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【浙江三轮】2026年中考数学知识点·考点一遍过专题10 特殊三角形的判定与性质
一、中考中等腰三角形的判定与性质
1．小红借助两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图.其中△OAB 与△ODC 都是顶角为锐角的等腰三角形，且它们关于直线l对称，点 E，F 分别是底边AB，CD 的中点，OE⊥OF，90°<∠AOD<180°.设∠AOF=α，则∠BOC 的大小为 （　　)
A．2a-180° B．α-90° C．180°-α D．270°-2α
2．如图，在中，，，点D为边上一动点，将沿折叠得到，与交于点F，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，一个正五边形纸片可裁成五个全等的等腰三角形和一个五边形，则图中的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，BD=BC，AD=AE，若要求∠CDE的度数，则只需知道（　　）的度数
A．∠A B．∠B C．∠ACB D．∠DCE
5．小明同学在学习了八年级上册“三角形”、“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，于是便整理了下图，那么下列选项不适合填入的是（　　）
A．两边相等 B．一个角为直角
C．有一个角45° D．斜边与直角边比为：1
6．如图，点，， ，分别在等腰的腰上，连接，，已知，，且，，的长为定值． 当与发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在锐角中，，将绕点逆时针旋转度，得到，点和点的对应点分别为点和点，当点落在上时，恰有，则　 　．
8．如图，在中，，点分别在边上，且，连接．
（1）当时，求的度数．
（2）若，求的度数．
二、中考中直角三角形判定与性质
9．如图，在等腰直角三角形中，，点，其中，则a，b之间的数量关系是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在Rt△ABC中， ∠ABC=90°， ∠A=30°， AC=4， BD为AC边上的高线，以点B为圆心，BD长为半径画圆弧分别交边AB，BC于点E，F，则 的长为(　　)
A． B． C． D．π
11． 如图，在 Rt△ABC中， ∠BAC=90°，观察如图所示的尺规作图痕迹（图中所有圆弧的半径均相等)。若AD=2，则BC=（　　)。
A．3 B．4 C．5 D．6
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，直角顶点 B，D 都在x轴上，连结CE，交y轴于点M.若OB=OD=1，点A(m，n)，M为线段CE 的中点，则点C的坐标为　 　(用含m，n的代数式表示)，点M 的坐标为　 　.
13．如图，在△ABC中， ∠B=90°， ∠C=30°， D， F分别是BC， AC边上一点，将△ABD沿AD折叠得△AED，△CDF沿DF折叠得△EDF，若AB=2，则EF=　 　.
14．如图，直角△ABC中，，，，点P是内部一动点，总满足，连接，则的最小值为　 　．
15．如图，在中，，，，D是边上的一点，连接，将沿直线折叠，点A落在边上的点E处，则的长度是　 　
16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2AC=8，D为AB的中点，M，N分别是边AC，BC上的动点，且MN=4，P是MN的中点，连结BP，DP，则：
（1）DP的最小值为　 　；
（2）当∠PBC最大时，线段AM的长为　 　.
三、中考中等边三角形的判定与性质
17．如图，在矩形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
18． 如图所示，和都是等边三角形，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
19．如图，等边三角形的边长为2，点在边上，延长至点，使，连接交于点，记，，当，的值变化时，下列代数式的值保持不变的是（　　）
A． B． C． D．
20．如图，直线，等边的顶点在直线上，直线交边于点．若，则的度数为　 　．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，连结CD，过D作DH⊥BC于点H；D1是BD的中点，连结HD1，过D1作D1H1⊥BC于点H1；D2是BD1的中点，连结H1D2，过D2作D2H2⊥BC于点H2；…………如此继续下去，分别记四边形CDD1H、四边形HD1D2H1、四边形H1D2D3H2…………四边形Hn-2Dn-1DnHn-1的面积为S1，S2，S3，……，Sn．若S△ABC=2，则S2022　 　．
22．如图，在△ABC中，AC=AB，∠BAC=90°，在AC右侧作等边三角形ACD.
（1）求∠CBD的度数；
（2）若BC=4，求BD的长度.
23．如图， △ABC是等边三角形， D为BC边上一点，连结AD，将AD绕点A顺时针旋转60°得到AE，连结 DE交AB 于点 F.
（1）求证： △ACD∽△DBF.
（2）若AB=8， AD=7，求 DF的值.
24．如图，在等边中，点D、E分别是边BC、AC上的点，AD与BE交于点.
（1）求证：；
（2）求的值.
