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静海一中 2025-2026 第二学期高二数学（期中）
学生学业能力调研试卷
命题人： 审题人：
考生注意：
本试卷分第Ⅰ卷基础题（120 分）和第Ⅱ卷提高题（30）两部分，卷面分 3 分,
共 150 分。
知 识 与 技 能 学习能力
导数几何 参数
内容 单调性 二项式定理 排列组合 概率 关键环节
意义 范围
分数 10 30 28 32 15 32 20
第Ⅰ卷 基础题（共 120 分）
一、选择题:（ 每小题 5 分，共 45 分.）
1．曲线 在点 处的切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2． 的展开式中常数项为（ ）
A． B． C． D．
3．口袋内有大小、质地相同的红球 2 个，黄球、蓝球各 1 个．依次不放回地从中摸取 2
个球（每次取 1 个球）、记“第一次摸到红球”为事件 ，“第二次摸到黄球”为事件 ，则
（ ）
A． B． C． D．
4．已知甲，乙，丙，丁 4 人随机站成一排，则甲，乙两人站在丙的同侧的概率为（ ）
A． B． C． D．
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5.将 5 名程序专家全部分配到 1，2，3 号 3 个 实验室指导工作，每个实验室至少分配 1
名专家，其中 专家必须去 1 号实验室，则不同的分配方案共有（ ）
A．26 种 B．36 种 C．38 种 D．50 种
6．甲和乙两个箱子中各装有 10 个球，其中甲箱中有 5 个红球、5 个白球，乙箱中有 8
个红球、2 个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为 1 或 2，从甲箱子随机摸出 1 个球；
如果点数为 3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出 1 个球.则摸到红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．展开式 中 的系数为（ ）
A．68 B．－80 C．－68 D．80
8.已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
9.若存在 使得方程 有解，则实数 a 的取值范围为（ ）
A． B． C． D． 二、
二、 填空题：（每小题 5 分，共 25 分.）
10. 的展开式中 的系数为___________.
11．云县第一中学高二动漫社团中有 6 名优秀学员 、 、 、 、 、 和他们的指
导老师共 7 人站成一排合影留念，则指导老师和 同学站在两端， 、 相邻， 、 不
相邻的排法有 种.
12．三个罐子分别编号为 1，2，3，其中 1 号罐中装有 2 个红球和 1 个黑球，2 号罐中装
有 3 个红球和 1 个黑球，3 号罐中装有 2 个红球和 2 个黑球，若某人从中随机取一罐，再
从中任意取出一球，求取得红球的概率_______.
13.从 6 名男生和 4 名女生中选出 3 人参加人工智能技能培训．设事件 至少抽到一名女
生，事件 恰好抽到一名男生，则 ________．
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14.若关于 的方程 仅有一个实数根，则实数 的取值范围为______
．
三、解答题：(本大题共 4 小题，共 50 分)
15.(14 分)学校要从 10 名候选人中选 3 名同学组成学生会，已知有 4 名候选人来自甲班，
其余 6 名同学来自除甲班外的其他互不相同的 6 个班．假设每名候选人都有相同的机会
被选到．
(1)求甲班恰有 2 名同学被选到的概率；
(2)求选到的 3 名同学是来自互不相同的班级的概率．
16.（18 分）已知 展开式共有 11 项.
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
(4)求 的值.
(5)结合二项式展开式的特点，针对合理赋值这一方法应如何进行设问。
17.（18 分）已知函数 .
(1)当 时，求 的极值；
(2)当 时，求 在 上的最小值；
(3)若 在 上存在零点，求 的取值范围.
第Ⅱ卷 提高题（共 30 分）
一、解答题：(本大题共 2 小题，共 27 分)
18.（12 分）有标号为 1，2，3，4，5 的五个不同的小球，标号为 ， ， 的三个不同
的盒子，现在要把球全部放入盒内.
