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第十章 概率
(考查范围：第十章　时间：120分钟　分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列说法正确的是(　　)
①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度；
②在同一次试验中，每个试验结果出现的频数之和等于试验的样本总数；
③在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1；
④概率就是频率．
A．①③ B．①②④
C．①② D．③④
2．抽查10件产品，设“至少抽到2件次品”为事件A，则A的对立事件是(　　)
A．至多抽到2件次品 B．至多抽到2件正品
C．至少抽到2件正品 D．至多抽到1件次品
3．质地均匀的骰子六个面上分别刻有1到6的点数，掷两次骰子，得到向上一面的两个点数，则下列事件中，发生可能性最大的是(　　)
A．点数都是偶数 B．点数的和是奇数
C．点数的和小于13 D．点数的和小于2
4．某次抽奖活动共设置一等奖、二等奖两类奖项．已知中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.1，那么本次活动中，中奖的概率为(　　)
A．0.1 B．0.2
C．0.3 D．0.7
5．如图，a，b，c，d是四个处于断开状态的开关，任意将其中两个闭合，则电路被接通的概率为(　　)
A．1 B．
C． D．0
6．A地的天气预报显示，A地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为30%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生0～9之间整数值的随机数，并用0,1,2,3,4,5,6表示没有强浓雾，用7,8,9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：
402　978　191　925　273　842　812　479　
569　683　231　357　394　027　506　588　
730　113　537　779
则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为(　　)
A. B．
C． D．
7．从甲袋中摸出1个白球的概率为，从乙袋内摸出1个白球的概率为，从两个袋内各摸1个球，那么概率为的事件是(　　)
A．2个球都是白球
B．2个球都不是白球
C．2个球不都是白球
D．2个球恰好有1个白球
8．为了普及党史知识，某校举行了党史知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q(p>q)，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为，则甲、乙两人共答对至少3道题的概率是(　　)
A. B．
C． D．
二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票，六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票．每人能在甲、乙两箱中各抽一次，用A表示在甲抽奖箱中中奖的事件，B表示在乙抽奖箱中中奖的事件，C表示两次抽奖均未中奖的事件．下列结论中正确的是(　　)
A．P(C)＝
B．事件A与事件B相互独立
C．P(AB)与P(C)的和为0.54
D．事件A与事件B互斥
10．某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.
顾客人数 甲 乙 丙 丁
100 √ × √ √
217 × √ × √
200 √ √ √ ×
300 √ × √ ×
85 √ × × ×
98 × √ × ×
根据表中数据，下列结论正确的是(　　)
A．顾客购买乙商品的概率最大
B．顾客同时购买乙和丙的概率约为0.2
C．顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率约为0.3
D．顾客仅购买1种商品的概率不大于0.2
11．某次智力竞赛的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得10分，部分选对的得5分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是(　　)
A．甲同学仅随机选一个选项，能得5分的概率是
B．乙同学仅随机选两个选项，能得10分的概率是
C．丙同学随机选择选项，能得分的概率是
D．丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在不超过11的素数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率是________.
13.若事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且P(A)＝2P(B)，则P()＝________.
14.将一个各个面上均涂有红漆的正方体锯成27个大小相同的小正方体，从这些小正方体中任取一个，恰有2面涂有红漆的概率是________，至少有2面涂红漆的概率是________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)对一批衬衣进行抽样检查，结果如下表：
抽取件数n 50 100 200 500 600 700 800
次品件数m 0 2 12 27 27 35 40
次品率
(1)求次品出现的频率；
(2)记“任取一件衬衣是次品”为事件A，求P(A)；
(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1 000件衬衣，至少需进货多少件？
16.(15分)从某校高三年级所有女生中，随机抽取n名，其体重(单位：kg)的频数分布表如下：
分组(体重) [40,45) [45,50) [50,55) [55,60]
频数/人 10 50 x 15
已知从n名女生中随机抽取一名，抽到体重在[50,55)的女生的概率为.