25．问题提出
（1）如图①，为上一点，连接、，当时，　 　．
（2）问题探究
如图②，在边长为6的等边中，为的中点，为边上任意一点，连接，并作，使得的一边与交于点，试求出的最大值．
（3）问题解决
如图③，四边形为某美食商业区的平面示意图，其中，，，．经过一段时间的运营，为了更好地服务消费者，打造美食街区的独特风格．市场管理者计划在美食商业区规划一片三角形区域用于美食烹饪表演．
方案：在上选取一点M，上选取一点，连接、、，构造．已知点为美食商业区的出入口，，设．
（i）求与之间的函数关系式．
（ii）为了不影响其他商户的经营，同时确保表演区域足够集中，需要点与点的距离足够远，请你根据需求计算出当最大时的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，△OAB与△ODC关于直线l对称，且E、F分别为等腰△OAB、△ODC底边AB、CD的中点。
根据等腰三角形 “三线合一” 及轴对称性质，OE平分∠AOB，OF平分∠AOD，
因此，。
已知OE⊥OF，即∠EOF=90 ，
由图中角度关系可得∠AOF=∠AOE+∠EOF，所以∠AOE=∠AOF ∠EOF=α 90 。
结合对称性可知∠BOE=∠COF=2(α 90 )=2α 180 ，
观察图形，可得∠BOC=∠EOF ∠BOE ∠COF=90 2(2α 180 )，
化简可得∠BOC=270 2α，对应选项D。
故答案为：D.
【分析】本题核心考查轴对称图形的性质与等腰三角形“三线合一”，关键在于利用对称轴及中点条件锁定角平分线关系，再借助OE⊥OF的垂直关系，通过角度的和差代换推导∠BOC即可。
2．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点A作于点N，过点B作于点M，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵沿折叠得到，
∴，
∴，
∴当最小时，取得最大值，
根据垂线段最短，
∴时，取得最大值，
∴，
故选：A．
【分析】
由折叠知BE＝BC＝12，则当BF最小时EF最大，由垂线段最短知当BE垂直AC时BF最小，此时可分别作的高AM和BM，则由等腰三角形三线合一结合勾股定理可得AN的长，再由等面积法求出BM的长，则当F与M重合时EF最大．
3．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：
如图，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，
∴∠ABD==108°，∠DBC=∠BAC，
∵∠α+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠ACB=∠BAC=180°-108°=72°，
∴∠α=180°-∠ACB-∠BAC=180°-72°-72°=36°，
故答案为：C.
【分析】 根据题目描述，五个完全相同的等腰三角形组合构成了内外两个正五边形，通过计算正五边形的内角可知∠ABD为108度，运用三角形内角和为180度的性质，可以推导出∠ACB和∠BAC均为72度（180°-108°），最终即可求得∠α的具体数.
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC，
∴∠BDC-(180°-∠B)=90°-∠B，
同理：∠ADE=90°-∠A，
∴∠ADE+∠BDC=180°-(∠A+∠B)，
∴∠DCE=180-(∠ADE+∠BDC)=(∠A+∠B)
故A、B不符合题意；
∵∠DCE=(∠A+∠B)= (180°-∠ACB)=90°-∠ACB
故C符合题意；
∠DCE和∠DCE没有数量关系，
故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形的性质得到∠BDC=90°-∠B，∠ADE=90°-∠A，由三角形内角和定理求出∠DCE=90°-∠ACB，∠DCE和∠DCE没有数量关系，即可得到答案.
5．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；等腰直角三角形；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A.两边相等的三角形是等腰三角形，故A不符合题意；
B.有一个角为直角的三角形是直角三角形，故B不符合题意；
C.有一个角45°的等腰三角形不一定是等腰直角三角形，故C符合题意；
D.斜边与直角边比为的直角三角形是等腰直角三角形，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形、直角三角形和等腰直角三角形的判断方法判断即可.
6．【答案】A
【知识点】解直角三角形；解直角三角形—构造直角三角形；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的概念；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：过点作于点，设，（定值），
∴在等腰中，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
A．，是定值，故此选项符合题意；
B．，不是定值，故此选项不符合题意；
C．，不是定值，故此选项不符合题意；
D．，不是定值，故此选项不符合题意．
故选：A．
【分析】如图所示，由于已知，则可过点作于点构造和，设，（定值），则解直角三角形可得，再由三角形相似的预备定理可证明，由相似比可得，再利用比例的性质可得，同理可证，由相似比可得，然后依次对各选项进行判断即可．
7．【答案】30
【知识点】旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由旋转的性质得，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：30．
【分析】由旋转得，由等边对等角及三角形内角和定理得，由角的构成得，再由直角三角形两锐角互余求出，从而可列出关于字母的方程，求解即可得出答案.
8．【答案】（1）解：，
∴∠ABC=∠ACB，
∵，
，
，
．
（2）解：∵，
∴，
，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
．

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质及三角形的内角和180°可得，再次根据等腰三角形的性质及三角形的内角和180°可得；
（2）根据等腰三角形的性质得到，推出，得到，求出．
（1）解：，，
，
，
．
（2）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
．
9．【答案】C
【知识点】点的坐标；直角三角形全等的判定-HL；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点作轴，轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：C．
【分析】过点作轴，轴，则，再证出，利用全等三角形的性质可得，可得，最后求出即可.
10．【答案】B
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理；弧长的计算；等积变换
【解析】【解答】解：，，，
，
，
，
为边上的高线，
，
即，
，
．
故答案为：B .
