资源简介

2026 济南历下区二模数学试题
（满分150分 时间120分钟）
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分）
1. 2的倒数是（ ）
A. 2 B. 2 C. D.
2.为维护校园安全，学校通常会在校门口安装防冲撞升降柱。某款升降柱如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同
C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同
3.人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数据0.00000156用科学记数法表示为（ ）
A. 1.56×10 5 B. 0.156×10 5 C. 1.56×10 6 D. 15.6×10 7
4.数学中有许多优美的曲线，下列四条曲线中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
5.如图，在平面直角坐标系中，将点A先向右平移、再向下平移得点A′，则点A′的坐标可能为（ ）
A. ( 1,2) B. (2, 3) C. (0,1) D. ( 2, 1)
6.计算 的结果是（ ）
A. X B. x 1 C.1 x D. x+1
7.对于反比例函数y=，下列结论中错误的是（ ）
A. 该函数的图象与坐标轴无交点
B. 若点(m,n)在该函数的图象上，则点( m, n)也在该函数的图象上
C. 若点(a,a+2)在该函数的图象上，则a=1
D. 满足y≥3的x的取值范围为08.大辛庄遗址博物馆是济南市首个以商代遗址为主题的专题博物馆，该馆一楼设有 “东土大邑”、“率民事神”、“百工惟时” 三个展厅。若小明从三个展厅中随机选择两个展厅参观，则他恰好选择 “东土大邑” 和 “百工惟时” 的概率是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，△ABC为等腰直角三角形，其中∠B=90 ，按如下步骤作图：在AB和AC上分别截取AN,AM，使AM=AN，分别以点M和N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O，作射线AO交BC于点D；以点C为圆心，以CD的长为半径作弧，交射线AO于点P，分别以点D和P为圆心，以大于DP的长为半径作弧，两弧交于点Q，作射线CQ交线段DP于点E。有以下结论：①△ACE是直角三角形；②∠CAD=∠DCE；③；④AD=CE。其中正确的有（ ）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
10.已知点A(t,m)在抛物线y=2ax2 4ax+3（a为常数，a>0）上，点B(t,n)在直线y=ax+a+1上。若有且仅有一个整数t使得m≤n成立，则a的取值范围是（ ）
A.≤a< B.第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分）
11.写出一个使在实数范围内有意义的x的值：__________。
12.一个不透明的袋中装有 3 个白球和m个红球，这些球除颜色外无其他差别。充分搅匀后，从袋中随机取出一个球是白球的概率为，则m=__________。
13.两个全等的正五边形按如图所示的方式拼接在一起，以点A为圆心，AB的长为半径作弧BC。若AB=1，则图中阴影部分的面积是__________。
（第13题图） （第14题图） （第15题图）
14.甲、乙两种物质的质量m（g）与体积V（cm ）的关系如图所示，已知当甲、乙两种物质的体积均为x cm 时，甲物质的质量比乙物质的质量多 35g，则x的值为__________。
15.如图，在矩形纸片ABCD中，点E是边AD上一点，将纸片沿直线BE折叠，使点A落在点F处，连接DF并延长，交边AB于点G，若点F为线段DG的中点，sin∠ADG=，则=__________。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分）
16.（本小题满分 7 分）计算：2sin45 +(3 π)0 3 2++。
17.（本小题满分 7 分）解不等式组：，并写出它所有的正整数解。
18.（本小题满分 7 分）已知：在平行四边形ABCD中，E,F是对角线AC上的两点，且AE=CF，G,H分别是边AD,BC上的点，且EG∥FH。求证：DG=BH。
