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重难点02数列前n项和
5大高频考点概览
考点01 裂项相消法求和
考点02 错位相减法
考点03 分组并项求和
考点04 数列分奇偶求和
考点05 数列重新排列等
1．(24-25高二下·广东广州协和学校等三校·期中)任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为的形式，从而是有理数：则无限循环小数__________（写成的形式，m与n为互质的具体正整数）；若1.5，1.55，1.555，……构成了数列，设数列，则数列的前n项和__________．
【答案】
【分析】利用无限循环小数的性质设，然后建立等式求解即可；利用题中给出的规律先求出的通项公式，然后得到的通项公式，然后列项相消求解即可.
【详解】令，则，解得，所以；
易知，
所以，
所以，
所以
.
故答案为：；
2．(24-25高二下·广东肇庆端州区端州中学·期中)数列的前项和为
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据给定条件结合与的关系求解；
（2）由结合（1）求出，再利用裂项相消法计算得解.
【详解】（1）,
时，,
,
即.
又也适合上式
所以.
（2）由（1）得,.
所以，
所以 ，
即.
3．(24-25高二下·广东广州南沙东涌中学·期中)在数列中，，点在直线上.
(1)求的通项公式；
(2)记的前项和为，且，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由定义证明数列是等差数列，再由得出通项公式；
（2）先由求和公式得出，再由裂项相消求和法求和即可.
【详解】（1）由题意可知，，所以数列是公差的等差数列
又，所以，故
（2），则
故
4．(24-25高二下·广东广州第二中学教育集团·期中)已知数列满足，且，数列满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明为等差数列；
(3)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)，
【分析】（1）利用累加法结合条件即可求得，验证首项即得通项公式；
（2）由已知数列递推式，利用等差数列定义即可证明；
（3）先求出的解析式，按照和分类裂项相消求和即可.
【详解】（1）由，可得，，且，
则当时，
.
又时也满足上式，故.
（2）∵，∴，
∴是公差为1，首项为1的等差数列.
（3）由（2）得，即.
当时，
数列的前n项和
.
当时，
数列的前n项和
.
所以，.
5．(24-25高二下·广东江门台山一中、开侨中学两校·期中)已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，，求使成立的最小的正整数的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当可求得的值，当时，由得，两式作差可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可得出数列的通项公式；
（2）求出，利用裂项相消法求和可求出，解不等式即可得出正整数的最小值.
【详解】（1）当时，，由得，
当时，由得，
两式相减得，得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以．
（2）由（1）知，
所以，
所以，
所以
．
又因为，所以，解得，
故使成立的最小的正整数的值是.
1．(24-25高二下·广东佛山H7联盟·)已知是等差数列的前项和，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）设等差数列的公差为，由递推关系式作差即可求得公差，从而得解；
（2）由（1）可得，利用错位相减法求和可得.
【详解】（1）设等差数列的公差为.
由，可得，
两式相减可得：，所以，
两式相减可得：，即.
当时，，解得，
所以，
故的通项公式为.
（2），则，
则，①
①得，②
①②得 ，
故.
2．(24-25高二下·广东江门培英高级中学·期中)已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出公差，表达出前5项，通过等差和等比关系求出和公差，即可得到数列的通项公式；
（2）表达出数列的通项公式，得到数列的前n项和的表达式，利用错位相减法即可得出数列的前n项和.
【详解】（1）由题意，
在等差数列中，设公差为,
由，得，则，
又a3＋2，a4，a5－2成等比数列，
∴7，5＋d，3＋2d成等比数列，得，即，得d＝2，
∴，，
∴数列的通项公式为：．
（2）由题意及（1）得，，
在数列中，，
在数列中，，
∴，
∴，
，
两式相减得
．
∴
3．(24-25高二下·广东佛山S6高质量发展联盟·期中)设数列的前项和为，，且.
（1）设，求证数列为等差数列；
（2）求；
（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【分析】（1）由可得答案；
（2）求得，得到，运用数列的错位相减法求和得到；
（3）结合（2）化简不等式，再由参数分离得到，再对讨论，利用单调性可得到的最小值.
【详解】（1），
即，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列；
（2）由（1）得，即，，
，①
，②
①-②，得，
所以；
（3）不等式即为，化简得，对任意恒成立，
令，则，
所以时，，即；
时，，即；
时，，即；
所以，
所以的最大项为，
所以.
【点睛】本题考查了数列的通项公式和前n项和公式的求法，注意错位相减的合理运用,以及常数分离法解决恒成立的问题.
4．(24-25高二下·广东广州南海中学·期中)等比数列中，，数列的前n项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前n项和，求.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据求出公比，再代入求出，即可求出的通项公式，再根据作差即可求出的通项公式；
（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可
【详解】（1）设等比数列的公比为，
在等比数列中，，，
所以，
所以，所以，所以，
又数列的前项和，
当时，
当时，
经检验当时也成立，所以.
