师范大学附属中学·期中)等差数列中，为的前n项和，，若不等式，对任意的恒成立，则实数k的取值范围为_________.
3．(22-23高二下·广东佛山南海区南海中学·期中)记数列的前项和为，满足，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．(23-24高二下·广东佛山南海区·)“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数满足三三数之剩二，将符合条件的所有正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为（ ）
A．19 B．17 C．16 D．15
5．(23-24高二上·广东中山华侨中学·期中)已知数列满足，数列满足.
(1)求数列的前20项和；
(2)求数列的通项公式；
(3)数列的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
1．(24-25高二下·广东珠海·期中)已知数列满足，则数列的最小项是第（ ）项
A．5 B．6 C．7 D．8
2．(23-24高二下·广东广州广东实验中学越秀学校·期中)已知数列的前n项和为且，若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．(23-24高二下·广东广州育才中学·期中)已知数列 是各项均为正数的等比数列， 为其前 项和， ， 则 ________； 记 ， 若存在 使得 最大， 则 的值为________．
4．(22-23高二下·广东佛山第一中学·期中)在当前市场经济条件下，私营个体商店中的商品，所标价格与其实际价值之间，存在着相当大的差距，对顾客而言，总是希望通过“讨价还价”来减少商品所标价格与其实际价值的差距.设顾客第次的还价为，商家第次的讨价为，有一种“对半讨价还价”法如下：顾客第一次的还价为标价的一半，即第一次还价，商家第一次的讨价为与标价的平均值，即；…，顾客第次的还价为上一次商家的讨价与顾客的还价的平均值，即，商家第次讨价为上一次商家的讨价与顾客这一次的还价的平均值，即，现有一件衣服标价1200元，若经过次的“对半讨价还价”，与相差不到2元，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．(23-24高二下·广东实验中学·期中)已知各项均不为0的数列的前n项和为，且，，，数列的前n项和为．
(1)求的通项公式；
(2)求；
(3)若对于任意，成立，求实数的取值范围．
1．(23-24高二下·广东顺德区北滘中学·期中) （多选）已知数列的前项和为，且，数列满足，记，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．恒成立
D．若，关于的不等式恰有两个解，则的取值范围为
2．(22-23高二下·广东梅州五校（五校虎山中学、平远中学、水寨中学、丰顺中学、梅州中学联考）·期中)已知数列是等差数列，数列是公比大于零的等比数列，且
，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若是数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围.
3．(23-24高二下·广东深圳光明区光明中学·期中)已知数列{}为等差数列，，，数列{}的前n项和为，且满足．
(1)求{}和{}的通项公式；
(2)若，数列{}的前n项和为，且对恒成立，求实数m的取值范围．
1．(24-25高二下·广东湛江·期中)已知为首项和公差均为1的等差数列，则满足的的最小值为_____.
2．(23-24高二上·广东东莞嘉荣外国语学校·期中)如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案.设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、②、③、④……中图形的周长依次记为，得到数列.设数列的前项和为，若时，则的最小值为（ ）
（参考数据：，）

A．5 B．8 C．10 D．12
3．(22-23高二下·广东深圳宝安第一外国语学校（集团）·期中)已知数列的前项和为，且，则使不等式成立的的最大值为__________.
4．(24-25高二下·广东部分学校·期中)已知数列的前项积为，其中．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求使得的的最小值．
5．(24-25高二下·广东清远第三中学教育集团·期中)已知的前n项和为，．①，都是等差数列；②是等差数列，；③是正项数列，．从①②③中选择一个条件，完成下列问题．
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前n项和，并解不等式．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
1．(23-24高二下·广东广州番禺中学·期中)已知是数列的前项和，，是公差为1的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：.
2．(23-24高二下·广东华南师范大学附属中学·期中)已知为公差不为0的等差数列的前项和，且．
(1)求的值；
(2)若，求证：．
3．(23-24高二下·广东广州协和学校·期中)已知为等差数列，公差，且、、成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，证明：．
4．(22-23高二下·广东广州第八十九中学·期中)已知数列的前项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和为，证明：．
5．(22-23高二下·广东华侨中学·期中)已知数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)记为数列的前n项和，求证：.
