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【浙江三轮】2026年中考数学知识点·考点一遍过专题11 几何变换与相似
一、几何中的图形变化
1．葫芦在我国古代被视作吉祥之物.如图，这是一个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（　　)
A．主视图与左视图相同
B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同
D．主视图、左视图与俯视图都相同
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解： 观察工艺葫芦的实物形态，其整体呈上下对称的葫芦状，且关于沿主视方向的竖直中心轴对称。
从正面看，得到的主视图呈现葫芦的整体轮廓；
从左面看，由于几何体左右对称，左视图的轮廓与主视图的轮廓完全一致，只是观察方向不同，形状无差异。
而从上面观察，看到的是葫芦顶部的圆形轮廓（俯视图），与主视图、左视图的立体轮廓形状明显不同，
主、左视图是立体的纵向轮廓，俯视图是平面的圆形轮廓。
因此，只有主视图与左视图相同，对应选项 A 正确。
故答案为：A.
【分析】 本题考查三视图的识别与辨析，核心在于明确工艺葫芦的立体结构特征：该几何体具有轴对称性，沿主视方向的竖直轴左右对称。解题关键是判断主视图、左视图、俯视图的形状差异，重点区分主视图与左视图的形状一致性，以及三者与实物轮廓的对应关系。
2． 下列历届冬奥会图形是中心对称图形的是（　　)。
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：
故答案为：D．
【分析】根据中心对称图形的定义“一个图形绕一点旋转180°后能够和自身重合的图形是中心对称图形”判断即可．
3．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、赵爽弦图是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B、笛卡尔心形线是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、斐波那契螺旋线不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
D、科克曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意
故答案为：D.
【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，如果一个图形绕某一点旋转 后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可.
4．如图，在△ABC中， ∠B=90°.将△ABC向右平移得到△A1B1C1，点 B， B1， C， C1在同一直线上，边A1B1与边AC交于点 G.若则AG的长为(　　)
A． B． C． D．5
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；平移的性质
5．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转40°得到，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由题意可知，，
故和的面积相等，
∵在中，，将绕点逆时针旋转后得到，
∴阴影部分的面积是：，
故答案为：C．
【分析】根据旋转的性质可知，根据阴影部分的面积=扇形的面积解答即可．
6．如图，菱形中，对角线，相交于点P，与关于点D成中心对称．若，，则　 　．
【答案】25
【知识点】勾股定理；菱形的性质；中心对称的性质
【解析】【解答】解：在菱形中，与互相垂直平分，
∴，，
又∵与关于点D成中心对称，
∴，
∴，，，
∴，
在中，．
故答案为：25
【分析】本题以菱形和中心对称为背景，考查了菱形的对角线性质（互相垂直平分）、中心对称的性质（对应边相等、对应角相等）以及勾股定理的应用。解题的关键分三步：先由菱形对角线互相平分求出 AP = 7，BP = PD = 8；再根据 △ EFD 与△ APD 关于点 D 成中心对称，得出对应边相等：PD = DF = 8，AP = EF = 7，且对应角相等得 ∠ EFD = ∠APD = 90°；然后求出 BF = BD + DF = 16 + 8 = 24；最后在 Rt△BFE 中利用勾股定理 BE === 25。注意中心对称图形全等以及正确找出对应边是解题的关键。
7．如图，点E在菱形的边上，将沿折叠，使点D的对应点F恰好落在边上．若，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形为菱形，
∴，，，
由折叠的性质可得：，，，
∴，
∴，
∴，
∴如图，作，交的延长线于，在的延长线上取一点，使得，连接，
，
则垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】本题以菱形中的折叠问题为背景，综合考查了菱形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数以及垂直平分线的性质。解题的关键是通过折叠和菱形性质得到 AB = AF，从而B = AFB，结合 ADBC 及折叠得D = AFE，推出多个角相等。作辅助线 EG BC 并构造 CG = GH，利用垂直平分线得 CE = HE，再证，得到比例关系。由 cos B = 得 cosECH =，在 Rt△ECG 中设 CG = a，则 CE = 5a，CH = 2a，代入相似比例求出 EF =a，最后得到。注意辅助线的构造以及对多个角度相等关系的推导是突破难点。
8．已知：在△ABC中，
（1）如图1，求△ABC的面积.
（2）如图2，点D在边AC上，将△ABC沿射线BD方向平移至△A1DC1，使得点B与点D重合.
①连结AA1，CA1.求△AA1C的面积.
②如图3，将△A1DC1绕点D旋转至△A2DC2，边A2C2与线段BD的延长线交于点E，连结CE.当CD=2AD时，求的最小值.
【答案】（1）解：过点作于点，则：
，，
设，则，
∵，
∴，解得：，
∴，
∴的面积为：．
（2）解：①如图2，连接，
∵沿射线方向平移至，
∴，，，
∴，
∵且，
∴四边形是平行四边形，
∴的面积的面积的面积，
∵，
∴的面积的面积，
∴的面积．
②如图3，过点作于点，
由（1）得：，
当时，，
∴，
∴，
过点作于点，则的面积为：，
∵的面积为：，
∴，解得，
∴，
∵，
∴只需最小，则最小，
∵绕点旋转至，
∴，
∴的最小值，
∴的最小值为：．
【知识点】二次函数的最值；平行四边形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）过点作于点，根据正切的定义设，则，根据勾股定理求出CF长，然后利用三角形的面积公式计算即可．
（2）①如图2，连结，根据平移得到四边形是平行四边形，再根据的面积的面积解答即可．
②如图3，过点作于点，即可得到，过点作于点，根据△BCD的面积求出CG长，根据勾股定理，根据二次函数的最值解答即可．
二、中考中几何的动点问题
9．如图1，在矩形ABCD中，点P从点A出发沿边AD→DC匀速运动，运动到点C时停止.过点P作对角线AC的垂线，交矩形ABCD的边于点Q.设点P运动的路程为x，AQ的长为y，其中y关于x的函数图象如图2所示，则下列选项错误的是（　　）
A．AB=4 B．
C． D．点（6，5）在该函数图象上
【答案】D
【知识点】动点问题的函数图象；四边形-动点问题；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：由图2得，当点 Q 运动到点 B 处时，AQ为4，即AB为4，故选项A正确；
如图，当点 P 运动到点 D 处时，路程AP为8，即AD为8，
BC∥AD，
即
故选项B正确；
当点 P 运动到点C处时，点 Q 与点C 重合，
此时 故选项C正确；
当路程AP=6时，如图，过点P作 于点H，
由 得 即
∴点(6，5)不在该函数图象上，故选项D错误.故选 D.
