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【浙江三轮】2026年中考数学知识点·考点一遍过专题9 平行线，尺规作图与三角形判定与性质
一、中考中的平行线与相交线
1．如图，下列条件能推出a∥b的是(　　)
A．∠1=∠3 B．∠1=∠4 C．∠2=∠3 D．∠2=∠4
2．当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象(如图所示)，现将一个盛水的玻璃杯放置在水平桌面上，图中∠2=80°，∠3=30°，则∠1=(　　)
A．30° B．40° C．50° D．60°
3．如图， AB∥DC， BC∥DE， ∠B=145°，则∠D的度数为( )
A．35° B．40° C．45° D．55°
4．如图，两条直线l1， l2分别经过正六边形ABCDEF 的顶点B 、C，且l1//l2．当∠2=95°时，则∠1=　 　°.
5． 如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数为（　　）.
A．130° B．140° C．150° D．160°
6．尺规作图问题：已知，过点作直线，使得．
如图是小聪同学的作法：
①作的垂直平分线，交于点，交直线于点；
②以为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连结，则．
（1）请说明的理由；
（2）小聪在作图时发现以为圆心，长为半径的弧会过点，若，求的度数．
二、中考中的尺规作图
7．尺规作图问题：
已知是钝角，，请用尺规作AC的中点.
小聪：如图1，以点为圆心，BC长为半径作弧，以点为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点，连结BQ交AC于点，则点为AC的中点.
小明：如图2，作AB的中垂线，垂足为点，作BC的中垂线，垂足为点，以点为圆心，BN为半径作弧，交AC边于点，则点为AC的中点.
小聪：小明，你的作法有问题.
小明：哦……我明白了.
（1）证明：小聪的作法是正确的.
（2）指出小明作法中存在的问题.
8．已知，，为了得到矩形ABCD，甲、乙两位同学的作图方法如下.
甲：如图1，以点A为圆心，BC长为半径画弧，再以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，且点D与B位于AC的异侧，连结AD，CD，得四边形ABCD.
乙：如图2，分别以点A，C为圆心，大于的相同长为半径画弧，连结两弧交点的直线交AC于点O，连结BO；再以点O为圆心，OB长为半径画弧，交线段BO的延长线于点D，连接AD，CD，得四边形ABCD.
请判断甲、乙两位同学的作法是否正确，并选择其中一种作法说明判断理由.
9．下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知：如图1，在Rt中，．
求作：Rt的外接圆．
作法：
⑴分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点；
⑵作直线，交于点；
⑶以为圆心，为半径作．
如图即为所求作的圆．
下列不属于该尺规作图依据的是（　　）
A．两点确定一条直线
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
10．小温和小州在研究尺规作图问题：过直线外一点P作已知直线l的平行线．
如图1，①在直线l上取一点A，连接并在延长线上取一点O（与l不垂直）． ②以O为圆心，为半径画弧交直线l于另一点B，连接． ③再以O为圆心，为半径画弧交线段于点Q，作直线即可．
如图2，①在直线l上取两点C，D，作的角平分线． ②以P为圆心，为半径的圆弧交于点Q，作直线即可．
（1）给出小温作法中的证明．
（2）在图2中，完成小州的尺规作图，并保留作图痕迹．
11．如图，在4×5的正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C都在网格的格点上。
（1）请在答题卷图19-1中仅用一把无刻度的直尺画出等腰△ABP（P为格点）；
（2）请在答题卷图19-2中仅用一把无刻度的直尺画出∠ABC的角平分线BQ，并加以证明。
12．如图， 在 中， ， 点 为 边上的任意一点， 将 沿过点 的直线折叠， 使点 落在边 上的点 处， 探究： 是否存在点 ， 使得 为直角三角形？
（1） 请仅用无刻度的直尺和圆规作出所有可能的点 ， 不同的折叠方式确定的点 请在不同的图中作出来 (不写作法，保留作图痕迹)．
（2）直接写出对应的线段 的长．
13．如图，在的正方形网格图中，小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，在该网格图中只用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹.
（1）在线段上画出点，使.
（2）画出的外接圆圆心，并连结，，求弧的长
三、中考中三角形的相关性质
14．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD的长分别为6和4，则边 BC长的范围是　 　.
15．如图，已知在△ABC中，AB=AC，AG是BC上的高线，点D是AG上的一点，BD交AC于点F.过点D作DE∥AB交AC于E，联结CD，若CF=2EF，△ABC的面积为2，则△ADF的面积为　 　.
