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第八章 成对数据的统计分析
(范围：第八章　时间：120分钟　分值：150分)
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．
1．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则下列说法不正确的是(　　)
A．用决定系数R2来刻画拟合效果，R2的值越小，说明模型的拟合效果越好
B．由样本数据得到的经验回归直线＝x＋必过样本点的中心(，)
C．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
D．若变量y和x之间的样本相关系数r＝－0.936 2，则变量y与x之间具有较强的线性相关关系
2．已知呈现线性相关关系的变量x，y之间的一组数据如下表所示，则y关于x的经验回归直线一定过点(　　)
x 0.1 0.2 0.3 0.5
y 2.11 2.85 4.08 10.15
A．(0.1,2.11) B．(0.2,2.85)
C．(0.3,4.08) D．(0.275，4.797 5)
3．小明利用课余时间参与科学探究活动——观察蒜苗的生长，下表记录了大蒜发芽后第4天至第8天的蒜苗高度．若用最小二乘法求得蒜苗高度y(单位：cm)关于时间x(单位：天)的经验回归方程为＝x－4.4，小明根据经验回归方程预测，从第n天开始蒜苗高度大于20 cm，则n的值为(　　)
时间x/天 4 5 6 7 8
蒜苗高度y/cm 1 2.4 4.6 5.6 6.4
A．15 B．16
C．17 D．18
4．若y关于x经验回归方程为＝2－3.5x，则变量x增加1个单位，变量y平均(　　)
A．减少3.5个单位 B．增加2个单位
C．增加3.5个单位 D．减少2个单位
5．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：
月份x 1 2 3 4
用水量y 4.5 4 3 2.5
已知用水量y与月份x之间有较强的线性相关关系，其经验回归方程是＝－0.7x＋，则等于(　　)
A．10.5 B．5.15
C．5.2 D．5.25
6．针对中学生追星问题，某校团委对“中学生性别和中学生追星是否有关”做了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的.若依据小概率值α＝0.05的独立性检验，可以认为中学生性别和中学生追星有关，则调查样本中男生至少有(　　)
附：χ2＝.
A．12人 B．11人
C．10人 D．18人
7．某种微生物的繁殖速度y与生长环境中的营养物质浓度x相关，在一定条件下可用模型y＝2lg x进行拟合．在这个条件下，要使y增加2个单位，则应该(　　)
A．使x增加1个单位
B．使x增加2个单位
C．使x增加到原来的2倍
D．使x增加到原来的10倍
8．关于变量x，y，下列说法正确的有(　　)
①若样本相关系数r>0，则x增大时，y也相应增大；
②若样本相关系数r<0，则x增大时，y也相应增大；
③若样本相关系数r＝1或－1，则x与y的关系完全对应(函数关系)，散点图中的各点均在一条直线上．
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知在最小二乘法原理下，求得y关于x的经验回归方程为＝－0.7x＋10.3，且变量x，y之间的相关数据如表所示，则下列说法错误的是(　　)
x 6 8 10 12
y 6 m 3 2
A．变量x，y之间呈正相关关系
B．可以预测，当x＝20时，＝3.7
C．m＝4.7
D．经验回归直线＝－0.7x＋10.3必过点(9,4)
10．下图是某小区2023年8月至2024年8月间，当月在售二手房均价(单位：万元/m2)的散点图．(图中月份代码1～13分别对应2023年8月～2024年8月)
根据散点图选择y＝a＋b和y＝c＋dln x两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个经验回归方程分别为＝0.936 9＋0.028 5和＝0.955 4＋0.030 6ln x，并得到统计量R2的值：
经验回归方程 ＝0.936 9＋0.028 5 ＝0.955 4＋0.030 6ln x
R2 0.923 0.973
则下列说法正确的是(　　)
A．当月在售二手房均价y与月份代码x呈负相关关系
B．由＝0.936 9＋0.028 5预测2027年8月在售二手房均价约为1.136 4万元/m2
C．曲线＝0.936 9＋0.028 5与＝0.955 4＋0.030 6ln x都经过点(，)
D．模型＝0.955 4＋0.030 6ln x的拟合效果比模型＝0.936 9＋0.028 5的拟合效果好
11．某市通过随机询问100名居民能否做到“光盘”行动，得到如下的2×2列联表，并进行独立性检验，则(　　)
单位：名
性别 光盘 合计
不能做到 能做到
男 45 b 55
女 c 15
合计 100
A．c＝30
B．零假设为H0：能否做到“光盘”行动与性别有关
C．χ2>3.841
D．依据小概率值α＝0.1的独立性检验，可以认为该市居民能否做到“光盘”行动与性别有关
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.对于经验回归方程＝x＋，当x＝3时，对应的y的估计值是17，当x＝8时，对应的y的估计值是22，那么，该经验回归方程为____________；根据经验回归方程，当x＝________时，y的估计值是38.
