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专题4.10圆的基本性质—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1．下列说法正确的个数是（　　）
①平分弦的直径，必垂直于这条弦； ②长度相等的弧叫做等弧；
③三点确定一个圆； ④同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车与水面分别交于点，，筒车上均匀分布着若干盛水筒，点表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接，，点在的延长线上．若，则（　　）
A． B． C． D．
3． 在学校“戏曲进校园”活动中，美术小组为粤剧展演设计了一个凤冠造型的圆形拱门装饰，如图，该装饰顶部的截面是圆弧形，测得其跨度（弦 AB)为 160cm，拱高（弧 AB的中点 C到弦 AB的垂直距离 CD)为 40cm. 若点 O是该圆弧所在圆的圆心，则该圆弧的半径是（　　)
A．80cm B．100cm C．120cm D．140cm
4．如图，，，在上，，交于点．若，，则半径的长为（　　）
A． B．6 C．8 D．10
5．如图，已知CD是⊙O的直径，⊙O的弦AB⊥CD于点E，若∠AOD=62°，则∠DCB的度数为（　　）
A．31° B．28° C．62° D．60°
6．如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则等于（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为为格点．为大正方形的内切圆， 交于点，则（　　）
A． B． C． D．
8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，⊙O的半径为6，则BD的长为（　　）
A． B． C． D．3
9．如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于点M，则∠AMF的度数为（　　）
A．26° B．27° C．28° D．30°
10． 如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论：
①一个圆的“半径三角形”有无数个；②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30°，120°或150°；④若一个圆的半径为，则它的“半径三角形”面积最大值为．
上述结论中，正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．船P与两个灯塔的夹角为，若，则船P位于安全区域时，的大小可能为　 　°．（写出一个即可）
12．我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为　 　．
13．如图，内接于，为的直径，点B是的中点，延长至点D，连接，若，，则的长为　 　．
14． 如图，是的弦，将沿着弦折叠，点是折叠后的上一动点，连结并延长交于点，点是的中点，连结．若半径，则的最小值为　 　．
15．物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变，已知滑轮的半径为；当重物上升时，滑轮上点A转过的度数为　 　．
16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=130°，则∠AOC的大小为　 　．
17．如图，四边形内接于，它的3个外角，，的度数之比为，则　 　．
18．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点E为⊙O上一点，，连结DE交AB于点F.若AH=1，AB=10，则HF的长为　 　.
三、解答题
19．下面是小智设计的“作一个锐角的角平分线”的尺规作图过程.
已知：锐角∠MAN.
求作：射线AP，使得AP平分∠MAN.
作法：如图，
①在∠MAN内部任取一点O；
②以点O为圆心，OA长为半径画圆，分别交射线AM，AN于点B，C；
③连接BC，分别以点B，C为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$的同样长为半径画弧，两弧交于点D（点O，D在BC两侧）；
④作射线OD，交⊙O于点P，作射线AP.
所以射线AP就是所求作的射线.
根据小智设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：连接OB，OC，BD，CD.
，，
∴点O，D在BC的垂直平分线上.
，即.
=　 　　 　（填推理的依据）.
∴∠BAP=　 　.
是的角平分线
20．如图①将水槽放置在水平桌面上，水槽的横截面为半圆，为直径，为水面，，测得，．
（1）如图①，圆心到水面的距离为，求的长．
（2）将如图①的水槽向右倾斜得到如图②，此时，水面与点在同一水平线上，求的值．
21．如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D是劣弧AB上的一动点，连接AD，BD，CD，CD交AB于点 E.
（1）如图 1，∠ADB=　 　度，写出图中一对相似三角形： 　 　：
（2）如图2，若点D为劣弧AB的中点时，试判断线段CD与AB的位置关系：
（3） 在图1中，若AB=2，求△ABD周长的最大值.
22．如图，AB是圆的一条弦(不是直径).仅用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，并保留作图痕迹，不写作法.
（1）作圆心O和 的中点 M.
（2）连结OM，交AB于点 N，若AB=4， ON=3，求⊙O的半径.
23．如图，在上有，，三点，，不使用圆规，只用无刻度的直尺作出符合下列要求的角，保留作图痕迹．
（1）请在图中作一个的圆周角，记为．
（2）请在图中作一个的圆心角，记为．
24．阅读下列材料，并完成相应的任务．
托勒密定理：托勒密（Ptolemy）（公元90年～公元168年），希腊著名的天文学家，他的重要著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理．
托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．
已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，
求证：AB CD+BC AD＝AC BD
下面是该结论的证明过程：
证明：如图2，作∠BAE＝∠CAD，交BD于点E．
∵∴∠ABE＝∠ACD∴△ABE∽△ACD
∴∴AB CD＝AC BE
∵∴∠ACB＝∠ADE（依据1）
∵∠BAE＝∠CAD∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC
即∠BAC＝∠EAD ∴△ABC∽△AED（依据2）
∴AD BC＝AC ED ∴AB CD+AD BC＝AC （BE+ED） ∴AB CD+AD BC＝AC BD
任务：
（1）上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：　 　．（请写出）
（3）如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为的中点，求AC的长．
25．“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的等弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图．
（1）若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“　 　 连弧纹镜”；
（2）请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法）
26．【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做“圆美四边形”，其中这个角叫做“美角”.
（1）【初步应用】
如图①，四边形ABCD 是“圆美四边形”，∠A 是“美角”.
①∠A 的度数为 ▲ .
② 连结 BD，若⊙O 的半径为5，求线段 BD的长.
（2）【拓展提升】
如图②，四边形ABCD 是“圆美四边形”，∠BAD 是“美角”，连结 CA. 若 CA 平分∠BCD，请判断 BC，CD 与AC 之间的等量关系，并说明理由.
27．如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接．
（1）求的度数．
（2）是正三角形吗？请说明理由．
（3）从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
28．如图，已知四边形内接于半径为的圆，且于，于．
（1）求证：．
（2）设是圆上不同于四边形顶点的一点，过作于，于，于，于（其中，，未画出）．
（2.1）求证：．
（2.2）求证：．
29． 如图，在四边形ABCD中， 过点A， B， C作⊙O交CD边于点E，连结AE，且.AD=AE.
（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形.
（2）若
①求四边形ABCD 的面积.
②延长BC至点 G，连结DG，使 在线段CG上取点 F，过点 F作 交DG于点 H，求 GH的最大值.
30．【学习心得】学习完《圆的基本性质》这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以变得很容易.我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”.这类题目主要是两种类型.
（1）①类型一，“定点+定长”.如图①，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=56°，D是△ABC外的一点，且AD=AC，则∠BDC的度数为　 　.
②类型二，“定角+定弦”.如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12，BC=8，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，求线段CP长的最小值.
解：∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°.
∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=　 　，（定角）
∴点P在以AB（定弦）为直径的⊙O上.易求得CP长的最小值为　 　.