(1)求出n，x的值；
(2)用分层随机抽样的方法从体重在[40,45)和[55,60]的女生中共抽取5名，再从这5名女生中任选2名，求体重在[40,45)和[55,60]中的女生各有1名的概率．
17.(15分)甲、乙两队进行篮球比赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场时，该队获胜，比赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.8，客场取胜的概率为0.4，且各场比赛结果相互独立．
(1)求前2场比赛，甲至少赢得一场的概率；
(2)当双方总比分为2∶2时，求甲获胜的概率．
18.(17分)某中学作为蓝色海洋教育特色学校，随机抽取100名学生，进行一次海洋知识测试，按测试成绩(假设测试成绩(单位：分)均在[65,90]内)分组如下：第一组[65,70)，第二组[70,75)，第三组[75,80)，第四组[80,85)，第五组[85,90]．统计各组数据后，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求测试成绩在[80,85)内的频率；
(2)从第三、四、五组学生中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取6名学生组成海洋知识宣讲小组，定期在校内进行义务宣讲，并在这6名学生中随机选取2名参加市组织的蓝色海洋教育义务宣讲队，求第四组至少有1名学生被抽中的概率．
19.(17分)在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校举办了“强国有我，挑战答题”的知识竞赛活动，已知甲、乙两队参加，每队3人，每人回答且仅回答一个问题，答对者为本队赢得1分，答错得0分．假设甲队中3人答对的概率分别为，，，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答问题正确与否互不影响．
(1)分别求甲队总得分为1分和2分的概率；
(2)求活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率．
第十章 概率
(考查范围：第十章　时间：120分钟　分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 C　解析：由频率、频数、概率的定义易知①②正确．
2．D　解析：抽查10件产品，设“至少抽到2件次品”为事件A，所以为“至多抽到1件次品”．故选D.
3．C　解析：质地均匀的骰子六个面上分别刻有1到6的点数，掷两次骰子，得到向上一面的两个点数，
样本点总数n＝6×6＝36，
“点数都是偶数”包含的样本点有：(2,2)，(2,4)，(2,6)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，共9个，所以“点数都是偶数”的概率为＝；“点数的和是奇数”包含的样本点有18个，分别为(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,3)，(6,5)，所以“点数的和是奇数”的概率为＝；
“点数和小于13”是必然事件，概率为1；
“点数和小于2”是不可能事件，概率为0.
故选C.
4．B　解析：由于中一等奖，中二等奖为互斥事件，
故中奖的概率为0.1＋0.1＝0.2.故选B.
5．B　解析：四个开关任意闭合两个，有ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6个样本点，电路被接通的条件是：①开关d必须闭合，②开关a，b，c中有一个闭合，即电路被接通有ad，bd和cd，共3个样本点，所以所求概率是＝.故选B.
6．D　解析：由题意知，在20组随机数中表示三天中至少有两天有强浓雾的有978,479,588,779，共4组，故所求概率近似为＝.故选D.
7．C　解析：从甲袋内摸出白球与从乙袋内摸出白球两事件相互独立，故2个球都是白球的概率为P1＝×＝，所以2个球不都是白球的概率为P＝1－P1＝.故选C.
8．C　解析：由题意得又p>q，解得
设Ai＝“甲同学答对了i题”，Bi＝“乙同学答对了i题”(i＝0,1,2)，
则P(A1)＝×＋×＝，P(A2)＝×＝，P(B1)＝×＋×＝，P(B2)＝×＝.
甲、乙两人共答对至少3道题的事件C＝A1B2＋A2B1＋A2B2，
因此P(C)＝P(A1B2)＋P(A2B1)＋P(A2B2)＝×＋×＋×＝，
所以甲、乙两人共答对至少3道题的概率是.故选C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．ABC　解析：由题意知，P(A)＝＝，P(B)＝，
对于A，P(C)＝＝，故A正确；
对于B，在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件A和事件B相互独立，故B正确；
对于C，由B可知P(AB)＝P(A)P(B)＝，所以P(AB)＋P(C)＝＝0.54，故C正确；
对于D，事件A与事件B相互独立而非互斥，故D错误．故选ABC.
10．BCD　解析：对于A，由于购买甲商品的顾客有685位，购买乙商品的顾客有515位，故A错误；
对于B，因为从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2，故B正确；
对于C，因为从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时买了甲、丙、丁，有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率约为＝0.3，故C正确；
对于D，因为从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有183位顾客仅购买1种商品，所以顾客仅购买1种商品的概率可以估计为0.183<0.2，故D正确．故选BCD.
11．ABC　解析：当至少选择一个选项，所有等可能的选择情况有15种，分别为A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD.