【分析】根据的直角三角形的性质和勾股定理求出，然后根据△ABC的面积公式求出BD长，利用弧长公式解答即可．
11．【答案】B
【知识点】尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由作图可得是线段的垂直平分线，
∴为的中点，
∵，
∴．
故答案为：B.
【分析】根据作图可知是线段的垂直平分线，根据直角三角形中斜边上的中线性质解答即可．
12．【答案】(-n-1，m+1)；(0，1)
【知识点】坐标与图形性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：如图，过点C作CG⊥x轴于点G，过点A作AH⊥x轴于点H，过点E作EK⊥x轴于点K，
则BH=m+1，AH=n，DH=m-1，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠CGB=∠AHB=90°，
∴∠GCB+∠CBG=∠ABH+∠CBG=90°，
∴∠GCB=∠ABH，
∴△CBG≌△BAH(AAS)，
∴CG=BH=m+1，BG=AH=n，
∴OG=BG+OB=n+1，
∴点C的坐标为(-n-1，m+1)，
同理可得EK=AH=m-1，DK=AK=n，
∴OK=OD+DK=1+n，
∴点E的坐标为(1+n，-m+1)
∵点M是CE的中点，
∴点M的坐标为(0，1）；
故答案为：(-n-1，m+1)； (0，1）.
【分析】过点C作CG⊥x轴于点G，过点A作AH⊥x轴于点H，过点E作EK⊥x轴于点K，根据AAS得到△CBG≌△BAH，即可得到CG=BH=m+1，BG=AH=n，进而求出点C的坐标。同理得到点E的坐标，再根据中点坐标公式计算点M的坐标即可.
13．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：过点F作FG⊥BC于点G，设EF=a，
∵将△ABD沿AD折叠得△AED，△CDF沿DF折叠得△EDF，AB =2.
∴△AED ≌△ABD，△CDF≌△EDF，
∴AE=AB=2，CF=EF=a，∠ADE =∠ADB=∠BDE，BD=DE=CD=BC， ∠EDF =∠CDF=∠CDE，
∴∠ADF = ∠ADE+∠EDF =(∠BDE +∠CDE) =x180' =90°，
∵∠C=30°，AB=2，∠B=90°，
∴AC=2AB =4，
∴BC =，AF=AC-CF=4-a，
∴BD=DE=CD=BC =，
∴AD2 = AB2 + BD2 = 22 +()2 = 7，
∵FG⊥BC，∠C=30°，CF=a，
：.GF=CF=a，
在Rt△GCF中，CG==
∴DG=CD-CG=
在Rt△DFG中，DF2 = DG2 + FG2 =
在Rt△ADF中，AF2 = AD2 + DF2，
∴(4-a)2=7+(2-a)2+a2
解得：a=.
即EF=
故答案为：.
【分析】过点F作FG⊥BC于点G，设EF=a，首先根据折叠的性质，可得出△AED ≌△ABD，△CDF≌△EDF，进而得出AE=AB=2，CF=EF=a，∠ADE =∠ADB=∠BDE，BD=DE=CD=BC， ∠EDF =∠CDF=∠CDE，进而可得出∠ADF =90°，再根据含30°锐角的直角三角形的性质得出AC=2AB =4，AF=4-a，再根据勾股定理可得出BC =，进而BD=DE=CD=BC =，然后根据勾股定理可得出AD2 = AB2 + BD2 = 22 +()2 = 7，进而在Rt△ADF中，AF2 = AD2 + DF2，可得出(4-a)2=7+(2-a)2+a2，解得a的值，即为EF的长。
14．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
15．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；求正切值
【解析】【解答】解：如图，过点作于，
将沿直线折叠，点落在处，
，
，
，
，
，
，
，
，，
．
故答案为：．
【分析】本题以直角三角形中的折叠为背景，综合考查折叠的性质（对应角相等、对应边相等）、等腰直角三角形的判定、锐角三角函数的定义以及勾股定理的应用。由折叠得 ACD = ECD，因 E 落在 BC 上，且 ACB = 90°，故 ACD =ECD = 45°。过点 D 作 DH AC 于 H，则△ CDH 为等腰直角三角形，得 CH = DH。在 Rt△ ABC 中，tan A = = 2，在 Rt△ ADH 中，tan A =，故= 2，即 DH = 2AH，结合 CH = DH 得 AC = AH + CH = AH + 2AH = 3AH = 1，解得 AH =，DH =。在 Rt△ ADH 中由勾股定理得。注意折叠后角平分线性质的运用。
16．【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形的面积；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；圆-动点问题；等积变换
【解析】【解答】解：①连接CP， CD， 如图所示：
在 中， ，
由勾股定理得：
∵点D是斜边上的中线，
点P是MN的中点，MN=4，
∴PC是 斜边上的中线，
∴在点M，N的运动过程中，点P始终在以C为圆心，以PC=2为半径的圆上运动，
根据“两点之间线段最短”得： PC+DP≥CD，∴DP≥CD-PC，
∴当C，P，D三点在同一条直线上时，DP最小，最小值为CD-PC，
∴ DP的最小值为：
故答案为：
②当∠PBC最大时，则点C到直线PB的距离最大，
由①可知：点P在C为圆心，以PC =2为半径的圆上，
∴当BP与圆C相切时，点C到直线PB的距离最大，即∠PBC最大，
连接PC， 过点点P作PE⊥BC于点E， 如图2所示：
∵ PB与⊙C相切，
∴PC⊥PB，在Rt△PBC中， BC = 8， PC =2，由勾股定理得：
由三角形的面积公式得：
∵点P是MN的中点，
∴PE是 的中位线，
∴当 最大时，线段AM的长是
故答案为：
【分析】（1）连接CP， CD， 先求出. 则CD= 再根据点P是MN的中点得PC= 则点P始终在以C为圆心，以PC=2为半径的圆上运动，根据“两点之间线段最短”得P 则DP≥CD-PC，即当C，P，D三点在同一条直线上时，DP最小，最小值为CD-PC，据此即可得出答案；
（2）当 最大时，则点C到直线PB的距离最大，由①可知点P在C为圆心，以PC=2为半径的圆上，当BP与圆C相切时，点C到直线PB的距离最大，即 最大，过点点P作 于点E，先求出. 再由三角形的面积公式得P 证明PE是 的中位线，则CM 然后根据AM=AC-CM即可得出线段AM的长.