故答案为：D.
【分析】根据点的运动过程，利用函数图象得到AB长判断A选项；根据平行得到△ADC∽△DCQ，根据对应边成比例求出CQ长，再根据勾股定理求出m的值判断B选项；当点 P 运动到点C处时，点 Q 与点C 重合，根据勾股定理求出n的值判断C选项；当AP=6时，过点P作 于点H，得到根据对应边成比例求出QH长，再根据勾股定理求出AQ长判断D选项解答即可.
10．如图，正方形的对角线、相交于点，且，正方形的顶点与点重合，边与重合，将正方形绕点顺时针旋转，与边交于点，与边交于点，连接交于点，在整个运动过程中，则点经过的路径长是（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【知识点】正方形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-ASA；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图，取中点，
∵正方形的对角线、相交于点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
，
∵当 正方形绕点顺时针旋转 时，，
∴此时，
又，，
四边形是正方形，
，即点G与点H重合，
，
；
点是与的交点，是定线段，，
点G在线段上运动，
∴在整个运动过程中，
当与重合，点G，点E与点C重合，有最大值，
当时，点G与点H重合，有最小值，
当边与重合，点G，点F与点C重合，有最大值，
点G在整个运动过程中，由点C运动到点H，再由点H运动到点C，
点经过的路径长是，
点经过的路径长是，
故答案为：A．
【分析】取中点，利用正方形的性质证明，得到，当时，易证此时四边形是正方形，此时，即点G与点H重合，有最小值，利用正方形的性质求出；由点是与的交点，是定线段，得到点G在线段上运动，在整个运动过程中，当边与重合，点G，点E与点C重合，当时，点G与点H重合，当边与重合，点G，点F与点C重合，故点G在整个运动过程中，由点C运动到点H，再由点H运动到点C，即点经过的路径长是，即可得出结果．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（0，3），点A是x轴正半轴上一动点，点P在第一象限，，，点C的坐标为（a，3）（）.
（1）若，则　 　，
（2）连接OP，则OP的最大值为　 　.
【答案】（1）4
（2）
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；勾股定理；圆-动点问题
【解析】【解答】解：(1)由题意得：BC//x轴，，S△ABC=S△ABP=6，
∴，
∴a=4；
故答案为：4.
(2)结合(1)可知：若S△ABP=S△ABC=6.
则PC//AB，
∴点P是直线PB与直线PC的交点，
∵BP⊥AB，
∴BP⊥CP，即∠BPC=90°；
∵BC=4是定值，
∴点P在以BC为直径的圆M上运动，连接OM并延长，与圆M交于点P，
如图所示：此时OP有最大值；
∵M是BC的中点，
∴M(2，3)，
∴，
故答案为：.
【分析】(1)由题意得：BC//x轴，推出即可求解；
(2)结合(1)可推出PC//AB，点P是直线PB与直线PO的交点；进一步推出点P在以BC为直径的圆M上运动，连接OM并延长，与圆M交于点P，此时OP有最大值.
12．如图，已知正方形是上的两个动点，交于点．
（1）求证：；
（2）若四边形的面积为，求的长；
（3）求的最小值．
【答案】（1）证明：如图
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
（2）解：，
，
，
即，
设，其中，
则，
∴，
解得或（舍），
∵，
∴，
∴，即，
（3）解：由（1）得，
∴，
设，
则，，
∴，，
设，则，其中，
，即，
，解得，
，
的最小值为，
的最小值为
【知识点】二次函数的最值；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；四边形-动点问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】本题以正方形中的动点问题为背景，综合考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数最值以及一元二次方程根的判别式等知识。
（1）证明CE = DF，关键是通过CEDF和正方形性质得到 1 = 3，结合CD = DA， A = CDE = 90°，用ASA证得，从而对应边相等。
（2）求CE的长。先由全等得面积相等，推出。设DG = a，CG = b，根据直角三角形面积和勾股定理得方程组ab = 4，，解得a = 4，b = 2（或互换，由a < b确定）。再证，利用相似比，代入数据求出。
（3）求的最小值。由全等设AF = DE = x，则AE = 6 - x，分别用x表示EF2和DF2。令k =，整理成关于x的一元二次方程(k-2)x2+ 12x + 36k - 36 = 0，由x为实数得判别式0，解出k，即k的最小值为，开方后得的最小值为。注意开方结果的化简技巧。
（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
即，
设，其中，则，
∴，
解得或（舍），
∵，
∴，
∴，即，
；
（3）解：由（1）得，
∴，
设，则，，
∴，，
设，则，其中，
，即，
，解得，
，
的最小值为，
的最小值为．
13．如图1，AB为⊙O的直径，⊙O的周长为4厘米.动点P从点A出发，在圆周上按顺时针方向作匀速运动，速度为1厘米/秒，点P 出发1秒后，动点Q也从A 点出发，以x厘米/秒的速度在圆周上按顺时针方向作匀速运动，设动点 P 运动t(秒)时，点P，Q与点A 之间较短的弧长分别为y1，y2.y1，y2与t的函数图象如图2所示.
（1）求x的值.
（2）当2≤t≤4时，求y1关于t的一次函数表达式.
（3）若点C为图2中两个函数图象的交点，求点C的坐标，并求出此时点P，点Q之间的劣弧长.
【答案】（1）根据函数图象可知，动点圆周上运动一周所用的时间为秒，
所以．
（2）解：设当2≤x≤4时， y1关于t的一次函数表达式为
∵图象经过(2， 2)和(4， 0)，
解得：
∴y1关于t的一次函数表达式为
（3）设当时，关于的一次函数表达式为．
因为函数图象经过和（，可得
，解得，
所以关于的一次函数表达式为．
根据题意，可得
，解得，
所以点C的坐标为．
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；弧长的计算；动点问题的函数图象；圆-动点问题
【解析】【分析】
（1）根据函数图象可知动点圆周上运动一周所用的时间为秒，根据路程÷时间爱你=速度计算即可；
（2）利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（3）根据待定系数法求出关于的一次函数解析式，联立两解析式，求出交点坐标，然后求出弧长解答即可．
14．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的动点(不包含端点)， AG⊥EF于点 G， GM⊥AB于点M， EF=AG.