16． 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，CE平分∠ACB交AB于点E，过点E作FE⊥EC交AC于点F，连结BF并延长交AD于点G，交EC于点H，则△AFG与△BCH的面积比为　 　。
17． 【阅读理解】
我国南宋时期数学家秦九韶著有《数书九章》，书中记载了“三斜求积术”，即根据三角形的三边长求面积的方法.如果将三角形的三边长分别记为a，b，c，那么三角形的面积
【推导验证】
已知：如图，在△ABC中，记AB=c， BC=a， AC=b.
求证：△ABC的面积
证明：过点A作AD⊥BC于点D，
设CD=x，则BD=a-x，
……
（1）请你继续完成上述推导.
（2）【尝试应用】
已知△ABC的三边长分别为 ， 2， ，请用“三斜求积术”求△ABC的面积.
四、中考中的三角形全等判定及性质
18． 如图所示，和都是等边三角形，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
19．如图，E 为正方形ABCD 的对角线BD 上一点，连结AE 并延长，交 CD 于点 F.若CF=EF，则∠DAE 的度数为 (　　)
A．15° B．25° C．30° D．45°
20．如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连结EA，EC.
（1）求证：△EAB≌△ECB.
（2）若BD=6，若∠AEC=45°，求DE的长.
21．如图， BC是由CA绕点C顺时针旋转90°得到的，即AC=BC，且∠ACB=∠BDC=∠AED=90°.
（1）求证： CE=BD.
（2）若 求BD的长.
22．如图，在菱形ABCD中，点E， F分别在BC， CD上，且CE=CF．求证： AE=AF．
23．已知，如图，于点于点．
（1）求证：；
（2）求证：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图，
A、由不能推出，不符合题意；
B、由不能推出，不符合题意；
C、由不能推出，不符合题意；
D、如图，当时，
∵，
∴，
∴（同位角相等，两直线平行），符合题意；
故答案为：D .
【分析】 根据平行线的判定定理逐项判断即可．
2．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
∵水面与玻璃杯的杯底平行，
又
故选： C.
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠4的度数，然后根据角的和差解答即可.
3．【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：
故选： A.
【分析】由平行线的性质推出 得到 解答即可.
4．【答案】35
【知识点】平行线的性质；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：如图，
正六边形内角和为：，
，
，，
，
，
故答案为：35.
【分析】先求出正六边形的每个内角的度数，然后根据平行线的性质解答即可．
5．【答案】D
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠1=∠FEN=30°，∠3+∠BEF=180°，
∵∠BEF=∠BEN-∠FEN=50°-30°=20°，
∴∠3=180°-∠BEF=120°.
故答案为：D.
【分析】过点E作EF∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得EF∥AB∥CD，由平行线的性质得∠1=∠FEN=30°，∠3+∠BEF=180°，而∠BEF=∠BEN-∠FEN从而代入计算即可解决问题.
6．【答案】（1）证明：为中垂线，
，
，
∵，，
，
，
；
（2）解：∵ 以为圆心，长为半径的弧会过点，
∴，
∵，
，
．

【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）由中垂线的性质可得，则，结合，，证明，进一步可得结论；
（2）由，，可得，再利用三角形的内角和定理可得答案．
（1）证明：如图，
为中垂线，
，
，
由作图可得，，
，
，
；
（2）解：据题意，，
，
．
7．【答案】（1）解：由作法得：，
四边形ABCQ是平行四边形，
∵点P为AC与BQ的交点，
∴点P为AC的中点，
小聪的作法是正确的．
（2）解：以点M为圆心，BN为半径作弧，与AC边可能交于两点P1，P2，如图．
小明的作法存在问题.
【知识点】平行四边形的判定与性质；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）由作图可得，AQ=BC，AB=CQ，则可得四边形ABCD为平行四边形，进而可得点P为AC的中点．
（2）以点M为圆心，BN为半径作弧，与AC边可能交于两点P1，P2，即可得出答案．
8．【答案】解：甲、乙两位同学的作法都正确.
甲作法正确的理由如下：
由图1作法可知：，，
又点B，D在AC异侧，
所以四边形ABCD是平行四边形.
又因为 ，
所以四边形ABCD是矩形.
或
甲、乙两位同学的作法都正确.
乙作法正确的理由如下：
由图2作法可知，点O是AC的中点，即，且，
所以四边形ABCD是平行四边形.
又因为，
所以四边形ABCD是矩形.
【知识点】矩形的判定；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-线段的和差
【解析】【分析】甲：运用两组对边分别相等得到ABCD是平行四边形，再根据∠B是直角得到结论即可；乙：根据对角线相等且平分的四边形是矩形解答即可.
9．【答案】D
【知识点】两点确定一条直线；线段垂直平分线的判定；直角三角形的性质；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-作三角形的外接圆
【解析】【解答】解：由作图痕迹可得线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等不属于该尺规作图依据.