17．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质得，得到是等边三角形，即可得到∠ABO=60°，然后根据三角形的内角和定理解答即可．
18．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∵，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴，
又∵
∴
，
∴
．
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的性质，利用SAS得到，即可得到．进而得到，然后根据三角形的内角和定理解答即可．
19．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：过点D作交于点H，过点F作于点P，如图所示：
∵是等边三角形，且边长为2，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴在中，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴，
整理得：，
∴，
∴，
∴代数式的值保持不变，始终为．
故答案为：C．
【分析】过点D作交于点H，过点F作于点P，证明是等边三角形得，则，，用角角边可判定≌，由全等三角形的对应边相等可得，，在中，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得AP=AF，由线段的和差PE=AE+AP将PE用含x的代数式表示出来，由勾股定理可将PF用含x的代数式表示出来，然后在中，由勾股定理得，整理即可判断求解．
20．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴∠β=∠ABC，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
.
故答案为：．
【分析】根据平行线的性质可得∠β=∠ABC，再根据等边三角形的性质可得，最后根据角的和差即可得出答案.
21．【答案】
【知识点】直角三角形斜边上的中线；探索规律-图形的递变规律；相似三角形的性质-对应边；利用三角形的中线求面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，
∵在中，，D是斜边的中点，
∴，
∴，
∵， 是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，
，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】在中，根据直角三角形斜边中线的性质得出，从而得到，同理可得，然后得到，即可求出，，进而得到规律，解答即可．
22．【答案】（1）解：∵，，
∴.
∵为等边三角形，，
∴，.
∴
（2）解：如图，作于点E.
，，，
.
，
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质即可求解；
(2)作CE⊥BD于点E，得出∠BDC=45°，CE=DE，再根据含30°的直角三角形即可得到结论.
23．【答案】（1）证明：由旋转的性质可知，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点作于点．
∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
由勾股定理可得，，，
∴，
由（1）得，
∴，即，
解得．

【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得是等边三角形，即可得到，进而得到，推理得到，根据两角对应相等得到两三角形相似；
（2）过点作于点．根据等边三角形的性质和勾股定理求出AH和DH长，即可得到，再根据相似三角形的对应边成比例解答即可．
24．【答案】（1）证明：如图
，
又在等边中，
（ASA），
（2）解：，
又
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）证明BD＝CE，可证明这两条边所在的三角形全等，即；由于等边三角形的三边相等，三个内角相等且都是60度，即，还缺少一个条件，此时可借助三角形外角的性质结合已知条件得出，则利用ASA即可证明全等；
（2）求值，观察图形知这两条边分别在和中，由于可证，由相似的性质知化比例式为等积式得，由前面全等的性质可计算.