(1)共有多少种不同的放法？
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(2)若每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？
(3)若标号为 1，2 的两个小球必须放 号盒子，每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？
(4)若五个小球是相同的，全部放入这三个盒子中，且每个盒子不空，则共有多少种不同
的放法？（注意：请写出式子再写计算结果）
19.（15 分）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在 x=1 处的切线方程；
(2)当 时，若函数 有 2 个不同的零点 ， ．
（ⅰ）求 a 的取值范围；
（ⅱ）证明：
20.（3 分）卷面分
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静海一中 2025-2026 第二学期高二数学（期中）
学生学业能力调研试卷 答案
1~5 BDADD 6~9CCB
10.90 11.72 12. 13. 14.
15.(1) (2)
【详解】（1）设选到的 3 人中甲班同学的人数为 X，∴ .
（2）设“选到的 3 名同学是来自互不相同的班级”为事件 A，
则有可能 1 个同学来自甲班，2 个同学来自其他班，有 种；
也有可能 3 个同学都来自其他班，有 种；
则 ，
所以选到的 3 名同学是来自互不相同的班级的概率为 .
16.【答案】(1)0 (2) (3)0
（1）二项式 展开式的项数为 ，由题知展开式共 11 项，因此 ，得
，
令 ，得 ，
即 ，
令 ，代入等式得： ，
因此 ；
（2） 展开式中，系数 的符号由 决定，即 对应将原式中 换为 后
高二数学（期中）学生学业能力调研考试试卷第 5 页 共 8 页
的系数，
等价于令 代入原式：
计算得 ，因此结果为 ；
（3）令 ，代入等式得 ，
左边等于 ，因此结果为 .
(4)20
17.(1)极大值为 ，没有极小值
(2)0
(3)
【详解】（1）当 时， ，定义域是
求导可得
令 ，解得 ，
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
0
单调递增 极大值 单调递减
由此可得 的极大值为 ， 没有极小值.
（2）当 时， ，定义域是
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求导可得
令 ，定义域是 ，则
求导可得 ，当 时， ，因此 在 上是增函
数，
所以 ，即 在 上是增函数， .
（3） ，定义域是
18．(1)243；(2)150；(3)12.（4）
【详解】（1）依题意，每个球有 3 种放法，所以不同放法种数是 .
（2）将 5 个球分成 3 组，有 种方法，再将分成的 3 组放到 3 个不同盒子，有
种放法，
所以每个盒子不空的不同放法种数是 .
（3） 号盒子放 3 个球，且每个盒子不空，共有 种放法；
号盒子放 2 个球，且每个盒子不空，将另 3 个球分成 2 组，放入余下两个盒子，共有
种放法，
所以所求不同放法种数是 .
19．(1) .
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(2)（ⅰ） ；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）利用导数判断函数的单调区间；
（2）（ⅰ）转化为函数 与 有两个交点的问题；
（ⅱ）由函数的两个零点可得 ，再利用构造函数的方法证明即可.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
,切线方程为 . .
（2）（ⅰ）当 时，若函数 有 2 个不同的零点 ， ，
∴ 恰有 2 个正实数根 ， ，
令 ，则 与 有两个不同交点，
∴ ，
∴当 时， ；当 时， ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，又 ，
当 x 从 0 的右侧无限趋近于 0 时， 趋近于 ；
当 x 无限趋近于 时， 的增速远大于 的增速，则 趋近于 ，
则 图象如下图所示，
∴当 时， 与 有两个不同交点，
∴实数 a 的取值范围为 ．
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（ⅱ）证明：由（ⅰ）知： ， ，
∴ ， ，
∴ ，则 ，
不妨设 ，
要证 ，则需证 ，
∵ ，∴ ，∴ ，则只需证 ，
令 ，则只需证 时， 恒成立，
令 ，
∴ ，
∴ 在 上单调递增，∴ ，
∴当 时， 恒成立，
∴原不等式 得证．
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