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四川省广元市苍溪县2026年数学中考一诊试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：
的左视图为
故答案为：C.
【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据左视图看到的图形，上方为矩形，下方为倒梯形，逐一区分实线和虚线，可得答案。
2．用配方法解一元二次方程x2-10x+5=0，配方正确的是（　　）
A．（x+5）2=20 B．（x-5）2=30 C．（x-5）2=20 D．（x+5）2=30
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：原方程为 .
移项得 .
方程两边同时加得 .
配方得 .
故答案为：C.
【分析】先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式解答即可.
3．如图，在Rt△ABC中，∠A=35°，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，其中AB=2，以C为圆心，CD为半径画弧交AB于点E，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；弧长的计算；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：在中，是斜边的中线，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵，
∴，
∴，
的长为．
故答案为：B.
【分析】根据直角三角形斜边中线性质可得，根据等边对等角得到，即可根据三角形的外角得到∠CDE的度数，再根据三角形的外角和等边对等角求出，根据扇形弧长公式解答即可．
4．奇奇的智能门锁有一个两位密码，每位密码从{A，B，C，D}四个字母中选取，且两位字母不能相同.为了提高安全性，系统自动排除以A开头或以D结尾的密码.奇奇随机设置一个密码，那么他设置的密码不会被系统排除的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列举出所有等可能的结果如下：
-
-
-
-
由表格可知，所有两位字母不同的密码共种，其中满足“第一位不是”且“第二位不是”共有7种有效密码，
∴他设置的密码不会被系统排除的概率是．
故答案为：B.
【分析】先通过列表法得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
5．如图，已知圆锥的底面半径是，母线长是，如果是底面圆周上一点，从点拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点，则这根绳子的最短长度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：连接AC，过B作 于D，
设圆锥侧面展开图的圆心角为
圆锥底面圆周长为
则n=120，
由AB=6，可求得BD=3，
故答案为：D.
【分析】连接AC，过B作 于D，首先求出BD的长，再利用勾股定理求出AD以及AC的长即可.
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD=108°，则∠BCD的度数是（　　）
A．127° B．108° C．126° D．72°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又四边形内接于，
∴，
．
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理求得 ，再根据圆内接四边形的性质计算即可．
7．关于x的反比例函数，下列结论正确的是（　　）
A．其图象经过点（1，-2）
B．其图象位于第二、四象限
C．若其图象经过（a，a-1），则a=-1
D．其图象所在的每一个象限内，y随着x的增大而减小
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、∵反比例函数解析式为，把代入解析式得，
∴图象不经过点，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴图象位于第一，三象限，故此选项不符合题意；
C、∵图象经过点，
∴，整理得，解得或，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴在图象的每一个象限内，随着的增大而减小，故此选项符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数的图象和性质逐项判断解答即可.
8．如图，点D在△ABC的BC边上，△ABC∽△DBA，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．∠BAD=∠ADC
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：，
，，，，
A、B、D错误，不符合题意，C正确，符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的对应边成比例，且对应角相等，逐项判断解答即可．
9．已知α、β均为锐角，且满足，则α+β=（　　）
A．45° B．60° C．75° D．105°
【答案】C
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：∵，且，，
∴，，
∴，，
∵，均为锐角，
∴，，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性，利用特殊锐角的三角函数值求出，的值，求和解答即可.
10．如图图案都是由大小相同的黑点按一定的规律组成的，其中第①个图案有2个黑点，第②个图案有7个黑点，第③个图案有15个黑点，…，按此规律可知，第⑦图案中黑点的个数为（　　）
A．81 B．77 C．75 D．70
【答案】B
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：第①个图案有个黑点，
第②个图案有个黑点，
第③个图案有个黑点，
第④个图案有个黑点，
…，
以此类推，得第个图案中黑点个数为；
第⑦个图案中黑点个数为；
故答案为：B．
【分析】先分为上边正方形和下边三角形分别求出黑点个数和得到规律：第个图案中黑点个数为，然后代入n=7计算即可．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．已知 ，则 的值是　 　
【答案】4
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设x2+y2=m，则原式可化为m(m-1)-12=0，整理可得m2-m-12=0，
因式分解，可得(m+3)(m-4)=0，
∴m=-3或m=4.
∵x2+y2=m≥0，
∴x2+y2=4.
故答案为：4.
【分析】设x2+y2=m，则原式可整理为m2-m-12=0，然后利用因式分解法就可求得m的值，接下来根据x2+y2=m≥0进行取舍即可.
12．有6张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6.从中随机抽取1张，该卡片上的数是2的整数倍的概率是　 　 .