25．【答案】（1）90
（2）解：是等边三角形，，
，．
，
，
，
．
设，则，
为的中点，
，
，整理得，
当时，有最大值，最大值为3，即的最大值为3
（3）解：（i）如图，延长至点，使得，连接，过点作，
根据题意可知，，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
．
设．
，
，
整理得．
（ii）如图，过点作的垂线，与的延长线交于点，与交于点．
由（i）可知，，
当时，取得最大值为，
即当时，有最大值为，
，
设，，
，
，
，
．
，
，
，，，，
，
∴当最大时，的面积为
【知识点】二次函数的最值；等边三角形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：90；
【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余解答；
（2）根据等边三角形的性质，利用两角对应相等得到，设，利用相似三角形的性质可得，即可得到，根据二次函数的顶点式求出最值解答；
（3）（i）延长至点，使得，连接，过点作，根据勾股定理求出CF长，然后根据正切的定义得到，即可得到，设，根据相似三角形的性质列式解答．
（ii）过点作的垂线，与的延长线交于点，与交于点．根据（i）所得关系式可知时，有最大值为，设，，根据勾股定理可得的长，从而得出和的长，进而根据解答即可．
1 / 1【浙江三轮】2026年中考数学知识点·考点一遍过专题10 特殊三角形的判定与性质
一、中考中等腰三角形的判定与性质
1．小红借助两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图.其中△OAB 与△ODC 都是顶角为锐角的等腰三角形，且它们关于直线l对称，点 E，F 分别是底边AB，CD 的中点，OE⊥OF，90°<∠AOD<180°.设∠AOF=α，则∠BOC 的大小为 （　　)
A．2a-180° B．α-90° C．180°-α D．270°-2α
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，△OAB与△ODC关于直线l对称，且E、F分别为等腰△OAB、△ODC底边AB、CD的中点。
根据等腰三角形 “三线合一” 及轴对称性质，OE平分∠AOB，OF平分∠AOD，
因此，。
已知OE⊥OF，即∠EOF=90 ，
由图中角度关系可得∠AOF=∠AOE+∠EOF，所以∠AOE=∠AOF ∠EOF=α 90 。
结合对称性可知∠BOE=∠COF=2(α 90 )=2α 180 ，
观察图形，可得∠BOC=∠EOF ∠BOE ∠COF=90 2(2α 180 )，
化简可得∠BOC=270 2α，对应选项D。
故答案为：D.
【分析】本题核心考查轴对称图形的性质与等腰三角形“三线合一”，关键在于利用对称轴及中点条件锁定角平分线关系，再借助OE⊥OF的垂直关系，通过角度的和差代换推导∠BOC即可。
2．如图，在中，，，点D为边上一动点，将沿折叠得到，与交于点F，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点A作于点N，过点B作于点M，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵沿折叠得到，
∴，
∴，
∴当最小时，取得最大值，
根据垂线段最短，
∴时，取得最大值，
∴，
故选：A．
【分析】
由折叠知BE＝BC＝12，则当BF最小时EF最大，由垂线段最短知当BE垂直AC时BF最小，此时可分别作的高AM和BM，则由等腰三角形三线合一结合勾股定理可得AN的长，再由等面积法求出BM的长，则当F与M重合时EF最大．
3．如图，一个正五边形纸片可裁成五个全等的等腰三角形和一个五边形，则图中的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：
如图，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，
∴∠ABD==108°，∠DBC=∠BAC，
∵∠α+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠ACB=∠BAC=180°-108°=72°，
∴∠α=180°-∠ACB-∠BAC=180°-72°-72°=36°，
故答案为：C.
【分析】 根据题目描述，五个完全相同的等腰三角形组合构成了内外两个正五边形，通过计算正五边形的内角可知∠ABD为108度，运用三角形内角和为180度的性质，可以推导出∠ACB和∠BAC均为72度（180°-108°），最终即可求得∠α的具体数.
4．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，BD=BC，AD=AE，若要求∠CDE的度数，则只需知道（　　）的度数
A．∠A B．∠B C．∠ACB D．∠DCE
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC，
∴∠BDC-(180°-∠B)=90°-∠B，
同理：∠ADE=90°-∠A，
∴∠ADE+∠BDC=180°-(∠A+∠B)，
∴∠DCE=180-(∠ADE+∠BDC)=(∠A+∠B)
故A、B不符合题意；
∵∠DCE=(∠A+∠B)= (180°-∠ACB)=90°-∠ACB
故C符合题意；
∠DCE和∠DCE没有数量关系，
故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形的性质得到∠BDC=90°-∠B，∠ADE=90°-∠A，由三角形内角和定理求出∠DCE=90°-∠ACB，∠DCE和∠DCE没有数量关系，即可得到答案.
5．小明同学在学习了八年级上册“三角形”、“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，于是便整理了下图，那么下列选项不适合填入的是（　　）
A．两边相等 B．一个角为直角
C．有一个角45° D．斜边与直角边比为：1
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；等腰直角三角形；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A.两边相等的三角形是等腰三角形，故A不符合题意；
B.有一个角为直角的三角形是直角三角形，故B不符合题意；
C.有一个角45°的等腰三角形不一定是等腰直角三角形，故C符合题意；
D.斜边与直角边比为的直角三角形是等腰直角三角形，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形、直角三角形和等腰直角三角形的判断方法判断即可.
6．如图，点，， ，分别在等腰的腰上，连接，，已知，，且，，的长为定值． 当与发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形；解直角三角形—构造直角三角形；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的概念；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：过点作于点，设，（定值），
∴在等腰中，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
A．，是定值，故此选项符合题意；
B．，不是定值，故此选项不符合题意；
C．，不是定值，故此选项不符合题意；
D．，不是定值，故此选项不符合题意．
故选：A．
【分析】如图所示，由于已知，则可过点作于点构造和，设，（定值），则解直角三角形可得，再由三角形相似的预备定理可证明，由相似比可得，再利用比例的性质可得，同理可证，由相似比可得，然后依次对各选项进行判断即可．
7．如图，在锐角中，，将绕点逆时针旋转度，得到，点和点的对应点分别为点和点，当点落在上时，恰有，则　 　．
【答案】30
【知识点】旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由旋转的性质得，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：30．
【分析】由旋转得，由等边对等角及三角形内角和定理得，由角的构成得，再由直角三角形两锐角互余求出，从而可列出关于字母的方程，求解即可得出答案.