（2）【问题解决】
如图③，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，P是边BC上一动点（点P不与点B，C重合），连结AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC长的最小值为　 　.
（3）【问题拓展】
如图④，在正方形ABCD中，AD=10，动点E，F分别在边DC，CB上移动，且满足DE=CF，连结AE，DF，交于点P.
①请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；
②当点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】圆的相关概念；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：①平分弦（不是直径）的直径，必垂直于这条弦，故①不符合题意；
②能够互相重合的弧叫做等弧，故②不符合题意；
③不共线三点确定一个圆，故③不符合题意；
④同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等或互补，故④不符合题意，
故没有正确的．
故答案为：A.
【分析】根据垂径定理的推论“ 平分弦（不是直径）的直径，必垂直于这条弦 ”可判断①；根据等弧的定义“ 能够互相重合的弧叫做等弧 ”可判断②；根据u确定圆的条件“不在同一直线上的三点确定一个圆”可判断③；根据圆心角、弧、弦的关系“同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等或互补”可判断④.
2．【答案】A
【知识点】补角；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】连接，根据补角可得∠PBA，根据等弧所对的圆周角相等可得，根据圆周角定理的推论可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图，连接AO，
根据题意得AB＝160cm，
∵拱高（弧AB的中点C到弦AB的垂直距离CD）为40cm，
∴AD＝BD＝AB＝80cm，CD＝40cm，CD⊥AB，OC⊥AB，
∴点D在OC上，
设AO＝OC＝r cm，则OD＝OC CD＝（r 40）cm，
在Rt△AOD中，AO2＝AD2＋OD2，
∴r2＝802＋（r 40）2，
6400＝1600 80r，
解得r＝100，
∴该圆弧的半径是100cm.
故答案为：B．
【分析】根据垂径定理得AD＝BD＝AB＝80cm，点D在OC上，设AO＝OC＝r cm，则OD＝OC CD＝（r 40）cm，根据勾股定理得AO2＝AD2＋OD2，即可得关于r的方程，解方程即可．
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：∵为半径，，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【分析】根据垂径定理的推论得到，再根据勾股定理即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解： ∵CD是⊙O的直径， ⊙O的弦 于点E，
故答案为：A.
【分析】由垂径定理可得 由弧与圆心角之间的关系可得 再由圆周角定理可得答案.
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：是所对的圆周角，是所对的圆心角，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：B.
【分析】利用圆周角定理得到，利用三角形的内角和定理得到，再根据等边对等角得到，解答即可．
7．【答案】B
【知识点】求余弦值；圆周角定理的推论；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：由题意可得，∠AED=∠ABD
在Rt△ABC中，AC=1，AB=2，由勾股定理可得：
BC=
所以cos∠AED=cos∠ABD=
故答案为：B．
【分析】由同弧所对的圆周角相等得到∠AED=∠ABD，然后根据勾股定理求出BC的长，根据余弦的定义解答即可．
8．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，
∴∠A=180°-∠BCD=180°-120°=60°，
连接BO并延长交⊙O于点E，连接DE，如图，
∴BE为⊙O的直径
∴∠BDE=90°，
∵⊙O的半径为6，
∴BE=12，
又∵∠E=∠A=60°，
∴在Rt△BDE中，
故答案为：C.
【分析】先利用圆内接四边形对角互补求出∠A，连接BO并延长交⊙O于点E，连接DE，构造直径所对的圆周角为直角，再利用同弧所对圆周角相等求出∠E，最后在Rt△BDE中求解.
9．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；直角三角形的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：连接OC、OE、OD，设CD与EF交于点N，如图，
∵正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：B.
【分析】连接OC、OE、OD，设CD与EF交于点N，根据圆内接正多边形的性质可得到：进而求出再根据圆周角定理得到：结合三角形内角和定理即可求出最后根据两锐角互余即可求解.
10．【答案】C
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，AB=OA，即AB的长度等于半径，
以AB为边的圆的内接三角形有无数个，
∴一个圆的“半径三角形”有无数个，故①结论正确；
∵OA=OB=AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
当点C在优弧AB上时，∠C=30°，
当点C在劣弧AB上时，∠C=150°
当点C在圆上移动时，∠CAB可能是90°，
∴一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，故②结论正确；
由以上可知，∠C可以是30°或150°，
当AC=AB，∠C=30°时，
∠CAB=180°-30°3-30°=120°，
∴当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30°，120°或150°，故③结论正确；
过点O作OH⊥AB于H，
则，
∴，
当点C为优弧AB的中点时，△ABC的面积最大，最大面积为：，故④结论错误；
故答案为：C.
【分析】根据圆的“半径三角形”的概念判断①②；根据圆周角定理、等腰三角形的概念判断③；根据垂径定理求出AH，根据勾股定理求出OH，求出△ABC的最大面积，判断④.
11．【答案】54
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：设与相交于点D，
∵是的一个外角，
∴，
∵，
∴，
∴α的大小可能为，
故答案为：54（答案不唯一）．
【分析】设与相交于点D，先利用三角形的外角性质可得，然后利用同弧所对的圆周角相等可得，从而可得，写出其中一个符合条件的 即可．
12．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆内接正多边形；解直角三角形—边角关系；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：如图， 连接、，
∵六边形是的内接正六边形，
，
∴弧AF=弧AB
，BF=2BG，
，
是等边三角形，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
【分析】由正六边形的各边相等得AB=AF=6，由正六边形的中心角为求出∠AOB=60°，由同圆中，相等得弦所对的劣弧相等及垂径定理的推论得出OA⊥AB，BF=2BG；由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△AOB是等边三角形，由等边三角形的三边相等得出OB=OA=AB=6，在Rt△BOG中，由∠O的正弦函数可求出BG，从而即可得出BF的长.
13．【答案】4
【知识点】三角形外角的概念及性质；含30°角的直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵内接于，为的直径，点B是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：4.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得，根据弧、弦、圆心角的关系可得，根据题意得到懂啊，即可求出，利用30°的之间三角形的性质解答即可．
14．【答案】2
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点O作于点E，连接，
∴，
∵，
∴在中，．
连接，则，
∴的最小值为．
连接，，
∵和所对圆周角都是，
∴，
∴，
∵点C是的中点，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：2.
【分析】过点O作于点E，连接，根据垂径定理可得，再勾股定理得到OE=1，连接，即可得到．连接，，得到，根据三线合一得到，利用直角三角形斜边上的中线的性质可得，进而得到的最小值即可解答．
15．【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算
【解析】【解答】解：设滑轮上点A转过的度数为，
重物上升，
点A转过的弧长为，
滑轮的半径为，
，
解得，
滑轮上点A转过的度数为，
故答案为：．
【分析】
根据题干信息：重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，由半径为，利用弧长公式建立方程，计算即可解答．
16．【答案】100°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：在中，，
，
是弧所对的圆心角，是弧所对的圆周角，
，
故答案为：．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补求出，根据圆周角定理求出的度数即可.