1．已知数列中，
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求的通项公式；
(3)令，证明:．
2．(23-24高二下·广东广州黄广中学·期中)设数列的前项和为，已知，是公差为2的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，设数列的前项和，求证：．
3．(23-24高二下·广东广州育才中学·期中)已知为数列的前n项和， 是公差为1的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
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重难点03数列中的最值（取值范围）与不等式
7大高频考点概览
考点01 等差数列前n项和最值
考点02 对勾函数求最值
考点03 单调性求最值（取值范围）
考点04 不等式恒成立问题
考点05 解不等式
考点06 裂项相消法证明不等式
考点07 单调性法证明不等式
1．(24-25高二下·广东茂名电白区·期中)已知数列的前项和为，若.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和，并求的最大值.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根据与的关系求通项公式.
（2）确定数列是首项为正数，公差为负数的等差数列，根据确定前多少项的和最大，再利用等差数列求和公式求和即可.
【详解】（1），故，
由，得，
两式相减并整理得，
所以为等比数列，公比为2，首项，
所以数列的通项公式为.
（2），
所以为等差数列，首项为12，公差为.
所以.
由 .
所以当或时，取得最大值.
且 .
所以当或5时，取得最大值30.
2．(24-25高二下·广东广东华侨中学港澳班·期中)已知数列的前项和为，满足，则下列判断正确的是（ ）
A．数列为等差数列 B．
C．数列存在最大值 D．数列存在最大值
【答案】D
【分析】利用，可求通项公式判断AB；由可知单调性判断CD.
【详解】由可知，当时，，
因为，所以，
故数列是从第二项开始的等差数列，故A错误.
将的通项公式可得，故B错误.
由知，数列为递增数列，不存在最大值，故C错误.
由知，数列为递减数列，故存在最大值，故D正确.
故选：D.
3．(24-25高二下·广东江门新会区第一中学·期中)（多选）若数列为等差数列，为前n项和，，，，下列说法中正确的有（ ）
A． B．
C．和均为的最大值 D．
【答案】AC
【分析】运用等差数列单调性及下标和性质可解.
【详解】，则，，则，
因此，且，故A正确，B错误；
而且均为的最大值，故C正确；
，故，故D错误.
故选：AC
4．(24-25高二下·广东肇庆封开县南丰中学·期中)设为等差数列的前项和，若公差，且，则当取最大值时，的值为______.
【答案】
【分析】由可得，则得，再由，可得当取最大值时的值.
【详解】等差数列中，
∵，∴，解得，
则
，
因为，所以当取最大值时，.
故答案为：.
5．(24-25高二下·广东江门广德实验学校·期中) （多选）已知等差数列的前n项和为Sn（n∈N*），公差d≠0，S6=90，a7是a3与a9的等比中项，则下列选项正确的是（ ）
A．a1=22 B．d=－2
C．当n=10或n=11时，Sn取得最大值 D．当Sn>0时，n的最大值为20
【答案】BCD
【解析】由等差数列的求和公式和通项公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，求得等差数列的通项和，由二次函数的最值求法和二次不等式的解法可得所求值，判断命题的真假．
【详解】等差数列的前项和为，公差，
由，可得，即，①
由是与的等比中项，可得，即，
化为，②
由①②解得，，
则，，
由，可得或11时，取得最大值110；
由，可得，即的最大值为20．
故选：BCD
【点睛】方法点睛：数列最值常用的方法有：（1）函数（单调性）法；（2）数形结合法；（3）基本不等式法.要结合已知条件灵活选择合适的方法求解.
1．(24-25高二下·广东深圳·期中)若数列满足（，d为常数），则称数列为调和数列．已知数列为调和数列，且，则的最大值为______.
【答案】
【分析】由题意可判断出为等差数列．利用等差数列性质可得，再利用基本不等式即可求得答案.
【详解】因为数列为调和数列，所以，故为等差数列．
由，得，所以，
所以，故，故，
当且仅当或时取等号，
由于，当且仅当时取得最大值，
故的最大值为．
故答案为：
2．(23-24高二下·广东华南师范大学附属中学·期中)等差数列中，为的前n项和，，若不等式，对任意的恒成立，则实数k的取值范围为_________.
【答案】
【分析】利用等差数列的定义及求和公式先计算基本量得，再分离参数，借助对勾函数的性质计算即可.
【详解】由题意可知，则的公差为，
所以，
则，即恒成立，
由对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增，
而，即，
所以.
故答案为：
3．(22-23高二下·广东佛山南海区南海中学·期中)记数列的前项和为，满足，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知得，利用累乘法求出，从而可求得，代入中化简，再利用对勾函数的性质可求得结果.
【详解】由，得，
因为，所以
，
所以，
所以，
因为，所以由对勾函数的性质可知，
当时，取得最小值.
