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重难点01数列的通项公式
7大高频考点概览
考点01 累加法求数列通项
考点02 利用与的关系求通项
考点03 定义法求通项
考点04 构造法求通项
考点05 同除求通项
考点06 因式分解求通项
考点07 同时去倒数求通项
1．(24-25高二下·广东深圳福田区外国语高级中学·期中)(多选)如图，是一块半径为1的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个剪掉半圆的半径）得图形，记纸板的周长为，面积为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据题意，纸板相较于纸板剪掉了半径为的半圆，故可得，用累加法可求得通项公式，代入选项可判断AC选项，同理可求得，即可判断BD选项.
【详解】根据题意可得纸板相较于纸板剪掉了半径为的半圆，故，即，故，，，，…，，累加可得
，
所以，故A正确，C正确；又，故，即，又，，，…，，累加可得，故，故B，D错误.
故选：AC
2．(24-25高二下·广东佛山S6高质量发展联盟·期中)已知数列满足，，则（ ）
A．510 B．512 C．1022 D．1024
【答案】B
【解析】根据已知累加求和可得通项公式，从而得到答案.
【详解】由,得
，
，
，
，
以上各式相加得，
，
所以，所以.
故选：B.
【点睛】是否能利用累加法，首先要看能否将数列的递推公式整理成,
或者的形式，其次还要用到等差数列的前n项和公式与等比数列的前n项和公式.
3．(24-25高二下·广东肇庆端州区端州中学·期中)南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为：，则该数列的第16项为（ ）
A．196 B．197 C．198 D．227
【答案】D
【分析】由从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，列出后一项与前一项的差，再由累加法即可求得通项公式，即可求得该数列的第16项.
【详解】若某个二阶等差数列的前4项为：，
即
可知，，,
累加即可得到，
则，则
故选：D.
4．(24-25高二下·广东广州协和学校等三校·期中) (多选)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，…称为三角形数；第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，…称为正方形数．记三角形数构成数列，正方形数构成数列，且数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．1275既是三角形数，又是正方形数
【答案】ABC
【分析】用累加法求出、，即可判断AB；利用裂项求和法计算即可判断C；分别令和，看有无正整数解即可判断D；
【详解】三角形数构成数列：1，3，6，10，…，
则有，
利用累加法，得，得到，n=1时也成立；
正方形数构成数列：1，4，9，16，…，
则有，
利用累加法，得，得到，n=1时也成立.
对于A，，故A正确；
对于B，，
而，
所以，故B正确；
对于C，，
利用裂项求和法：，故C正确；
对于D，令，解得；
令，解得；故D错误；
故选：ABC.
5．(23-24高二下·广东广州广东实验中学越秀学校·期中)已知数列满足，且对任意，有，则______.
【答案】
【分析】利用累加法求得.
【详解】依题意，
，
，
，
，
……
，
，
上述个式子相加得.
故答案为：
1．(24-25高二下·广东卓越教育发展联盟学校·)记为数列的前项和．若，则的值为（ ）
A．5 B．9 C．10 D．25
【答案】A
【分析】根据已知得出，再根据即可求解．
【详解】由，则，
故选：A．
2．(24-25高二下·广东江门培英高级中学·期中)已知数列的前项和，则（ ）
A．191 B．192 C．193 D．194
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用的关系列式计算即得.
【详解】因为，则，
故选：C
3．(23-24高二下·广东六校联考·期中)已知数列的前项和为，，且（且），若，则（ ）
A．49 B．50 C．51 D．52
【答案】A
【分析】根据给定的递推关系，结合变形，再构造常数列求出，然后代入计算即可.
【详解】当时，，则，
于是，即有，
因此数列是常数列，，即，
由，得，而，所以.
故选：A
4．(24-25高二下·广东佛山S6高质量发展联盟·期中)已知等差数列的前n项和为，且.
(1)求；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据的关系求通项公式即可；
（2）裂项相消法求和即可得解.
【详解】（1）由①
所以当时，②
①②得：，整理得：，
所以.
（2）由（1）知，
所以，
所以.
5．(24-25高二下·广东惠州惠州中学·期中)已知数列的前n项和为，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据与的关系可求数列的通项公式.
（2）根据裂项相消法可求数列的前n项和．
【详解】（1）当时，，
当时，，符合上式，
∴.
（2）由（1）得，，
∴．
1．(24-25高二下·广东肇庆端州区端州中学·期中)已知是等差数列，是等比数列，且，，．
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）设出公差和公比，根据条件得到方程组，求出公差和公比，得到通项公式；
（2），利用错位相减法求和得到答案.