（1）如图1，求证： △AMG≌△ECF.
（2）如图2，过点 E作 HE⊥BC分别交AG， MG于点 H， N.
①求证：四边形 BMNE为正方形；
②求证： HE+GN=AB；
③若AB=1，请直接写出HE的取值范围.
【答案】（1）证明：因为四边形ABCD 为正方形， GM⊥AB，
所以∠C=∠B=90°=∠AMG.
因为AG⊥EF，
所以∠BAG+∠BEG=180°.
因为∠CEF+∠BEG=180°，
所以∠BAG=∠CEF.
所以在△AMG与△ECF中，
所以△AMG≌△ECF.
（2）解：①因为四边形ABCD为正方形，
所以AB=BC， ∠B=90°.
因为△AMG≌△ECF，
所以AM=EC.
所以BE=BM.
因为HE⊥BC， GM⊥AB，
所以∠BEN=∠BMN=∠B=90°.
所以四边形 BMNE 为正方形.
②延长MG 交 CD 于点 K，
因为四边形ABCD为正方形，
所以∠C=∠B=90°.
又因为四边形 BMNE 为正方形，
所以∠CEN=∠KNE=90°.
因为四边形 NECK为矩形，
所以CK=NE=MN， ∠FKG=∠HNG=90°.
因为△AMG≌△ECF，
所以MG=FC， ∠KFG=∠HGN，
所以FK=NG.
所以△FKG≌△GNH.
所以HN=KG， HE+NG=MN+NG+KG=BC=AB.
(另法：延长EH 交AD 于点 P，证明△APH≌△ENG)
③
【知识点】正方形的性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；四边形-动点问题
15．【综合与实践】某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF.设点P的运动时间为t，正方形DPEF的面积为S，探究S与t的关系.
（1）初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，①当时，　 　.②S关于t的函数解析式为　 　.
（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象.请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长.
（3）延伸探究：若存在3个时刻）对应的正方形DPEF的面积均相等.
① ；
②当时，求正方形DPEF的面积.
【答案】（1）3；s=t2+2(0≤t≤2)
（2）解：由(1)知，抛物线过点(2，6)，顶点为：(4，2)，
则抛物线的表达式为：S=a(t-4)2+2
将(2，6)代入上式得：6=a(2-4)2+2，
解得：a=1，
则抛物线的表达式为：S=(t-4)2+2=t2-8t+18(2≤x≤8)，
当S=18时，则t2-8t+18=18，
解得：t=0(舍去)或8，
则AB=8-2=6
（3）解：①4；
②从图象看t2，t3关于t=4对称，
则t1+t2=8②，
而t3=6t1③，
由①②③得：4-t1+6t1=8，
解得：t1=0.8，
当t1=0.8时，S=t2+2=2.64
即正方形DPEF的面积为2.64.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；三角形-动点问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：(1)①②在Rt△PCD中，，PC=t，
则S=PD2=t2+2，
当S=6时，即t2+2=6，
解得：t=2(负值已舍去)，
即BC=2，
当t=1时，S=t2+2=3，
故答案为：①3；②S=t2+2(0≤t≤2).
(3)在题干图中画出S=t2+2(0≤t≤2)，如图：
从两个函数表达式看，两个函数a相同，都为1，
若存在3个时刻t1，t2，t3(t1则t1，t2，t3如图所示，此时符合题意；
①从图象看，t1，t2关于t=2对称，
则，
则t1+t2=4①，
故答案为：4.
【分析】(1)在Rt△PCD中，，PC=t，则S=PD2=t2+2，即可求解；
(2)用待定系数法求出函数表达式，进而求解；
(3)①从图象看，t1、t2关于x=2对称，则，即可求解；
②从图象看t2、t3关于t=4对称，进而求解.
16．如图1，在中，是的外接圆，连结AO并延长交BC于点．
（1）求证：；
（2）如图2，点是线段AD上的动点，连结BE并延长交分别交于点F，M，连结CM.
①当点E与垂合时（如图3），求证：；
②在①的条件下，若，求CM的长度；
③若AB=15，求的最大值，井写出此时的值．
【答案】（1）证明：连接OB，OC
∵OB=OC，∴点O在线段BC的垂直平分线上
∵AB=AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上
∴AO是线段BC的垂直平分线
（2）解：①∵AB=AC，AO⊥BC，∴AO平分∠BAC
②
解得FE=8
，
(或证得到，得
③
的最大值即为的最大值
，设，则，
当时，的最大值
的最大值为56.25
过作
【知识点】相似三角形的判定与性质；圆-动点问题
【解析】【分析】（1）连接OB、OC，根据线段的垂直平分线的性质和判定可得AO是线段BC的垂直平分线，于是结论可求证；
（2）①根据等边对等角以及角平分线的性质可证△AFE∽△BFA，由相似三角形的性质可得比例式可求解；
②由题意易证△MFC∽△BFA，列比例式即可求解；
③过F作FG⊥AD，根据相似三角形的性质列比例式即可求解.
三、中考中几何相似与三角函数
17． 如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点A'是点A关于直线BD的对称点，连结A'B交 CD，AC于点E，F，连结OE. 若CF=3，OF=2， 则OE的长度为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵OF=2，CF=3，
∴OC=5，AF=7，
∵ABCD是矩形，
∴OB=OD=OA=OC=5，AC=BD=10，DC∥AB，
∴∠CEF=∠ABF，∠ECF=∠BAF，∠CDB=∠DBA，
∴△CEF∽△ABF，
∴，
设CE=3a，则AB=DC=7a，
∴DE=DC-CE=7a-3a=4a，
由折叠可得∠A'BD=∠ABD，
∴∠CDB=∠A'BD，
∴DE=BE=4a，
又∵OD=OB，
∴OE⊥BD，
在Rt△CBE中，BC2=BE2-CE2=(4a)2-(3a)2=7a2，即BC=，
在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=7a2+(7a)2=56a2=102，
解得a2=，
又∵
∴，
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质可得OB=OD=OA=OC=5，AC=BD=10，DC∥AB，进而得到△CEF∽△ABF，根据对应边成比例设CE=3a，则AB=DC=7a，然后推理得到DE=BE=4a，根据勾股定理求出BC长，然后再在Rt△BCD中根据勾股定理得到a2=，然后根据△DEB的面积公式解答即可.
18．计算：
【答案】解：原式=3+0.5-2=1.5.
