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第九章 统计
(考查范围：第九章　时间：120分钟　分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．从总体容量为N的一批零件中，通过简单随机抽样抽取一个容量为30的样本．若每个零件被抽到的可能性为0.25，则N的值为(　　)
A．120 B．200
C．150 D．100
2．某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分为89,87,93,91,96,94,90,92，这组数据的第25百分位数和平均数分别是(　　)
A．89和91.5 B．89.5和91.5
C．90和91.5 D．90.5和92
3．一个容量为60的样本中，数据的最大值是150，最小值是30，组距是12，则样本数据的组数为(　　)
A．10 B．9
C．8 D．7
4．如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态．图1形成对称形态，图2形成“右拖尾”形态，图3形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，不正确的是(　　)
　　
A．图1的平均数＝中位数＝众数
B．图2的众数<中位数<平均数
C．图2的平均数<众数<中位数
D．图3的平均数<中位数<众数
5．某学校高三年级男生共有N1个，女生共有N2个，为调查该年级学生的年龄情况，通过分层随机抽样，得到男生和女生样本数据的平均数和方差分别为1，2和S，S.已知1＝2，则该校高三年级全体学生年龄的方差为(　　)
A．N1S＋N2S
B．N2S＋N1S
C.S＋S
D.S＋S
6．对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，样本量为200，如图为检测结果的频率分布直方图．根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的为一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则该样本中三等品的件数为(　　)
A．5 B．7
C．10 D．50
7．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月最高气温和平最低气温的雷达图．图中A点表示10月的最高气温约为15 ℃，B点表示4月的最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是(　　)
A．各月的最低气温都在0 ℃以上
B．7月的温差比1月的温差大
C．3月和11月的最高气温基本相同
D．最高气温不低于20 ℃的月份有5个
8．某校高二(1)班某次数学考试的平均分为70分，标准差为s，后来发现成绩记录有误，甲同学得80分却误记为60分，乙同学得70分却误记为90分，更正后计算得标准差为s1，则s和s1之间的大小关系是(　　)
A．s1>s
B．s1C．s1＝s
D．与人数有关，无法判断
二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人．甲就读于高一，乙就读于高二．学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，下列说法中正确的有(　　)
A．应采用分层随机抽样法
B．高一、高二年级应分别抽取100人和135人
C．乙被抽到的可能性比甲大
D．该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力
10．在某次高中学科竞赛中，4 000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格．若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则(　　)
A．成绩在[70,80)分的考生人数最多
B．不及格的考生人数为1 000
C．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分
D．考生竞赛成绩的中位数为75分
11．有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则(　　)
A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数
B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数
C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差
D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.在某次测量中，甲工厂生产的某产品的A样本数据如下：43,50,45,55,60.若乙工厂生产的该产品的B样本数据恰好是由A样本数据中每个数都增加5后得到的，据此可以估计乙工厂生产的该产品的总体均值为________.
13.某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的部分频率分布直方图．在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，观察图形的信息，可知成绩在[70,80)的人数为________，估计本次考试成绩的第60百分位数为________(结果精确到 0.01)．
14.在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%；乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论：
①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率；
②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率；
③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定．
其中，所有正确结论的序号是________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：
分数 50 60 70 80 90 100
人数 甲组 2 5 10 13 14 6
乙组 4 4 16 2 12 12
已经算得两个组的平均分都是80分．请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．
16.(15分)在一次数学竞赛考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有900名高一学生参加了本次考试，为了了解该校学生该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001～900.
(1)若采用随机数法抽样，已知用计算机产生的若干0～9范围内的随机数如下，以第3个数5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端，写出样本编号的中位数．
0　6　5　1　2　9　1　6　9　3　5　8　0　5　7　7　0
9　5　1　5　1　2　6　8　7　8　5　8　5　5　4　8　7
6　6　4　7　5　4　7　3　3　2　0　8　1　1　1　2　4
4　9　5　9　2　6　3　1　6　2　9　5　6　2　4　2　9
4　8　2　6　9　9　6　1　6　5　5　3　5　8　3　7　7
8　8　0　7　0　4　2　1　0　5　0　6　7　4　2　3　2
1　7　5　5　8　5　7　4　9　4　4　4　6　7　1　6　9
4　1　4　6　5　5　2　6　8　7　5　8　7　5　9　3　6
2　2　4　1　2　6　7　8　6　3　0　6　5　5　1　3　0
8　2　7　0　1　5　0　1　5　2　9　3　9　3　9　4　3
(2)若采用比例分配的分层随机抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1.用样本估计该校900名考生选做题得分的平均数与方差．
17.(15分)某公司招聘销售员，提供了两种日工资结算方案：方案(1)每日底薪100元，每销售一单提成2元；方案(2)每日底薪200元，销售的前50单没有提成，从第51单开始，每完成一单提成4元．该公司记录了销售员的每日人均业务量，现随机抽取一个季度的数据，将样本数据分为[25,35)，[35,45)，[45,55)，[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中a的值；
(2)若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘销售员做出日工资方案的选择，并说明理由；(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替)
(3)假设该销售员选择了你在(2)中所选的方案，已知公司现有销售员400人，他希望自己的收入在公司中处于前40名，求他每日的平均业务量至少应达多少单．
18.(17分)某机械零件工厂为了检验产品的质量，质检部门随机在生产线上抽取了100个零件并称出它们的质量(单位：g)．质量按照[495,505)，[505,515)，…，[535,545]分组，得到频率分布直方图如图所示．
(1)估计该工厂生产的零件质量的平均数；(每组数据用该组的中点值作代表)
(2)估计该工厂生产的零件质量的80%分位数．
19.(17分)某市去年4月1日至4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：
61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.