故答案为：D.
【分析】步骤2的依据是两点确定一条直线，由与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上可得OA=OB，再通过直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OC=OA=OB，即点C在 上，故是Rt的外接圆．
10．【答案】（1）证明：∵，
，
，
∵，
∴，
，
．
（2）解：PQ即为所求.
【知识点】三角形内角和定理；作图-平行线；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理可证明及，则，再由平行线的判定定理可证明结论；
（2）根据题意结合角平分线的尺规作图方法作图即可．
（1）证明：由作图可知：，
；
，
，
．
（2）解：作图如下：
11．【答案】（1）解：如图，点P即为所求；
由勾股定理，得：；
∴AB=BP，
∴△ABP为等腰三角形.
（2）解：如图，BQ即为所求；
证明如下：
由(1)知：△ABP为等腰三角形，AB=BP，
∵D为AP的中点，
∴BD平分∠ABP，即：BQ平分∠ABC.
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【分析】(1)勾股定理求出AB的长，进而取格点P，使BP=AP即可；
(2)取AP的中点D，连接BD，交AC于点Q，根据三线合一，即可得到BQ平分∠ABC.
12．【答案】（1）解：①当∠BED=90°时，如图1即为所求；
②当∠BDE=90°时，如图2即为所求；
（2）解： 或 .
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；尺规作图-直角三角形
【解析】【解答】解：（2）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴，
设CD=x，则BD=4-x，
①当∠BED=90°时，根据折叠的性质得AE=AC=3，DE=CD=x，
∴BE=AB-AE=5-3=2，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴CD的长为；
②当∠BDE=90°时，根据折叠的性质得CD=DE=x，∠ECD=∠CED，
∵CE平分∠ACB，∠ACB=90°，
∴∠ECD=∠CED=45°，
∴∠CDE=90°，
∴∠CDE=∠ACB，
∴AC∥DE，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴CD的长为；
综上所述， 或 .
【分析】（1）分情况进行讨论：①当∠BED=90°时，作∠BAC的角平分线AD交BC于点D，沿AD折叠，此时为直角三角形；
②当∠BDE=90°时，作∠ACB的角平分线CE交AB于E，然后作CE的垂直平分线FD分别交BC、AC于点D、F，沿DF折叠，此时为直角三角形；
（2）利用勾股定理求出AB=5，设CD=x，则BD=4-x，然后进行分类讨论：①当∠BED=90°时，根据折叠的性质得AE=AC=3，DE=CD=x，从而求出BE=2，进而利用勾股定理得关于x的方程，解方程求出x的值即可得CD的值；当∠BDE=90°时，根据折叠的性质、角平分的定义得CD=DE=x，∠ECD=∠CED=45°，从而有∠CDE=∠ACB=90°，进而得AC∥DE，证出，根据相似三角形对应边成比例得关于x的方程，解方程求出x的值即可得CD的值.
13．【答案】（1）解：如下图所示：
（2）解：如图所示
如下图，易知BE=OF，CF=OE，得△BOE≌△OCF，
∠BOE=∠OCF，而∠COF+∠OCF=90°得∠BOE+∠COF=90°，即∠BOC=90°
OB=，
故弧BC的长L=
【知识点】勾股定理；弧长的计算；作图﹣相似变换；尺规作图-作三角形的外接圆
【解析】【分析】(1)由AB=2，AC=4，由得AB2=AC AD，得AD=2，画出图即可；
(2)AB与AC的垂直平分线的交点即为圆心；由△BOE≌△OCF得∠BOC=90°，即可求出弧长.
14．【答案】1【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，设对角线AC、BD交于点O，
∵ABCD是平行四边形， AC，BD的长分别为6和4，
∴BO=2，AO=3，
∴3-2故答案为：1【分析】设对角线AC、BD交于点O，根据平行四边形的性质得到BO=2，AO=3，再根据三角形三边关系解答即可.
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：，是边上的高线，的面积为，
平分，，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，即
整理得，
，，
，
，，
如图，过点作交于点，
是的中点，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：.