13.某旅行社为调查市民对人文景观的态度（喜欢或不喜欢）是否与年龄有关，随机调查了55名市民，所得数据如下表所示．
单位：名
年龄 态度 合计
喜欢 不喜欢
大于40岁 20 5 25
20岁至40岁 10 20 30
合计 30 25 55
根据小概率值α＝0.005的独立性检验，________推断出市民对人文景观的态度与年龄有关．(填“能”或“不能”)
14.对于数据组(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，如果由经验回归方程得到的对应自变量xi的估计值是i，那么将yi－i称为对应点(xi，yi)的残差．某商场为了给一种新商品进行合理定价，将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到如下所示数据.
单价x/元 8.2 8.4 8.6 8.8
销量y/件 84 83 78 m
根据表中的数据，得到销量y(单位：件)与单价x(单位：元)之间的经验回归方程为＝－20x＋，据计算，样本点(8.4,83)处的残差为1，则m＝__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)偏差是指个别测定值与测定的平均值之差．在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科平均分的差叫某科偏差(实际成绩－平均分＝偏差)．在某次考试成绩统计中，某老师为了对学生数学偏差x(单位：分)与物理偏差y(单位：分)之间的关系进行分析，随机挑选了8位同学，得到他们的两科成绩偏差数据如下表所示.
学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8
数学偏差x 20 15 13 3 2 －5 －10 －18
物理偏差y 6.5 3.5 3.5 1.5 0.5 －0.5 －2.5 －3.5
(1)若x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的经验回归方程；
(2)若该次考试数学平均分为120分，物理平均分为91.5分，试由(1)的结论预测数学成绩为128分的同学的物理成绩．
附：iyi＝324，＝1 256，
经验回归方程＝x＋中，＝，＝－.
16.(15分)长跑对于培养人们克服困难、磨炼刻苦耐劳的顽强意志具有良好的作用，特别是对那些冬季怕冷、爱睡懒觉、不愿锻炼的人起到积极的促进作用．某校开展冬季长跑活动，为了解学生对冬季长跑活动是否感兴趣与性别是否有关，某调查小组随机抽取该校100名学生进行问卷调查，根据所得数据制成如下2×2列联表：
单位：人
性别 冬季长跑活动 合计
感兴趣 不感兴趣
男 8
女 32
合计 80 100
(1)完成上面的2×2列联表，依据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为学生对冬季长跑活动是否感兴趣与性别有关联？
(2)若不感兴趣的男生中恰有3名高三学生，现从不感兴趣的男生中随机选出3名学生进行二次调查，记选出的学生中高三学生的人数为X，求X的分布列与数学期望．
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
17.(15分)某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
单位：件
车间 品级 合计
优级品 合格品 不合格品
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
合计 96 52 2 150
填写如下列联表：
单位：件
车间 品级
优级品 非优级品
甲车间
乙车间
依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果>p＋1.65，那么认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？(≈12.247)
附：χ2＝.
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
18.(17分)某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间的关系的课题研究，得到相应的试验数据：
步频x/s 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32
步长y/cm 90 95 99 103 117
(1)根据表中数据，得到步频和步长近似为线性相关关系，求出y关于x的经验回归方程，并利用经验回归方程预测，当步长为80 cm时，步频约是多少？
(2)记i＝yi－i＝yi－xi－，其中yi为观测值，i为预测值，i为对应(xi，yi)的残差，求(1)中步长的残差的和，并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
参考数据：＝0.451，iyi＝151.82.
参考公式：＝，＝－.