（2）因为，所以，
所以，
，
两式相减得，
即，
也即
.
5．(24-25高二下·广东湛江第二十一中学·期中)若数列的前项和为，且，数列满足
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列是等比数列；
(3)设数列满足，其前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先求，再由公式求，检验是否成立即可；
（2）证明为定值即可；
（3）先利用错位相减法得，再参数分离得，进而研究数列最值即可.
【详解】（1）因为，当时，，
当时，，
且时，也符合上式，
所以
（2）
当时，由，所以，
依题意知：，所以
而，所以数列是首相为3，公比为3的等比数列．
（3）因为是首相为3，公比为3的等比数列，
所以，
所以 ，
=，
，
得
化简得：，
因为恒成立，
所以，
所以，
当，；当时，，
又，
令，得：，故当，恒成立，
所以在时，取到最大值，
所以实数的取值范围
【点睛】数列不等式恒成立问题，常常需要进行放缩，参变分离求最值处理.
1．(24-25高二下·广东深圳华中师范大学龙岗附属中学·期中)已知数列满足，为其前项和，则______．
【答案】1830
【分析】由题意可得，，，成等差数列，进而可求解.
【详解】因为，
所以，，，
即．
同理，，，，
所以.
同理可得，
由此可知，，，，成等差数列，
首项为10，公差为16，
所以．
故答案为：.
2．(24-25高二上·广东东莞东莞中学松山湖学校·)已知公差的等差数列满足，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求
【答案】(1)
(2)20
【分析】（1）根据等差数列的通项公式表达和成等比数列，解出，即可求解；
（2）求出，再并项求和即可.
【详解】（1）解：由题设，
因为成等比数列，即，
所以，
由，可解得
所以
（2）解：因为，
所以
.
3．(23-24高二下·广东惠州光正实验学校·期中)（多选）已知数列满足，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．为等比数列
C． D．
【答案】AC
【分析】利用递推式可求得 的值，可判断A，B，利用并项求和法结合等比数列的求和公式判断C，D.
【详解】数列满足，，则，，，
有，，，A正确；
显然，，因此数列不是等比数列，B错误；
， C正确.
，D错误；
故选：AC
4．(23-24高二下·广东广州培英中学·期中)已知数列前n项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据之间的关系，即可求得数列的通项公式；
（2）结合（1）求出的表达式，利用分组求和以及裂项相消求和的方法，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知数列满足，
当时，，故，
适合该式，故；
（2）由（1）知
，
记数列：，，
则，
，
故.
5．(23-24高二下·广东河源龙川第一中学·期中)已知各项均为正数的等差数列的首项，，，成等比数列；
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，由，，成等比数列，可得，代入，解出的值，即可得答案；
（2）由题意可得，采用分组求和即可.
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，
又因为，，成等比数列，
所以，即，
整理得：，
又因为，
解得或(舍)
则有，
所以数列的通项公式为；
（2）解：因为，
所以，
所以
.
所以.
1．(23-24高二下·广东华南师范大学附属中学·期中)已知数列的首项为，，则数列的前2024项和为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】结合三角函数性质分奇偶讨论可得数列的通项公式，再利用错位相减法求和即可得解.
【详解】化简知，，
当，时，，，
∴，，即为奇数时，数列是常数列，，
∴当为奇数时，；
又∵当为偶数时，为奇数，，∴，
综上所述，数列的通项公式为，
∴数列的通项公式为，
设数列的前项和为，
则，
即有，
作差有
，
则，
故.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于对数列分奇偶讨论，得到当为奇数时，，当为偶数时，也成立，故有.
2．(23-24高二下·广东珠海六校·期中)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….记大衍数列的通项公式为 ，若，则数列的前30项和为________.
【答案】240
【分析】根据数列的通项公式，采用并项求和的方法，即可求得答案.
【详解】由题意知，，
故数列的前30项和为
，
故答案为：240
3．(23-24高二下·广东广州黄广中学·期中) （多选）已知数列满足，，，为数列的前项和，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．当为奇数时，
C．设，则数列的前项和小于
D．设，则数列的前项和小于
【答案】BD
【分析】对于A，只需对进行赋值即可依次得到；对于B，根据数列的递推公式，需要分别求数列的奇数项的前项与偶数项的前项的和，分别按照等差数列和等比数列求和公式求和整理即得；对于C，求出，利用错位相减法即可得解；对于D，求得，利用裂项相消法即可得解.