故选：C
4．(23-24高二下·广东佛山南海区·)“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数满足三三数之剩二，将符合条件的所有正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为（ ）
A．19 B．17 C．16 D．15
【答案】C
【分析】利用等差数列模型结合对勾函数求解最小值.
【详解】由题意得：则数列满足等差数列，
则即
则
利用对勾函数及知，当时当时
故选：C.
5．(23-24高二上·广东中山华侨中学·期中)已知数列满足，数列满足.
(1)求数列的前20项和；
(2)求数列的通项公式；
(3)数列的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，由并项求和法结合等差数列的求和公式，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由递推关系可得数列是以3为首项，公差为2的等差数列，即可得到结果；
（3）根据题意，由等差数列的求和公式结合基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）
.
（2）①，②，
②-①得，
，，
数列是以3为首项，公差为2的等差数列，.
（3），
，
，当且仅当，
即时取等号，
因，当时，，当时，
，.
1．(24-25高二下·广东珠海·期中)已知数列满足，则数列的最小项是第（ ）项
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】根据给定的递推公式，探讨数列单调性求出最小项.
【详解】数列中，由，得，由，得，
则当时，；当时，，
即，
所以数列的最小项是第6项.
故选：B
2．(23-24高二下·广东广州广东实验中学越秀学校·期中)已知数列的前n项和为且，若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用错位相减求和法求出，再按奇偶讨论求出a的范围.
【详解】由数列的前n项和为且，得，
于是，
两式相减得：，
因此，，显然数列是递增数列，
当为奇数时，，由恒成立，得，则，
当为偶数时，，由恒成立，得，则，
所以实数a的取值范围是.
故选：C
3．(23-24高二下·广东广州育才中学·期中)已知数列 是各项均为正数的等比数列， 为其前 项和， ， 则 ________； 记 ， 若存在 使得 最大， 则 的值为________．
【答案】 4 3或4
【分析】由已知利用等比数列的性质可求，又，可得，解得或，即可求得，分类讨论可求的值，即可求解数列的各项，即可求解．
【详解】等比数列中，公比；由，所以，又，
所以解得或；
若时，可得，则，
且的值为，可知数列单调递增，且各项均大于，
所以不会存在使得的乘积最大(舍去)；
若时，可得，则，
且的值为，…，
可知数列单调递减，从第项起各项小于且为正数，
前项均为正数且大于等于，
所以存在或，使得的乘积最大，
综上，可得的一个可能值是3或.
故答案为：4；3或4
4．(22-23高二下·广东佛山第一中学·期中)在当前市场经济条件下，私营个体商店中的商品，所标价格与其实际价值之间，存在着相当大的差距，对顾客而言，总是希望通过“讨价还价”来减少商品所标价格与其实际价值的差距.设顾客第次的还价为，商家第次的讨价为，有一种“对半讨价还价”法如下：顾客第一次的还价为标价的一半，即第一次还价，商家第一次的讨价为与标价的平均值，即；…，顾客第次的还价为上一次商家的讨价与顾客的还价的平均值，即，商家第次讨价为上一次商家的讨价与顾客这一次的还价的平均值，即，现有一件衣服标价1200元，若经过次的“对半讨价还价”，与相差不到2元，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】判断出数列是等比数列，由此列不等式，从而求得的最小值.
【详解】依题意可知，
，
则，又，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列，
所以，
由得，其中，
解得，因此的最小值为.
故选：B.
5．(23-24高二下·广东实验中学·期中)已知各项均不为0的数列的前n项和为，且，，，数列的前n项和为．
(1)求的通项公式；
(2)求；
(3)若对于任意，成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）当时，求得，当时，，进而可得数列的奇数项和偶数项分别成公差为的等差数列，可得的通项公式；
（2），利用错位相减法可求；
（3）由已知可得，令，作差判断的单调性，可求得结论.
【详解】（1）当时，，,解得，
当时，，
因为，所以，
数列的奇数项和偶数项分别成公差为的等差数列，
当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以时，；
（2），所以，
所以，
两式相减得
所以；
（3）由（2）的结论，原不等式等价于，
等价于，
记，则
当，，当时，，
故当时，取得最大值，
所以实数的取值范围是.
1．(23-24高二下·广东顺德区北滘中学·期中) （多选）已知数列的前项和为，且，数列满足，记，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．恒成立
D．若，关于的不等式恰有两个解，则的取值范围为
【答案】ACD
【分析】知数列与的关系式，即可判断A，构造数列的地推关系，即可判断B；首先求解数列的通项公式，再判断单调性，即可判断C；并求解数列的最值，并根据恰有两个解，判断D.
