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定远育才学校2025-2026学年第二学期期中考试
高二数学
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1.已知空间向量满足，则向量的夹角为（ ）
A. B. C. D.
2.在棱长为2的正方体中，点，分别为平面，平面的中心，则点到平面的距离为（）
A. B. C. D.
3.已知点关于直线的对称点为，经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（）
A. B.
C. D.
4.如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（）
A．4 B．5 C．6 D．
5.已知直线，圆，若圆C上存在两点关于直线l对称，则的最小值是（ ）
A.5 B. C. D.20
6.已知抛物线的焦点为，斜率为的直线经过点，并且与抛物线交于、两点，与轴交于点，与抛物线的准线交于点，若，则（）
A. B. C. D.
7.如图，已知、双曲线的左、右焦点，A、B为双曲线上关于原点对称的两点，且满足则双曲线的离心率为（）
A. B.
C. D.
8.两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则（）
A. B. C. D.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.在平面直角坐标系中，圆，直线与圆相交于不同的两点，且弦的中点为，则下列选项正确的有（）
A.弦长的最大值为
B.实数的取值范围为
C.若，则
D.存在定点，使得为定值
10.设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则下列结论不正确的是(　　)
A.数列{anan＋1}是公比为q的等比数列
B.数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列
C.数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列
D.数列{}是公比为的等比数列
11.已知棱长为的正方体，点满足，，点是线段的中点，则下列说法正确的是（）
A.当时，
B.点是底面上的动点，且，则最大值为
C.的中点到平面的距离为
D.与平面所成角的正弦值的取值范围为
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12.等比数列{}的各项均为实数，其前项为，已知=，=，则= ．
13.在长方体中，已知，，为的中点，则异面直线与所成角的大小为 ．
14.已知椭圆的右焦点为F，P，Q在椭圆上且关于原点对称，则的取值范围是 ．
四、解答题(本大题共5小题，共77分)
15.（13分）设等比数列{an}满足a1＋a2＝4，a3－a1＝8.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记Sn为数列{log3an}的前n项和．若Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，求m.
16. （15分）已知圆C经过点和，且圆心C在直线：上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)已知过点的直线被圆C所截得的弦长为8，求直线的方程；
(3)圆C关于直线的对称圆是圆Q，设、是圆Q上的两个动点，点M关于原点的对称点为，点M关于x轴的对称点为，如果直线、与y轴分别交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由.
17. （15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，棱，且底面，点，．
(1)证明：平面；
(2)若点，且，证明：平面；
(3)求平面与平面的夹角的大小．
18. （17分）已知抛物线的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与交于A，B两点，（点O为坐标原点）的面积为2.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若过点的两直线 的倾斜角互补，直线与抛物线C交于M，N两点，直线与抛物线交于P，Q两点，与的面积相等，求实数的取值范围.
19. （17分）已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程；
(3)直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，求面积的最大值．
高二数学答案
一、单选题
1.D 2.B 3.B 4.F 5.D 6.D 7.A 8.C
二、多选题
9.ABD 10.ABC 11.BD
三、填空题
12.32 13. 14.
四、解答题
15.解　(1)设{an}的公比为q，则an＝a1qn－1.由已知得，
解得
所以{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*.
(2)由(1)知log3an＝n－1.
故Sn＝0+1+2+＝.
由Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，得，
m(m－1)＋(m＋1)m＝(m＋3)(m＋2)，
即m2－5m－6＝0.
解得m＝－1(舍去)或m＝6.
所以m＝6.
16.解：（1）设圆心，因在直线上.
圆过、，则.
，
解得，圆心.
半径，
故圆标准方程.
（2）弦长，圆心到距离.
①斜率不存在时，，距离为，符合.
②斜率存在时，设，
即.
由点到直线距离公式，
解得，.
综上，方程或.
（3）关于对称点，
圆.，，
则，，.
因直线不垂直轴，故.
直线：，
令，得.
直线：，
令，得.
、在圆上，，.
.
故为定值.
17.(1)证明：由底面,得,;
由底面是正方形，得．
以为原点，直线,,分别为,,轴建立空间直角坐标系,
故,,,．
由,得为中点,
故．,,．
设平面的法向量为,
由得,由得．
令,得,,
故．,
故．
又平面,
故平面．
(2)证明：由(1)得，
,
故．
由,得,
故．
因,,平面,
故平面．
(3)解：由(1)得,．
设平面的法向量为,
由得,由得．
取,得,,故．
,,．
,,
故为平面的一个法向量．
．
设平面与平面的夹角为,
则．
由,得．
18.解：（1）抛物线的焦点.
过点且垂直于轴的直线与交于，两点，其坐标分别为，.
，解得.
所以抛物线的方程为.
（2）直线斜率存在且不为，
设，.
联立，得.
，，.
，
则焦点到的距离.
.
设，
联立，
得， .
所以.
由，化简得.
因为且，所以或，.
，且，解得且.
所以的取值范围是.
19.解：(1)由,,为直角三角形且斜边上的中线长为,
得,故,即.
由,得.
又,代入,得,故.
联立与,得,解得,故,,.
所以椭圆的标准方程为.
(2)由(1)得,设直线的方程为（）,,.
联立与,整理得.
由,得.
由韦达定理，得,.
由,得,其中,,
故.
代入,,得,展开整理得.
将,代入，化简得,解得,满足条件.
故直线的方程为或.
(3)由(1)得,设直线的方程为（）,
则直线的方程为.
联立与椭圆方程，整理得,
由韦达定理得,故.
联立与椭圆方程，整理得,
由韦达定理得,故.
得的中点.
的面积,
变形为.
由均值不等式,,当且仅当时取等号，故.
即面积的最大值为.

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