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题需先分别计算绝对值、特殊角的三角函数值、算术平方根，再按照实数运算顺序进行加减运算。
19．如图，两幢楼间距为40米，某时太阳光线与水平线的夹角为37°，光线经过一号楼楼顶A照射在二号楼的一楼窗台上(窗台高1米)，则一号楼的高度AB为　 　米.(参考数据：
【答案】31
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；矩形底座模型
【解析】【解答】解：如图，过点C作于点，则，，，
∴，
∴（米）．
故答案为：31 .
【分析】根据正切的定义求出AD长，再根据线段的和差解答即可.
20．如图是某商场扶梯的示意图，扶梯所在的直线AB与水平方向的夹角为∠A，已知 若小明从扶梯底端A处乘扶梯，以0.5m/s的速度用时10s到达扶梯顶端B处，则小明上升的垂直高度BC为　 　 ．
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由题意得：AB=0.5×10=5(m)，
在 中，
∴设BC=xm，则AC=2xm，
解得： 或 (舍去)，
∴小明上升的垂直高度BC为
故答案为：
【分析】根据题意可得：AB=5m，然后在 中，利用锐角三角函数的定义可得 然后设BC=xm，则AC=2xm，从而利用勾股定理进行计算即可解答.
21．一酒精消毒瓶如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图3）．
（1）求点D转动到点的路径长；
（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：）
【答案】（1）解：如图，
∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴点D转动到点的路径长为（）．
（2）解：如图，过点D作于点G，过点E作于点H．
在中，，
∴．
在中，，
∴．
∴．
又∵，
∴点D到直线的距离约为．
【知识点】弧长的计算；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到∠DBE的度数，根据角的和差求出，然后根据弧长公式计算即可；
（2）过点D作于点G，过点E作于点H，在 和中根据正弦的定义求出DG和EH长，再根据线段的和差解答即可.
22．已知圆O的内接四边形ABCD，对角线 AC，BD 相交于点E.
（1）如图1，AC平分 求证：
（2）如图2，AC平分 AB为圆O的直径，若AD=3，AB=5，求 BC的值.
（3）如图3，点 F 在对角线BD 上，连结AF， 若 与的长度之和为 ，请用含 的代数式表示线段AC的长.
【答案】（1）证明：因为AC平分∠BAD，
所以∠CAD=∠BAC=∠BDC.
又因为∠DCE=∠ACD，
所以△ADC∽△DEC.
（2）解：如图，延长BC，AD相交于点 F.
因为AB是直径，
所以∠ADB=∠ACB=90°.
因为AC平分∠BAD，
所以∠F=∠ABF，
所以AB=AF=5，
所以DF=2.
在直角三角形ADB中，根据勾股定理可得DB=4.
在直角三角形BDF中，FB=2
（3）解：设圆O的半径为r.
因为∠BAF=∠CAD=∠CBD，
所以∠BAF+∠ABD=∠CBD+∠ABD，即∠AFE=∠ABC.
因为 tan∠AFE=k1，
所以
因为AC⊥BD.
所以∠ABD+∠BAC=90°，
所以AD与BCE的长度之和等于πr，所以r=k2.
过圆心O作AC 的垂线OG，连结 OA，
所以 sin∠ABC=
所以
【知识点】勾股定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆与四边形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1) 利用圆周角定理(同弧所对圆周角相等)和角平分线性质，找到两组对应角相等，用 “AA” 判定相似；
(2) 由直径得直角，结合角平分线证等腰，用勾股定理求BD，再用相似或面积法求BC；
(3) 由弧长和得圆心角和，结合垂直、等角条件，用三角函数设参数，结合弧长公式与相似，用k1 ，k2 表示AC。
23．
项目式学习
问题发现：同学们对路边的路灯很感兴趣，于是邀请你一起参与综合探究活动．
【实地勘察】同学们到达一个公园．如图所示，在一天中同一时刻，路灯的影子为，小明（）站在路灯旁边，影子为．经测量，长2米，长0.5米，小明的身高为1.5米．
【进一步发现】同学们发现马路边有高大的路灯．如图所示，在一天中某一时刻，小明站在G点处，其影子顶部与路灯的影子重合，测得小明的影子的长为4.5米．小明从点G出发，前行12米走到E点，此时他正好可以在平面镜上的C点看到路灯的顶端A点，测得小明到平面镜上C点的距离为1米，小明的身高为1.5米．（忽略小明眼睛到头顶的距离）
【归纳探究】同学们在经过计算和讨论后，得出了同一种路灯的高度、照明亮度、照明范围的几组数据，整理如下： 高度/米46810照明亮度的平方/勒克斯450300225180照明范围/平方米
（假设整个照明范围内的照明亮度相等） 同学们搜集了一则材料： 根据中国《城市道路照明设计标准》规定，对于普通道路，路面的亮度要求在10勒克斯－20勒克斯之间．
【问题探究】
（1）在【实地勘察】中，根据提供的信息直接写出路灯的高度：　 　．
（2）在【进一步发现】中，根据提供的信息求路灯的高度．
（3）在【归纳探究】中，求高度（设为x）与照明亮度的平方（设为y）的关系式．
（4）在【归纳探究】中，一段200米的道路选用这种路灯，道路宽度忽略不计，那么在符合相关规定的条件下，至少要在这一段路上建造　 　个路灯．
【答案】（1）米
（2）∵，
∴，
∴，
由题意可得米，米，米，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴米
（3）由表格数据得，
∴，
∴路灯高度（x）与照明亮度的平方（y）的关系式为
（4）18
【知识点】列反比例函数关系式；反比例函数的实际应用；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵米，米，米，
∴，
∴米，
故答案为：米；
（4）∵，
∴高度为米，米，米的路灯都符合《城市道路照明设计标准》规定，
∵，
∴高度为米的路灯照明范围最大，且照明范围的直径长为（米），
，则至少需要个路灯．
故答案为：．
【分析】（1）根据两角对应相等得到，再根据对应边成比例解答即可；
（2）得到，得根据对应边成比例得到，然后推理得到，即可得，再根据线段的和差解答即可；
（3）根据表格数据可得乘积为定值，即可得到反比例函数解析式；
（4）先求出符合规定的路灯的高度，再根据此路灯高度下所照明范围的半径解答即可．
1 / 1【浙江三轮】2026年中考数学知识点·考点一遍过专题11 几何变换与相似
一、几何中的图形变化
1．葫芦在我国古代被视作吉祥之物.如图，这是一个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（　　)
A．主视图与左视图相同
B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同
D．主视图、左视图与俯视图都相同
2． 下列历届冬奥会图形是中心对称图形的是（　　)。
A． B．
C． D．
3．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，在△ABC中， ∠B=90°.将△ABC向右平移得到△A1B1C1，点 B， B1， C， C1在同一直线上，边A1B1与边AC交于点 G.若则AG的长为(　　)
A． B． C． D．5
5．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转40°得到，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，菱形中，对角线，相交于点P，与关于点D成中心对称．若，，则　 　．
7．如图，点E在菱形的边上，将沿折叠，使点D的对应点F恰好落在边上．若，则的值是　 　．
8．已知：在△ABC中，
（1）如图1，求△ABC的面积.