17．【答案】
【知识点】多边形内角与外角；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，延长到H，
四边形内接于，
，
，
，，的度数之比为，
，，，的度数之比为，
，
，
．
故答案为：．
【分析】延长到H，根据圆内接四边形的对角互补以及外角的性质并结合已知条件“3个外角，，的度数之比为”可求出的度数，再根据邻补角互补即可求解．
18．【答案】
【知识点】垂径定理；三角形全等的判定-SSS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连结OD，OE，DB，
∵AB 为⊙O的直径，弦
即
即 FB.
设
(4-x)(9-x)，
解得
∴HF的长为
故答案为：
【分析】连结OD，OE，DB，根据垂径定理和弧的加减得到即可得到DE=BD，再根据SSS得到△ODE≌△ODB，即可得到进而证明△OFD∽△DFB，根据对应边成比例求出 FB，设 然后根据勾股定理列方程求出x的值解答即可.
19．【答案】（1）解：如图所示；射线AP即为所求；
（2）；垂径定理；∠CAP
【知识点】垂径定理；线段垂直平分线的判定；角平分线的概念；尺规作图-垂直平分线；圆周角定理的推论
【解析】【解答】（2）证明：连接，，，．
，，
点，在的垂直平分线上．
，即．
（垂径定理）（填推理的依据）．
．
是的角平分线，
故答案为：，垂径定理，．
【分析】（1）根据题目所给作图步骤作出图形解答；
（2）连接，，，．得到O，在的垂直平分线上．即可得到．根据垂径定理可得，再由同圆周角定理的推论可得，即可得到结论．
20．【答案】（1）解：连接，则，
圆心的直线垂直于，垂足为，
故，
故；
（2）解：连接，由为直径知．
，
故：．
【知识点】垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正弦值
【解析】【分析】（1）连接，由题意可得，由垂径定理可得，再由勾股定理求解即可；
（2）连接，根据为直径可得，利用勾股定理求得，再根据三角函数的定义求解即可．
（1）解：连接，则，
圆心的直线垂直于，垂足为，
故，
故；
（2）连接，由为直径知．
，
故：．
21．【答案】（1）120；△ACE∽△DBE(答案不唯一)
（2）解：∵点 D为劣弧 AB的中点.
∴弧AD=弧BD.
∴∠ACE=∠BCE.
∵△ABC是等边三角形.
∴CD垂直平分 AB，即 CD是AB的垂直平分线
（3）解：延长BD到点F，取DF=AD，连接AF
∵∠ADB=120°
∴∠ADF=60°
∴△ADF是等边三角形
∴AD=AF，∠DAF=60°
∵等边三角形ABC中，AB=2
∴AC=BC=AB=2，∠BAC=60°
∴∠DAC=∠FAB=∠DAB+60°
∴△CAD≌△BAF(SAS)
∴BD+AD=BD+DF=BF=CD
∴当CD为直径时，长度最大，连接OA
有CD⊥AB，CE=ACsin60°=，
设⊙O半径为r，则
∴
解得：
∴
∴△ABD周长的最大值为
【知识点】三角形全等及其性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D是劣弧AB上的一动点
∴∠ACB=60°
∵∠ACB+∠ADB=180°
∴∠ADB=120°
∵
∴∠ACE=∠DBE
∵∠AEC=∠DEB
∴△ACE∽△BDE
故答案为：120；△ACE∽△DBE(答案不唯一)
【分析】（1）根据等边三角形性质可得∠ACB=60°，根据圆内接四边形性质性质可得∠ADB，根据同弧所对的圆周角相等可得∠ACE=∠DBE，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据圆周角定理可得∠ACE=∠BCE，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）延长BD到点F，取DF=AD，连接AF，根据补角可得∠ADF，根据等边三角形判定定理可得△ADF是等边三角形，则AD=AF，∠DAF=60°，再根据等边三角形性质可得AC=BC=AB=2，∠BAC=60°，根据全等三角形判定定理可得△CAD≌△BAF(SAS)，则BD+AD=BD+DF=BF=CD，当CD为直径时，长度最大，连接OA，根据含30°角的直角三角形性质可得CE，AE，设⊙O半径为r，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
22．【答案】（1）解：如图，点和点即为所求，
（2）解：如图，连接，
由（1）可知，点是的中点，
∴，
∴，
在中，．
【知识点】勾股定理；确定圆的条件；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）在圆弧上再取一点，连接，作弦AB，AC的垂直平分线交于点O，点O即为圆心，的垂直平分线与的交点即为中点；
（2）连接，根据垂径定理的逆定理可得，，然后在Rt△AON中根据勾股定理求出圆的半径即可．
23．【答案】（1）解：如图，在劣弧上任取一点，连接，，则即为所求作；
（2）答：如图，连接BO交延长交 于点F，则即为所求作.

【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；邻补角
【解析】【分析】
（1）圆内接四边形对角互补；
（2）由圆周角定理得，再利用邻补角的概念延长BO交圆O于点F，则即为所求作．
（1）解：如图，在劣弧上任取一点，连接，，
即为所求作；
（2）解：延长交于点，
即为所求作．
24．【答案】（1）解：上述证明过程中的“依据1”是同弧所对的园周角相等；“依据 2”是两角分别相等的两个三角形相似.
（2）勾股定理
（3）解：连接BD，作CE⊥BD于E.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180"，
∵∠BAD=60°，
∴∠BCD=120°，
∵，
∴CD=CB，
∴∠CDB=30°，
在Rt△CDE中，，
∴
∴，
由托勒密定理：AC·BD=AD·BC+CD·AB，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；矩形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；解直角三角形—边角关系；托勒密定理模型
【解析】【解答】解：(2)当圆内接四边形ABCD是矩形时，
则AB=CD，AD=BC，AC=BD，
∵AB·CD+AD·BC=AC·BD，
∴AB2+AD2=BD2，
托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：勾股定理，
故答案为：勾股定理.
【分析】(1)根据圆周角定理，相似三角形的判定即可解决问题；
(2)利用矩形的性质以及托勒密定理即可判断；
(3)连接BD，作CE⊥BD于E，首先证明，由托勒密定理，构建方程求出AC即可.
25．【答案】（1）七
（2）解：如图
【知识点】垂径定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：（1）将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“七连弧纹镜”
故答案为：七.
【分析】（1）利用圆心角、弧、弦之间的关系，连接一段等弧的两个端点构成弦，再在圆上截取相同长度的弦即可.
（2）利用垂径定理，先确定出两个同心圆的圆心，再依次找出等弧的圆心即可.
26．【答案】（1）解：① 60°.
②如图①，连结 DO 并延长，交⊙O于点E，连结BE，则∠E=∠A=60°，DE=10.
∵ DE 是⊙O的直径，
∴∠EBD=90°.