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵共有6张卡片，数字分别为1，2，3，4，5，6，
其中是2的整数倍的数有2，4，6，共3个，
∴随机抽取1张是2的整数倍的概率为．
故答案为：．
【分析】根据概率公式计算即可．
13．如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷.在抛物线上取A，B，C，D四点，且线段AB，CD都与地面平行，抛物线最高点P到AB的距离为0.6m，AB=2m，CD=4m，则点B到CD的距离为　 　m.
【答案】1.8
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；平面直角坐标系的构成；二次函数的其他应用；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：如图建立坐标系：
∵抛物线最高点到的距离为，，，
∴，，
设，将代入得，，
解得，即，
当时，，
即点到的距离为，
故答案为：．
【分析】以AB所在直线为x轴，过AB中点的垂线为y轴建立平面直角坐标系，根据顶点式求出二次函数解析式，然后代入x=2求出y的值解答即可．
14．如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于 MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ=2QC，BC=3，则平行四边形ABCD周长为　 　．
【答案】15
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵由题意可知，AQ是∠DAB的平分线，
∴∠DAQ=∠BAQ．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，
∴∠DAQ=∠DAQ，
∴△AQD是等腰三角形，
∴DQ=AD=3．
∵DQ=2QC，
∴QC= DQ= ，
∴CD=DQ+CQ=3+ = ，
∴平行四边形ABCD周长=2（DC+AD）=2×（ +3）=15．
故答案为：15．
【分析】根据角平分线的性质可知∠DAQ=∠BAQ，再由平行四边形的性质得出CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，故可得出△AQD是等腰三角形，据此可得出DQ=AD，进而可得出结论．
15．如图，在△ABC中，tanC=，D是边BC上一点，将△ACD沿AD翻折得到△AED使线段AE、BC相交于点F，若CF=5，EF=2，则AC= 　 　.
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过点作于点，
∴，
设，则，
∴，
得，
则，，
由翻折得，
设，
则，，
在中，，
即，
解得：，
即，
故答案为：．
【分析】过点作于点，根据正切设，，根据，利用勾股定理求出，，根据翻折可得，设，则，，在中根据勾股定理求出y的值解答即可．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B在函数的图象上，直线AB交x轴于点C，交y轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥y轴于点F，AE与BF交于点G，连接AF，BE.给出下面四个结论：①；②△AFG∽△BEG；③S△AFB=S△AEB；④AD=BC.上述结论中，所有正确结论的序号是　 　 .
【答案】①③④
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；矩形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的两点一垂线型；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵点，在函数的图象上，
∴设点的坐标为，点的坐标为，
∵轴于点，过点作轴于点，与交于点，
∴，，，，
∴，，
∴，，
∴，故结论正确；
∵轴于点，过点作轴于点，与交于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
由结论正确得：，
∴，
∴和不相似，故结论不正确；
∵，
∴，，
由结论正确得，
∴，
∴，
∴，即，故结论正确；
连接，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，
由结论正确得，
在和中，，，
∴，
∴，
∴，即，
∵轴于点，轴于点，
∴，，
∴四边形和四边形都是平行四边形，
∴，，
∴，故结论正确，
综上所述：正确的结论的序号是．
故答案为：．
【分析】设点，点，即可得到，，，，进而得GB，AG的长，由此得，判断；证明四边形是矩形，即可得到，结合得，判定和不相似判断；利用三角形的面积公式表示△AGF和△AGF，根据的结论，可得，判断；连接，根据两边成比例且夹角相等即可得到和相似，即可得到，然后证明和都是平行四边形，即可得到，，判断解答即可.
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．计算：.
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算二次根式的化简、零指数幂、负整数指数幂、代入特殊角的三角函数值，然后运算乘法，再合并同类项解答即可．
18．解下列方程：
（1）（x-4）2=9；
（2）x2-3x-1=0.
【答案】（1）解：，
∴，
∴或，
∴，；
（2）解：，
∵，
∴，
∴， ．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据直接开平方法解一元二次方程；
（2）根据公式法解一元二次方程，即可求解．
19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于A，C两点，与x轴、y轴分别交于点B，D，已知点A的坐标为（-2，4），点C的坐标为（8，m）.
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点P是直线AB下方反比例函数图象上一点，当△PAB的面积为24时，求点P的坐标.