【详解】（1）设公差为，公比为，
，故，，
，故，
联立，解得或（舍去），
故，；
（2），设数列的前项和为，
则，①
，②
两式①-②得，
所以.
2．(24-25高二下·广东佛山顺德区第一中学·期中)已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等比数列的定义可得数列是首项、公比均为3的等比数列，即可求解；
（2）由错位相减求解.
【详解】（1）由，又，可得数列是首项、公比均为3的等比数列，
故，
（2）由（1）可得，
则，
所以，
两式相减得，
所以
3．(24-25高二下·广东汕头澄海中学与澄海华侨中学·期中)已知等差数列满足，的前项和为.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可求解公差和首项，即可求解，
（2）根据裂项相消法以及等比求和公式分别求解，即可由分组求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由可得，解得，
故，
（2），
故，
由于，
，
其中分别为前项中奇数项的和以及偶数项的和，
故
4．(24-25高二下·广东湛江第二十一中学·期中)已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列的基本量公式求解即可；
（2）利用裂项法求和即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，①
由成等比数列，可得，即，②
由①②解得，所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知
则 .
5．(24-25高二下·广东汕头潮阳区河溪中学·期中)已知等差数列与正项等比数列满足，且是和的等差中项.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)设，记的前项和，求．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）先求出等差数列的公差，然后再根据是与的等差中项求出等比数列的公比，即可求得数列和数列的通项公式；
（2）裂项相消法即可求得数列的前项和；
（3）错位相减法即可求得数列的前项和.
【详解】（1）设等差数列的公差，等比数列的公比为，
由可知：，所以，，，
又因为是与的等差中项，
所以，即，
所以.
（2）因为，
所以.
（3），
①，
②，
②-①得：.
1．(23-24高二下·广东广雅中学·期中)数列满足，（），则数列的通项公式是________.
【答案】
【分析】构造等比数列即可得解.
【详解】因为，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，
所以，即.
故答案为：.
2．(24-25高二下·广东江门新会区名冠实验学校·期中)在数列中，已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对于这种类型的递推公式，一般构造成等比数列，进而利用待定系数法求即可.
【详解】因为，
所以，
所以数列是以为首项，公比的等比数列，
所以，
所以，
所以．
故选：D．
3．(23-24高二下·广东珠海第二中学·期中)已知数列，其中，满足，设为数列的前n项和，当不等式成立时，正整数n的最小值为______.
【答案】9
【分析】利用递推关系式得，由此可证得是等比数列；由等比数列通项公式推导可得，进而可求得的表达式，代入解不等式即可求解.
【详解】因为由得：，
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以.
所以，
所以等价，
由知，满足正整数n的最小值为9.
故答案为：9.
【点睛】方法点睛：求数列的通项公式有以下方法：
（1）观察法，（2）等差、等比公式法，（3）由与关系求解，（4）累加法，（5）累乘法，（6）构造等比数列，（7）构造等差数列.
4．(22-23高二下·广东佛山顺德区第一中学·期中)已知数列满足，，则数列的通项公式______，前n项和____________．
【答案】
【分析】由已知递推关系得出新数列是等比数列，由此可求得，再利用分类求和法可求得和．
【详解】∵数列满足，，
∴，
∴数列是以为首项，公比为3的等比数列，
∴，
∴，
∴数列的前n项和为：
，
故答案为：；．
5．(24-25高二下·广东江门新会区名冠实验学校·期中)已知数列满足，
(1)请证明是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)令，求数列前项的和．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）根据条件得到，利用等比数列的定义即可求解，再由等比数列的通项公式，即可求解；
（2）由（1）得，再由错位相减法，即可求解.
【详解】（1）因为，则，
又，因此是以为首项，为公比的等比数列，
由，得到．
（2）由（1）知，，
所以①，
则②，
由①②得到 ，
所以，
故．
1．(24-25高二下·广东广州天河中学·期中)数列满足，首项为，则数列的通项公式________．
【答案】
【分析】结合递推公式的结构特点构建一个等差数列，利用等差数列的通项公式求出构建的数列的通项公式，进而得解.
【详解】因为，所以，
则数列是以为首项，以1为公差的等差数列，
所以，则.
故答案为：.
2．(22-23高二下·广东珠海斗门区第一中学·期中)已知数列，满足，且，数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据递推关系式变形可构造等差数列，利用等差数列求解；
（2）求出，放缩后利用裂项相消法求和可证不等式成立.