（2）如图2，点D在边AC上，将△ABC沿射线BD方向平移至△A1DC1，使得点B与点D重合.
①连结AA1，CA1.求△AA1C的面积.
②如图3，将△A1DC1绕点D旋转至△A2DC2，边A2C2与线段BD的延长线交于点E，连结CE.当CD=2AD时，求的最小值.
二、中考中几何的动点问题
9．如图1，在矩形ABCD中，点P从点A出发沿边AD→DC匀速运动，运动到点C时停止.过点P作对角线AC的垂线，交矩形ABCD的边于点Q.设点P运动的路程为x，AQ的长为y，其中y关于x的函数图象如图2所示，则下列选项错误的是（　　）
A．AB=4 B．
C． D．点（6，5）在该函数图象上
10．如图，正方形的对角线、相交于点，且，正方形的顶点与点重合，边与重合，将正方形绕点顺时针旋转，与边交于点，与边交于点，连接交于点，在整个运动过程中，则点经过的路径长是（　　）
A．1 B． C． D．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（0，3），点A是x轴正半轴上一动点，点P在第一象限，，，点C的坐标为（a，3）（）.
（1）若，则　 　，
（2）连接OP，则OP的最大值为　 　.
12．如图，已知正方形是上的两个动点，交于点．
（1）求证：；
（2）若四边形的面积为，求的长；
（3）求的最小值．
13．如图1，AB为⊙O的直径，⊙O的周长为4厘米.动点P从点A出发，在圆周上按顺时针方向作匀速运动，速度为1厘米/秒，点P 出发1秒后，动点Q也从A 点出发，以x厘米/秒的速度在圆周上按顺时针方向作匀速运动，设动点 P 运动t(秒)时，点P，Q与点A 之间较短的弧长分别为y1，y2.y1，y2与t的函数图象如图2所示.
（1）求x的值.
（2）当2≤t≤4时，求y1关于t的一次函数表达式.
（3）若点C为图2中两个函数图象的交点，求点C的坐标，并求出此时点P，点Q之间的劣弧长.
14．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的动点(不包含端点)， AG⊥EF于点 G， GM⊥AB于点M， EF=AG.
（1）如图1，求证： △AMG≌△ECF.
（2）如图2，过点 E作 HE⊥BC分别交AG， MG于点 H， N.
①求证：四边形 BMNE为正方形；
②求证： HE+GN=AB；
③若AB=1，请直接写出HE的取值范围.
15．【综合与实践】某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF.设点P的运动时间为t，正方形DPEF的面积为S，探究S与t的关系.
（1）初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，①当时，　 　.②S关于t的函数解析式为　 　.
（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象.请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长.
（3）延伸探究：若存在3个时刻）对应的正方形DPEF的面积均相等.
① ；
②当时，求正方形DPEF的面积.
16．如图1，在中，是的外接圆，连结AO并延长交BC于点．
（1）求证：；
（2）如图2，点是线段AD上的动点，连结BE并延长交分别交于点F，M，连结CM.
①当点E与垂合时（如图3），求证：；
②在①的条件下，若，求CM的长度；
③若AB=15，求的最大值，井写出此时的值．
三、中考中几何相似与三角函数
17． 如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点A'是点A关于直线BD的对称点，连结A'B交 CD，AC于点E，F，连结OE. 若CF=3，OF=2， 则OE的长度为(　　)
A． B． C． D．
18．计算：
19．如图，两幢楼间距为40米，某时太阳光线与水平线的夹角为37°，光线经过一号楼楼顶A照射在二号楼的一楼窗台上(窗台高1米)，则一号楼的高度AB为　 　米.(参考数据：
20．如图是某商场扶梯的示意图，扶梯所在的直线AB与水平方向的夹角为∠A，已知 若小明从扶梯底端A处乘扶梯，以0.5m/s的速度用时10s到达扶梯顶端B处，则小明上升的垂直高度BC为　 　 ．
21．一酒精消毒瓶如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图3）．
（1）求点D转动到点的路径长；
（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：）
22．已知圆O的内接四边形ABCD，对角线 AC，BD 相交于点E.
（1）如图1，AC平分 求证：
（2）如图2，AC平分 AB为圆O的直径，若AD=3，AB=5，求 BC的值.
（3）如图3，点 F 在对角线BD 上，连结AF， 若 与的长度之和为 ，请用含 的代数式表示线段AC的长.
23．
项目式学习
问题发现：同学们对路边的路灯很感兴趣，于是邀请你一起参与综合探究活动．
【实地勘察】同学们到达一个公园．如图所示，在一天中同一时刻，路灯的影子为，小明（）站在路灯旁边，影子为．经测量，长2米，长0.5米，小明的身高为1.5米．
【进一步发现】同学们发现马路边有高大的路灯．如图所示，在一天中某一时刻，小明站在G点处，其影子顶部与路灯的影子重合，测得小明的影子的长为4.5米．小明从点G出发，前行12米走到E点，此时他正好可以在平面镜上的C点看到路灯的顶端A点，测得小明到平面镜上C点的距离为1米，小明的身高为1.5米．（忽略小明眼睛到头顶的距离）
【归纳探究】同学们在经过计算和讨论后，得出了同一种路灯的高度、照明亮度、照明范围的几组数据，整理如下： 高度/米46810照明亮度的平方/勒克斯450300225180照明范围/平方米
（假设整个照明范围内的照明亮度相等） 同学们搜集了一则材料： 根据中国《城市道路照明设计标准》规定，对于普通道路，路面的亮度要求在10勒克斯－20勒克斯之间．
【问题探究】
（1）在【实地勘察】中，根据提供的信息直接写出路灯的高度：　 　．
（2）在【进一步发现】中，根据提供的信息求路灯的高度．
（3）在【归纳探究】中，求高度（设为x）与照明亮度的平方（设为y）的关系式．
（4）在【归纳探究】中，一段200米的道路选用这种路灯，道路宽度忽略不计，那么在符合相关规定的条件下，至少要在这一段路上建造　 　个路灯．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解： 观察工艺葫芦的实物形态，其整体呈上下对称的葫芦状，且关于沿主视方向的竖直中心轴对称。
从正面看，得到的主视图呈现葫芦的整体轮廓；
从左面看，由于几何体左右对称，左视图的轮廓与主视图的轮廓完全一致，只是观察方向不同，形状无差异。
而从上面观察，看到的是葫芦顶部的圆形轮廓（俯视图），与主视图、左视图的立体轮廓形状明显不同，
主、左视图是立体的纵向轮廓，俯视图是平面的圆形轮廓。
因此，只有主视图与左视图相同，对应选项 A 正确。
故答案为：A.