【答案】（1）解：把点代入得，
，
反比例函数的解析式为，
把代入得，
点的坐标为，
把和点代入得，解得
一次函数的解析式为．
综上所述：反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为．
（2）解：设点的坐标为，
，
当点在第四象限时，如图所示：
∵
∴，
解得：（不合题意舍去），
当点在第二象限时，如图所示：
∵
∴，
解得：（不合题意舍去），
综上所述，点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）把点代入反比例函数的解析式求出，把代入反比例函数解析式求出点的坐标，然后根据待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）设点的坐标为，分为①当点在第四象限时，；②当点在第二象限时，；列方程求出n的值解答即可．
20．我国航天技术飞速发展，我校以“探航天奥秘，立报国之志，做追梦少年”为主题，组织学生开展了航天知识科普竞赛活动.为了解学生对航天知识的掌握情况，我校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：
（1）本次共抽取了 ▲ 名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；
（2）若该校共有1500名学生参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数；
（3）学校在航天知识科普竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名同学中，随机抽取2人担任校园航天文化节的主持人，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率.
【答案】（1）400；
补全条形统计图，如图即为所求；

（2）解：（名）
答：竞赛成绩为B等级的学生人数为600名；
（3）解：树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲乙两人同时被选中的结果有2种，
∴P（甲乙两人同时被选中）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：抽取总人数为（名），
等级D的人数为（名），
故答案为：40；
【分析】（1）由C等级的人数除以它的占比可得抽取人数，再由总人数减去其它等级人数得到D等级人数，补全条形统计图即可；
（2）用1500乘以样本中B等级人数占比即可解答；
（3）画树状图得到所有等可能的结果数，然后得到甲乙两人同时被选中的结果数，利用概率公式解答．
21．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，点A，B的对应点分别为点E，D，连接AE，点D恰好落在线段AE上.
（1）求证：∠BAD=90°；
（2）连接BD，若AD=5，DE=2，求BD的长.
【答案】（1）∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，点A，B的对应点分别为点E，D，
∴∠CAB=∠CED，
∵∠ACE=90°，且点D恰好落在线段AE上，
∴∠CAD+∠AEC=90°，
∴∠CAD+∠CAB=90°，
∴∠BAD=90°
（2）解：由旋转的性质可知，
∵，，
∴在中，．

【知识点】勾股定理；旋转的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）利用旋转性质得到，，进而得到，从证明结论即可；
（2）由旋转的性质可得，再在中根据勾股定理求出BD长 ．
22．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A，B的两点，∠ABD=2∠BAC，连接CD.过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于点F.
（1）求证：CF为⊙O的切线；
（2）求证：OB BF=BE OF.
【答案】（1）证明：连接OC，如图所示：
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
又∵∠BOC=∠1+∠2，
∴∠BOC=2∠1，
又∵∠ABD=2∠1，
∴∠ABD=∠BOC，
∴OC∥DB，
∵CE⊥DB，
∴OC⊥CF，
又∵OC为⊙O的半径，
∴CF为⊙O的切线；
（2）证明：由（1）知OC⊥CF，
∴∠OCF=90°，
∵BE⊥CF，
∴∠BEF=90°，
∵∠F=∠F，
∴△BEF∽△OCF，
∴，
∴BE OF=BF OC，
∴OB BF=BE OF.
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；内错角相等，两直线平行；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角得到，然后根据外角可得，即可得到，然后根据内错角相等，两直线平行得到，再根据平行线的性质得到，进而证明结论；
（2）利用两角对应相等得到，然后根据对应边成比例解答即可．
23．实验是培养学生创新能力的重要途径，如图是小亮同学安装的化学实验装置，按要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处，现将左侧的实验装置图抽象成侧面示意图.已知试管AB=24cm，，试管倾斜角∠ABG为12°，实验时，导管紧贴水面MN，延长BM交CN于点F，且MN⊥CF（点C，D，N，F在同一直线上），经测得DE=28cm，MN=8cm，MN=NF，求DN的长.（结果保留整数）（参考数据：sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan12°≈0.21）
【答案】解：如图，延长、交于，
，，，
四边形为矩形，
，，
，，
，
在中，，，
则，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；矩形底座模型
【解析】【分析】延长、交于，即可得到四边形为矩形，求出EB长，利用正弦的定义求出和，即可求出的长，再根据等腰直角三角形的性质解答即可．
24．材料一：某种旅游纪念品的进价为每件15元，销售单价不低于20元.
材料二：当销售单价定为20元时，每天可以销售100件，市场调查反映，销售单价每提高1元，日销量将会减少10件.
材料三：物价部门规定销售单价不能超过28元，且为正整数.商店按规定适当涨价销售.