(1)完成频率分布表.
分组 频数 频率
[41,51)
[51,61)
[61,71)
[71,81)
[81,91)
[91,101)
[101,111]
(2)作出频率分布直方图．
(3)根据国家标准，污染指数在0～50时，空气质量状况为优；污染指数在51～100时，空气质量状况为良；污染指数在101～150时，空气质量状况为轻微污染；污染指数在151～200时，空气质量状况为轻度污染．
请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价．
第九章 统计
(考查范围：第九章　时间：120分钟　分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．A　解析：因为从含有N个个体的总体中通过简单随机抽样抽取一个容量为30的样本时，每个个体被抽到的可能性为，所以＝0.25，得N＝120.故选A.
2．B　解析：将这组数据按从小到大的顺序排列为87,89,90,91,92,93,94,96.又8×25%＝2，所以这组数据的第25百分位数为＝89.5，
平均数为＝91.5.
故选B.
3．A　解析：组数＝＝＝10，故样本数据的组数为10.故选A.
4．C　解析：图1的频率分布直方图是对称的，所以平均数＝中位数＝众数，故A正确；
图2中众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B正确，C错误；
图3左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确．
故选C.
5．C　解析：学校高三年级男生共有N1个，所占比例为，女生N2个，所占比例为，
故该校高三年级全体学生年龄的方差为S2＝[S＋(1－)2]＋[S＋(x2－)2]，
当1＝2时，＝1＝2，S2＝S＋S.故选C.
6．D　解析：根据题中的频率分布直方图可知，三等品的频率为(0.012 5＋0.025 0＋0.012 5)×5＝0.25，因此该样本中三等品的件数为200×0.25＝50.故选D.
7．D　解析：由题图可得各月的最低气温都在0 ℃以上，故A正确；7月的温差高于5 ℃，而1月的温差低于5 ℃，故B正确；3月和11月的最高气温都在10 ℃左右，基本相同，故C正确；最高气温不低于20 ℃的月份为6、7、8月，有3个，故D错误．
8．B　解析：设更正前的成绩依次为a1，a2，…，an，n∈N*，不妨取a1＝60，a2＝90，
则a1＋a2＋…＋an＝70n，即60＋90＋a3＋…＋an＝70n，
(a1－70)2＋(a2－70)2＋…＋(an－70)2＝ns2，
即102＋202＋(a3－70)2＋…＋(an－70)2＝ns2.
更正后平均分为＝＝70，
所以方差为s＝[(80－70)2＋(70－70)2＋(a3－70)2＋…＋(an－70)2]
＝[102＋(a3－70)2＋…＋(an－70)2]＝[ns2－400]＝s2－故更正后的标准差s1二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．ABD　解析：由于各年级的年龄段不一样，因此应采用分层随机抽样法．抽样比例为＝，因此高一年级1 000人中应抽取100人，高二年级1 350人中应抽取135人，甲、乙被抽到的可能性都是，因此只有C不正确．故选ABD.
10．ABC　解析：由频率分布直方图可得，成绩在[70,80)内的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；由频率分布直方图可得，成绩在[40,60)的频率为0.25，因此，不及格的人数为4 000×0.25＝1 000，故B正确；由频率分布直方图可得，平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5，故C正确；因为成绩在[40,70)内的频率为0.45，[70,80)的频率为0.3，所以中位数为70＋10×≈71.67，故D错误．故选ABC.