【分析】 本题考查三视图的识别与辨析，核心在于明确工艺葫芦的立体结构特征：该几何体具有轴对称性，沿主视方向的竖直轴左右对称。解题关键是判断主视图、左视图、俯视图的形状差异，重点区分主视图与左视图的形状一致性，以及三者与实物轮廓的对应关系。
2．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：
故答案为：D．
【分析】根据中心对称图形的定义“一个图形绕一点旋转180°后能够和自身重合的图形是中心对称图形”判断即可．
3．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、赵爽弦图是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B、笛卡尔心形线是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、斐波那契螺旋线不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
D、科克曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意
故答案为：D.
【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，如果一个图形绕某一点旋转 后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可.
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；平移的性质
5．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由题意可知，，
故和的面积相等，
∵在中，，将绕点逆时针旋转后得到，
∴阴影部分的面积是：，
故答案为：C．
【分析】根据旋转的性质可知，根据阴影部分的面积=扇形的面积解答即可．
6．【答案】25
【知识点】勾股定理；菱形的性质；中心对称的性质
【解析】【解答】解：在菱形中，与互相垂直平分，
∴，，
又∵与关于点D成中心对称，
∴，
∴，，，
∴，
在中，．
故答案为：25
【分析】本题以菱形和中心对称为背景，考查了菱形的对角线性质（互相垂直平分）、中心对称的性质（对应边相等、对应角相等）以及勾股定理的应用。解题的关键分三步：先由菱形对角线互相平分求出 AP = 7，BP = PD = 8；再根据 △ EFD 与△ APD 关于点 D 成中心对称，得出对应边相等：PD = DF = 8，AP = EF = 7，且对应角相等得 ∠ EFD = ∠APD = 90°；然后求出 BF = BD + DF = 16 + 8 = 24；最后在 Rt△BFE 中利用勾股定理 BE === 25。注意中心对称图形全等以及正确找出对应边是解题的关键。
7．【答案】
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形为菱形，
∴，，，
由折叠的性质可得：，，，
∴，
∴，
∴，
∴如图，作，交的延长线于，在的延长线上取一点，使得，连接，
，
则垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】本题以菱形中的折叠问题为背景，综合考查了菱形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数以及垂直平分线的性质。解题的关键是通过折叠和菱形性质得到 AB = AF，从而B = AFB，结合 ADBC 及折叠得D = AFE，推出多个角相等。作辅助线 EG BC 并构造 CG = GH，利用垂直平分线得 CE = HE，再证，得到比例关系。由 cos B = 得 cosECH =，在 Rt△ECG 中设 CG = a，则 CE = 5a，CH = 2a，代入相似比例求出 EF =a，最后得到。注意辅助线的构造以及对多个角度相等关系的推导是突破难点。
8．【答案】（1）解：过点作于点，则：
，，
设，则，
∵，
∴，解得：，
∴，
∴的面积为：．
（2）解：①如图2，连接，
∵沿射线方向平移至，
∴，，，
∴，
∵且，
∴四边形是平行四边形，
∴的面积的面积的面积，
∵，
∴的面积的面积，
∴的面积．
②如图3，过点作于点，
由（1）得：，
当时，，
∴，
∴，
过点作于点，则的面积为：，
∵的面积为：，
∴，解得，
∴，
∵，
∴只需最小，则最小，
∵绕点旋转至，
∴，
∴的最小值，
∴的最小值为：．
【知识点】二次函数的最值；平行四边形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）过点作于点，根据正切的定义设，则，根据勾股定理求出CF长，然后利用三角形的面积公式计算即可．
（2）①如图2，连结，根据平移得到四边形是平行四边形，再根据的面积的面积解答即可．
②如图3，过点作于点，即可得到，过点作于点，根据△BCD的面积求出CG长，根据勾股定理，根据二次函数的最值解答即可．
9．【答案】D
【知识点】动点问题的函数图象；四边形-动点问题；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：由图2得，当点 Q 运动到点 B 处时，AQ为4，即AB为4，故选项A正确；
如图，当点 P 运动到点 D 处时，路程AP为8，即AD为8，
BC∥AD，
即
故选项B正确；
当点 P 运动到点C处时，点 Q 与点C 重合，
此时 故选项C正确；
当路程AP=6时，如图，过点P作 于点H，
由 得 即
∴点(6，5)不在该函数图象上，故选项D错误.故选 D.
故答案为：D.
【分析】根据点的运动过程，利用函数图象得到AB长判断A选项；根据平行得到△ADC∽△DCQ，根据对应边成比例求出CQ长，再根据勾股定理求出m的值判断B选项；当点 P 运动到点C处时，点 Q 与点C 重合，根据勾股定理求出n的值判断C选项；当AP=6时，过点P作 于点H，得到根据对应边成比例求出QH长，再根据勾股定理求出AQ长判断D选项解答即可.