∴∠BDE=30°.
∴ 易得.
（2）解：AC=BC+CD.
理由：如图②，连结 BD，延长CB 到点E，使 EB=CD，连结AE.
易得∠BAD=60°.
∵CA 平分∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD=60°.
∴∠ABD=∠ACD=60°，∠ADB=∠ACB=60°.
∴△ABD为等边三角形.
∴AB=AD.
在△AEB 和△ACD中，
∵ AB = AD，∠EBA =∠CDA =180°-∠ABC，EB=CD，
∴△AEB≌△ACD.
∴ ∠E =∠ACD = 60°，∠EAB =∠CAD.
∴ ∠EAC = ∠EAB + ∠BAC =∠CAD+∠BAC=60°.
∴ 易得△ACE 为等边三角形.
∴ EC=AC.
∴ AC=EC=BC+EB=BC+CD.
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）①由题意得 而 ，
故答案为：60；
【分析】(1)①由题意得： 而 180即可求解；
②连接DO并延长交圆于E点，连接BE，根据正弦的定义解答即可
(2)连接BD， 延长CB到E， 使得BE=CD，证得 为等边三角形，进而证得 ，即可证得 为等边三角形，BC+CD=CE，可得AC=CE=BC+CD.
27．【答案】（1）解：∵正五边形ABCDE，
∴，
∴
∵，
∴∠AOC=3×72°=216°，
∴
（2）解：是正三角形，理由如下：
连接ON，FN，
由作图知：FN=FO，
∵ON=OF，
∴ON=OF=FN，
∴△OFN是正三角形，
∴∠OFN=60°，
∴∠AMN=∠OFN=60°
同理∠ANM=60°，
∴∠MAN=60°， 即∠AMN=∠ANM=∠MAN，
∴△AMN是正三角形；
（3）解：∵△AMN是正三角形，
∴∠AON=2∠AMN=120°
∵，
∴∠AOD=2×72°=144°，
∵，
∴∠NOD=144°-120°=24°，
∴.
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【分析】】(1)根据正五边形的性质以及圆的性质可得，则∠AOC(优弧所对圆心角)=3×72°=216°，然后根据圆周角定理即可得出结论；
(2)根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论；
(3)运用圆周角定理并结合(1)(2)中结论得出∠NOD=144°-120°=24°，即可得出结论.
28．【答案】（1）证明：连接并延长，交于，连接，，，，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
是的中位线，
，
（2）（2.1）证明：连接并延长，交于，连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径为，
；
（2.2）证明：根据题意作图如下：
连接，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
于，于，
，
，
，
于，于，
，
，
，
，
，
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）通过连接并延长，交于，连接，，，，利用垂径定理和圆周角定理、圆心角定理及三角形中位线的性质可求解；
（2）（2.1）构造直径，利用圆周角定理得到直角三角形，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，将比例式化为乘积式可求解；
（2.2）连接DQ，根据圆内接四边形的性质得，结合已知，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，同理可证明，得，将两个笔试整理即可求解得．
（1）证明：连接并延长，交于，连接，，，，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
是的中位线，
，
；
（2）（2.1）证明：连接并延长，交于，连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径为，
；
（2.2）证明：根据题意作图如下：
连接，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
于，于，
，
，
，
于，于，
，
，
，
，
，
．
29．【答案】（1）证明：如图1，
∵AD=AE， ∴∠1=∠2.
∵AD∥BC， ∴∠1=∠DCG， ∴∠2=∠DCG.
∵∠2+∠AEC=180°， ∠B+∠AEC=180°，
∴∠2=∠B， ∴∠DCG=∠B， ∴AB∥CD，
∴四边形ABCD 是平行四边形.
（2）解：①如图2，连结AO并延长交BC于点I.
∵四边形ABCD 是平行四边形， AD=AE=6，
∴BC=AD=6.
∴四边形ABCD 的面积=BC×AI=6×12=72.
②如图3，分别过点A， D， H作BG的垂线于点I， M， N，
则四边形AIMD 为矩形， ∴IM=AD=6， DM=AI=12.
设NH=3a，则
∵∠AIF=∠FNH=90°， ∠IAF=∠NFH，
∴△AIF∽△FNH，
令IF=b，则
即
∴由二次函数 的图象得a≤1 (a≥49舍去) ，
∴当a=1时， GH的最大值为 ，此时b=6符合题意.
【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质；解直角三角形—边角关系；圆与四边形的综合；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）根据等边对等角和平行线的性质得到∠2=∠DCG，然后根据圆内接四边形的性质和邻补角的定义得到∠DCG=∠B=∠2，即可得到，进而证明结论；
（2）①连结并延长交于点I，根据垂径定理可得BI=IC=3，利用勾股定理求出的长，然后根据平行四边形的面积公式计算即可；
②分别过点A，D，H作的垂线于点I，M，N， 即可得到四边形为矩形，根据正切的定义求出IG长，设NH=3a，IF=b，然后根据两脚对应相等得到，根据对应边成比例即可得到，把b看作主元，根据方程有诗书根据得到，求出a的最大值解答即可．
30．【答案】（1）①28°；②90°；4
（2）4
（3）①AE=DF，AE⊥DF.理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°.
在△ADE和△DCF中，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴AE=DF，∠DAE=∠CDF.
∵∠ADE=90°，∴∠ADP+∠CDF=90°，∴∠ADP+∠DAE=90°，
∴∠APD=180°-（∠ADP+∠DAE）=180°-90°=90°，∴AE⊥DF.
②连结AC，BD交于点O，如图.
∵在点P的运动过程中，∠APD=90°，
∴点P在以AD为直径的圆上运动，设圆心为M.
当点E运动到点C时，点P运动到点O，∴点P的运动路径是DO.
连结OM.
∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC=45°，∴∠DMO=2∠DAC=90°，∴点P的运动路径长
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；弧长的计算；三角形全等的判定-SAS；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：（1）
∴点B，点C，点D在以点A为圆心，AB为半径的圆上，
如图1，
故答案为：
∴点P在以AB(定弦)为直径的⊙O上，如图2，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
∵点O是AB的中点，
在 中， 6，
∴PC最小值为4，
故答案为： 4；
(2)如图3， 连接AC， AM，
∵点B，点M关于直线AP对称，
∴点M在以点A为圆心，AB为半径的圆上运动，
∴当点M在线段AC上时，MC有最小值，
∴CM的最小值为(CM=AC-AM=10-6=4，
故答案为：4.
【分析】(1)①以点A(定点)为圆心，AB(定长)为半径作辅助圆⊙A，得出. 是⊙A的圆心角，而. 是圆周角，即可求出答案；
②先判断出 进而判断出∠ 进而判断出点P在OC上，即可求出答案；
(2)当A，M，C三点共线时，线段CM的长度最小，求出此时CM的长度即可；
(3)①由“SAS”可证 可得AE=DF， ，由余角的性质可证AE
②由题意可得点P的运动路径是以AD为直径的圆的 由弧长公式可求解.