【详解】（1），
，又，
数列是首项为1，公差为1的等差数列，
，即.
（2）由（1）知，
，
，
.
4．(24-25高二下·广东广州白云区广州空港实验中学·期中)若数列的前项和为，且；数列满足，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）采用作差法结合关系式可求，再验证可求的通项公式；对变形得，求出的通项公式，进而求出的通项公式；
（2）采用错位相减法即可求解.
【详解】（1）由，得，.
又，，
两式相减，得，.
，.
∴数列是首项为1，公比为2的等比数列..
由，得，
又，数列是首项为1，公差为1的等差数列.
.；
（2），.
两式相减，得
.
5．(22-23高二下·广东实验中学·期中)已知数列首项为，对任意的，满足
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用构造法可得是首项为3，公比为3的等比数列，则可得其通项公式;
（2）利用错位相减法可求出的前项和为，再由不等式性质可证明.
【详解】（1）由题条件可得，所以，
所以是首项为3，公比为3的等比数列，所以，则.
（2），
设，，所以，
，
所以
，
所以，
因为，所以.
1．(24-25高二下·广东广州广东实验中学越秀学校·期中)已知各项均为正数的数列，其前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列前项和；
(3)若，求数列的前项和为
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用的关系求递推公式，然后因式分解，结合已知可得为等差数列，然后可得通项公式；
（2）利用错位相减法求和即可；
（3）利用裂项相消法即可得解.
【详解】（1）当时，由，得，得，
由，得，两式相减，
得，即，
即.
因为数列各项均为正数，所以，所以
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列.
因此，
（2）由（1）得，
，
则，
两式相减得
（3）由（1）知，所以.
所以.
所以
2．(22-23高二下·广东深圳龙华高级中学、格致中学·)已知各项都是正数的数列，前n项和满足.
(1)求数列的通项公式.
(2)记是数列的前n项和，是数列的前n项和.
①求和；
②当时，试比较与的大小.
【答案】(1)
(2)①，；②
【分析】（1）由通项与前项和的关系，结合等差的定义得出通项公式；
（2）由裂项相消法得出，由公式法得出；利用二项式定理比较与的大小.
【详解】（1）当时，，所以或（舍去），
当时，有，两式相减得，
整理得，因为的各项都是正数，所以，
所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以；
（2）由（1）得，则，
所以，
由（1）得，
所以，
因为，
所以，故，所以当时，.
3．(24-25高二下·广东广州南海中学·期中)已知数列中，，.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)设，为数列的前n项和，证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）通过等式左右两侧取倒数，结合等差数列的定义可证明结论.
（2）根据（1）可得数列的通项公式，由此可得结果.
（3）利用裂项相消法可求得，分析性质可证明结论.
【详解】（1）∵，∴，即，
∴是以为首项，2为公差的等差数列.
（2）由（1）得，，
∴.
（3）由（2）得，，
∴，
∵，∴，且随着的增大而减小，
∴，当时，，
∴.
1．(24-25高二下·广东肇庆端州区端州中学·期中)已知数列中，且，则__________.
【答案】
【分析】根据题意可得数列是首项为，公差为的等差数列，由此可得，代入求值即可.
【详解】因为，所以，
即，又，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，
所以，所以.
故答案为：.
2．(24-25高二下·广东三校·期中)（多选题）已知数列的前项和为，，，则（ ）
A．数列是递减数列 B．数列可以是等比数列
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据已知条件求得，数列是递减数列判断A、C，假设是等比数列，求得矛盾判断B，化为，利用累加法判断D.
【详解】因为，整理有，又，由此可得，
对于A选项，因为，所以数列为递减数列，所以A正确；
对于B选项，若是等比数列，则由可知为定值，
又因为，所以，所以，即，
与矛盾，所以数列不可以是等比数列，所以B错误；
对于C，因为，且为递减数列，又，所以，
所以C正确；
对于D，由，，两边取倒数有，
整理有：，
即，，，，
累加得：
，
即，又，所以，
整理得：，所以D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：
本题关键在于对已知条件变形、分析，得到数列的性质.
3．已知数列中，
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求的通项公式；
(3)令，证明:．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据题设条件化简，结合等比数列的定义即可证明；
（2）由（1）求得数列的通项公式，再求即得；
（3）将（2）中得到的的通项代入求得，化简后利用数列的单调性即可得证.