（1）任务一：建立函数模型
设该纪念品的销售单价为x（单位：元），日销量为y（单位：件），日销售利润为W（单位：元），分别写出y与x，W与x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）任务二：设计销售方案
若日销售利润为540元，销售单价应定为多少元？
（3）销售单价定为多少元时，销售该纪念品所获日销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：由材料二可得，当销售单价为元时，每天可以销售件，销售单价每提高元，日销量减少件，
日销量，
由材料一可得，销售单价不低于元，
由材料三可得，销售单价不能超过元，且为正整数．
的取值范围为，且为正整数．
日销售利润，
关于的函数解析式为（，且为正整数），关于的函数解析式为（，且为正整数）；
（2）解：由题意得，当时，即，
整理得，即，
解得，，
，
销售单价应定为元或元，
答：销售单价应定为元或元；
（3）解：，
且为正整数，
当或时，最大，
当时，（元），
当时，（元），
最大利润为元，
答：销售单价定为元或元时，销售该纪念品所获日销售利润最大，最大利润是元．
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“销售单价为元时，每天可以销售件，销售单价每提高元，日销量减少件”列出关于的函数解析式，根据单利润×销售量=总利润列出W关于x的函数解析式；
（2）令，解一元二次方程求出x的值解答即可；
（3）配方得到顶点式，然后根据二次函数的性质求出最大值解答即可．
25．综合与实践：
问题情境：如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E分别作AC，BE的垂线，分别交直线BC，CD于点F，G.
（1）数学思考：线段BF和CG的数量关系　 　；
（2）问题解决：如图2，在图1的条件下，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件不变.若AB=2，BC=3，求的值；
（3）问题拓展：在（2）的条件下，当点E为AC的中点时，请直接写出△CEG的面积.
【答案】（1）BF=CG
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∵EF⊥AC，
∴∠FEC=90°，
∴∠BCE+∠EFB=90°，∠FEB+∠BEC=90°，
∴∠EFB=∠ECG，
又∵BE⊥EG，
∴∠CEG+∠BEC=90°，
∴∠FEB=∠CEG，
∴△BFE∽△GCE，
∴，
在Rt△ABC中，tan∠ACB=，
∴tan∠ECF=，
∴，
∴=
（3）
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（1）解：∵四边形是正方形，
，，
，，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
（3）过点E作EM⊥CD于M，EN⊥BC于点N，
∵E为AC的中点，
∴AC=EC，
∵EM⊥DC，AD⊥DC，
∴EM∥AD，
∴，
∴DM=CM=1，
同理可得BN=CN=，
由（2）知△BFE∽△GCE，
∴∠EBF=∠G，
∴tan∠EBN=，
∴，
∴CG=，
∴S△CEG=CG EM=．
故答案为：.
【分析】（1）根据正方形的性质，利用得到，根据对应边对应相等解答即可；
（2）根据矩形的性质，利用两脚对应相等得到，再根据对应边成比例得到，根据正切的定义解答即可；
（3）过点E作于M，于点N，即可得到，，由（2）知，即可得到，根据正切的定义求出的长，利用三角形面积公式解答即可．
26．如图1，抛物线y=ax2+bx+3过点A（-1，0），点B（3，0）与y轴交于点C.点M是抛物线一点，过点M作直线l⊥x轴，交x轴于点E，设M的横坐标为m（0＜m＜3）.
（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；
（2）如图2，连接BC，连接AM交y轴于点N，交BC于点D，连接BM，设△BDM的面积为S1，△CDN的面积为S2，求S1-S2的最大值.
（3）设函数y在m≤x≤m+1内最大值为p，最小值为q，若，直接写出m的值　 　.
【答案】（1）解：设抛物线的表达式为，
则，
则，解得，
故抛物线的表达式为，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为．
（2）解：设点的坐标为，
由点、的坐标得，直线的表达式为，
则点的坐标为，
设四边形的面积为，
则；
则，
则，
，故有最大值．
当时，的最大值为．

（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（3）解：∵，，
又∵，
∴当时，y有最大值4，
∵函数y在内最大值为p，最小值为q，
∴，
当时，当时，y值最小，最小值为，
∴，
∵，
∴，
化简整理得：，
解得：，（舍去），
当时，当时，y值最小，最小值为，
∴，
∵，
∴，
解得：（舍去），
综上，m的值为．
故答案为：.
