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北京市密云区2025—2026学年高三数学一模
一 选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数，则在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限
3. 双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
4. 已知，则下列结论不正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
5. 已知数列的前项和为，则（ ）
A. 35 B. 11 C. D.
6. 已知向量，则的最小值为（ ）
A. B. 2 C. -2 D.
7. 为了得到的图象，只需把函数的图象上所有点的（ ）
A. 横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B. 横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）
C. 纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变） D. 纵坐标变为原来的倍（横坐标不变）
8. 已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 任取一个正整数，若它是奇数，就将该数乘3再加1；若它是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”.如取正整数6时，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足：，若，则的所有可能取值的总个数为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
10. 已知直线与相交于点，直线与圆交于两点，且，则的最大值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
二 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 若抛物线：的焦点在直线上，则p等于______.
12. 的二项展开式中，第1项是__________；常数项是__________.
13. 玉琮是一种内圆外方筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称；如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部是棱长为的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为_______.
14. 设，若对任意实数，都有，则满足条件的一组实数的值依次为__________.
15. 已知函数.给出下列四个结论：
①当时，为偶函数；②当时，对任意，都有；
③当时，上单调递减；④存在实数，使得有2个零点.
其中正确结论的序号为__________.
三 解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，在三棱柱中，平面，分别为的中点.
（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.
17. 随着机器人的智能化 精细化发展，市场对其零部件的质量要求不断提高.现有甲 乙两台车床分别加工某种机器人的同一型号的零件.为评估这两台车床加工零件的质量，随机抽取甲 乙两台车床加工的零件各100个，记录零件质量检测结果，并整理得到数据如下表：
等级 优等品 非优等品
甲车床加工的零件数 75 25
乙车床加工的零件数 80 20
假设不同零件质量等级相互独立，用频率估计概率.
（1）分别估计甲 乙两台车床加工的零件是优等品的概率；
（2）从甲车床加工的零件中随机抽取1个，乙车床加工的零件中随机抽取2个.设为这3个零件中优等品的个数，估计的数学期望；
（3）在某一时段内，甲 乙两台车床加工的零件数之比为，现从这些零件中随机抽取1个，设该零件是优等品的概率估计值为，判断与的大小.（结论不要求证明）
18. 在中，.
（1）求；
（2）再从条件① 条件② 条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积.
条件①：；条件②：；条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
19. 已知椭圆，过点，焦距为.
（1）求椭圆的方程和离心率；
（2）设为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于不同两点（，异于椭圆的顶点）.判断光线经过轴反射后是否经过点？说明理由.
20. 已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若4是的极小值点，证明此时的极大值小于零；
（3）若在定义域内单调递增，求实数的取值范围.
21. 已知集合.对于，定义与差为，；定义与之间的距离为.
（1）若，写出所有的，使得；
（2）已知，若，并且，求的最大值；
（3）证明：三个数中至少有一个是偶数.
1. A 2. C 3.D 4.A 5.C 6.D 7.B 8.A
9.B【详解】由，，解得；由，解得；
由，解得或；由，解得或；
由，解得或或；由，解得或或或；由，或或或或或，所以则m所有可能的取值集合为，共6个元素.
10.D【详解】直线：，所以直线过定点；直线：，所以直线过定点.又，所以.所以点的轨迹是以线段为直径的圆.因为的中点为，，所以点的轨迹方程为：.因直线与圆交于两点，且，所以圆心到直线的距离为1，设的中点为，则.
如图：，且,所以，即的最大值为.
11.4 12. ①. ②. 24
13. 【详解】因为圆筒内径长为，所以内圆半径.外径长为，所以外圆半径
上下两段圆筒总高为，加上中部正方体挖去外圆柱后剩余部分:上下外圆柱体积+中部正方体体积 =,空心是贯通整个玉琮的内圆柱，总高为，
所以玉琮的体积为.
14. 2，3，（答案不唯一）【详解】因为，且当时，等式对任意实数都成立，所以，，满足条件需求.故满足条件的一组实数的值依次为：2，3，（答案不唯一）.