【详解】（1）由得，
则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）得,
解得：.
（3）
令，，
因为在上单调递增，则
所以数列在上单调递减，从而数列在上单调递增，且，
故得.
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重难点01数列的通项公式
7大高频考点概览
考点01 累加法求数列通项
考点02 利用与的关系求通项
考点03 定义法求通项
考点04 构造法求通项
考点05 同除求通项
考点06 因式分解求通项
考点07 同时去倒数求通项
1．(24-25高二下·广东深圳福田区外国语高级中学·期中)(多选)如图，是一块半径为1的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个剪掉半圆的半径）得图形，记纸板的周长为，面积为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．(24-25高二下·广东佛山S6高质量发展联盟·期中)已知数列满足，，则（ ）
A．510 B．512 C．1022 D．1024
3．(24-25高二下·广东肇庆端州区端州中学·期中)南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为：，则该数列的第16项为（ ）
A．196 B．197 C．198 D．227
4．(24-25高二下·广东广州协和学校等三校·期中) (多选)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，…称为三角形数；第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，…称为正方形数．记三角形数构成数列，正方形数构成数列，且数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．1275既是三角形数，又是正方形数
5．(23-24高二下·广东广州广东实验中学越秀学校·期中)已知数列满足，且对任意，有，则______.
1．(24-25高二下·广东卓越教育发展联盟学校·)记为数列的前项和．若，则的值为（ ）
A．5 B．9 C．10 D．25
2．(24-25高二下·广东江门培英高级中学·期中)已知数列的前项和，则（ ）
A．191 B．192 C．193 D．194
3．(23-24高二下·广东六校联考·期中)已知数列的前项和为，，且（且），若，则（ ）
A．49 B．50 C．51 D．52
4．(24-25高二下·广东佛山S6高质量发展联盟·期中)已知等差数列的前n项和为，且.
(1)求；
(2)求数列的前n项和.
5．(24-25高二下·广东惠州惠州中学·期中)已知数列的前n项和为，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
1．(24-25高二下·广东肇庆端州区端州中学·期中)已知是等差数列，是等比数列，且，，．
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和．
2．(24-25高二下·广东佛山顺德区第一中学·期中)已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
3．(24-25高二下·广东汕头澄海中学与澄海华侨中学·期中)已知等差数列满足，的前项和为.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
4．(24-25高二下·广东湛江第二十一中学·期中)已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
5．(24-25高二下·广东汕头潮阳区河溪中学·期中)已知等差数列与正项等比数列满足，且是和的等差中项.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)设，记的前项和，求．
1．(23-24高二下·广东广雅中学·期中)数列满足，（），则数列的通项公式是________.
2．(24-25高二下·广东江门新会区名冠实验学校·期中)在数列中，已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．(23-24高二下·广东珠海第二中学·期中)已知数列，其中，满足，设为数列的前n项和，当不等式成立时，正整数n的最小值为______.
4．(22-23高二下·广东佛山顺德区第一中学·期中)已知数列满足，，则数列的通项公式______，前n项和____________．
5．(24-25高二下·广东江门新会区名冠实验学校·期中)已知数列满足，
(1)请证明是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)令，求数列前项的和．
1．(24-25高二下·广东广州天河中学·期中)数列满足，首项为，则数列的通项公式________．
2．(22-23高二下·广东珠海斗门区第一中学·期中)已知数列，满足，且，数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
4．(24-25高二下·广东广州白云区广州空港实验中学·期中)若数列的前项和为，且；数列满足，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前项和.
5．(22-23高二下·广东实验中学·期中)已知数列首项为，对任意的，满足
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求证：.
1．(24-25高二下·广东广州广东实验中学越秀学校·期中)已知各项均为正数的数列，其前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列前项和；
(3)若，求数列的前项和为
2．(22-23高二下·广东深圳龙华高级中学、格致中学·)已知各项都是正数的数列，前n项和满足.
(1)求数列的通项公式.
(2)记是数列的前n项和，是数列的前n项和.
①求和；
②当时，试比较与的大小.
3．(24-25高二下·广东广州南海中学·期中)已知数列中，，.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)设，为数列的前n项和，证明：.
1．(24-25高二下·广东肇庆端州区端州中学·期中)已知数列中，且，则__________.
2．(24-25高二下·广东三校·期中)（多选题）已知数列的前项和为，，，则（ ）
A．数列是递减数列 B．数列可以是等比数列
C． D．
3．已知数列中，
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求的通项公式；
(3)令，证明:．
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