10．【答案】A
【知识点】正方形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-ASA；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图，取中点，
∵正方形的对角线、相交于点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
，
∵当 正方形绕点顺时针旋转 时，，
∴此时，
又，，
四边形是正方形，
，即点G与点H重合，
，
；
点是与的交点，是定线段，，
点G在线段上运动，
∴在整个运动过程中，
当与重合，点G，点E与点C重合，有最大值，
当时，点G与点H重合，有最小值，
当边与重合，点G，点F与点C重合，有最大值，
点G在整个运动过程中，由点C运动到点H，再由点H运动到点C，
点经过的路径长是，
点经过的路径长是，
故答案为：A．
【分析】取中点，利用正方形的性质证明，得到，当时，易证此时四边形是正方形，此时，即点G与点H重合，有最小值，利用正方形的性质求出；由点是与的交点，是定线段，得到点G在线段上运动，在整个运动过程中，当边与重合，点G，点E与点C重合，当时，点G与点H重合，当边与重合，点G，点F与点C重合，故点G在整个运动过程中，由点C运动到点H，再由点H运动到点C，即点经过的路径长是，即可得出结果．
11．【答案】（1）4
（2）
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；勾股定理；圆-动点问题
【解析】【解答】解：(1)由题意得：BC//x轴，，S△ABC=S△ABP=6，
∴，
∴a=4；
故答案为：4.
(2)结合(1)可知：若S△ABP=S△ABC=6.
则PC//AB，
∴点P是直线PB与直线PC的交点，
∵BP⊥AB，
∴BP⊥CP，即∠BPC=90°；
∵BC=4是定值，
∴点P在以BC为直径的圆M上运动，连接OM并延长，与圆M交于点P，
如图所示：此时OP有最大值；
∵M是BC的中点，
∴M(2，3)，
∴，
故答案为：.
【分析】(1)由题意得：BC//x轴，推出即可求解；
(2)结合(1)可推出PC//AB，点P是直线PB与直线PO的交点；进一步推出点P在以BC为直径的圆M上运动，连接OM并延长，与圆M交于点P，此时OP有最大值.
12．【答案】（1）证明：如图
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
（2）解：，
，
，
即，
设，其中，
则，
∴，
解得或（舍），
∵，
∴，
∴，即，
（3）解：由（1）得，
∴，
设，
则，，
∴，，
设，则，其中，
，即，
，解得，
，
的最小值为，
的最小值为
【知识点】二次函数的最值；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；四边形-动点问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】本题以正方形中的动点问题为背景，综合考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数最值以及一元二次方程根的判别式等知识。
（1）证明CE = DF，关键是通过CEDF和正方形性质得到 1 = 3，结合CD = DA， A = CDE = 90°，用ASA证得，从而对应边相等。
（2）求CE的长。先由全等得面积相等，推出。设DG = a，CG = b，根据直角三角形面积和勾股定理得方程组ab = 4，，解得a = 4，b = 2（或互换，由a < b确定）。再证，利用相似比，代入数据求出。
（3）求的最小值。由全等设AF = DE = x，则AE = 6 - x，分别用x表示EF2和DF2。令k =，整理成关于x的一元二次方程(k-2)x2+ 12x + 36k - 36 = 0，由x为实数得判别式0，解出k，即k的最小值为，开方后得的最小值为。注意开方结果的化简技巧。
（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
即，
设，其中，则，
∴，
解得或（舍），
∵，
∴，
∴，即，
；
（3）解：由（1）得，
∴，
设，则，，
∴，，
设，则，其中，
，即，
，解得，
，
的最小值为，
的最小值为．
13．【答案】（1）根据函数图象可知，动点圆周上运动一周所用的时间为秒，
所以．
（2）解：设当2≤x≤4时， y1关于t的一次函数表达式为
∵图象经过(2， 2)和(4， 0)，
解得：
∴y1关于t的一次函数表达式为
（3）设当时，关于的一次函数表达式为．
因为函数图象经过和（，可得
，解得，
所以关于的一次函数表达式为．
根据题意，可得
，解得，
所以点C的坐标为．
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；弧长的计算；动点问题的函数图象；圆-动点问题
【解析】【分析】
（1）根据函数图象可知动点圆周上运动一周所用的时间为秒，根据路程÷时间爱你=速度计算即可；
（2）利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（3）根据待定系数法求出关于的一次函数解析式，联立两解析式，求出交点坐标，然后求出弧长解答即可．
14．【答案】（1）证明：因为四边形ABCD 为正方形， GM⊥AB，
所以∠C=∠B=90°=∠AMG.
因为AG⊥EF，
所以∠BAG+∠BEG=180°.
因为∠CEF+∠BEG=180°，
所以∠BAG=∠CEF.
所以在△AMG与△ECF中，
所以△AMG≌△ECF.
（2）解：①因为四边形ABCD为正方形，
所以AB=BC， ∠B=90°.
因为△AMG≌△ECF，
所以AM=EC.
所以BE=BM.
因为HE⊥BC， GM⊥AB，
所以∠BEN=∠BMN=∠B=90°.
所以四边形 BMNE 为正方形.
②延长MG 交 CD 于点 K，
因为四边形ABCD为正方形，
所以∠C=∠B=90°.
又因为四边形 BMNE 为正方形，
所以∠CEN=∠KNE=90°.
因为四边形 NECK为矩形，
所以CK=NE=MN， ∠FKG=∠HNG=90°.
因为△AMG≌△ECF，
所以MG=FC， ∠KFG=∠HGN，
所以FK=NG.
所以△FKG≌△GNH.
所以HN=KG， HE+NG=MN+NG+KG=BC=AB.
(另法：延长EH 交AD 于点 P，证明△APH≌△ENG)
③
【知识点】正方形的性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；四边形-动点问题
15．【答案】（1）3；s=t2+2(0≤t≤2)
（2）解：由(1)知，抛物线过点(2，6)，顶点为：(4，2)，
则抛物线的表达式为：S=a(t-4)2+2
将(2，6)代入上式得：6=a(2-4)2+2，
解得：a=1，
则抛物线的表达式为：S=(t-4)2+2=t2-8t+18(2≤x≤8)，
当S=18时，则t2-8t+18=18，
解得：t=0(舍去)或8，
则AB=8-2=6
（3）解：①4；
②从图象看t2，t3关于t=4对称，
则t1+t2=8②，
而t3=6t1③，
由①②③得：4-t1+6t1=8，
解得：t1=0.8，
当t1=0.8时，S=t2+2=2.64
即正方形DPEF的面积为2.64.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；三角形-动点问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：(1)①②在Rt△PCD中，，PC=t，
则S=PD2=t2+2，
当S=6时，即t2+2=6，
解得：t=2(负值已舍去)，
即BC=2，
当t=1时，S=t2+2=3，
故答案为：①3；②S=t2+2(0≤t≤2).