1 / 1专题4.10圆的基本性质—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1．下列说法正确的个数是（　　）
①平分弦的直径，必垂直于这条弦； ②长度相等的弧叫做等弧；
③三点确定一个圆； ④同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【知识点】圆的相关概念；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：①平分弦（不是直径）的直径，必垂直于这条弦，故①不符合题意；
②能够互相重合的弧叫做等弧，故②不符合题意；
③不共线三点确定一个圆，故③不符合题意；
④同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等或互补，故④不符合题意，
故没有正确的．
故答案为：A.
【分析】根据垂径定理的推论“ 平分弦（不是直径）的直径，必垂直于这条弦 ”可判断①；根据等弧的定义“ 能够互相重合的弧叫做等弧 ”可判断②；根据u确定圆的条件“不在同一直线上的三点确定一个圆”可判断③；根据圆心角、弧、弦的关系“同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等或互补”可判断④.
2．如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车与水面分别交于点，，筒车上均匀分布着若干盛水筒，点表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接，，点在的延长线上．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】补角；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】连接，根据补角可得∠PBA，根据等弧所对的圆周角相等可得，根据圆周角定理的推论可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
3． 在学校“戏曲进校园”活动中，美术小组为粤剧展演设计了一个凤冠造型的圆形拱门装饰，如图，该装饰顶部的截面是圆弧形，测得其跨度（弦 AB)为 160cm，拱高（弧 AB的中点 C到弦 AB的垂直距离 CD)为 40cm. 若点 O是该圆弧所在圆的圆心，则该圆弧的半径是（　　)
A．80cm B．100cm C．120cm D．140cm
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图，连接AO，
根据题意得AB＝160cm，
∵拱高（弧AB的中点C到弦AB的垂直距离CD）为40cm，
∴AD＝BD＝AB＝80cm，CD＝40cm，CD⊥AB，OC⊥AB，
∴点D在OC上，
设AO＝OC＝r cm，则OD＝OC CD＝（r 40）cm，
在Rt△AOD中，AO2＝AD2＋OD2，
∴r2＝802＋（r 40）2，
6400＝1600 80r，
解得r＝100，
∴该圆弧的半径是100cm.
故答案为：B．
【分析】根据垂径定理得AD＝BD＝AB＝80cm，点D在OC上，设AO＝OC＝r cm，则OD＝OC CD＝（r 40）cm，根据勾股定理得AO2＝AD2＋OD2，即可得关于r的方程，解方程即可．
4．如图，，，在上，，交于点．若，，则半径的长为（　　）
A． B．6 C．8 D．10
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：∵为半径，，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【分析】根据垂径定理的推论得到，再根据勾股定理即可求出答案.
5．如图，已知CD是⊙O的直径，⊙O的弦AB⊥CD于点E，若∠AOD=62°，则∠DCB的度数为（　　）
A．31° B．28° C．62° D．60°
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解： ∵CD是⊙O的直径， ⊙O的弦 于点E，
故答案为：A.
【分析】由垂径定理可得 由弧与圆心角之间的关系可得 再由圆周角定理可得答案.
6．如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：是所对的圆周角，是所对的圆心角，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：B.
【分析】利用圆周角定理得到，利用三角形的内角和定理得到，再根据等边对等角得到，解答即可．
7．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为为格点．为大正方形的内切圆， 交于点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求余弦值；圆周角定理的推论；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：由题意可得，∠AED=∠ABD
在Rt△ABC中，AC=1，AB=2，由勾股定理可得：
BC=
所以cos∠AED=cos∠ABD=
故答案为：B．
【分析】由同弧所对的圆周角相等得到∠AED=∠ABD，然后根据勾股定理求出BC的长，根据余弦的定义解答即可．
8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，⊙O的半径为6，则BD的长为（　　）
A． B． C． D．3
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，
∴∠A=180°-∠BCD=180°-120°=60°，
连接BO并延长交⊙O于点E，连接DE，如图，
∴BE为⊙O的直径
∴∠BDE=90°，
∵⊙O的半径为6，
∴BE=12，
又∵∠E=∠A=60°，
∴在Rt△BDE中，
故答案为：C.
【分析】先利用圆内接四边形对角互补求出∠A，连接BO并延长交⊙O于点E，连接DE，构造直径所对的圆周角为直角，再利用同弧所对圆周角相等求出∠E，最后在Rt△BDE中求解.
9．如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于点M，则∠AMF的度数为（　　）
A．26° B．27° C．28° D．30°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；直角三角形的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：连接OC、OE、OD，设CD与EF交于点N，如图，
∵正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：B.
【分析】连接OC、OE、OD，设CD与EF交于点N，根据圆内接正多边形的性质可得到：进而求出再根据圆周角定理得到：结合三角形内角和定理即可求出最后根据两锐角互余即可求解.
10． 如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论：
①一个圆的“半径三角形”有无数个；②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30°，120°或150°；④若一个圆的半径为，则它的“半径三角形”面积最大值为．
上述结论中，正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，AB=OA，即AB的长度等于半径，
以AB为边的圆的内接三角形有无数个，
∴一个圆的“半径三角形”有无数个，故①结论正确；
∵OA=OB=AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
当点C在优弧AB上时，∠C=30°，
当点C在劣弧AB上时，∠C=150°
当点C在圆上移动时，∠CAB可能是90°，
∴一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，故②结论正确；
由以上可知，∠C可以是30°或150°，
当AC=AB，∠C=30°时，
∠CAB=180°-30°3-30°=120°，
∴当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30°，120°或150°，故③结论正确；
过点O作OH⊥AB于H，
则，
∴，
当点C为优弧AB的中点时，△ABC的面积最大，最大面积为：，故④结论错误；
故答案为：C.
【分析】根据圆的“半径三角形”的概念判断①②；根据圆周角定理、等腰三角形的概念判断③；根据垂径定理求出AH，根据勾股定理求出OH，求出△ABC的最大面积，判断④.
二、填空题
11．船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．船P与两个灯塔的夹角为，若，则船P位于安全区域时，的大小可能为　 　°．（写出一个即可）
【答案】54
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：设与相交于点D，
∵是的一个外角，
∴，
∵，
∴，
∴α的大小可能为，
故答案为：54（答案不唯一）．
【分析】设与相交于点D，先利用三角形的外角性质可得，然后利用同弧所对的圆周角相等可得，从而可得，写出其中一个符合条件的 即可．
12．我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆内接正多边形；解直角三角形—边角关系；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：如图， 连接、，
∵六边形是的内接正六边形，
，
∴弧AF=弧AB
，BF=2BG，
，
是等边三角形，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
【分析】由正六边形的各边相等得AB=AF=6，由正六边形的中心角为求出∠AOB=60°，由同圆中，相等得弦所对的劣弧相等及垂径定理的推论得出OA⊥AB，BF=2BG；由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△AOB是等边三角形，由等边三角形的三边相等得出OB=OA=AB=6，在Rt△BOG中，由∠O的正弦函数可求出BG，从而即可得出BF的长.