【详解】当时，，即，所以.
当时，，所以，
即.
因为，所以，所以是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，故A正确；
由，得，则，
所以数列为常数列，所以，即，故B错误；
故.
当时，，令，可得，
令，可得，所以，
则当或时，取得最大值，故C正确；
，因为关于的不等式恰有两个解，
所以的取值范围为，故D正确；
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题第D选项的判断的关键是首先判断函数的单调性和最值，并结合临界值比较大小，即可确定的取值范围.
2．(22-23高二下·广东梅州五校（五校虎山中学、平远中学、水寨中学、丰顺中学、梅州中学联考）·期中)已知数列是等差数列，数列是公比大于零的等比数列，且
，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若是数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式直接代入求公差和公比即可；
（2）利用等比数列的前项和公式即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且.
由，，得，解.
所以.
由，，得，又，解得.
所以.
（2）由（1）可知
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
因为恒成立，
即实数的取值范围为
3．(23-24高二下·广东深圳光明区光明中学·期中)已知数列{}为等差数列，，，数列{}的前n项和为，且满足．
(1)求{}和{}的通项公式；
(2)若，数列{}的前n项和为，且对恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）求解等差数列{}通项公式，只需设参数，d列方程组即可求解，数列{}通过已知前n项和求解通项公式；
（2）需要先用错位相减法求得数列{}的前n项和为，代入不等式中对n分类讨论，转化为最值问题，求出m范围即可．
【详解】（1）解：等差数列{}中，设公差为d，
则
数列{}中的前n项和为，且①
当时，
当时，②
②－①得：
故数列{}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以.
（2）解：数列{}中，.
则
所以
故
所以
∵对恒成立．
当n为奇数时，，
当n为偶数时，
综上：实数m的取值范围为．
1．(24-25高二下·广东湛江·期中)已知为首项和公差均为1的等差数列，则满足的的最小值为_____.
【答案】11
【分析】根据等差数列的通项公式求出的表达式，进而得到的表达式，再根据求出的取值范围，最后确定满足条件的的最小值.
【详解】由等差数列的定义可得，则，
所以令，解得，所以满足条件的的最小值为11.
故答案为：11.
2．(23-24高二上·广东东莞嘉荣外国语学校·期中)如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案.设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、②、③、④……中图形的周长依次记为，得到数列.设数列的前项和为，若时，则的最小值为（ ）
（参考数据：，）

A．5 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】观察图形可知周长形成的数列是首项，公比为的等比数列，即可求出与，从而得到关于的不等式，解得即可..
【详解】观察图形知，各个图形的周长依次排成一列构成数列，
从第二个图形开始，每一个图形的边数是相邻前一个图形的倍，边长是相邻前一个图形的，
因此从第二个图形开始，每一个图形的周长是相邻前一个图形周长的，即有，
因此数列是首项，公比为的等比数列，，
数列的前项和为，
若，则，即，
所以，
所以，又为正整数，所以的最小值为.
故选：C
3．(22-23高二下·广东深圳宝安第一外国语学校（集团）·期中)已知数列的前项和为，且，则使不等式成立的的最大值为__________.
【答案】10
【分析】根据，可推出，则，根据等比数列的前项和求出 ，然后解，得出正整数解的范围，即可得出答案.
【详解】由已知，可得，
当时，，所以；
当时，，
所以，
所以数列是首项，公比的等比数列，
所以，
所以，
所以 .
若使等式成立，则需.
因为，所以，所以的最大值为10.
故答案为：10.
4．(24-25高二下·广东部分学校·期中)已知数列的前项积为，其中．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求使得的的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，求得；当时，由且，
两式相除，求得，进而得到数列的通项公式；
（2）由（1）得到，结合裂项法求和，求得，令，结合，即可得到答案.
【详解】（1）解：由数列的前项积为，且，
当时，，解得；
当时，且，
两式相除，可得，则，
当时，满足上式，
所以数列的通项公式为．
（2）解：由（1）知：，可得，
所以，
令，可得，解得，
因为，故满足条件的的最小值为.
5．(24-25高二下·广东清远第三中学教育集团·期中)已知的前n项和为，．①，都是等差数列；②是等差数列，；③是正项数列，．从①②③中选择一个条件，完成下列问题．
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前n项和，并解不等式．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)，不等式解集为且
【分析】（1）方案①：设的公差为d．由已知，转化为的方程，解方程求，利用等差数列通项公式可求的通项公式；
方案②：设的公差为，由条件求出数列的通项公式，再根据和关系求的通项公式；
方案③：根据和的关系，由条件可得数列的递推式，由此证明数列为等差数列，再由等差数列通项公式求其通项公式；
（2）由（1），利用裂项相消法求，再解不等式即可.