【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式，然后化为顶点式，即可写出顶点坐标；
（2）设点的坐标为，求出直线AM的解析式，表示；，然后求差得到S1-S2关于m的二次函数，求出最大值即可；
（3）先根据二次函数的性质求得，分两种情况：或时，分别求出最大值和最小值；根据，列关于m的方程，求出m的值解答即可．
1 / 1四川省广元市苍溪县2026年数学中考一诊试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　）
A． B． C． D．
2．用配方法解一元二次方程x2-10x+5=0，配方正确的是（　　）
A．（x+5）2=20 B．（x-5）2=30 C．（x-5）2=20 D．（x+5）2=30
3．如图，在Rt△ABC中，∠A=35°，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，其中AB=2，以C为圆心，CD为半径画弧交AB于点E，则的长为（　　）
A． B． C． D．
4．奇奇的智能门锁有一个两位密码，每位密码从{A，B，C，D}四个字母中选取，且两位字母不能相同.为了提高安全性，系统自动排除以A开头或以D结尾的密码.奇奇随机设置一个密码，那么他设置的密码不会被系统排除的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，已知圆锥的底面半径是，母线长是，如果是底面圆周上一点，从点拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点，则这根绳子的最短长度是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD=108°，则∠BCD的度数是（　　）
A．127° B．108° C．126° D．72°
7．关于x的反比例函数，下列结论正确的是（　　）
A．其图象经过点（1，-2）
B．其图象位于第二、四象限
C．若其图象经过（a，a-1），则a=-1
D．其图象所在的每一个象限内，y随着x的增大而减小
8．如图，点D在△ABC的BC边上，△ABC∽△DBA，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．∠BAD=∠ADC
9．已知α、β均为锐角，且满足，则α+β=（　　）
A．45° B．60° C．75° D．105°
10．如图图案都是由大小相同的黑点按一定的规律组成的，其中第①个图案有2个黑点，第②个图案有7个黑点，第③个图案有15个黑点，…，按此规律可知，第⑦图案中黑点的个数为（　　）
A．81 B．77 C．75 D．70
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．已知 ，则 的值是　 　
12．有6张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6.从中随机抽取1张，该卡片上的数是2的整数倍的概率是　 　 .
13．如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷.在抛物线上取A，B，C，D四点，且线段AB，CD都与地面平行，抛物线最高点P到AB的距离为0.6m，AB=2m，CD=4m，则点B到CD的距离为　 　m.
14．如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于 MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ=2QC，BC=3，则平行四边形ABCD周长为　 　．
15．如图，在△ABC中，tanC=，D是边BC上一点，将△ACD沿AD翻折得到△AED使线段AE、BC相交于点F，若CF=5，EF=2，则AC= 　 　.
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B在函数的图象上，直线AB交x轴于点C，交y轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥y轴于点F，AE与BF交于点G，连接AF，BE.给出下面四个结论：①；②△AFG∽△BEG；③S△AFB=S△AEB；④AD=BC.上述结论中，所有正确结论的序号是　 　 .
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．计算：.
18．解下列方程：
（1）（x-4）2=9；
（2）x2-3x-1=0.
19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于A，C两点，与x轴、y轴分别交于点B，D，已知点A的坐标为（-2，4），点C的坐标为（8，m）.
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点P是直线AB下方反比例函数图象上一点，当△PAB的面积为24时，求点P的坐标.
20．我国航天技术飞速发展，我校以“探航天奥秘，立报国之志，做追梦少年”为主题，组织学生开展了航天知识科普竞赛活动.为了解学生对航天知识的掌握情况，我校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：
（1）本次共抽取了 ▲ 名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；
（2）若该校共有1500名学生参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数；
（3）学校在航天知识科普竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名同学中，随机抽取2人担任校园航天文化节的主持人，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率.
21．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，点A，B的对应点分别为点E，D，连接AE，点D恰好落在线段AE上.
（1）求证：∠BAD=90°；
（2）连接BD，若AD=5，DE=2，求BD的长.
22．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A，B的两点，∠ABD=2∠BAC，连接CD.过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于点F.
（1）求证：CF为⊙O的切线；
（2）求证：OB BF=BE OF.
23．实验是培养学生创新能力的重要途径，如图是小亮同学安装的化学实验装置，按要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处，现将左侧的实验装置图抽象成侧面示意图.已知试管AB=24cm，，试管倾斜角∠ABG为12°，实验时，导管紧贴水面MN，延长BM交CN于点F，且MN⊥CF（点C，D，N，F在同一直线上），经测得DE=28cm，MN=8cm，MN=NF，求DN的长.（结果保留整数）（参考数据：sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan12°≈0.21）
24．材料一：某种旅游纪念品的进价为每件15元，销售单价不低于20元.
材料二：当销售单价定为20元时，每天可以销售100件，市场调查反映，销售单价每提高1元，日销量将会减少10件.
材料三：物价部门规定销售单价不能超过28元，且为正整数.商店按规定适当涨价销售.