13．如图，内接于，为的直径，点B是的中点，延长至点D，连接，若，，则的长为　 　．
【答案】4
【知识点】三角形外角的概念及性质；含30°角的直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵内接于，为的直径，点B是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：4.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得，根据弧、弦、圆心角的关系可得，根据题意得到懂啊，即可求出，利用30°的之间三角形的性质解答即可．
14． 如图，是的弦，将沿着弦折叠，点是折叠后的上一动点，连结并延长交于点，点是的中点，连结．若半径，则的最小值为　 　．
【答案】2
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点O作于点E，连接，
∴，
∵，
∴在中，．
连接，则，
∴的最小值为．
连接，，
∵和所对圆周角都是，
∴，
∴，
∵点C是的中点，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：2.
【分析】过点O作于点E，连接，根据垂径定理可得，再勾股定理得到OE=1，连接，即可得到．连接，，得到，根据三线合一得到，利用直角三角形斜边上的中线的性质可得，进而得到的最小值即可解答．
15．物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变，已知滑轮的半径为；当重物上升时，滑轮上点A转过的度数为　 　．
【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算
【解析】【解答】解：设滑轮上点A转过的度数为，
重物上升，
点A转过的弧长为，
滑轮的半径为，
，
解得，
滑轮上点A转过的度数为，
故答案为：．
【分析】
根据题干信息：重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，由半径为，利用弧长公式建立方程，计算即可解答．
16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=130°，则∠AOC的大小为　 　．
【答案】100°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：在中，，
，
是弧所对的圆心角，是弧所对的圆周角，
，
故答案为：．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补求出，根据圆周角定理求出的度数即可.
17．如图，四边形内接于，它的3个外角，，的度数之比为，则　 　．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，延长到H，
四边形内接于，
，
，
，，的度数之比为，
，，，的度数之比为，
，
，
．
故答案为：．
【分析】延长到H，根据圆内接四边形的对角互补以及外角的性质并结合已知条件“3个外角，，的度数之比为”可求出的度数，再根据邻补角互补即可求解．
18．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点E为⊙O上一点，，连结DE交AB于点F.若AH=1，AB=10，则HF的长为　 　.
【答案】
【知识点】垂径定理；三角形全等的判定-SSS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连结OD，OE，DB，
∵AB 为⊙O的直径，弦
即
即 FB.
设
(4-x)(9-x)，
解得
∴HF的长为
故答案为：
【分析】连结OD，OE，DB，根据垂径定理和弧的加减得到即可得到DE=BD，再根据SSS得到△ODE≌△ODB，即可得到进而证明△OFD∽△DFB，根据对应边成比例求出 FB，设 然后根据勾股定理列方程求出x的值解答即可.
三、解答题
19．下面是小智设计的“作一个锐角的角平分线”的尺规作图过程.
已知：锐角∠MAN.
求作：射线AP，使得AP平分∠MAN.
作法：如图，
①在∠MAN内部任取一点O；
②以点O为圆心，OA长为半径画圆，分别交射线AM，AN于点B，C；
③连接BC，分别以点B，C为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$的同样长为半径画弧，两弧交于点D（点O，D在BC两侧）；
④作射线OD，交⊙O于点P，作射线AP.
所以射线AP就是所求作的射线.
根据小智设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：连接OB，OC，BD，CD.
，，
∴点O，D在BC的垂直平分线上.
，即.
=　 　　 　（填推理的依据）.
∴∠BAP=　 　.
是的角平分线
【答案】（1）解：如图所示；射线AP即为所求；
（2）；垂径定理；∠CAP
【知识点】垂径定理；线段垂直平分线的判定；角平分线的概念；尺规作图-垂直平分线；圆周角定理的推论
【解析】【解答】（2）证明：连接，，，．
，，
点，在的垂直平分线上．
，即．
（垂径定理）（填推理的依据）．
．
是的角平分线，
故答案为：，垂径定理，．
【分析】（1）根据题目所给作图步骤作出图形解答；
（2）连接，，，．得到O，在的垂直平分线上．即可得到．根据垂径定理可得，再由同圆周角定理的推论可得，即可得到结论．
20．如图①将水槽放置在水平桌面上，水槽的横截面为半圆，为直径，为水面，，测得，．
（1）如图①，圆心到水面的距离为，求的长．
（2）将如图①的水槽向右倾斜得到如图②，此时，水面与点在同一水平线上，求的值．
【答案】（1）解：连接，则，
圆心的直线垂直于，垂足为，
故，
故；
（2）解：连接，由为直径知．
，
故：．
【知识点】垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正弦值
【解析】【分析】（1）连接，由题意可得，由垂径定理可得，再由勾股定理求解即可；
（2）连接，根据为直径可得，利用勾股定理求得，再根据三角函数的定义求解即可．
（1）解：连接，则，
圆心的直线垂直于，垂足为，
故，
故；
（2）连接，由为直径知．
，
故：．
21．如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D是劣弧AB上的一动点，连接AD，BD，CD，CD交AB于点 E.
（1）如图 1，∠ADB=　 　度，写出图中一对相似三角形： 　 　：
（2）如图2，若点D为劣弧AB的中点时，试判断线段CD与AB的位置关系：
（3） 在图1中，若AB=2，求△ABD周长的最大值.
【答案】（1）120；△ACE∽△DBE(答案不唯一)
（2）解：∵点 D为劣弧 AB的中点.
∴弧AD=弧BD.
∴∠ACE=∠BCE.
∵△ABC是等边三角形.
∴CD垂直平分 AB，即 CD是AB的垂直平分线
（3）解：延长BD到点F，取DF=AD，连接AF
∵∠ADB=120°
∴∠ADF=60°
∴△ADF是等边三角形
∴AD=AF，∠DAF=60°
∵等边三角形ABC中，AB=2
∴AC=BC=AB=2，∠BAC=60°
∴∠DAC=∠FAB=∠DAB+60°
∴△CAD≌△BAF(SAS)
∴BD+AD=BD+DF=BF=CD
∴当CD为直径时，长度最大，连接OA
有CD⊥AB，CE=ACsin60°=，
设⊙O半径为r，则
∴
解得：
∴
∴△ABD周长的最大值为
【知识点】三角形全等及其性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D是劣弧AB上的一动点
∴∠ACB=60°
∵∠ACB+∠ADB=180°
∴∠ADB=120°
∵
∴∠ACE=∠DBE
∵∠AEC=∠DEB
∴△ACE∽△BDE
故答案为：120；△ACE∽△DBE(答案不唯一)
【分析】（1）根据等边三角形性质可得∠ACB=60°，根据圆内接四边形性质性质可得∠ADB，根据同弧所对的圆周角相等可得∠ACE=∠DBE，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据圆周角定理可得∠ACE=∠BCE，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）延长BD到点F，取DF=AD，连接AF，根据补角可得∠ADF，根据等边三角形判定定理可得△ADF是等边三角形，则AD=AF，∠DAF=60°，再根据等边三角形性质可得AC=BC=AB=2，∠BAC=60°，根据全等三角形判定定理可得△CAD≌△BAF(SAS)，则BD+AD=BD+DF=BF=CD，当CD为直径时，长度最大，连接OA，根据含30°角的直角三角形性质可得CE，AE，设⊙O半径为r，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
22．如图，AB是圆的一条弦(不是直径).仅用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，并保留作图痕迹，不写作法.