【分析】根据等腰三角形三线合一和平行线的性质可得，即可得到，设，则，根据平行线的性质得到，然后根据对应边成比例求出的长，即可求得，的长，过点作交于点， 根据平行线分线段成比例求出的值，然后根据三角形的面积公式解答即可．
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；8字型相似模型
【解析】【解答】解：延长CE交DA延长线于N，作EM⊥AC于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD∥BC
又∵AB=8，BC=6，
∴，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵AD∥BC，
∴∠N=∠BCE，
∴∠N=∠ACE，
∴AC=AN=10，
∵AN∥BC，
∴△ANE∽△BCE，
∴，
∴，，
∵AE+BE=AB=8，
∴AE=5，BE=3，
在△EBC于△EMC中，
∵∠EBC=∠EMC，∠ECB=∠ECM，EC=EC，
∴△EBC≌△EMC，
∴EB=EM=3，BC=CM=6，
∵∠ECF=∠ECM，∠FEC=∠EMC=90°，
∴△FEC∽△MEC，
∴，
∴，
∵CE2=BC2+BE2=45，
∴，
∴AF=AC-CF=；
∵AG∥BC，
∴△AGF∽△CBF，
∴，
∴，，
∴，
∴S△AGF=S△ABG=，
∵GN∥BC，
∴△NGH∽△CBH，
∴，
∴，，
∴，
∴S△BCH=S△BCE=，
∴.
故答案为：.
【分析】延长CE交DA延长线于N，作EM⊥AC于M，由矩形的性质得∠ABC=90°，AD∥BC，由是勾股定理算出AC的长，由角平分定义及平行线性质可推出∠N=∠ACE，由等角对等边得AC=AN=10，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△ANE∽△BCE，由相似三角形对应边成比例求出，，进而即可算出AE=5，BE=3；然后根据AAS判断出△EBC≌△EMC，得EB=EM=3，BC=CM=6；由有两组角对应相等的两个三角形相似得△FEC∽△MEC，由相似三角形对应边成比例并结合勾股定理可求出；由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△AGF∽△CBF，由相似三角形对应边成比例求出，，由同高三角形面积之比等于对应底之比得，从而可求出△AGF的面积为2；由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△NGH∽△CBH，由相似三角形对应边成比例求出，，由同高三角形面积之比等于对应底之比得，据此可算出△BCH的面积为8，从而即可求出两个三角形的面积之比.
17．【答案】（1）证明：过点A作于点D，
设，则，
∴，
，
，
，
解得，
∴，
∴
．

（2）解：假设 代入，得
【知识点】二次根式的实际应用；三角形的面积；勾股定理；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）先解方程求出，即可得到，然后根据三角形面积公式计算即可；
（2）假设， ，，代入（1）中的结论计算即可．
18．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∵，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴，
又∵
∴
，
∴
．
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的性质，利用SAS得到，即可得到．进而得到，然后根据三角形的内角和定理解答即可．
19．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°，∠ADE=∠CDE=45°，
又∵DE=DE，
∴△ADE≌△CDE(SAS)，
∴∠DAE=∠DCE，
又∵ CF=EF，
∴∠FEC=∠FCE，
∴∠AFD=∠FEC+∠FCE=2∠FCE=2∠DAF，
∴∠DAF+∠DFA=∠DAF+2∠DAF=3∠DAF=90°，
∴∠DAF=30°，
故答案为：C .
【分析】根据正方形的性质，根据SAS得到△ADE≌△CDE，即可得到∠DAE=∠DCE，然后根据等边对等角和三角形的外角得到∠AFD=2∠DAF，即可得到∠DAF+∠DFA=3∠DAF=90°，解答即可.
20．【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，
AB=CB，∠ABE=∠CBE=45°.
在△EAB和△ECB中，
∴△EAB≌△ECB(SAS)
（2）解：由(1)知△EAB≌△ECB，
∴∠BEC=∠BEA.
∵∠AEC=45°，
∵∠BDC=45°，
∴∠DCE=∠BDC-∠BEC=22.5°，
∴∠BEC=∠DCE，
∴DE=DC.
∵BD=6，∠DBC=45°，
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，利用SAS得到△EAB≌△ECB即可；
（2）根据全等三角形的对应角相等得到∠BEC=∠BEA=22.5°，即可得到DE=DC，再根据勾股定理解答即可.
21．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（负值不符合题意，舍去），
∴．
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据AAS得到，然后根据对应边相等得到结论即可；
（2）根据全等三角形的对应边相等可得，再根据三线合一得到，再根据勾股定理解答即可．
22．【答案】证明：∵在菱形ABCD中， AB=AD， CB=CD， ∠B=∠D；
已知CE=CF，
∴CB-CE=CD-CF，即BE=DF；
∴在△ABE和△AFD中
∴△ABE≌△AFD (AAS)
∴AE=AF
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据菱形的性质，利用AAS得到△ABE≌△AFD，再根据全等三角形的对应边相等得到结论即可.