（1）任务一：建立函数模型
设该纪念品的销售单价为x（单位：元），日销量为y（单位：件），日销售利润为W（单位：元），分别写出y与x，W与x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）任务二：设计销售方案
若日销售利润为540元，销售单价应定为多少元？
（3）销售单价定为多少元时，销售该纪念品所获日销售利润最大？最大利润是多少？
25．综合与实践：
问题情境：如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E分别作AC，BE的垂线，分别交直线BC，CD于点F，G.
（1）数学思考：线段BF和CG的数量关系　 　；
（2）问题解决：如图2，在图1的条件下，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件不变.若AB=2，BC=3，求的值；
（3）问题拓展：在（2）的条件下，当点E为AC的中点时，请直接写出△CEG的面积.
26．如图1，抛物线y=ax2+bx+3过点A（-1，0），点B（3，0）与y轴交于点C.点M是抛物线一点，过点M作直线l⊥x轴，交x轴于点E，设M的横坐标为m（0＜m＜3）.
（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；
（2）如图2，连接BC，连接AM交y轴于点N，交BC于点D，连接BM，设△BDM的面积为S1，△CDN的面积为S2，求S1-S2的最大值.
（3）设函数y在m≤x≤m+1内最大值为p，最小值为q，若，直接写出m的值　 　.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：
的左视图为
故答案为：C.
【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据左视图看到的图形，上方为矩形，下方为倒梯形，逐一区分实线和虚线，可得答案。
2．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：原方程为 .
移项得 .
方程两边同时加得 .
配方得 .
故答案为：C.
【分析】先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式解答即可.
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；弧长的计算；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：在中，是斜边的中线，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵，
∴，
∴，
的长为．
故答案为：B.
【分析】根据直角三角形斜边中线性质可得，根据等边对等角得到，即可根据三角形的外角得到∠CDE的度数，再根据三角形的外角和等边对等角求出，根据扇形弧长公式解答即可．
4．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列举出所有等可能的结果如下：
-
-
-
-
由表格可知，所有两位字母不同的密码共种，其中满足“第一位不是”且“第二位不是”共有7种有效密码，
∴他设置的密码不会被系统排除的概率是．
故答案为：B.
【分析】先通过列表法得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
5．【答案】D
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：连接AC，过B作 于D，
设圆锥侧面展开图的圆心角为
圆锥底面圆周长为
则n=120，
由AB=6，可求得BD=3，
故答案为：D.
【分析】连接AC，过B作 于D，首先求出BD的长，再利用勾股定理求出AD以及AC的长即可.
6．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又四边形内接于，
∴，
．
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理求得 ，再根据圆内接四边形的性质计算即可．
7．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、∵反比例函数解析式为，把代入解析式得，
∴图象不经过点，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴图象位于第一，三象限，故此选项不符合题意；
C、∵图象经过点，
∴，整理得，解得或，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴在图象的每一个象限内，随着的增大而减小，故此选项符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数的图象和性质逐项判断解答即可.
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：，
，，，，
A、B、D错误，不符合题意，C正确，符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的对应边成比例，且对应角相等，逐项判断解答即可．
9．【答案】C
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：∵，且，，
∴，，
∴，，
∵，均为锐角，
∴，，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性，利用特殊锐角的三角函数值求出，的值，求和解答即可.
10．【答案】B
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：第①个图案有个黑点，
第②个图案有个黑点，
第③个图案有个黑点，
第④个图案有个黑点，
…，
以此类推，得第个图案中黑点个数为；
第⑦个图案中黑点个数为；
故答案为：B．
【分析】先分为上边正方形和下边三角形分别求出黑点个数和得到规律：第个图案中黑点个数为，然后代入n=7计算即可．
11．【答案】4
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设x2+y2=m，则原式可化为m(m-1)-12=0，整理可得m2-m-12=0，
因式分解，可得(m+3)(m-4)=0，
∴m=-3或m=4.
∵x2+y2=m≥0，
∴x2+y2=4.
故答案为：4.
【分析】设x2+y2=m，则原式可整理为m2-m-12=0，然后利用因式分解法就可求得m的值，接下来根据x2+y2=m≥0进行取舍即可.