8．如图，在中，，点分别在边上，且，连接．
（1）当时，求的度数．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：，
∴∠ABC=∠ACB，
∵，
，
，
．
（2）解：∵，
∴，
，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
．

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质及三角形的内角和180°可得，再次根据等腰三角形的性质及三角形的内角和180°可得；
（2）根据等腰三角形的性质得到，推出，得到，求出．
（1）解：，，
，
，
．
（2）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
．
二、中考中直角三角形判定与性质
9．如图，在等腰直角三角形中，，点，其中，则a，b之间的数量关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；直角三角形全等的判定-HL；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点作轴，轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：C．
【分析】过点作轴，轴，则，再证出，利用全等三角形的性质可得，可得，最后求出即可.
10．如图，在Rt△ABC中， ∠ABC=90°， ∠A=30°， AC=4， BD为AC边上的高线，以点B为圆心，BD长为半径画圆弧分别交边AB，BC于点E，F，则 的长为(　　)
A． B． C． D．π
【答案】B
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理；弧长的计算；等积变换
【解析】【解答】解：，，，
，
，
，
为边上的高线，
，
即，
，
．
故答案为：B .
【分析】根据的直角三角形的性质和勾股定理求出，然后根据△ABC的面积公式求出BD长，利用弧长公式解答即可．
11． 如图，在 Rt△ABC中， ∠BAC=90°，观察如图所示的尺规作图痕迹（图中所有圆弧的半径均相等)。若AD=2，则BC=（　　)。
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由作图可得是线段的垂直平分线，
∴为的中点，
∵，
∴．
故答案为：B.
【分析】根据作图可知是线段的垂直平分线，根据直角三角形中斜边上的中线性质解答即可．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，直角顶点 B，D 都在x轴上，连结CE，交y轴于点M.若OB=OD=1，点A(m，n)，M为线段CE 的中点，则点C的坐标为　 　(用含m，n的代数式表示)，点M 的坐标为　 　.
【答案】(-n-1，m+1)；(0，1)
【知识点】坐标与图形性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：如图，过点C作CG⊥x轴于点G，过点A作AH⊥x轴于点H，过点E作EK⊥x轴于点K，
则BH=m+1，AH=n，DH=m-1，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠CGB=∠AHB=90°，
∴∠GCB+∠CBG=∠ABH+∠CBG=90°，
∴∠GCB=∠ABH，
∴△CBG≌△BAH(AAS)，
∴CG=BH=m+1，BG=AH=n，
∴OG=BG+OB=n+1，
∴点C的坐标为(-n-1，m+1)，
同理可得EK=AH=m-1，DK=AK=n，
∴OK=OD+DK=1+n，
∴点E的坐标为(1+n，-m+1)
∵点M是CE的中点，
∴点M的坐标为(0，1）；
故答案为：(-n-1，m+1)； (0，1）.
【分析】过点C作CG⊥x轴于点G，过点A作AH⊥x轴于点H，过点E作EK⊥x轴于点K，根据AAS得到△CBG≌△BAH，即可得到CG=BH=m+1，BG=AH=n，进而求出点C的坐标。同理得到点E的坐标，再根据中点坐标公式计算点M的坐标即可.
13．如图，在△ABC中， ∠B=90°， ∠C=30°， D， F分别是BC， AC边上一点，将△ABD沿AD折叠得△AED，△CDF沿DF折叠得△EDF，若AB=2，则EF=　 　.
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：过点F作FG⊥BC于点G，设EF=a，
∵将△ABD沿AD折叠得△AED，△CDF沿DF折叠得△EDF，AB =2.
∴△AED ≌△ABD，△CDF≌△EDF，
∴AE=AB=2，CF=EF=a，∠ADE =∠ADB=∠BDE，BD=DE=CD=BC， ∠EDF =∠CDF=∠CDE，
∴∠ADF = ∠ADE+∠EDF =(∠BDE +∠CDE) =x180' =90°，
∵∠C=30°，AB=2，∠B=90°，
∴AC=2AB =4，
∴BC =，AF=AC-CF=4-a，
∴BD=DE=CD=BC =，
∴AD2 = AB2 + BD2 = 22 +()2 = 7，
∵FG⊥BC，∠C=30°，CF=a，
：.GF=CF=a，
在Rt△GCF中，CG==
∴DG=CD-CG=
在Rt△DFG中，DF2 = DG2 + FG2 =
在Rt△ADF中，AF2 = AD2 + DF2，
∴(4-a)2=7+(2-a)2+a2
解得：a=.
即EF=
故答案为：.