19.（本小题满分 8 分）为践行 “以人为本” 的服务理念，济南公交集团采购了配有无障碍踏板设施和 “侧跪” 功能的新型公交车，有效解决了残障人士、老年人等特殊群体的出行难题，如图 1 所示。图 2 为某辆新型公交车未启动 “侧跪” 功能停靠时的正面示意图，车厢左侧MN与地面垂直，踏板AB的倾斜角为30 ，踏板顶端A处到地面的距离为 41 cm。
(1) 当该公交车未启动 “侧跪” 功能停靠时，求踏板底端B处到车厢左侧MN的距离；
(2) 该公交车到达车站后，为方便轮椅乘客上下车，驾驶员启动 “侧跪” 功能来降低车门一侧车身的高度。图 3 为该公交车启动 “侧跪” 功能停靠时的正面示意图，车厢左侧MN向站台方向倾斜，踏板顶端A处到地面的距离随之减小，站台表面EF与地面平行，踏板AB的倾斜角减小至10 。若公交站台的高度EG为 15 cm，求此时踏板顶端A处到地面的距离。
（结果精确到 0.01cm，参考数据：≈1.732，sin10 ≈0.174，cos10 ≈0.985，tan10 ≈0.176）
20.（本小题满分 8 分）如图，点A,B在⊙O上，∠AOB=90 ，点C在OB的延长线上，过C作⊙O的切线，切点为D，连接AD交OC于点E。
(1) 求证：CE=CD；
(2) 若OE=1，BC=2，求AE的长。
21.（本小题满分 9 分）围绕全市 “项目赋能年” 规划，某区启动 “青春护航” 志愿服务行动。为了解该行动中 “智慧工地” 项目的参与情况，某校数学兴趣小组对参与该项目的 30 名志愿者的服务时长（服务时长用x表示，单位：小时）进行了调查，并将所得数据（服务时长）进行了整理。数据分为四组，具体如下：A 组：x<30；B 组：30≤x<40；C 组：40≤x<50；D 组：x≥50。
下面给出了相关信息：
a. C 组全部数据为：40，40，42，43，45，46，47，48，48，49，49，49。
b. 不完整的服务时长的统计表格和扇形统计图如下：
c. 各组志愿者的平均服务时长如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1) 统计表格中m的值为______，n的值为______；
(2) 本次志愿者服务时长的中位数是______小时；
(3) 扇形统计图中，B 组对应扇形的圆心角是______度；
(4) 求这 30 名志愿者的平均服务时长。
22.（本小题满分 10 分）为深入推进 “书香校园” 建设，营造浓厚读书氛围，某学校决定于 5 月中旬举办 “校园读书节”，现需采购 A，B 两种图书。已知购买 2 本 A 种图书和 3 本 B 种图书共需 180 元，购买 4 本 A 种图书比购买 5 本 B 种图书多 30 元。
(1) 求 A，B 两种图书的单价；
(2) 该校计划购买 A，B 两种图书共 50 本，且 B 种图书的数量不超过 A 种图书数量的一半，通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少。
23.（本小题满分 10 分）正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=（x>0）的图象交于点A(m,4)。
(1) 求m和k的值；
(2) 点B为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m，过点B作x轴的垂线，交直线OA于点C，交x轴于点D。
①如图 1，连接OB，当OB平分∠AOD时，求△OBC的面积；
②如图 2，连接AB，当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，求点B的坐标。
24.（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1:y=x2 2x+3与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线C2:y= x2+ax+c经过B,C两点。
(1) 求点A的坐标和a,c的值；
(2) 已知点D是抛物线C1上一点，过点D作直线y=2x+b，与抛物线C2在第一象限内交于点E，与直线BC交于点F，设点D的横坐标为m（0①如图 1，当点D与点A重合时，求的值；
②如图 2，当点F是DE的中点时，连结CD,CE,BD,BE，判断四边形CDBE的形状，并说明理由。
25.（本小题满分 12 分）在△ABC中，∠ABC=α（0 <α<90 ），点D在边BC上，且CD=kBD。将射线CD绕点C按顺时针方向旋转(180 α)得射线CM，点E在射线CM上（点E与点C不重合），连接AD,DE。