【详解】对于A项，故A项错误；
对于B项，由可知，
该数列的奇数项构成首项为，公差为4的等差数列，
偶数项构成首项为3，公比为3的等比数列，
故当为奇数时，
，故B项正确；
对于C项，，
所以， ①， ②，
由两式相减得：
，
故，故C项错误；
对于D项，，
则，
则
，故D项正确.
故答案为：BD.
【点睛】方法点睛：
(1)对于已知递推数列是奇偶性要求的数列，一般按照奇偶性进行分组求和；
(2)对于等差数列乘以等比数列型数列，一般考虑错位相消法求和；
(3)对于数列通项具备分式型函数特点，一般考虑裂项相消法求和.
4．(24-25高二下·广东江门广德实验学校·期中)已知数列满足，且.
(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)在数列中，，，求的通项公式；
(3)记数列满足，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
(3)
【分析】（1）根据递推公式结合等比数列定义证明，再应用通项公式求解；
（2）累加法求数列通项公式；
（3）先分奇偶项求和再应用错位相减法计算.
【详解】（1），
变形得：，
又，故，所以是首项为3，公比为3的等比数列.
从而，即.
（2）由题意可得，
所以当时，，，，，
上式累加可得，
，
又，所以，
当时，满足上式，
所以
（3）由（1）、（2）知，
则在前项中，
,
,
作差得
.
.
从而.
5．(24-25高二下·广东广东华侨中学港澳班·期中)已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可；
(2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和.
【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：
显然为偶数，则，
所以，即，且，
所以是以2为首项，3为公差的等差数列，
于是．
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知，所以．
由（为奇数）及（为偶数）可知，
数列从第一项起，
若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，
若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．
所以，则．
[方法三]：累加法
由题意知数列满足．
所以，
，
则 ．
所以，数列的通项公式．
（2）[方法一]：奇偶分类讨论
．
[方法二]：分组求和
由题意知数列满足，
所以．
所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．
从而数列的前20项和为：
．
【整体点评】(1)方法一：由题意讨论的性质为最一般的思路和最优的解法；
方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；
方法三：写出数列的通项公式，然后累加求数列的通项公式，是一种更加灵活的思路.
(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前项和是一种常规的方法；
方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择.
1．(23-24高二下·广东名校联盟·期中)已知两个等差数列1，5，9，…，和1，6，11，…，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，且的前n项和为，则（ ）
A．910 B．900 C．890 D．880
【答案】A
【分析】先确定新数列的首项，再根据两个等差数列的公共项构成的数列依然是等差数列，且公差是原来两个等差数列公差的最小公倍数确定公差，可求前10项和.
【详解】因为两个等差数列的首项均为1，公差分别为4，5，
所以是首项为1，公差为的等差数列，则．
故选：A
2．(23-24高二下·广东广州真光中学·期中)有两个等差数列，，，，及，，，，，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，这个新数列共有_______项，这个新数列的各项之和为_______．
【答案】
【分析】由已知可得新数列是首项为，公差为的等差数列，所以通项公式为，由新数列的最大项小于等于，即可求解；由新数列是等差数列，根据等差数列的求和公式求解即可.
【详解】等差数列，，，，中，公差，，
等差数列，，，，中，公差，，
所以新数列的首项为，
因为公差，的最小公倍数为，
所以由这两个等差数列的公共项组成的新数列的公差，
所以新数列是首项为，公差为的等差数列，
所以新数列的通项公式为，
因为新数列的最大项小于等于，
所以，所以，
又因为，所以，所以新数列共有项；
新数列的第项为，
所以各项之和为.
故答案为：；.
3．(23-24高二下·广东佛山S6高质量发展联盟·期中)若数列满足，若，抽去数列的第3项、第6项、第9项、、第项、，余下的项的顺序不变，构成一个新数列，则数列的前100项的和为_________________．
【答案】
【分析】由，利用待定系数法求出数列的通项，进而可求出数列的通项，再利用分组求和法求和即可.
【详解】由，得，
又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
所以，
设数列的前项的和为，
则
.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知数列的递推关系求通项公式的典型方法：
（1）当出现时，构造等差数列；
（2）当出现时，构造等比数列；
（3）当出现时，用累加法求解；
（4）当出现时，用累乘法求解.
4．(24-25高二下·广东佛山顺德区第一中学·期中)已知数列的前项和，数列的前项和，将与的公共项由小到大排列构成新数列，则数列的前5项和等于_____．
【答案】682
【分析】分别求出数列和的通项，再把它们的公共项求出来即可.