(3)在题干图中画出S=t2+2(0≤t≤2)，如图：
从两个函数表达式看，两个函数a相同，都为1，
若存在3个时刻t1，t2，t3(t1则t1，t2，t3如图所示，此时符合题意；
①从图象看，t1，t2关于t=2对称，
则，
则t1+t2=4①，
故答案为：4.
【分析】(1)在Rt△PCD中，，PC=t，则S=PD2=t2+2，即可求解；
(2)用待定系数法求出函数表达式，进而求解；
(3)①从图象看，t1、t2关于x=2对称，则，即可求解；
②从图象看t2、t3关于t=4对称，进而求解.
16．【答案】（1）证明：连接OB，OC
∵OB=OC，∴点O在线段BC的垂直平分线上
∵AB=AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上
∴AO是线段BC的垂直平分线
（2）解：①∵AB=AC，AO⊥BC，∴AO平分∠BAC
②
解得FE=8
，
(或证得到，得
③
的最大值即为的最大值
，设，则，
当时，的最大值
的最大值为56.25
过作
【知识点】相似三角形的判定与性质；圆-动点问题
【解析】【分析】（1）连接OB、OC，根据线段的垂直平分线的性质和判定可得AO是线段BC的垂直平分线，于是结论可求证；
（2）①根据等边对等角以及角平分线的性质可证△AFE∽△BFA，由相似三角形的性质可得比例式可求解；
②由题意易证△MFC∽△BFA，列比例式即可求解；
③过F作FG⊥AD，根据相似三角形的性质列比例式即可求解.
17．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵OF=2，CF=3，
∴OC=5，AF=7，
∵ABCD是矩形，
∴OB=OD=OA=OC=5，AC=BD=10，DC∥AB，
∴∠CEF=∠ABF，∠ECF=∠BAF，∠CDB=∠DBA，
∴△CEF∽△ABF，
∴，
设CE=3a，则AB=DC=7a，
∴DE=DC-CE=7a-3a=4a，
由折叠可得∠A'BD=∠ABD，
∴∠CDB=∠A'BD，
∴DE=BE=4a，
又∵OD=OB，
∴OE⊥BD，
在Rt△CBE中，BC2=BE2-CE2=(4a)2-(3a)2=7a2，即BC=，
在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=7a2+(7a)2=56a2=102，
解得a2=，
又∵
∴，
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质可得OB=OD=OA=OC=5，AC=BD=10，DC∥AB，进而得到△CEF∽△ABF，根据对应边成比例设CE=3a，则AB=DC=7a，然后推理得到DE=BE=4a，根据勾股定理求出BC长，然后再在Rt△BCD中根据勾股定理得到a2=，然后根据△DEB的面积公式解答即可.
18．【答案】解：原式=3+0.5-2=1.5.
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题需先分别计算绝对值、特殊角的三角函数值、算术平方根，再按照实数运算顺序进行加减运算。
19．【答案】31
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；矩形底座模型
【解析】【解答】解：如图，过点C作于点，则，，，
∴，
∴（米）．
故答案为：31 .
【分析】根据正切的定义求出AD长，再根据线段的和差解答即可.
20．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由题意得：AB=0.5×10=5(m)，
在 中，
∴设BC=xm，则AC=2xm，
解得： 或 (舍去)，
∴小明上升的垂直高度BC为
故答案为：
【分析】根据题意可得：AB=5m，然后在 中，利用锐角三角函数的定义可得 然后设BC=xm，则AC=2xm，从而利用勾股定理进行计算即可解答.
21．【答案】（1）解：如图，
∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴点D转动到点的路径长为（）．
（2）解：如图，过点D作于点G，过点E作于点H．
在中，，
∴．
在中，，
∴．
∴．
又∵，
∴点D到直线的距离约为．
【知识点】弧长的计算；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到∠DBE的度数，根据角的和差求出，然后根据弧长公式计算即可；
（2）过点D作于点G，过点E作于点H，在 和中根据正弦的定义求出DG和EH长，再根据线段的和差解答即可.
22．【答案】（1）证明：因为AC平分∠BAD，
所以∠CAD=∠BAC=∠BDC.
又因为∠DCE=∠ACD，
所以△ADC∽△DEC.
（2）解：如图，延长BC，AD相交于点 F.
因为AB是直径，
所以∠ADB=∠ACB=90°.
因为AC平分∠BAD，
所以∠F=∠ABF，
所以AB=AF=5，
所以DF=2.
在直角三角形ADB中，根据勾股定理可得DB=4.
在直角三角形BDF中，FB=2
（3）解：设圆O的半径为r.
因为∠BAF=∠CAD=∠CBD，
所以∠BAF+∠ABD=∠CBD+∠ABD，即∠AFE=∠ABC.
因为 tan∠AFE=k1，
所以
因为AC⊥BD.
所以∠ABD+∠BAC=90°，
所以AD与BCE的长度之和等于πr，所以r=k2.
过圆心O作AC 的垂线OG，连结 OA，
所以 sin∠ABC=
所以
【知识点】勾股定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆与四边形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1) 利用圆周角定理(同弧所对圆周角相等)和角平分线性质，找到两组对应角相等，用 “AA” 判定相似；
(2) 由直径得直角，结合角平分线证等腰，用勾股定理求BD，再用相似或面积法求BC；
(3) 由弧长和得圆心角和，结合垂直、等角条件，用三角函数设参数，结合弧长公式与相似，用k1 ，k2 表示AC。
23．【答案】（1）米
（2）∵，
∴，
∴，
由题意可得米，米，米，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴米
（3）由表格数据得，
∴，
∴路灯高度（x）与照明亮度的平方（y）的关系式为
（4）18
【知识点】列反比例函数关系式；反比例函数的实际应用；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵米，米，米，
∴，
∴米，
故答案为：米；
（4）∵，
∴高度为米，米，米的路灯都符合《城市道路照明设计标准》规定，
∵，
∴高度为米的路灯照明范围最大，且照明范围的直径长为（米），
，则至少需要个路灯．
故答案为：．
【分析】（1）根据两角对应相等得到，再根据对应边成比例解答即可；
（2）得到，得根据对应边成比例得到，然后推理得到，即可得，再根据线段的和差解答即可；
（3）根据表格数据可得乘积为定值，即可得到反比例函数解析式；
（4）先求出符合规定的路灯的高度，再根据此路灯高度下所照明范围的半径解答即可．
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