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵共有6张卡片，数字分别为1，2，3，4，5，6，
其中是2的整数倍的数有2，4，6，共3个，
∴随机抽取1张是2的整数倍的概率为．
故答案为：．
【分析】根据概率公式计算即可．
13．【答案】1.8
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；平面直角坐标系的构成；二次函数的其他应用；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：如图建立坐标系：
∵抛物线最高点到的距离为，，，
∴，，
设，将代入得，，
解得，即，
当时，，
即点到的距离为，
故答案为：．
【分析】以AB所在直线为x轴，过AB中点的垂线为y轴建立平面直角坐标系，根据顶点式求出二次函数解析式，然后代入x=2求出y的值解答即可．
14．【答案】15
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵由题意可知，AQ是∠DAB的平分线，
∴∠DAQ=∠BAQ．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，
∴∠DAQ=∠DAQ，
∴△AQD是等腰三角形，
∴DQ=AD=3．
∵DQ=2QC，
∴QC= DQ= ，
∴CD=DQ+CQ=3+ = ，
∴平行四边形ABCD周长=2（DC+AD）=2×（ +3）=15．
故答案为：15．
【分析】根据角平分线的性质可知∠DAQ=∠BAQ，再由平行四边形的性质得出CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，故可得出△AQD是等腰三角形，据此可得出DQ=AD，进而可得出结论．
15．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过点作于点，
∴，
设，则，
∴，
得，
则，，
由翻折得，
设，
则，，
在中，，
即，
解得：，
即，
故答案为：．
【分析】过点作于点，根据正切设，，根据，利用勾股定理求出，，根据翻折可得，设，则，，在中根据勾股定理求出y的值解答即可．
16．【答案】①③④
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；矩形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的两点一垂线型；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵点，在函数的图象上，
∴设点的坐标为，点的坐标为，
∵轴于点，过点作轴于点，与交于点，
∴，，，，
∴，，
∴，，
∴，故结论正确；
∵轴于点，过点作轴于点，与交于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
由结论正确得：，
∴，
∴和不相似，故结论不正确；
∵，
∴，，
由结论正确得，
∴，
∴，
∴，即，故结论正确；
连接，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，
由结论正确得，
在和中，，，
∴，
∴，
∴，即，
∵轴于点，轴于点，
∴，，
∴四边形和四边形都是平行四边形，
∴，，
∴，故结论正确，
综上所述：正确的结论的序号是．
故答案为：．
【分析】设点，点，即可得到，，，，进而得GB，AG的长，由此得，判断；证明四边形是矩形，即可得到，结合得，判定和不相似判断；利用三角形的面积公式表示△AGF和△AGF，根据的结论，可得，判断；连接，根据两边成比例且夹角相等即可得到和相似，即可得到，然后证明和都是平行四边形，即可得到，，判断解答即可.
17．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算二次根式的化简、零指数幂、负整数指数幂、代入特殊角的三角函数值，然后运算乘法，再合并同类项解答即可．
18．【答案】（1）解：，
∴，
∴或，
∴，；
（2）解：，
∵，
∴，
∴， ．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据直接开平方法解一元二次方程；
（2）根据公式法解一元二次方程，即可求解．
19．【答案】（1）解：把点代入得，
，
反比例函数的解析式为，
把代入得，
点的坐标为，
把和点代入得，解得
一次函数的解析式为．
综上所述：反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为．
（2）解：设点的坐标为，
，
当点在第四象限时，如图所示：
∵
∴，
解得：（不合题意舍去），
当点在第二象限时，如图所示：
∵
∴，
解得：（不合题意舍去），
综上所述，点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）把点代入反比例函数的解析式求出，把代入反比例函数解析式求出点的坐标，然后根据待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）设点的坐标为，分为①当点在第四象限时，；②当点在第二象限时，；列方程求出n的值解答即可．
20．【答案】（1）400；
补全条形统计图，如图即为所求；

（2）解：（名）
答：竞赛成绩为B等级的学生人数为600名；
（3）解：树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲乙两人同时被选中的结果有2种，
∴P（甲乙两人同时被选中）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：抽取总人数为（名），
等级D的人数为（名），
故答案为：40；
【分析】（1）由C等级的人数除以它的占比可得抽取人数，再由总人数减去其它等级人数得到D等级人数，补全条形统计图即可；
（2）用1500乘以样本中B等级人数占比即可解答；
（3）画树状图得到所有等可能的结果数，然后得到甲乙两人同时被选中的结果数，利用概率公式解答．
21．【答案】（1）∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，点A，B的对应点分别为点E，D，
∴∠CAB=∠CED，
∵∠ACE=90°，且点D恰好落在线段AE上，
∴∠CAD+∠AEC=90°，
∴∠CAD+∠CAB=90°，
∴∠BAD=90°
（2）解：由旋转的性质可知，
∵，，
∴在中，．

【知识点】勾股定理；旋转的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）利用旋转性质得到，，进而得到，从证明结论即可；
（2）由旋转的性质可得，再在中根据勾股定理求出BD长 ．
22．【答案】（1）证明：连接OC，如图所示：
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
又∵∠BOC=∠1+∠2，
∴∠BOC=2∠1，
又∵∠ABD=2∠1，
∴∠ABD=∠BOC，
∴OC∥DB，
∵CE⊥DB，
∴OC⊥CF，
又∵OC为⊙O的半径，
∴CF为⊙O的切线；
（2）证明：由（1）知OC⊥CF，
∴∠OCF=90°，
∵BE⊥CF，
∴∠BEF=90°，
∵∠F=∠F，
∴△BEF∽△OCF，
∴，
∴BE OF=BF OC，
∴OB BF=BE OF.
