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人教版2025-2026学年下学期八年级数学第一次月考试卷
考试范围：第十九章、第二十章；考试时间：120分钟；试卷分值：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（共36分）
1．（本题3分）小明测量4个直角三角形的边长，你认为正确无误的一组数据是（ ）
A．5，3，4 B．8，8，10 C．5，11，12 D．10，15，20
2．（本题3分）下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）如图，用面积分别为1，4和S的三个正方形围成（），则的值为（　　）
A．3 B．5 C．15 D．17
4．（本题3分）与不能合并的是（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）如图，在中，，，，则点C到的距离为（ ）
A． B．5 C．3 D．4
6．（本题3分）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（本题3分）如图，在的正方形网格中标出了和，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．（本题3分）下列根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）如图，已知中，，是斜边上的高，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）如图，在长方形中，，将沿折叠，使点恰好落在对角线上的点处，则的长是（ ）
A． B． C． D．
11．（本题3分）按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（　　）
A． B． C．2 D．
12．（本题3分）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成的图形如图所示，，且点M在线段上．若，则的长为（ ）

A．9 B． C． D．
二、填空题（共16分）
13．（本题4分）要使有意义，则的取值范围为_______．
14．（本题4分）如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则___________ ．
15．（本题4分）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：________．
16．（本题4分）如图，在中，，，，P是边上一动点，过点P作于点Q，连接，则的最小值为______．
三、解答题（共98分）
17．（本题12分）计算题
(1)；
(2)；
(3)．
18．（本题10分）如图，在中，是上一点，连接，，，，．
(1)求证：；
(2)求的长．
19．（本题10分）已知的算术平方根是3，的立方根是．
(1)求的值；
(2)若是的整数部分，求的值．
20．（本题10分）如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，，米，米，米，米．
(1)求、之间的距离；
(2)求这块四边形空地的面积．
21．（本题10分）渭河是黄河的最大支流，流经陕西省关中平原的宝鸡、咸阳、西安、渭南等地．如图，渭河一侧有一村庄，河边原有两个观景台A，B，其中，现建设美丽乡村，决定在渭河边新建一个观景台（点A，D，B在同一条直线上），并新修一条路，测得，，．
(1)通过计算说明，是从村庄到渭河边最短的路线；
(2)求原来的路线的长．
22．（本题10分）在数学课外学习活动中，小明遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的：
，
(1)请你帮助小明接着完成这道题；
(2)请你根据小明的思路，解决如下问题
①________；
②化简．
23．（本题12分）如图，在长方形中，，，将该长方形沿对角线折叠，点的对应点为，交于点．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求的长；
(3)求图中阴影部分的面积．
24.（本题12分）【课本再现】
一般地，如果一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数叫作的算术平方根，记为． 0的算术平方根是0，即，所以被开方数为非负数．
【探究新知】
（1）(4分)若，则的取值范围是____________．
【知识应用】
（2）(4分)若，求的值．
【拓展应用】
（3）(4分)若，求的值．
25．（本题12分）【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则．
(1)【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：与按如图所示位置放置，其中，请你利用图②推导勾股定理．
(2)【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点（在同一直线上），其中，因操场改造，路封闭，学校决定在操场边新建取水点H并修新路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？
(3)【延伸扩展】在问题解决中若时，，米，米，米，求的长度？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页保密★启用前
人教版2025-2026学年下学期八年级数学第一次月考试卷答案解析
考试范围：第十九章、第二十章；考试时间：120分钟；试卷分值：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（共36分）
1．（本题3分）小明测量4个直角三角形的边长，你认为正确无误的一组数据是（ ）
A．5，3，4 B．8，8，10 C．5，11，12 D．10，15，20
【答案】A
【分析】根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可．
【详解】对选项A：最长边为5，，可以构成直角三角形；
对选项B：最长边为10，，不满足；
对选项C：最长边为12，，不满足；
对选项D：最长边为20，，不满足．
2．（本题3分）下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义判断，需同时满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数，满足条件的即为正确选项
【详解】解：A、被开方数，故不是二次根式；
B、 ，可得，且根指数为2，满足二次根式定义，故一定是二次根式；
C、根指数为3，是三次根式，故不是二次根式；
D、当时，被开方数为负数，不满足二次根式定义，故不一定是二次根式．
3．（本题3分）如图，用面积分别为1，4和S的三个正方形围成（），则的值为（　　）
A．3 B．5 C．15 D．17
【答案】B
【分析】根据勾股定理，结合正方形面积与边长的关系求解．
【详解】解：是直角三角形，
，
为面积是的正方形的边长，为面积是的正方形的边长，为面积是的正方形的边长，
，，，
．
4．（本题3分）与不能合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】同类二次根式可以合并，先将各选项化简为最简二次根式，再判断被开方数是否和的被开方数相同，即可得到结果．
【详解】解： 二次根式化为最简后，被开方数相同的同类二次根式可以合并，的被开方数是.