19.(17分)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层随机抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄分为“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2名，求至少抽到1名“25周岁以下组”工人的概率；
(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件列出2×2列联表，并依据小概率值α＝0.1的独立性检验，分析“生产能手与工人所在的年龄组”是否有关．
第八章 成对数据的统计分析
(范围：第八章　时间：120分钟　分值：150分)
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．
1．A　解析：对于A，用决定系数R2来刻画拟合效果，R2的值越接近1，说明模型的拟合效果越好，错误．对于B，由样本数据得到的经验回归直线＝x＋必过样本点的中心(，)，正确．对于C，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，正确．对于D，越接近1，变量y与x之间的线性相关程度越强，正确．故选A.
2．D　解析：经验回归直线一定过点(，)，通过题表中的数据计算得＝0.275，＝4.797 5，易知选D.
3．D　解析：由题表中数据得＝6，＝4，代入方程＝－4.4，解得＝1.4，
则经验回归方程为＝1.4x－4.4.
令1.4x－4.4＞20，解得x＞17.4.因为x∈N*，所以x≥18.
故选D.
4．A　解析：由经验回归方程可知＝－3.5，则变量x增加1个单位，变量y平均减少3.5个单位．
5．D　解析：因为＝＝2.5，＝＝3.5，所以3.5＝－0.7×2.5＋，解得＝5.25.
6．A　解析：设男生人数为x，依题意可得如下2×2列联表：
单位：人
性别 追星 合计
是 否
男 x
女
合计 x
若依据小概率值α＝0.05的独立性检验，可以认为中学生性别和中学生追星有关，则χ2≥3.841.由χ2＝＝x≥3.841及，为整数，可知x最小可取12，所以男生至少有12人．故选A.
7．D　解析：设y的增加量为Δy＝y1－y2，x的增加量为Δx＝x1－x2，
故可得Δy＝2lg x1－2lg x2＝2lg＝2，解得＝10.
故要使得y增加2个单位，x应增加到原来的10倍．故选D.
8．C　解析：若r>0，则两个变量正相关，x增大时，y也相应增大，故①正确．若r<0，则两个变量负相关，x增大时，y相应减小，故②错误．|r|越接近1，表示两个变量相关性越高，|r|＝1表示两个变量有确定的关系(即函数关系)，故③正确.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．ABC　解析：对于A，由x与y的经验回归方程，可知＝－0.7<0，
所以变量x，y之间呈负相关关系，故A错误；
对于B，当x＝20时，＝－0.7×20＋10.3＝－3.7，故B错误；
对于C，由题表中数据可知＝9，＝＝，由点(，)必在经验回归直线上，得＝－0.7×9＋10.3，解得m＝5，故C错误；
对于D，因为m＝5，所以＝＝4，所以经验回归直线必过点(9,4)，故D正确．故选ABC.
10．BD　解析：对于A，由题图可知散点从左下到右上分布，所以当月在售二手房均价y与月份代码x呈正相关关系，故A不正确；对于B，令x＝49，得＝0.936 9＋0.028 5×＝1.136 4，所以可以预测2027年8月在售二手房均价约为1.136 4万元/m2，故B正确；对于C，非线性回归曲线不一定经过点(，)，故C错误；对于D，R2越大，模型拟合效果越好，0.923＜0.973，故D正确．
11．AD　解析：由题可得a＝45，b＝10，c＝30，d＝15，则a＋b＝55，c＋d＝45，a＋c＝75，b＋d＝25，ad＝675，bc＝300，n＝100.
零假设为H0：能否做到“光盘”行动与性别无关．
计算可得χ2＝≈3.030.
因为x0.1＝2.706＜3.030，
所以依据小概率α＝0.1的独立性检验，可以认为该市居民能否做到“光盘”行动与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.1.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. ＝x＋14　24　解析：把(3,17)，(8,22)代入经验回归方程得解得
所以经验回归方程为＝x＋14.
令x＋14＝38，得x＝24.
13. 能　解析：零假设为H0：市民对人文景观的态度与年龄无关．由题表中数据计算可得χ2＝≈11.978>7.879＝x0.005，根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为市民对人文景观的态度有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.