【分析】过点F作FG⊥BC于点G，设EF=a，首先根据折叠的性质，可得出△AED ≌△ABD，△CDF≌△EDF，进而得出AE=AB=2，CF=EF=a，∠ADE =∠ADB=∠BDE，BD=DE=CD=BC， ∠EDF =∠CDF=∠CDE，进而可得出∠ADF =90°，再根据含30°锐角的直角三角形的性质得出AC=2AB =4，AF=4-a，再根据勾股定理可得出BC =，进而BD=DE=CD=BC =，然后根据勾股定理可得出AD2 = AB2 + BD2 = 22 +()2 = 7，进而在Rt△ADF中，AF2 = AD2 + DF2，可得出(4-a)2=7+(2-a)2+a2，解得a的值，即为EF的长。
14．如图，直角△ABC中，，，，点P是内部一动点，总满足，连接，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
15．如图，在中，，，，D是边上的一点，连接，将沿直线折叠，点A落在边上的点E处，则的长度是　 　
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；求正切值
【解析】【解答】解：如图，过点作于，
将沿直线折叠，点落在处，
，
，
，
，
，
，
，
，，
．
故答案为：．
【分析】本题以直角三角形中的折叠为背景，综合考查折叠的性质（对应角相等、对应边相等）、等腰直角三角形的判定、锐角三角函数的定义以及勾股定理的应用。由折叠得 ACD = ECD，因 E 落在 BC 上，且 ACB = 90°，故 ACD =ECD = 45°。过点 D 作 DH AC 于 H，则△ CDH 为等腰直角三角形，得 CH = DH。在 Rt△ ABC 中，tan A = = 2，在 Rt△ ADH 中，tan A =，故= 2，即 DH = 2AH，结合 CH = DH 得 AC = AH + CH = AH + 2AH = 3AH = 1，解得 AH =，DH =。在 Rt△ ADH 中由勾股定理得。注意折叠后角平分线性质的运用。
16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2AC=8，D为AB的中点，M，N分别是边AC，BC上的动点，且MN=4，P是MN的中点，连结BP，DP，则：
（1）DP的最小值为　 　；
（2）当∠PBC最大时，线段AM的长为　 　.
【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形的面积；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；圆-动点问题；等积变换
【解析】【解答】解：①连接CP， CD， 如图所示：
在 中， ，
由勾股定理得：
∵点D是斜边上的中线，
点P是MN的中点，MN=4，
∴PC是 斜边上的中线，
∴在点M，N的运动过程中，点P始终在以C为圆心，以PC=2为半径的圆上运动，
根据“两点之间线段最短”得： PC+DP≥CD，∴DP≥CD-PC，
∴当C，P，D三点在同一条直线上时，DP最小，最小值为CD-PC，
∴ DP的最小值为：
故答案为：
②当∠PBC最大时，则点C到直线PB的距离最大，
由①可知：点P在C为圆心，以PC =2为半径的圆上，
∴当BP与圆C相切时，点C到直线PB的距离最大，即∠PBC最大，
连接PC， 过点点P作PE⊥BC于点E， 如图2所示：
∵ PB与⊙C相切，
∴PC⊥PB，在Rt△PBC中， BC = 8， PC =2，由勾股定理得：
由三角形的面积公式得：
∵点P是MN的中点，
∴PE是 的中位线，
∴当 最大时，线段AM的长是
故答案为：
【分析】（1）连接CP， CD， 先求出. 则CD= 再根据点P是MN的中点得PC= 则点P始终在以C为圆心，以PC=2为半径的圆上运动，根据“两点之间线段最短”得P 则DP≥CD-PC，即当C，P，D三点在同一条直线上时，DP最小，最小值为CD-PC，据此即可得出答案；
（2）当 最大时，则点C到直线PB的距离最大，由①可知点P在C为圆心，以PC=2为半径的圆上，当BP与圆C相切时，点C到直线PB的距离最大，即 最大，过点点P作 于点E，先求出. 再由三角形的面积公式得P 证明PE是 的中位线，则CM 然后根据AM=AC-CM即可得出线段AM的长.
三、中考中等边三角形的判定与性质
17．如图，在矩形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质得，得到是等边三角形，即可得到∠ABO=60°，然后根据三角形的内角和定理解答即可．
18． 如图所示，和都是等边三角形，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∵，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴，
又∵
∴
，
∴
．
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的性质，利用SAS得到，即可得到．进而得到，然后根据三角形的内角和定理解答即可．
19．如图，等边三角形的边长为2，点在边上，延长至点，使，连接交于点，记，，当，的值变化时，下列代数式的值保持不变的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：过点D作交于点H，过点F作于点P，如图所示：
∵是等边三角形，且边长为2，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴在中，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴，
整理得：，
∴，
∴，
∴代数式的值保持不变，始终为．
故答案为：C．
【分析】过点D作交于点H，过点F作于点P，证明是等边三角形得，则，，用角角边可判定≌，由全等三角形的对应边相等可得，，在中，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得AP=AF，由线段的和差PE=AE+AP将PE用含x的代数式表示出来，由勾股定理可将PF用含x的代数式表示出来，然后在中，由勾股定理得，整理即可判断求解．
20．如图，直线，等边的顶点在直线上，直线交边于点．若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴∠β=∠ABC，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
.