【详解】当时，，
当时，，
当时，满足上式，所以，
同理可求得，
设的第项与的第项相等，则，即，，
当时，，当时，，则，
当时，，当时，，则，
当时，，当时，，则，
当时，，当时，，则，
当时，，当时，，则，
故数列的前5项和等于．
故答案为：
5．(23-24高二下·广东广州广东实验中学越秀学校·期中)已知数列的前项和为，满足．
(1)求的通项公式；
(2)删去数列的第项（其中），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，设的前项和为，请写出的前6项，并求出和．
【答案】(1)
(2)前6项为2，，，，，；；
【分析】（1）与的关系法求数列通项公式；
（2）由题写出前6项，然后分成两个子数列分别求和即可.
【详解】（1）当时，有，解得；
当时，有，联立条件，
得，
即，即；
所以是以2为首项，以2为公比的等比数列，
因此，．
（2）删去数列的第项（其中），将剩余的项按从小到大排列依次为：
，，，，，，…
数列前6项为2，，，， ．
．
注意到，，，…构成以为首项，以8为公比的等比数列，
，，，…构成以为首项，以8为公比的等比数列，
．
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重难点02数列前n项和
5大高频考点概览
考点01 裂项相消法求和
考点02 错位相减法
考点03 分组并项求和
考点04 数列分奇偶求和
考点05 数列重新排列等
1．(24-25高二下·广东广州协和学校等三校·期中)任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为的形式，从而是有理数：则无限循环小数__________（写成的形式，m与n为互质的具体正整数）；若1.5，1.55，1.555，……构成了数列，设数列，则数列的前n项和__________．
2．(24-25高二下·广东肇庆端州区端州中学·期中)数列的前项和为
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
3．(24-25高二下·广东广州南沙东涌中学·期中)在数列中，，点在直线上.
(1)求的通项公式；
(2)记的前项和为，且，求数列的前项和.
4．(24-25高二下·广东广州第二中学教育集团·期中)已知数列满足，且，数列满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明为等差数列；
(3)若，求数列的前n项和.
5．(24-25高二下·广东江门台山一中、开侨中学两校·期中)已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，，求使成立的最小的正整数的值．
1．(24-25高二下·广东佛山H7联盟·)已知是等差数列的前项和，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
2．(24-25高二下·广东江门培英高级中学·期中)已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
3．(24-25高二下·广东佛山S6高质量发展联盟·期中)设数列的前项和为，，且.
（1）设，求证数列为等差数列；
（2）求；
（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
4．(24-25高二下·广东广州南海中学·期中)等比数列中，，数列的前n项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前n项和，求.
5．(24-25高二下·广东湛江第二十一中学·期中)若数列的前项和为，且，数列满足
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列是等比数列；
(3)设数列满足，其前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
1．(24-25高二下·广东深圳华中师范大学龙岗附属中学·期中)已知数列满足，为其前项和，则______．
2．(24-25高二上·广东东莞东莞中学松山湖学校·)已知公差的等差数列满足，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求
3．(23-24高二下·广东惠州光正实验学校·期中)（多选）已知数列满足，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．为等比数列
C． D．
4．(23-24高二下·广东广州培英中学·期中)已知数列前n项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
5．(23-24高二下·广东河源龙川第一中学·期中)已知各项均为正数的等差数列的首项，，，成等比数列；
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
1．(23-24高二下·广东华南师范大学附属中学·期中)已知数列的首项为，，则数列的前2024项和为（ ）
A． B．
C． D．
2．(23-24高二下·广东珠海六校·期中)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….记大衍数列的通项公式为 ，若，则数列的前30项和为________.
3．(23-24高二下·广东广州黄广中学·期中) （多选）已知数列满足，，，为数列的前项和，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．当为奇数时，
C．设，则数列的前项和小于
D．设，则数列的前项和小于
4．(24-25高二下·广东江门广德实验学校·期中)已知数列满足，且.
(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)在数列中，，，求的通项公式；
(3)记数列满足，求数列的前项和.
5．(24-25高二下·广东广东华侨中学港澳班·期中)已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
1．(23-24高二下·广东名校联盟·期中)已知两个等差数列1，5，9，…，和1，6，11，…，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，且的前n项和为，则（ ）
A．910 B．900 C．890 D．880
2．(23-24高二下·广东广州真光中学·期中)有两个等差数列，，，，及，，，，，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，这个新数列共有_______项，这个新数列的各项之和为_______．
3．(23-24高二下·广东佛山S6高质量发展联盟·期中)若数列满足，若，抽去数列的第3项、第6项、第9项、、第项、，余下的项的顺序不变，构成一个新数列，则数列的前100项的和为_________________．
4．(24-25高二下·广东佛山顺德区第一中学·期中)已知数列的前项和，数列的前项和，将与的公共项由小到大排列构成新数列，则数列的前5项和等于_____．
5．(23-24高二下·广东广州广东实验中学越秀学校·期中)已知数列的前项和为，满足．
(1)求的通项公式；
(2)删去数列的第项（其中），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，设的前项和为，请写出的前6项，并求出和．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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