依次对各选项化简判断：
选项A：已是最简，被开方数为，与是同类二次根式，可以合并；
选项B：，最简后被开方数为，与是同类二次根式，可以合并；
选项C：，最简后被开方数为，与不是同类二次根式，不能合并；
选项D：，最简后被开方数为，与是同类二次根式，可以合并．
∴ 不能与合并的是选项C．
5．（本题3分）如图，在中，，，，则点C到的距离为（ ）
A． B．5 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先求出，然后利用算得答案即可．
【详解】解：在中，，，，
那么
，
，
．
故选：A．
6．（本题3分）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式加减、乘方、乘法的运算规则逐一判断选项即可．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，该选项不符合题意；
B、，该选项不符合题意；
C、，符合二次根式的乘方运算规则，该选项符合题意；
D、，该选项不符合题意．
7．（本题3分）如图，在的正方形网格中标出了和，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
连接，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，可得，然后利用平行线的性质可得，，从而利用等量代换可得，即可解答．
【详解】解：如图：连接CE，
由图可得：，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴．
故选：B．
8．（本题3分）下列根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题根据最简二次根式的定义判断各选项即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
【详解】解：∵最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
对选项A：∵ = = ，被开方数含分母，∴不是最简二次根式．
对选项B：∵ = ，被开方数含分母，∴不是最简二次根式．
对选项C：∵的被开方数是3，不含分母，也不含能开得尽方的因数，∴是最简二次根式．
对选项D：∵ = = ，被开方数含能开得尽方的因数4，∴不是最简二次根式．
综上，答案选C．
9．（本题3分）如图，已知中，，是斜边上的高，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是勾股定理，三角形的面积计算，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式列式计算求得，然后再利用勾股定理可知，即可求解．
【详解】解：在中，，
的面积，
即，
解得，，
则
故选：B．
10．（本题3分）如图，在长方形中，，将沿折叠，使点恰好落在对角线上的点处，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，利用勾股定理可以求出，根据折叠的性质可知，设，利用勾股定理可得方程，解方程求出的值，即为的长度，根据线段之间的关系即可求出的长度．
【详解】解：四边形为长方形，
，，
∴，
由折叠可知，，，，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
．
故选：D．
11．（本题3分）按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】先判断，然后利用平方差公式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴输出的值为2．
12．（本题3分）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成的图形如图所示，，且点M在线段上．若，则的长为（ ）

A．9 B． C． D．
【答案】D
【分析】由，，根据勾股定理可得，同理即可求得的长．
【详解】解：由题意得：，
∵，
∴，，
∴，
同理，，
，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，直角三角形的性质，找出图形的变化规律是解决本题的关键．
二、填空题（共16分）
13．（本题4分）要使有意义，则的取值范围为_______．
【答案】
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可.
【详解】解：由题意，，解得.
14．（本题4分）如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则___________ ．
【答案】3
【详解】本题考查的是翻折变换的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
设，根据勾股定理求出的长，根据翻折变换的性质用x表示出，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
解：设，
∵，
∴，
由折叠的性质可知，，
则，
由勾股定理得，，
解得，
∴．
故答案为：3．
15．（本题4分）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：________．
【答案】/
【分析】先根据数轴的定义可得，从而可得，再化简绝对值和二次根式，然后计算整式的加减即可得．
【详解】解：由数轴的定义得：，
则，，
因此
，
．
16．（本题4分）如图，在中，，，，P是边上一动点，过点P作于点Q，连接，则的最小值为______．
【答案】
【分析】作点B关于的对称点，连接，此时有最小值，由轴对称的性质可得，则可推出当点，P，Q三点共线时，有最小值，最小值为的长，由勾股定理求出的长，再由等面积法求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图，作点B关于的对称点，连接，
根据轴对称的性质有，
∴，
∴当点，P，Q三点共线时，有最小值，最小值为的长，
在中，，，，
，，
∵，
，
，
∴的最小值是．
三、解答题（共98分）
17．（本题12分）计算题
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，零指数幂，正确计算是解题的关键：
（1）先进行二次根式的乘法运算，然后化简后合并即可；
（2）根据二次根式的性质、零指数幂的意义和绝对值的意义计算；
（3）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
【详解】（1）解：（1）原式
（2）原式
（3）原式
18．（本题10分）如图，在中，是上一点，连接，，，，．
(1)求证：；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．
（1）根据勾股定理逆定理证明为直角三角形，即可得出；
（2）根据勾股定理求出，即可得出答案．
【详解】（1）证明：，
，
∴为直角三角形，
，
；
（2）解：，
．
19．（本题10分）已知的算术平方根是3，的立方根是．
(1)求的值；
(2)若是的整数部分，求的值．
【答案】(1)17