【详解】（1）选择①：设的公差为d．因为是等差数列，
所以，
所以，，
同时平方得，
所以，
所以，解得．
则，
则，，满足题意．
选择②：设的公差为，
则，，，
所以，所以．
所以，
当时，满足上式，
所以．
选择③：，
当时，，
两式相减得，
所以．
又，所以当时，，
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以．
（2）由（1）知，，
则，
则．
由，所以且．
解集为{n|n > 1011且n∈N*}.
1．(23-24高二下·广东广州番禺中学·期中)已知是数列的前项和，，是公差为1的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出给定的等差数列通项公式，再利用前n项和求通项的方法求解作答即可；
（2）利用（1）的结论，结合裂项相消法即可得解.
【详解】（1）因是公差为1的等差数列，而，则，
因此，即，
当时，，
经检验，满足上式，
所以的通项公式是.
（2）证明：由（1）知：，
所以
.
2．(23-24高二下·广东华南师范大学附属中学·期中)已知为公差不为0的等差数列的前项和，且．
(1)求的值；
(2)若，求证：．
【答案】(1)2
(2)证明见解析
【分析】（1）解法一：设的公差为，利用等差数列的定义可得答案；解法二：设的公差为，转化为对恒成立，可得答案.
（2）求出，利用裂项相消求和可得答案.
【详解】（1）解法一：设的公差为，
由①，得②，
则②-①得，
即，又，则；
解法二：设的公差为，
因为，
所以对恒成立，
即对恒成立，
所以，
又，则；
（2）由得，即，
所以，
又即，则，
因此
则
．
3．(23-24高二下·广东广州协和学校·期中)已知为等差数列，公差，且、、成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列的通项公式及等比中项的性质求出，即可得解；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可得证.
【详解】（1）依题意，，
又、、成等比数列，
所以，即，解得，
所以.
（2）由（1）可得，
所以
.
4．(22-23高二下·广东广州第八十九中学·期中)已知数列的前项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据数列的递推式可得时，，采用作差的方法可得，结合累乘法即可求得答案；
（2）由（1）可得的通项公式，利用裂项求和的方法，即可求得，从而证明结论..
【详解】（1）因为，所以当时，，
两式作差可得，整理得．
，令，则，
所以，所以，
则，
当时，也符合上式，综上，．
（2）证明：由（1）可知，，
则，
因为，所以，所以．
5．(22-23高二下·广东华侨中学·期中)已知数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)记为数列的前n项和，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用递推关系分类讨论与两种情况，注意检验，易得；
（2）利用裂项求和法易得，再由可推得.
【详解】（1）由已知可得当时，；
当时，，得；
当时，由，
得，
两式相减可得，则，
经检验：满足，
所以；
（2）由（1）得，
则，
因为，则，故，则，故，所以，即，得证.
1．已知数列中，
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求的通项公式；
(3)令，证明:．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据题设条件化简，结合等比数列的定义即可证明；
（2）由（1）求得数列的通项公式，再求即得；
（3）将（2）中得到的的通项代入求得，化简后利用数列的单调性即可得证.
【详解】（1）由得，
则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）得,
解得：.
（3）
令，，
因为在上单调递增，则
所以数列在上单调递减，从而数列在上单调递增，且，
故得.
2．(23-24高二下·广东广州黄广中学·期中)设数列的前项和为，已知，是公差为2的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，设数列的前项和，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由是公差为2的等差数列，求得，结合和的关系，即可求解；
（2）由（1）知，求得，结合关于单调递增，以及，即可求解．
【详解】（1）解：因为，所以，
又因为是公差为2的等差数列，所以，即，
当时，，
又由，适合上式，所以数列的通项公式为．
（2）证明：由（1）知，
所以，
又由，
所以关于单调递增，所以，
又因为，所以，所以．
3．(23-24高二下·广东广州育才中学·期中)已知为数列的前n项和， 是公差为1的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列的定义求出，利用求出通项公式；
（2）利用裂项相消法求和得到，结合单调性得到最小值，从而得到不等式成立.
【详解】（1）因为，所以，
是公差为1的等差数列，
所以，
故，
当时，，
显然，
所以，.
（2），
所以
，
随着的变大，变大，故当时，取得最小值，
最小值为，且，
故.
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