23．【答案】（1）证明：连接，如图所示：
在和中，
，
，
（2）证明：由（1）可知：，
，
，，
，
在和中，
，
，
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）连接，根据SSS得到，再根据全等三角形的对应角相等得到结论即可；
（2）由（1）可得，再根据角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用HL得到，根据全等三角形的对应边相等得到结论即可．
1 / 1【浙江三轮】2026年中考数学知识点·考点一遍过专题9 平行线，尺规作图与三角形判定与性质
一、中考中的平行线与相交线
1．如图，下列条件能推出a∥b的是(　　)
A．∠1=∠3 B．∠1=∠4 C．∠2=∠3 D．∠2=∠4
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图，
A、由不能推出，不符合题意；
B、由不能推出，不符合题意；
C、由不能推出，不符合题意；
D、如图，当时，
∵，
∴，
∴（同位角相等，两直线平行），符合题意；
故答案为：D .
【分析】 根据平行线的判定定理逐项判断即可．
2．当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象(如图所示)，现将一个盛水的玻璃杯放置在水平桌面上，图中∠2=80°，∠3=30°，则∠1=(　　)
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
∵水面与玻璃杯的杯底平行，
又
故选： C.
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠4的度数，然后根据角的和差解答即可.
3．如图， AB∥DC， BC∥DE， ∠B=145°，则∠D的度数为( )
A．35° B．40° C．45° D．55°
【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：
故选： A.
【分析】由平行线的性质推出 得到 解答即可.
4．如图，两条直线l1， l2分别经过正六边形ABCDEF 的顶点B 、C，且l1//l2．当∠2=95°时，则∠1=　 　°.
【答案】35
【知识点】平行线的性质；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：如图，
正六边形内角和为：，
，
，，
，
，
故答案为：35.
【分析】先求出正六边形的每个内角的度数，然后根据平行线的性质解答即可．
5． 如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数为（　　）.
A．130° B．140° C．150° D．160°
【答案】D
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠1=∠FEN=30°，∠3+∠BEF=180°，
∵∠BEF=∠BEN-∠FEN=50°-30°=20°，
∴∠3=180°-∠BEF=120°.
故答案为：D.
【分析】过点E作EF∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得EF∥AB∥CD，由平行线的性质得∠1=∠FEN=30°，∠3+∠BEF=180°，而∠BEF=∠BEN-∠FEN从而代入计算即可解决问题.
6．尺规作图问题：已知，过点作直线，使得．
如图是小聪同学的作法：
①作的垂直平分线，交于点，交直线于点；
②以为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连结，则．
（1）请说明的理由；
（2）小聪在作图时发现以为圆心，长为半径的弧会过点，若，求的度数．
【答案】（1）证明：为中垂线，
，
，
∵，，
，
，
；
（2）解：∵ 以为圆心，长为半径的弧会过点，
∴，
∵，
，
．

【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）由中垂线的性质可得，则，结合，，证明，进一步可得结论；
（2）由，，可得，再利用三角形的内角和定理可得答案．
（1）证明：如图，
为中垂线，
，
，
由作图可得，，
，
，
；
（2）解：据题意，，
，
．
二、中考中的尺规作图
7．尺规作图问题：
已知是钝角，，请用尺规作AC的中点.
小聪：如图1，以点为圆心，BC长为半径作弧，以点为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点，连结BQ交AC于点，则点为AC的中点.
小明：如图2，作AB的中垂线，垂足为点，作BC的中垂线，垂足为点，以点为圆心，BN为半径作弧，交AC边于点，则点为AC的中点.
小聪：小明，你的作法有问题.
小明：哦……我明白了.
（1）证明：小聪的作法是正确的.
（2）指出小明作法中存在的问题.
【答案】（1）解：由作法得：，
四边形ABCQ是平行四边形，
∵点P为AC与BQ的交点，
∴点P为AC的中点，
小聪的作法是正确的．
（2）解：以点M为圆心，BN为半径作弧，与AC边可能交于两点P1，P2，如图．
小明的作法存在问题.
【知识点】平行四边形的判定与性质；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）由作图可得，AQ=BC，AB=CQ，则可得四边形ABCD为平行四边形，进而可得点P为AC的中点．
（2）以点M为圆心，BN为半径作弧，与AC边可能交于两点P1，P2，即可得出答案．
8．已知，，为了得到矩形ABCD，甲、乙两位同学的作图方法如下.
甲：如图1，以点A为圆心，BC长为半径画弧，再以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，且点D与B位于AC的异侧，连结AD，CD，得四边形ABCD.
乙：如图2，分别以点A，C为圆心，大于的相同长为半径画弧，连结两弧交点的直线交AC于点O，连结BO；再以点O为圆心，OB长为半径画弧，交线段BO的延长线于点D，连接AD，CD，得四边形ABCD.
请判断甲、乙两位同学的作法是否正确，并选择其中一种作法说明判断理由.