(1) 如图 1，当k=1时，若DE=AD，AB与CE的位置关系为__________，∠ADE与∠CED的数量关系为__________（用等式表示）；
(2) 当k=2时，AC与DE交于点F，连接AE。
①如图 2，若DE=2AD，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
②如图 3，若AB=2CE，求△AEF与△ABC的面积比。
答案
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分）
1. 2的倒数是（ D ）
A. 2 B. 2 C. D.
2.为维护校园安全，学校通常会在校门口安装防冲撞升降柱。某款升降柱如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（ A ）
A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同
C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同
3.人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数据0.00000156用科学记数法表示为（ C ）
A. 1.56×10 5 B. 0.156×10 5 C. 1.56×10 6 D. 15.6×10 7
4.数学中有许多优美的曲线，下列四条曲线中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ D ）
5.如图，在平面直角坐标系中，将点A先向右平移、再向下平移得点A′，则点A′的坐标可能为（ B ）
A. ( 1,2) B. (2, 3) C. (0,1) D. ( 2, 1)
6.计算 的结果是（ B ）
A. X B. x 1 C.1 x D. x+1
7.对于反比例函数y=，下列结论中错误的是（ C ）
A. 该函数的图象与坐标轴无交点
B. 若点(m,n)在该函数的图象上，则点( m, n)也在该函数的图象上
C. 若点(a,a+2)在该函数的图象上，则a=1
D. 满足y≥3的x的取值范围为08.大辛庄遗址博物馆是济南市首个以商代遗址为主题的专题博物馆，该馆一楼设有 “东土大邑”、“率民事神”、“百工惟时” 三个展厅。若小明从三个展厅中随机选择两个展厅参观，则他恰好选择 “东土大邑” 和 “百工惟时” 的概率是（ A ）
A. B. C. D.
9.如图，△ABC为等腰直角三角形，其中∠B=90 ，按如下步骤作图：在AB和AC上分别截取AN,AM，使AM=AN，分别以点M和N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O，作射线AO交BC于点D；以点C为圆心，以CD的长为半径作弧，交射线AO于点P，分别以点D和P为圆心，以大于DP的长为半径作弧，两弧交于点Q，作射线CQ交线段DP于点E。有以下结论：①△ACE是直角三角形；②∠CAD=∠DCE；③；④AD=CE。其中正确的有（ B ）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
10.已知点A(t,m)在抛物线y=2ax2 4ax+3（a为常数，a>0）上，点B(t,n)在直线y=ax+a+1上。若有且仅有一个整数t使得m≤n成立，则a的取值范围是（ A ）
A.≤a< B.第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分）
11.写出一个使在实数范围内有意义的x的值：_____2_____。
12.一个不透明的袋中装有 3 个白球和m个红球，这些球除颜色外无其他差别。充分搅匀后，从袋中随机取出一个球是白球的概率为，则m=____7______。
13.两个全等的正五边形按如图所示的方式拼接在一起，以点A为圆心，AB的长为半径作弧BC。若AB=1，则图中阴影部分的面积是_____π_____。
（第13题图） （第14题图） （第15题图）
14.甲、乙两种物质的质量m（g）与体积V（cm ）的关系如图所示，已知当甲、乙两种物质的体积均为x cm 时，甲物质的质量比乙物质的质量多 35g，则x的值为_____28_____。
15.如图，在矩形纸片ABCD中，点E是边AD上一点，将纸片沿直线BE折叠，使点A落在点F处，连接DF并延长，交边AB于点G，若点F为线段DG的中点，sin∠ADG=，则=__________。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分）
16.（本小题满分 7 分）计算：2sin45 +(3 π)0 3 2++。
=+1++2
=3+1
17.（本小题满分 7 分）解不等式组：，并写出它所有的正整数解。
解：解不等式①：x≤2
解不等式②：x＞
综合两个不等式的解集： ＜x≤2
正整数解： x=1,2