15. ①②③【详解】函数的定义域为，对于①，当时，，，为偶函数，①正确；
对于②，当时，，求导得，函数在上单调递减，恒有，②正确；
对于③，当时，，当时，；当 时，，函数在上单调递减，在上单调递减，因此在上单调递减，③正确；
对于④，函数的零点即为方程的根，亦即函数图象与直线交点的横坐标，在同一坐标系内画出函数的图象及直线，如图：
直线过定点，令与函数相切的切点为，由，求导得，则，解得，则当时，函数的图象与直线有1个交点；
当时，直线还过点，函数的图象与直线有1个交点；
当时，直线还过点，函数的图象与直线有1个交点，
因此当时，函数的图象与直线有1个交点；
当时，函数的图象与直线没有交点；
当时，由对称性得函数的图象与直线有1个交点，
所以不存在实数，使得有2个零点，④错误.
16. 【小问1详解】取的中点，连接，因为分别为的中点，所以，
又因为，所以，所以四边形为平行四边形.
所以，因为平面平面，所以平面.
【小问2详解】由题知平面，所以，又因为，所以两两垂直，如图建立空间直角坐标系.所以，则.根据题意平面的一个法向量是，设平面的法向量为，则即，令，则.于是，
设二面角的平面角为，则，由图可知为锐角，所以.
17.（1），； （2）； （3）.
【小问1详解】甲车床：抽取100个零件，优等品有75个，则，
乙车床：抽取100个零件，优等品有80个，则.
【小问2详解】为这3个零件中优等品的个数， 则的可能取值为，
，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取1个非优等品
且乙车床加工的零件中随机抽取2个非优等品，，，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取1个非优等品且乙车床加工的零件中随机抽取1个优等品1个非优等品，或从甲车床加工的零件中随机抽取1个优等品且乙车床加工的零件中随机抽取2个非优等品，，，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取1个非优等品且乙车床加工的零件中随机抽取2个优等品，或甲车床加工的零件中随机抽取1个优等品乙车床加工的零件中随机抽取1个优等品1个非优等品，，，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取1个优等品且乙车床加工的零件中随机抽取2个优等品，，.
【小问3详解】，甲、乙两台车床加工的零件数之比为，现从这些零件中随机抽取1个，设该零件是优等品的概率估计值为，则，
，，.
18. （1） （2）条件①：不存在这样的三角形；条件②：存在这样的三角形，的面积；条件③：存在这样的三角形，的面积.
【小问1详解】，，，，.
【小问2详解】条件①，，，，，不符合题意，不存在这样的三角形；条件②，，，，，
，
，，，，；
条件③，,，其中为的外接圆的半径，
，，，，
，，，，，
，，.
19.（1），（2）光线经过轴反射后经过点
【小问2详解】如图为椭圆的右焦点，，设，，设过点的直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立得，展开并整理得，则即，且，，，光线经过轴反射后经过点.
20. （1） （2）证明过程见解析 （3）
【小问2详解】函数的定义域为，.因为4是的极小值点，所以，即，解得.当时，，，令，则，解得或.当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在处取得极大值，，故此时的极大值小于零.
【小问3详解】因为在定义域内单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立.在上恒成立，也即在上恒成立.又，当且仅当，即时等号成立.所以，即实数的取值范围为.
21.（1） （2） （3）证明过程见解析
【小问1详解】，说明与只有个位置元素不同，全为，因此恰有1个位置为0，其余为，
则所有满足条件的为： ；
【小问2详解】已知，，
，，即和中恰好各有个分量为（其余为）
设的的位置集合为，的0的位置集合为,则，
则，而的最小值为，
因此的最大值为
【小问3详解】证明：对任意位置，讨论三个差的和的奇偶性：
若全相同：三个差都为，和为偶数；
若两个相同一个不同：不妨设，则三个差为，和为，仍是偶数；
所有位置求和得：是偶数；
若三个数全为奇数，总和为奇数，与上述结论矛盾，因此三个数中至少有一个是偶数，得证.

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