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、算术平方根、立方根的定义、代数式求值等知识点，熟练掌握算术平方根、立方根的定义是解题的关键．
（1）根据立方根，算术平方根的定义，分别求得m，n的值，然后求解即可；
（2）根据无理数的估算可得到c的值，再代入求值即可．
【详解】（1）解：的算术平方根是3，
．
的立方根是，
，
；
（2）解：，
的整数部分，
．
20．（本题10分）如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，，米，米，米，米．
(1)求、之间的距离；
(2)求这块四边形空地的面积．
【答案】(1)米
(2)种植草皮的面积为96平方米
【分析】本题考查勾股定理实际应用，勾股定理逆定理，三角形面积公式，有理数乘法等．
（1）根据题意连接，继而利用勾股定理列式计算即可得到本题答案；
（2）先利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，继而利用三角形面积公式即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，连接，
，
∵，
∴，
∴米；
（2）解：在中，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴种植草皮的面积为：（平方米），
∴种植草皮的面积为96平方米．
21．（本题10分）渭河是黄河的最大支流，流经陕西省关中平原的宝鸡、咸阳、西安、渭南等地．如图，渭河一侧有一村庄，河边原有两个观景台A，B，其中，现建设美丽乡村，决定在渭河边新建一个观景台（点A，D，B在同一条直线上），并新修一条路，测得，，．
(1)通过计算说明，是从村庄到渭河边最短的路线；
(2)求原来的路线的长．
【答案】(1)见解析
(2)原来的路线的长为
【分析】本题考查了勾股定理逆定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由勾股定理逆定理得出是直角三角形，即，即可得出结果；
（2）设，则在中，，，，最后结合勾股定理计算即可得出结果．
【详解】（1）解：在中，，，，
，，
∴，
是直角三角形，即，
是从村庄到渭河边的最短路线；
（2）解：设，
在中，，，，
由勾股定理，得，即，
解这个方程，得，
∴原来的路线的长为．
22．（本题10分）在数学课外学习活动中，小明遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的：
，
(1)请你帮助小明接着完成这道题；
(2)请你根据小明的思路，解决如下问题
①________；
②化简．
【答案】(1)
(2)①
②
【分析】本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化．
（1）把代数式整理可得：原式，再把代入整理后的代数式计算求值；
（2）①把的分子、分母同时乘以，可得结果为；
②把算式中各部分分别进行分母有理化，可得：原式，再合并同类二次根式即可得到结果．
【详解】（1）解：，
；
（2）解：①解：
；
②解：．
.
23．（本题12分）如图，在长方形中，，，将该长方形沿对角线折叠，点的对应点为，交于点．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求的长；
(3)求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)等腰三角形，理由见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查长方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理的应用以及三角形面积公式的综合运用．
（）根据折叠前后对应角相等，可推导出，因为长方形对边平行，即，可得内错角相等，等量代换，根据等角对等边，即可判断的形状；
（）设，则，在中，因为勾股定理适用于直角三角形三边关系，所以可列出关于的方程求解的长；
（）阴影部分是，根据三角形面积公式为，利用已求的长和的长计算其面积；或者用长方形面积减去空白部分面积得到阴影面积．
【小问1】
解：是等腰三角形．理由如下：
由折叠的性质，知．
四边形是长方形，
，
，
，
，
即是等腰三角形．
【小问2】
解：设，则．
在中，由勾股定理，得，
即，
解得，
即的长为．
【小问3】
解：．
24.（本题12分）【课本再现】
一般地，如果一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数叫作的算术平方根，记为． 0的算术平方根是0，即，所以被开方数为非负数．
【探究新知】
（1）(4分)若，则的取值范围是____________．
【知识应用】
（2）(4分)若，求的值．
【拓展应用】
（3）(4分)若，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据被开方数为非负数可得答案；
（2）根据非负数的性质可得 ，再解方程组，最后代入计算即可；
（3）由被开方数为非负数确定a的取值范围，进而化简绝对值，再解方程即可得出答案．
（1）解：
（2）解：由，
得
解得
．
（3）解：，
，即，
，
则原方程可化为，
，即，
．
【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，算术平方根的双重非负性的应用，二元一次方程组的解法．解决本题的关键是熟练掌握以上知识点．
25．（本题12分）【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则．
(1)【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：与按如图所示位置放置，其中，请你利用图②推导勾股定理．
(2)【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点（在同一直线上），其中，因操场改造，路封闭，学校决定在操场边新建取水点H并修新路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？
(3)【延伸扩展】在问题解决中若时，，米，米，米，求的长度？
【答案】(1)见解析
(2)新路比原路少1米
(3)米
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明与应用：
（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证．
（2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果．
（3）为y米，在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果．
【详解】（1）解：，
又，
是同一图形的面积，面积相等，
，
．
（2）解：设为米，则米，米，
，
∴，
在中，，米，
，
即，
解得：，
（米），
（米），
新路比原路少1米．
（3）解：由题意设：为y米，
又米，米，米，
米，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得：，
的长度为米．
试卷第1页，共3页
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