【答案】解：甲、乙两位同学的作法都正确.
甲作法正确的理由如下：
由图1作法可知：，，
又点B，D在AC异侧，
所以四边形ABCD是平行四边形.
又因为 ，
所以四边形ABCD是矩形.
或
甲、乙两位同学的作法都正确.
乙作法正确的理由如下：
由图2作法可知，点O是AC的中点，即，且，
所以四边形ABCD是平行四边形.
又因为，
所以四边形ABCD是矩形.
【知识点】矩形的判定；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-线段的和差
【解析】【分析】甲：运用两组对边分别相等得到ABCD是平行四边形，再根据∠B是直角得到结论即可；乙：根据对角线相等且平分的四边形是矩形解答即可.
9．下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知：如图1，在Rt中，．
求作：Rt的外接圆．
作法：
⑴分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点；
⑵作直线，交于点；
⑶以为圆心，为半径作．
如图即为所求作的圆．
下列不属于该尺规作图依据的是（　　）
A．两点确定一条直线
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
【答案】D
【知识点】两点确定一条直线；线段垂直平分线的判定；直角三角形的性质；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-作三角形的外接圆
【解析】【解答】解：由作图痕迹可得线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等不属于该尺规作图依据.
故答案为：D.
【分析】步骤2的依据是两点确定一条直线，由与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上可得OA=OB，再通过直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OC=OA=OB，即点C在 上，故是Rt的外接圆．
10．小温和小州在研究尺规作图问题：过直线外一点P作已知直线l的平行线．
如图1，①在直线l上取一点A，连接并在延长线上取一点O（与l不垂直）． ②以O为圆心，为半径画弧交直线l于另一点B，连接． ③再以O为圆心，为半径画弧交线段于点Q，作直线即可．
如图2，①在直线l上取两点C，D，作的角平分线． ②以P为圆心，为半径的圆弧交于点Q，作直线即可．
（1）给出小温作法中的证明．
（2）在图2中，完成小州的尺规作图，并保留作图痕迹．
【答案】（1）证明：∵，
，
，
∵，
∴，
，
．
（2）解：PQ即为所求.
【知识点】三角形内角和定理；作图-平行线；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理可证明及，则，再由平行线的判定定理可证明结论；
（2）根据题意结合角平分线的尺规作图方法作图即可．
（1）证明：由作图可知：，
；
，
，
．
（2）解：作图如下：
11．如图，在4×5的正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C都在网格的格点上。
（1）请在答题卷图19-1中仅用一把无刻度的直尺画出等腰△ABP（P为格点）；
（2）请在答题卷图19-2中仅用一把无刻度的直尺画出∠ABC的角平分线BQ，并加以证明。
【答案】（1）解：如图，点P即为所求；
由勾股定理，得：；
∴AB=BP，
∴△ABP为等腰三角形.
（2）解：如图，BQ即为所求；
证明如下：
由(1)知：△ABP为等腰三角形，AB=BP，
∵D为AP的中点，
∴BD平分∠ABP，即：BQ平分∠ABC.
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【分析】(1)勾股定理求出AB的长，进而取格点P，使BP=AP即可；
(2)取AP的中点D，连接BD，交AC于点Q，根据三线合一，即可得到BQ平分∠ABC.
12．如图， 在 中， ， 点 为 边上的任意一点， 将 沿过点 的直线折叠， 使点 落在边 上的点 处， 探究： 是否存在点 ， 使得 为直角三角形？
（1） 请仅用无刻度的直尺和圆规作出所有可能的点 ， 不同的折叠方式确定的点 请在不同的图中作出来 (不写作法，保留作图痕迹)．
（2）直接写出对应的线段 的长．
【答案】（1）解：①当∠BED=90°时，如图1即为所求；
②当∠BDE=90°时，如图2即为所求；
（2）解： 或 .
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；尺规作图-直角三角形
【解析】【解答】解：（2）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴，
设CD=x，则BD=4-x，
①当∠BED=90°时，根据折叠的性质得AE=AC=3，DE=CD=x，
∴BE=AB-AE=5-3=2，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴CD的长为；
②当∠BDE=90°时，根据折叠的性质得CD=DE=x，∠ECD=∠CED，
∵CE平分∠ACB，∠ACB=90°，
∴∠ECD=∠CED=45°，
∴∠CDE=90°，
∴∠CDE=∠ACB，
∴AC∥DE，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴CD的长为；
综上所述， 或 .