（1）作圆心O和 的中点 M.
（2）连结OM，交AB于点 N，若AB=4， ON=3，求⊙O的半径.
【答案】（1）解：如图，点和点即为所求，
（2）解：如图，连接，
由（1）可知，点是的中点，
∴，
∴，
在中，．
【知识点】勾股定理；确定圆的条件；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）在圆弧上再取一点，连接，作弦AB，AC的垂直平分线交于点O，点O即为圆心，的垂直平分线与的交点即为中点；
（2）连接，根据垂径定理的逆定理可得，，然后在Rt△AON中根据勾股定理求出圆的半径即可．
23．如图，在上有，，三点，，不使用圆规，只用无刻度的直尺作出符合下列要求的角，保留作图痕迹．
（1）请在图中作一个的圆周角，记为．
（2）请在图中作一个的圆心角，记为．
【答案】（1）解：如图，在劣弧上任取一点，连接，，则即为所求作；
（2）答：如图，连接BO交延长交 于点F，则即为所求作.

【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；邻补角
【解析】【分析】
（1）圆内接四边形对角互补；
（2）由圆周角定理得，再利用邻补角的概念延长BO交圆O于点F，则即为所求作．
（1）解：如图，在劣弧上任取一点，连接，，
即为所求作；
（2）解：延长交于点，
即为所求作．
24．阅读下列材料，并完成相应的任务．
托勒密定理：托勒密（Ptolemy）（公元90年～公元168年），希腊著名的天文学家，他的重要著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理．
托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．
已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，
求证：AB CD+BC AD＝AC BD
下面是该结论的证明过程：
证明：如图2，作∠BAE＝∠CAD，交BD于点E．
∵∴∠ABE＝∠ACD∴△ABE∽△ACD
∴∴AB CD＝AC BE
∵∴∠ACB＝∠ADE（依据1）
∵∠BAE＝∠CAD∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC
即∠BAC＝∠EAD ∴△ABC∽△AED（依据2）
∴AD BC＝AC ED ∴AB CD+AD BC＝AC （BE+ED） ∴AB CD+AD BC＝AC BD
任务：
（1）上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：　 　．（请写出）
（3）如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为的中点，求AC的长．
【答案】（1）解：上述证明过程中的“依据1”是同弧所对的园周角相等；“依据 2”是两角分别相等的两个三角形相似.
（2）勾股定理
（3）解：连接BD，作CE⊥BD于E.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180"，
∵∠BAD=60°，
∴∠BCD=120°，
∵，
∴CD=CB，
∴∠CDB=30°，
在Rt△CDE中，，
∴
∴，
由托勒密定理：AC·BD=AD·BC+CD·AB，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；矩形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；解直角三角形—边角关系；托勒密定理模型
【解析】【解答】解：(2)当圆内接四边形ABCD是矩形时，
则AB=CD，AD=BC，AC=BD，
∵AB·CD+AD·BC=AC·BD，
∴AB2+AD2=BD2，
托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：勾股定理，
故答案为：勾股定理.
【分析】(1)根据圆周角定理，相似三角形的判定即可解决问题；
(2)利用矩形的性质以及托勒密定理即可判断；
(3)连接BD，作CE⊥BD于E，首先证明，由托勒密定理，构建方程求出AC即可.
25．“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的等弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图．
（1）若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“　 　 连弧纹镜”；
（2）请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）七
（2）解：如图
【知识点】垂径定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：（1）将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“七连弧纹镜”
故答案为：七.
【分析】（1）利用圆心角、弧、弦之间的关系，连接一段等弧的两个端点构成弦，再在圆上截取相同长度的弦即可.
（2）利用垂径定理，先确定出两个同心圆的圆心，再依次找出等弧的圆心即可.
26．【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做“圆美四边形”，其中这个角叫做“美角”.
（1）【初步应用】
如图①，四边形ABCD 是“圆美四边形”，∠A 是“美角”.
①∠A 的度数为 ▲ .
② 连结 BD，若⊙O 的半径为5，求线段 BD的长.
（2）【拓展提升】
如图②，四边形ABCD 是“圆美四边形”，∠BAD 是“美角”，连结 CA. 若 CA 平分∠BCD，请判断 BC，CD 与AC 之间的等量关系，并说明理由.
【答案】（1）解：① 60°.
②如图①，连结 DO 并延长，交⊙O于点E，连结BE，则∠E=∠A=60°，DE=10.
∵ DE 是⊙O的直径，
∴∠EBD=90°.
∴∠BDE=30°.
∴ 易得.
（2）解：AC=BC+CD.
理由：如图②，连结 BD，延长CB 到点E，使 EB=CD，连结AE.
易得∠BAD=60°.
∵CA 平分∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD=60°.
∴∠ABD=∠ACD=60°，∠ADB=∠ACB=60°.
∴△ABD为等边三角形.
∴AB=AD.
在△AEB 和△ACD中，
∵ AB = AD，∠EBA =∠CDA =180°-∠ABC，EB=CD，
∴△AEB≌△ACD.
∴ ∠E =∠ACD = 60°，∠EAB =∠CAD.
∴ ∠EAC = ∠EAB + ∠BAC =∠CAD+∠BAC=60°.
∴ 易得△ACE 为等边三角形.
∴ EC=AC.
∴ AC=EC=BC+EB=BC+CD.
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）①由题意得 而 ，
故答案为：60；
【分析】(1)①由题意得： 而 180即可求解；
②连接DO并延长交圆于E点，连接BE，根据正弦的定义解答即可
(2)连接BD， 延长CB到E， 使得BE=CD，证得 为等边三角形，进而证得 ，即可证得 为等边三角形，BC+CD=CE，可得AC=CE=BC+CD.