18.（本小题满分 7 分）已知：在平行四边形ABCD中，E,F是对角线AC上的两点，且AE=CF，G,H分别是边AD,BC上的点，且EG∥FH。求证：DG=BH。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC,AD=BC
∴∠GAE=∠HCF
∵EG∥FH
∴∠GEA=∠HFC
在△AEG和△CFH中：
∴△AEG≌△CFH (ASA)
∴AG=CH
又∵AD=BC
∴AD AG=BC CH
即DG=BH
19.（本小题满分 8 分）为践行 “以人为本” 的服务理念，济南公交集团采购了配有无障碍踏板设施和 “侧跪” 功能的新型公交车，有效解决了残障人士、老年人等特殊群体的出行难题，如图 1 所示。图 2 为某辆新型公交车未启动 “侧跪” 功能停靠时的正面示意图，车厢左侧MN与地面垂直，踏板AB的倾斜角为30 ，踏板顶端A处到地面的距离为 41 cm。
(1) 当该公交车未启动 “侧跪” 功能停靠时，求踏板底端B处到车厢左侧MN的距离；
(2) 该公交车到达车站后，为方便轮椅乘客上下车，驾驶员启动 “侧跪” 功能来降低车门一侧车身的高度。图 3 为该公交车启动 “侧跪” 功能停靠时的正面示意图，车厢左侧MN向站台方向倾斜，踏板顶端A处到地面的距离随之减小，站台表面EF与地面平行，踏板AB的倾斜角减小至10 。若公交站台的高度EG为 15 cm，求此时踏板顶端A处到地面的距离。
（结果精确到 0.01cm，参考数据：≈1.732，sin10 ≈0.174，cos10 ≈0.985，tan10 ≈0.176）
(1)解：过点A作AD⊥MN于点D，过点B作BE⊥AD于点E。
∵车厢左侧MN与地面垂直，
∴四边形BEND是矩形，
∴BE=DN,DE=BN。
已知AD=41cm，∠ABE=30 。
在Rt△ABE中，cos30 =，sin30 =。
设AB为x，则AE=x，BE=x。
又∵AD=AE+ED=AE+BN=41，
而BN=0
（未启动侧跪时，B在地面）
∴AE=41cm，即x=41，
x=82cm。
∴BE=×82=41≈71.01cm。
即踏板底端B到车厢左侧MN的距离约71.01cm。
(2)解：过点A作AH⊥EF于点H，交地面于点P。
已知EG=15cm，即FH=15cm，∠ABH=10 ，AB=82cm。
在Rt△ABH中，sin10 =，
∴AH=AB·sin10 ≈82×0.174≈14.27cm。
∴ 踏板顶端A到地面的距离AP=AH+HP=AH+EG≈14.27+15=29.27cm。
20.（本小题满分 8 分）如图，点A,B在⊙O上，∠AOB=90 ，点C在OB的延长线上，过C作⊙O的切线，切点为D，连接AD交OC于点E。
(1) 求证：CE=CD；
(2) 若OE=1，BC=2，求AE的长。
(1) 证明：连接OD。
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，即∠ODC=90 。
∴∠ODE+∠CDE=90 。
∵∠AOB=90 ，
∴∠OAD+∠OEA=90 。
又∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODE。
又∵∠OEA=∠DEC，
∴∠CDE=∠DEC。
∴CE=CD。
(2) 解：设OD=OB=r，则OC=r+2。
由 (1) 知CD=CE=OC OE=r+2 1=r+1。
在Rt△ODC中，由勾股定理：OD2+CD2=OC2
即 r2+(r+1)2=(r+2)2
解得：r=3（舍去负根）。
∴OA=3，OE=1，
在Rt△AOE中，AE==
21.（本小题满分 9 分）围绕全市 “项目赋能年” 规划，某区启动 “青春护航” 志愿服务行动。为了解该行动中 “智慧工地” 项目的参与情况，某校数学兴趣小组对参与该项目的 30 名志愿者的服务时长（服务时长用x表示，单位：小时）进行了调查，并将所得数据（服务时长）进行了整理。数据分为四组，具体如下：A 组：x<30；B 组：30≤x<40；C 组：40≤x<50；D 组：x≥50。
下面给出了相关信息：
a. C 组全部数据为：40，40，42，43，45，46，47，48，48，49，49，49。
b. 不完整的服务时长的统计表格和扇形统计图如下：
c. 各组志愿者的平均服务时长如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1) 统计表格中m的值为______，n的值为______；
(2) 本次志愿者服务时长的中位数是______小时；
(3) 扇形统计图中，B 组对应扇形的圆心角是______度；
(4) 求这 30 名志愿者的平均服务时长。
(1) 解：总人数为30，A组频数为9，C组为12，D组为6。
∴m=30 9 12 6=3。
n==0.4。
(2)解：30个数据的中位数为第15,16个数据的平均数。
A组有9个数据，B组有3个，C组有12个。