14. 75　解析：根据样本点(8.4,83)处的残差为1，得83－(－20×8.4＋)＝1，得＝250，
所以＝－20x＋250.
＝＝8.5，＝＝，由＝－20＋250，得m＝75.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
解：(1)由题意可得，
＝×[20＋15＋13＋3＋2＋(－5)＋(－10)＋(－18)]＝，
＝×[6.5＋3.5＋3.5＋1.5＋0.5＋(－0.5)＋(－2.5)＋(－3.5)]＝，
＝＝＝，
所以＝－ ＝－×＝.
故经验回归方程为＝x＋.
(2)由题意，设该同学的物理成绩为ω，则物理偏差为ω－91.5.
而数学偏差为128－120＝8，所以ω－91.5＝×8＋，解得ω＝94.
所以，可以预测这位同学的物理成绩为94分.
16.
解：(1)根据已知数据可补全2×2列联表如下：
单位：人
性别 冬季长跑活动 合计
感兴趣 不感兴趣
男 48 8 56
女 32 12 44
合计 80 20 100
零假设为H0：学生对冬季长跑活动是否感兴趣与性别无关．
由表中数据计算得χ2＝≈2.597<2.706＝x0.1，
所以依据小概率值α＝0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即可以认为学生对“冬季长跑活动”是否感兴趣与性别无关．
(2)由题知X的所有可能取值为0,1,2,3，
因为P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
17.解：(1)根据题意可得2×2列联表：
单位：件
车间 品级
优级品 非优级品
甲车间 26 24
乙车间 70 30
零假设为H0：甲、乙两车间产品的优级品率无差异．
可得χ2＝＝4.687 5.
因为x0.05＝3.841<4.687 5<6.635＝x0.01，
所以依据小概率值α＝0.05的独立性检验，推断H0不成立，即可以认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，此推断犯错误的概率不超过0.05.依据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为甲、乙两车间产品的优级品率无差异．
(2)由题意可知，生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为＝0.64，
用频率估计概率可得＝0.64.
又因为升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5，
则p＋1.65＝0.5＋1.65×≈0.5＋1.65×≈0.567，
可知>p＋1.65，
所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.
18.
解：(1)＝i＝0.3，＝i＝100.8，
＝＝620，＝100.8－620×0.3＝－85.2，
所以经验回归方程为＝620x－85.2.
将y＝80代入得80＝620x－85.2，解得x≈0.27，所以当步长为80 cm时，步频约是0.27 s.
(2)由(1)可知1＝620×0.28－85.2＝88.4，1＝90－88.4＝1.6；
2＝620×0.29－85.2＝94.6，2＝95－94.6＝0.4；
3＝620×0.30－85.2＝100.8，3＝99－100.8＝－1.8；
4＝620×0.31－85.2＝107，4＝103－107＝－4；
5＝620×0.32－85.2＝113.2，5＝117－113.2＝3.8，
所以i＝1.6＋0.4－1.8－4＋3.8＝0，即步长残差和为0.
对任意具有线性相关关系的两个变量都成立，证明如下：
i＝(yi－i)＝(yi－xi－)＝i－i－n＝n－n－n(－)＝0.
19.
解：(1)由已知得，样本中有“25周岁以上(含25周岁)”组工人60名，“25周岁以下”组工人40名，
所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，
“25周岁以上(含25周岁)”组工人有60×0.05＝3名，
记为A1，A2，A3；
“25周岁以下”组工人有40×0.05＝2名，
记为B1，B2.
从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种：
(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．
其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．
故所求的概率p＝.
(2)由题图可知，在抽取的100名工人中，
“25周岁以上(含25周岁)”组中的生产能手有60×(0.2＋0.05)＝15名，
“25周岁以下”组中的生产能手有40×(0.325＋0.05)＝15名．
据此可得2×2列联表如下：
单位：名
年龄组 生产能手情况 合计
生产能手 非生产能手
25周岁以上(含25周岁)组 15 45 60
25周岁以下组 15 25 40
合计 30 70 100
零假设为H0：生产能手与工人所在的年龄组无关．
由表中数据得χ2＝＝≈1.79＜2.706＝x0.1.
依据小概率值α＝0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即生产能手与工人所在的年龄组无关．
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