【分析】（1）分情况进行讨论：①当∠BED=90°时，作∠BAC的角平分线AD交BC于点D，沿AD折叠，此时为直角三角形；
②当∠BDE=90°时，作∠ACB的角平分线CE交AB于E，然后作CE的垂直平分线FD分别交BC、AC于点D、F，沿DF折叠，此时为直角三角形；
（2）利用勾股定理求出AB=5，设CD=x，则BD=4-x，然后进行分类讨论：①当∠BED=90°时，根据折叠的性质得AE=AC=3，DE=CD=x，从而求出BE=2，进而利用勾股定理得关于x的方程，解方程求出x的值即可得CD的值；当∠BDE=90°时，根据折叠的性质、角平分的定义得CD=DE=x，∠ECD=∠CED=45°，从而有∠CDE=∠ACB=90°，进而得AC∥DE，证出，根据相似三角形对应边成比例得关于x的方程，解方程求出x的值即可得CD的值.
13．如图，在的正方形网格图中，小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，在该网格图中只用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹.
（1）在线段上画出点，使.
（2）画出的外接圆圆心，并连结，，求弧的长
【答案】（1）解：如下图所示：
（2）解：如图所示
如下图，易知BE=OF，CF=OE，得△BOE≌△OCF，
∠BOE=∠OCF，而∠COF+∠OCF=90°得∠BOE+∠COF=90°，即∠BOC=90°
OB=，
故弧BC的长L=
【知识点】勾股定理；弧长的计算；作图﹣相似变换；尺规作图-作三角形的外接圆
【解析】【分析】(1)由AB=2，AC=4，由得AB2=AC AD，得AD=2，画出图即可；
(2)AB与AC的垂直平分线的交点即为圆心；由△BOE≌△OCF得∠BOC=90°，即可求出弧长.
三、中考中三角形的相关性质
14．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD的长分别为6和4，则边 BC长的范围是　 　.
【答案】1【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，设对角线AC、BD交于点O，
∵ABCD是平行四边形， AC，BD的长分别为6和4，
∴BO=2，AO=3，
∴3-2故答案为：1【分析】设对角线AC、BD交于点O，根据平行四边形的性质得到BO=2，AO=3，再根据三角形三边关系解答即可.
15．如图，已知在△ABC中，AB=AC，AG是BC上的高线，点D是AG上的一点，BD交AC于点F.过点D作DE∥AB交AC于E，联结CD，若CF=2EF，△ABC的面积为2，则△ADF的面积为　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：，是边上的高线，的面积为，
平分，，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，即
整理得，
，，
，
，，
如图，过点作交于点，
是的中点，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：.
【分析】根据等腰三角形三线合一和平行线的性质可得，即可得到，设，则，根据平行线的性质得到，然后根据对应边成比例求出的长，即可求得，的长，过点作交于点， 根据平行线分线段成比例求出的值，然后根据三角形的面积公式解答即可．
16． 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，CE平分∠ACB交AB于点E，过点E作FE⊥EC交AC于点F，连结BF并延长交AD于点G，交EC于点H，则△AFG与△BCH的面积比为　 　。
【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；8字型相似模型
【解析】【解答】解：延长CE交DA延长线于N，作EM⊥AC于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD∥BC
又∵AB=8，BC=6，
∴，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵AD∥BC，
∴∠N=∠BCE，
∴∠N=∠ACE，
∴AC=AN=10，
∵AN∥BC，
∴△ANE∽△BCE，
∴，
∴，，
∵AE+BE=AB=8，
∴AE=5，BE=3，
在△EBC于△EMC中，
∵∠EBC=∠EMC，∠ECB=∠ECM，EC=EC，
∴△EBC≌△EMC，
∴EB=EM=3，BC=CM=6，
∵∠ECF=∠ECM，∠FEC=∠EMC=90°，
∴△FEC∽△MEC，
∴，
∴，
∵CE2=BC2+BE2=45，
∴，
∴AF=AC-CF=；
∵AG∥BC，
∴△AGF∽△CBF，
∴，
∴，，
∴，
∴S△AGF=S△ABG=，
∵GN∥BC，
∴△NGH∽△CBH，
∴，
∴，，
∴，
∴S△BCH=S△BCE=，
∴.
故答案为：.
【分析】延长CE交DA延长线于N，作EM⊥AC于M，由矩形的性质得∠ABC=90°，AD∥BC，由是勾股定理算出AC的长，由角平分定义及平行线性质可推出∠N=∠ACE，由等角对等边得AC=AN=10，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△ANE∽△BCE，由相似三角形对应边成比例求出，，进而即可算出AE=5，BE=3；然后根据AAS判断出△EBC≌△EMC，得EB=EM=3，BC=CM=6；由有两组角对应相等的两个三角形相似得△FEC∽△MEC，由相似三角形对应边成比例并结合勾股定理可求出；由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△AGF∽△CBF，由相似三角形对应边成比例求出，，由同高三角形面积之比等于对应底之比得，从而可求出△AGF的面积为2；由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△NGH∽△CBH，由相似三角形对应边成比例求出，，由同高三角形面积之比等于对应底之比得，据此可算出△BCH的面积为8，从而即可求出两个三角形的面积之比.