故答案为：．
【分析】根据平行线的性质可得∠β=∠ABC，再根据等边三角形的性质可得，最后根据角的和差即可得出答案.
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，连结CD，过D作DH⊥BC于点H；D1是BD的中点，连结HD1，过D1作D1H1⊥BC于点H1；D2是BD1的中点，连结H1D2，过D2作D2H2⊥BC于点H2；…………如此继续下去，分别记四边形CDD1H、四边形HD1D2H1、四边形H1D2D3H2…………四边形Hn-2Dn-1DnHn-1的面积为S1，S2，S3，……，Sn．若S△ABC=2，则S2022　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形斜边上的中线；探索规律-图形的递变规律；相似三角形的性质-对应边；利用三角形的中线求面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，
∵在中，，D是斜边的中点，
∴，
∴，
∵， 是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，
，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】在中，根据直角三角形斜边中线的性质得出，从而得到，同理可得，然后得到，即可求出，，进而得到规律，解答即可．
22．如图，在△ABC中，AC=AB，∠BAC=90°，在AC右侧作等边三角形ACD.
（1）求∠CBD的度数；
（2）若BC=4，求BD的长度.
【答案】（1）解：∵，，
∴.
∵为等边三角形，，
∴，.
∴
（2）解：如图，作于点E.
，，，
.
，
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质即可求解；
(2)作CE⊥BD于点E，得出∠BDC=45°，CE=DE，再根据含30°的直角三角形即可得到结论.
23．如图， △ABC是等边三角形， D为BC边上一点，连结AD，将AD绕点A顺时针旋转60°得到AE，连结 DE交AB 于点 F.
（1）求证： △ACD∽△DBF.
（2）若AB=8， AD=7，求 DF的值.
【答案】（1）证明：由旋转的性质可知，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点作于点．
∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
由勾股定理可得，，，
∴，
由（1）得，
∴，即，
解得．

【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得是等边三角形，即可得到，进而得到，推理得到，根据两角对应相等得到两三角形相似；
（2）过点作于点．根据等边三角形的性质和勾股定理求出AH和DH长，即可得到，再根据相似三角形的对应边成比例解答即可．
24．如图，在等边中，点D、E分别是边BC、AC上的点，AD与BE交于点.
（1）求证：；
（2）求的值.
【答案】（1）证明：如图
，
又在等边中，
（ASA），
（2）解：，
又
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）证明BD＝CE，可证明这两条边所在的三角形全等，即；由于等边三角形的三边相等，三个内角相等且都是60度，即，还缺少一个条件，此时可借助三角形外角的性质结合已知条件得出，则利用ASA即可证明全等；
（2）求值，观察图形知这两条边分别在和中，由于可证，由相似的性质知化比例式为等积式得，由前面全等的性质可计算.
25．问题提出
（1）如图①，为上一点，连接、，当时，　 　．
（2）问题探究
如图②，在边长为6的等边中，为的中点，为边上任意一点，连接，并作，使得的一边与交于点，试求出的最大值．
（3）问题解决
如图③，四边形为某美食商业区的平面示意图，其中，，，．经过一段时间的运营，为了更好地服务消费者，打造美食街区的独特风格．市场管理者计划在美食商业区规划一片三角形区域用于美食烹饪表演．
方案：在上选取一点M，上选取一点，连接、、，构造．已知点为美食商业区的出入口，，设．
（i）求与之间的函数关系式．
（ii）为了不影响其他商户的经营，同时确保表演区域足够集中，需要点与点的距离足够远，请你根据需求计算出当最大时的面积．
【答案】（1）90
（2）解：是等边三角形，，
，．
，
，
，
．
设，则，
为的中点，
，
，整理得，
当时，有最大值，最大值为3，即的最大值为3
（3）解：（i）如图，延长至点，使得，连接，过点作，
根据题意可知，，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
．
设．
，
，
整理得．
（ii）如图，过点作的垂线，与的延长线交于点，与交于点．
由（i）可知，，
当时，取得最大值为，
即当时，有最大值为，
，
设，，
，
，
，
．
，
，
，，，，
，
∴当最大时，的面积为
【知识点】二次函数的最值；等边三角形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：90；
【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余解答；
（2）根据等边三角形的性质，利用两角对应相等得到，设，利用相似三角形的性质可得，即可得到，根据二次函数的顶点式求出最值解答；
（3）（i）延长至点，使得，连接，过点作，根据勾股定理求出CF长，然后根据正切的定义得到，即可得到，设，根据相似三角形的性质列式解答．
（ii）过点作的垂线，与的延长线交于点，与交于点．根据（i）所得关系式可知时，有最大值为，设，，根据勾股定理可得的长，从而得出和的长，进而根据解答即可．
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