甲同学仅随机选一个选项有4种情况，能得5分的2种情况为C，D，则能得5分的概率是＝，故A正确；
乙同学仅随机选两个选项有6种情况，能得10分的1种情况为CD，则能得10分的概率，故B正确；
丙同学随机选择选项有15种情况，能得分的3种情况为C，D，CD，则能得分的概率是＝，故C正确；
丁同学随机至少选择两个选项有11种情况，能得分的1种情况为CD，则能得分的概率是，故D错误．故选ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 　解析：因为不超过11的素数有2,3,5,7,11五个数，从中选取两个不同的数的样本点有(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,11)，(3,5)，(3,7)，(3,11)，(5,7)，(5,11)，(7,11)，共10个，
其中和为偶数的样本点有(3,5)，(3,7)，(3,11)，(5,7)，(5,11)，(7,11)，共6个，
所以和为偶数的概率是＝.
13. 　解析：由题意知P(A∪B)＝1－＝，
即P(A)＋P(B)＝.
又因为P(A)＝2P(B)，联立方程组解得P(A)＝，P(B)＝，
所以P()＝1－P(A)＝.
14.
　　解析：在27个小正方体中，有8个(8个顶点上)3面涂红漆；12个(在12条棱上，每条棱上1个)2面涂红漆；6个(在6个面上，每个面上1个)1面涂红漆；1个(中心)各面都不涂漆．故任取一个小正方体恰有2面涂红漆的概率为＝，至少有2面涂有红漆的概率为＝.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
解：(1)次品率依次为0,0.02,0.06,0.054,0.045，0.05，0.05.
(2)当n充分大时，出现次品的频率在0.05附近摆动，故P(A)≈0.05.
(3)设进货衬衣x件，为保证1 000件衬衣为正品，则(1－0.05)x≥1 000，得x≥1 052.6.又x为整数，则x≥1 053，
所以至少需进货1 053件衬衣．
16.
解：(1)由题意可得
解得
(2)若采用分层随机抽样的方法从体重在[40,45)和[55,60]的女生中共抽取5名，则体重在[40,45)的人数为×5＝2，记为A，B；在[55,60]的人数为×5＝3，记为a，b，c.
从抽出的5名女生中任选2名，有(A，a)，(A，b)，(A，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(A，B)，共10种情况，
其中符合体重在[40,45)和[55,60]中的女生各有1名的情况有(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，共6种．
设事件A表示“从这5名女生中任选2名，体重在[40,45)和[55,60]中的女生各有1名”，
则P(A)＝＝，
所以从这5名女生中任选2名，体重在[40,45)和[55,60]中的女生各有1名的概率为.
17.
解：(1)设“前2场比赛，甲至少赢一场”为事件A，
P(A)＝0.8×0.8＋0.8×(1－0.8)×2＝0.96，
或者P(A)＝1－(1－0.8)×(1－0.8)＝0.96.
(2)设“当双方总比分为2∶2时，甲获胜”为事件B，
甲获胜的比分可以是4∶2或者4∶3.
若是4∶2，第五场和第六场，甲连赢两场，则甲获胜概率为0.8×0.4＝0.32；
若是4∶3，第五场和第六场，甲、乙各赢一场，第七场甲赢，
则甲获胜概率为0.8×0.6×0.8＋0.2×0.4×0.8＝0.448.
所以，当双方总比分为2∶2时，甲获胜的概率P(B)＝0.32＋0.448＝0.768.
18.
解：(1)测试成绩在[80,85)内的频率为1－(0.01＋0.07＋0.06＋0.02)×5＝0.2.
(2)第三组的人数为0.06×5×100＝30，第四组的人数为0.2×100＝20，第五组的人数为0.02×5×100＝10，所以第三组抽取3人，第四组抽取2人，第五组抽取1人．
设第三组抽到的3人为A1，A2，A3，第四组抽到的2人为B1，B2，第五组抽到的1人为C.
从6名学生中随机选取2名学生的所有可能结果有15种，分别是(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)，这15种结果出现的可能性相等．
设“第四组2名学生中至少有1名学生被抽中”为事件M，则事件M包含的样本点有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)，共9个，
所以第四组至少有1名学生被抽中的概率P(M)＝＝.
19.
解：(1)由题意，记“甲队总得分为1分”为事件A，“甲队总得分为2分”为事件B，
则P(A)＝××＋××＋××＝，
P(B)＝××＋××＋××＝，
所以甲队总得分为1分的概率为，2分的概率为.
(2)由题意得，甲队总得分为0分的概率为××＝，
得1分的概率为，得2分的概率为，得3分的概率为××＝；
乙队总得分为0分的概率为3＝，得1分的概率为×2×3＝，
得2分的概率为2××3＝，得3分的概率为3＝.
所以活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率P＝×＋×＋×＝.
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