17． 【阅读理解】
我国南宋时期数学家秦九韶著有《数书九章》，书中记载了“三斜求积术”，即根据三角形的三边长求面积的方法.如果将三角形的三边长分别记为a，b，c，那么三角形的面积
【推导验证】
已知：如图，在△ABC中，记AB=c， BC=a， AC=b.
求证：△ABC的面积
证明：过点A作AD⊥BC于点D，
设CD=x，则BD=a-x，
……
（1）请你继续完成上述推导.
（2）【尝试应用】
已知△ABC的三边长分别为 ， 2， ，请用“三斜求积术”求△ABC的面积.
【答案】（1）证明：过点A作于点D，
设，则，
∴，
，
，
，
解得，
∴，
∴
．

（2）解：假设 代入，得
【知识点】二次根式的实际应用；三角形的面积；勾股定理；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）先解方程求出，即可得到，然后根据三角形面积公式计算即可；
（2）假设， ，，代入（1）中的结论计算即可．
四、中考中的三角形全等判定及性质
18． 如图所示，和都是等边三角形，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∵，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴，
又∵
∴
，
∴
．
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的性质，利用SAS得到，即可得到．进而得到，然后根据三角形的内角和定理解答即可．
19．如图，E 为正方形ABCD 的对角线BD 上一点，连结AE 并延长，交 CD 于点 F.若CF=EF，则∠DAE 的度数为 (　　)
A．15° B．25° C．30° D．45°
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°，∠ADE=∠CDE=45°，
又∵DE=DE，
∴△ADE≌△CDE(SAS)，
∴∠DAE=∠DCE，
又∵ CF=EF，
∴∠FEC=∠FCE，
∴∠AFD=∠FEC+∠FCE=2∠FCE=2∠DAF，
∴∠DAF+∠DFA=∠DAF+2∠DAF=3∠DAF=90°，
∴∠DAF=30°，
故答案为：C .
【分析】根据正方形的性质，根据SAS得到△ADE≌△CDE，即可得到∠DAE=∠DCE，然后根据等边对等角和三角形的外角得到∠AFD=2∠DAF，即可得到∠DAF+∠DFA=3∠DAF=90°，解答即可.
20．如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连结EA，EC.
（1）求证：△EAB≌△ECB.
（2）若BD=6，若∠AEC=45°，求DE的长.
【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，
AB=CB，∠ABE=∠CBE=45°.
在△EAB和△ECB中，
∴△EAB≌△ECB(SAS)
（2）解：由(1)知△EAB≌△ECB，
∴∠BEC=∠BEA.
∵∠AEC=45°，
∵∠BDC=45°，
∴∠DCE=∠BDC-∠BEC=22.5°，
∴∠BEC=∠DCE，
∴DE=DC.
∵BD=6，∠DBC=45°，
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，利用SAS得到△EAB≌△ECB即可；
（2）根据全等三角形的对应角相等得到∠BEC=∠BEA=22.5°，即可得到DE=DC，再根据勾股定理解答即可.
21．如图， BC是由CA绕点C顺时针旋转90°得到的，即AC=BC，且∠ACB=∠BDC=∠AED=90°.
（1）求证： CE=BD.
（2）若 求BD的长.
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（负值不符合题意，舍去），
∴．
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据AAS得到，然后根据对应边相等得到结论即可；
（2）根据全等三角形的对应边相等可得，再根据三线合一得到，再根据勾股定理解答即可．
22．如图，在菱形ABCD中，点E， F分别在BC， CD上，且CE=CF．求证： AE=AF．
【答案】证明：∵在菱形ABCD中， AB=AD， CB=CD， ∠B=∠D；
已知CE=CF，
∴CB-CE=CD-CF，即BE=DF；
∴在△ABE和△AFD中
∴△ABE≌△AFD (AAS)
∴AE=AF
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据菱形的性质，利用AAS得到△ABE≌△AFD，再根据全等三角形的对应边相等得到结论即可.
23．已知，如图，于点于点．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）证明：连接，如图所示：
在和中，
，
，
（2）证明：由（1）可知：，
，
，，
，
在和中，
，
，
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）连接，根据SSS得到，再根据全等三角形的对应角相等得到结论即可；
（2）由（1）可得，再根据角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用HL得到，根据全等三角形的对应边相等得到结论即可．
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