11．BD　解析：对于A，设x2，x3，x4，x5的平均数为m，x1，x2，…，x6的平均数为n，
则n－m＝－＝，
因为没有确定2(x1＋x6)与x2＋x3＋x4＋x5的大小关系，所以无法判断m，n的大小，故A错误；
对于B，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，
可知x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数，均为，故B正确；
对于C，因为x1是最小值，x6是最大值，
所以x2，x3，x4，x5的波动性不大于x1，x2，…，x6的波动性，即x2，x3，x4，x5的标准差不大于x1，x2，…，x6的标准差，故C错误；
对于D，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，
则x6－x1≥x5－x2，当且仅当x1＝x2，x5＝x6时，等号成立，故D正确．
故选BD.
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.
55．6　解析：A样本数据为43,50,45,55,60，
所以B样本数据为48,55,50,60,65，
所以B样本数据的均值为×(48＋55＋50＋60＋65)＝55.6.
据此，可以估计乙工厂生产的该产品的总体均值为55.6.
13.
18　76.67　解析：由题图可知，成绩在[70,80)的频率为1－(0.005＋0.010＋0.015×2＋0.025)×10＝0.3，所以成绩在[70,80)的人数为60×0.3＝18.因为成绩在[40,70)的频率为(0.010＋0.015×2)×10＝0.4，在[40,80)的频率为0.4＋0.3＝0.7>0.6，所以本次考试成绩的第60百分位数在[70,80)中，所以第60百分位数为70＋10×≈76.67.
14.
②③　解析：不能确定甲、乙两校的男女比例，故①不正确；
因为甲、乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，所以甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率，故②正确；
因为不能确定甲、乙两校的男女比例，所以不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系，故③正确．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
解：(1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．
(2)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分．其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人．从这一角度看，甲组的成绩较好．
(3)从成绩统计表看，甲组成绩大于或等于90分的有20人，乙组成绩大于或等于90分的有24人，所以乙组成绩集中在高分段的人数多．同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人．从这一角度看，乙组的成绩较好．
16.
解：(1)根据题意，读出的编号依次是512,916(超界)，935(超界)，805,770,951(超界)，512(重复)，687,858,554,876,647,547,332.
将有效的编号从小到大排列，得332,512,547,554,647,687,770,805,858,876，所以样本编号的中位数为×(647＋687)＝667.
(2)由题意得样本平均数为＝×7＋×8＝7.2，
样本方差为s2＝×[4＋(7－7.2)2]＋×[1＋(8－7.2)2]＝3.56.
所以估计该校900名考生选做题得分的平均数为7.2，方差为3.56.
17.
解：(1)因为(0.005×3＋2a＋0.03＋0.015)×(35－25)＝1，
所以a＝0.02.
(2)每日人均业务量的平均值为(30×0.005＋40×0.005＋50×0.02＋60×0.03＋70×0.02＋80×0.015＋90×0.005)×10＝62，
方案(1)人均日收入为100＋62×2＝224元，
方案(2)人均日收入为200＋(62－50)×4＝248元．
因为248元>224元，
所以选择方案(2)．
(3)因为40÷400＝0.1，所以该销售员的收入超过了90%的公司销售人员．
由频率分布直方表可知，
前5组的频率和为(0.005×2＋0.02＋0.03＋0.02)×10＝0.8，
前6组的频率和为(0.005×2＋0.02＋0.03＋0.02＋0.015)×10＝0.95.
因为0.8<0.9<0.95，设该销售员的每日的平均业务量为x，
则(x－75)×0.015＋0.8>0.9，
所以x>81.7.又因为x∈N*，
所以x最小取82.
故他每日的平均业务量至少应达82单．
18.
解：(1)由题意得(0.005＋0.015＋0.02＋0.035＋t)×10＝1，解得t＝0.025.
则各个小组的频率分别为0.15,0.2,0.35,0.25,0.05.
估计该工厂生产的零件质量的平均数约为500×0.15＋510×0.2＋520×0.35＋530×0.25＋540×0.05＝518.5.
(2)设80%分位数为x，
因为前三组频率和为0.7，前四组频率和为0.95，所以x∈[525,535)，
所以0.7＋(x－525)×0.025＝0.8，解得x＝529，
即该工厂生产的零件质量的80%分位数为529.
19.
解：(1)频率分布表：
分组 频数 频率
[41,51) 2
[51,61) 1
[61,71) 4
[71,81) 6
[81,91) 10
[91,101) 5
[101,111] 2
(2)频率分布直方图如图所示．
(3)答对下述两条中的一条即可：
①该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的；有26天处于良的水平，占当月天数的；处于优或良的天数为28，占当月天数的.说明该市空气质量基本良好．
②轻微污染有2天，占当月天数的；污染指数在80以上的接近轻微污染的天数为15，加上处于轻微污染的天数，共17天，占当月天数的，超过50%.说明该市空气质量有待进一步改善．
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