第15,16个数据均在C组，C组数据为40,40,42,43,45,46,47,48,48,49,49,49
第15个为45，第16个为46，
∴中位数为=45.5小时。
(3)解：B组频率为=0.1，圆心角为360 ×0.1=36 。
(4)解：平均时长==39小时
22.（本小题满分 10 分）为深入推进 “书香校园” 建设，营造浓厚读书氛围，某学校决定于 5 月中旬举办 “校园读书节”，现需采购 A，B 两种图书。已知购买 2 本 A 种图书和 3 本 B 种图书共需 180 元，购买 4 本 A 种图书比购买 5 本 B 种图书多 30 元。
(1) 求 A，B 两种图书的单价；
(2) 该校计划购买 A，B 两种图书共 50 本，且 B 种图书的数量不超过 A 种图书数量的一半，通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少。
(1)解：设A种图书单价为x元，B种为y元。
根据题意：
解得：
∴A种图书单价45元，B种30元。
(2)解：设购买A种图书a本，则B种为(50 a)本。
根据题意：50 a≤a，
解得a≥≈33.33，
∵a为整数，
∴a≥34
设总费用为W元，则：W=45a+30(50 a)=15a+1500
∵15>0，
∴W随a的增大而增大，
∴当a=34时，W最小，此时50 34=16。
即购买A种34本，B种16本时，费用最少。
23.（本小题满分 10 分）正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=（x>0）的图象交于点A(m,4)。
(1) 求m和k的值；
(2) 点B为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m，过点B作x轴的垂线，交直线OA于点C，交x轴于点D。
①如图 1，连接OB，当OB平分∠AOD时，求△OBC的面积；
②如图 2，连接AB，当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，求点B的坐标。
(1)解：∵点A(m,4)在反比例函数y=上，
∴4=，解得m=3，
∴A(3,4)。
又∵A在正比例函数y=kx上，
∴4=3k，解得k=。
(2) 解：由k=，直线OA为y=x。
∵OB平分∠AOD
∴∠AOB=∠BOD，
又∵A(3,4)，
tan∠AOD=，
设B(t,)，
则tan∠BOD=，
由三角形的半角公式得，tan∠BOD=tan∠AOD=
∴=
解得t=2，
∴B(2,)，C(2,)，
∴BC=，OD=2，
∴S△OBC=××2=10。
(2) ②解：设B(t,)，则C(2,)，
∵△ABC是以AB为底的等腰三角形，
∴AC=BC，即 (t 3)2+(t 4)2=（t 3）2，
解得t=12（t=3舍去），
∴B(12,1)。
24.（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1:y=x2 2x+3与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线C2:y= x2+ax+c经过B,C两点。
(1) 求点A的坐标和a,c的值；
(2) 已知点D是抛物线C1上一点，过点D作直线y=2x+b，与抛物线C2在第一象限内交于点E，与直线BC交于点F，设点D的横坐标为m（0①如图 1，当点D与点A重合时，求的值；
②如图 2，当点F是DE的中点时，连结CD,CE,BD,BE，判断四边形CDBE的形状，并说明理由。
(1)解：对于C1:y=x2 2x+3，
令y=0，解得x=2或x=6，
∵A在B左侧，
∴A(2,0)，B(6,0)。
令x=0，得y=3，
∴C(0,3)。
将B(6,0),C(0,3)代入C2:y= x2+ax+c，
得：
解得
（2）①5－6 ②四边形CDBE菱形
25.（本小题满分 12 分）在△ABC中，∠ABC=α（0 <α<90 ），点D在边BC上，且CD=kBD。将射线CD绕点C按顺时针方向旋转(180 α)得射线CM，点E在射线CM上（点E与点C不重合），连接AD,DE。
(1) 如图 1，当k=1时，若DE=AD，AB与CE的位置关系为__________，∠ADE与∠CED的数量关系为__________（用等式表示）；
(2) 当k=2时，AC与DE交于点F，连接AE。
①如图 2，若DE=2AD，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
②如图 3，若AB=2CE，求△AEF与△ABC的面积比。
(1) 解：位置关系：AB∥CE；数量关系：∠ADE=2∠CED
(2) ①解：结论成立，证明如下：
延长AD交MC于点Q
由（1）得AB∥CM
∴∠5=∠6，∠7=∠8
∴△ABD△CDQ
∴===
∴DQ=2AO
∵DE=2AD
∴DQ=DE
∴∠6=∠DEC
∴∠ADE=2∠DEC
②

展开更多......

收起↑