27．如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接．
（1）求的度数．
（2）是正三角形吗？请说明理由．
（3）从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
【答案】（1）解：∵正五边形ABCDE，
∴，
∴
∵，
∴∠AOC=3×72°=216°，
∴
（2）解：是正三角形，理由如下：
连接ON，FN，
由作图知：FN=FO，
∵ON=OF，
∴ON=OF=FN，
∴△OFN是正三角形，
∴∠OFN=60°，
∴∠AMN=∠OFN=60°
同理∠ANM=60°，
∴∠MAN=60°， 即∠AMN=∠ANM=∠MAN，
∴△AMN是正三角形；
（3）解：∵△AMN是正三角形，
∴∠AON=2∠AMN=120°
∵，
∴∠AOD=2×72°=144°，
∵，
∴∠NOD=144°-120°=24°，
∴.
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【分析】】(1)根据正五边形的性质以及圆的性质可得，则∠AOC(优弧所对圆心角)=3×72°=216°，然后根据圆周角定理即可得出结论；
(2)根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论；
(3)运用圆周角定理并结合(1)(2)中结论得出∠NOD=144°-120°=24°，即可得出结论.
28．如图，已知四边形内接于半径为的圆，且于，于．
（1）求证：．
（2）设是圆上不同于四边形顶点的一点，过作于，于，于，于（其中，，未画出）．
（2.1）求证：．
（2.2）求证：．
【答案】（1）证明：连接并延长，交于，连接，，，，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
是的中位线，
，
（2）（2.1）证明：连接并延长，交于，连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径为，
；
（2.2）证明：根据题意作图如下：
连接，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
于，于，
，
，
，
于，于，
，
，
，
，
，
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）通过连接并延长，交于，连接，，，，利用垂径定理和圆周角定理、圆心角定理及三角形中位线的性质可求解；
（2）（2.1）构造直径，利用圆周角定理得到直角三角形，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，将比例式化为乘积式可求解；
（2.2）连接DQ，根据圆内接四边形的性质得，结合已知，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，同理可证明，得，将两个笔试整理即可求解得．
（1）证明：连接并延长，交于，连接，，，，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
是的中位线，
，
；
（2）（2.1）证明：连接并延长，交于，连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径为，
；
（2.2）证明：根据题意作图如下：
连接，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
于，于，
，
，
，
于，于，
，
，
，
，
，
．
29． 如图，在四边形ABCD中， 过点A， B， C作⊙O交CD边于点E，连结AE，且.AD=AE.
（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形.
（2）若
①求四边形ABCD 的面积.
②延长BC至点 G，连结DG，使 在线段CG上取点 F，过点 F作 交DG于点 H，求 GH的最大值.
【答案】（1）证明：如图1，
∵AD=AE， ∴∠1=∠2.
∵AD∥BC， ∴∠1=∠DCG， ∴∠2=∠DCG.
∵∠2+∠AEC=180°， ∠B+∠AEC=180°，
∴∠2=∠B， ∴∠DCG=∠B， ∴AB∥CD，
∴四边形ABCD 是平行四边形.
（2）解：①如图2，连结AO并延长交BC于点I.
∵四边形ABCD 是平行四边形， AD=AE=6，
∴BC=AD=6.
∴四边形ABCD 的面积=BC×AI=6×12=72.
②如图3，分别过点A， D， H作BG的垂线于点I， M， N，
则四边形AIMD 为矩形， ∴IM=AD=6， DM=AI=12.
设NH=3a，则
∵∠AIF=∠FNH=90°， ∠IAF=∠NFH，
∴△AIF∽△FNH，
令IF=b，则
即
∴由二次函数 的图象得a≤1 (a≥49舍去) ，
∴当a=1时， GH的最大值为 ，此时b=6符合题意.
【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质；解直角三角形—边角关系；圆与四边形的综合；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）根据等边对等角和平行线的性质得到∠2=∠DCG，然后根据圆内接四边形的性质和邻补角的定义得到∠DCG=∠B=∠2，即可得到，进而证明结论；
（2）①连结并延长交于点I，根据垂径定理可得BI=IC=3，利用勾股定理求出的长，然后根据平行四边形的面积公式计算即可；
②分别过点A，D，H作的垂线于点I，M，N， 即可得到四边形为矩形，根据正切的定义求出IG长，设NH=3a，IF=b，然后根据两脚对应相等得到，根据对应边成比例即可得到，把b看作主元，根据方程有诗书根据得到，求出a的最大值解答即可．
30．【学习心得】学习完《圆的基本性质》这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以变得很容易.我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”.这类题目主要是两种类型.
（1）①类型一，“定点+定长”.如图①，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=56°，D是△ABC外的一点，且AD=AC，则∠BDC的度数为　 　.
②类型二，“定角+定弦”.如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12，BC=8，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，求线段CP长的最小值.
解：∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°.
∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=　 　，（定角）
∴点P在以AB（定弦）为直径的⊙O上.易求得CP长的最小值为　 　.
（2）【问题解决】
如图③，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，P是边BC上一动点（点P不与点B，C重合），连结AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC长的最小值为　 　.
（3）【问题拓展】
如图④，在正方形ABCD中，AD=10，动点E，F分别在边DC，CB上移动，且满足DE=CF，连结AE，DF，交于点P.
①请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；
②当点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长.
【答案】（1）①28°；②90°；4
（2）4
（3）①AE=DF，AE⊥DF.理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°.
在△ADE和△DCF中，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴AE=DF，∠DAE=∠CDF.
∵∠ADE=90°，∴∠ADP+∠CDF=90°，∴∠ADP+∠DAE=90°，
∴∠APD=180°-（∠ADP+∠DAE）=180°-90°=90°，∴AE⊥DF.
②连结AC，BD交于点O，如图.
∵在点P的运动过程中，∠APD=90°，
∴点P在以AD为直径的圆上运动，设圆心为M.
当点E运动到点C时，点P运动到点O，∴点P的运动路径是DO.
连结OM.
∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC=45°，∴∠DMO=2∠DAC=90°，∴点P的运动路径长
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；弧长的计算；三角形全等的判定-SAS；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：（1）
∴点B，点C，点D在以点A为圆心，AB为半径的圆上，
如图1，
故答案为：
∴点P在以AB(定弦)为直径的⊙O上，如图2，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
∵点O是AB的中点，
在 中， 6，
∴PC最小值为4，
故答案为： 4；
(2)如图3， 连接AC， AM，
∵点B，点M关于直线AP对称，
∴点M在以点A为圆心，AB为半径的圆上运动，
∴当点M在线段AC上时，MC有最小值，
∴CM的最小值为(CM=AC-AM=10-6=4，
故答案为：4.
【分析】(1)①以点A(定点)为圆心，AB(定长)为半径作辅助圆⊙A，得出. 是⊙A的圆心角，而. 是圆周角，即可求出答案；
②先判断出 进而判断出∠ 进而判断出点P在OC上，即可求出答案；
(2)当A，M，C三点共线时，线段CM的长度最小，求出此时CM的长度即可；
(3)①由“SAS”可证 可得AE=DF， ，由余角的性质可证AE
②由题意可得点P的运动路径是以AD为直径的圆的 由弧长公式可求解.
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