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；内错角相等，两直线平行；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角得到，然后根据外角可得，即可得到，然后根据内错角相等，两直线平行得到，再根据平行线的性质得到，进而证明结论；
（2）利用两角对应相等得到，然后根据对应边成比例解答即可．
23．【答案】解：如图，延长、交于，
，，，
四边形为矩形，
，，
，，
，
在中，，，
则，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；矩形底座模型
【解析】【分析】延长、交于，即可得到四边形为矩形，求出EB长，利用正弦的定义求出和，即可求出的长，再根据等腰直角三角形的性质解答即可．
24．【答案】（1）解：由材料二可得，当销售单价为元时，每天可以销售件，销售单价每提高元，日销量减少件，
日销量，
由材料一可得，销售单价不低于元，
由材料三可得，销售单价不能超过元，且为正整数．
的取值范围为，且为正整数．
日销售利润，
关于的函数解析式为（，且为正整数），关于的函数解析式为（，且为正整数）；
（2）解：由题意得，当时，即，
整理得，即，
解得，，
，
销售单价应定为元或元，
答：销售单价应定为元或元；
（3）解：，
且为正整数，
当或时，最大，
当时，（元），
当时，（元），
最大利润为元，
答：销售单价定为元或元时，销售该纪念品所获日销售利润最大，最大利润是元．
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“销售单价为元时，每天可以销售件，销售单价每提高元，日销量减少件”列出关于的函数解析式，根据单利润×销售量=总利润列出W关于x的函数解析式；
（2）令，解一元二次方程求出x的值解答即可；
（3）配方得到顶点式，然后根据二次函数的性质求出最大值解答即可．
25．【答案】（1）BF=CG
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∵EF⊥AC，
∴∠FEC=90°，
∴∠BCE+∠EFB=90°，∠FEB+∠BEC=90°，
∴∠EFB=∠ECG，
又∵BE⊥EG，
∴∠CEG+∠BEC=90°，
∴∠FEB=∠CEG，
∴△BFE∽△GCE，
∴，
在Rt△ABC中，tan∠ACB=，
∴tan∠ECF=，
∴，
∴=
（3）
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（1）解：∵四边形是正方形，
，，
，，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
（3）过点E作EM⊥CD于M，EN⊥BC于点N，
∵E为AC的中点，
∴AC=EC，
∵EM⊥DC，AD⊥DC，
∴EM∥AD，
∴，
∴DM=CM=1，
同理可得BN=CN=，
由（2）知△BFE∽△GCE，
∴∠EBF=∠G，
∴tan∠EBN=，
∴，
∴CG=，
∴S△CEG=CG EM=．
故答案为：.
【分析】（1）根据正方形的性质，利用得到，根据对应边对应相等解答即可；
（2）根据矩形的性质，利用两脚对应相等得到，再根据对应边成比例得到，根据正切的定义解答即可；
（3）过点E作于M，于点N，即可得到，，由（2）知，即可得到，根据正切的定义求出的长，利用三角形面积公式解答即可．
26．【答案】（1）解：设抛物线的表达式为，
则，
则，解得，
故抛物线的表达式为，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为．
（2）解：设点的坐标为，
由点、的坐标得，直线的表达式为，
则点的坐标为，
设四边形的面积为，
则；
则，
则，
，故有最大值．
当时，的最大值为．

（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（3）解：∵，，
又∵，
∴当时，y有最大值4，
∵函数y在内最大值为p，最小值为q，
∴，
当时，当时，y值最小，最小值为，
∴，
∵，
∴，
化简整理得：，
解得：，（舍去），
当时，当时，y值最小，最小值为，
∴，
∵，
∴，
解得：（舍去），
综上，m的值为．
故答案为：.
【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式，然后化为顶点式，即可写出顶点坐标；
（2）设点的坐标为，求出直线AM的解析式，表示；，然后求差得到S1-S2关于m的二次函数，求出最大值即可；
（3）先根据二次函数的性质求得，分两种情况：或时，分别求出最大值和最小值；根据，列关于m的方程，求出m的值解答即可．
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