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河北保定市涿州市第二中学2026届高三下学期一模数学试题
1．已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知复数在复平面内对应的点在第一象限，且，则（　　）
A．3 B．4 C．5 D．-4
3．下列函数中，定义域和值域相同的是（　　）
A． B． C． D．
4．已知抛物线的焦点为F，准线为l，若点与点F关于直线l对称，则（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．下列区间中，函数单调递增的是（　　）
A． B． C． D．
6．已知函数在区间上的值域为，则（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
7．若双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的左、右两支分别交于A，B两点，且，则的离心率为（　　）．
A．2 B．3 C． D．
8．中国古代中的“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”合称“六艺”．某校国学社团准备开展关于“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”的讲座活动各一场，讲座场次要求“礼”不在第一场也不在最后一场，“射”和“御”的场次不相邻，则不同的排法共有（　　）．
A．408种 B．336种 C．240种 D．120种
9．已知，则的值可能为（　　）．
A．0 B．1 C． D．
10．蜥蜴的体温与阳光照射的关系式近似为（k为参数），其中为蜥蜴的体温（单位：℃），t为太阳落山后的时间（单位：min）.已知太阳刚落山时，蜥蜴的体温为39℃，下列结论正确的是（　　）
A．太阳落山后，蜥蜴的体温始终高于15℃
B．太阳落山后的5min内，蜥蜴的体温始终高于28℃
C．从到，蜥蜴的体温下降了6℃
D．存在太阳落山后的a时刻，使得从到，蜥蜴的体温下降15℃
11．已知半径为的圆与射线、轴正半轴均相切，半径为的圆与射线、轴正半轴均相切，且与圆外切，则下列结论正确的是（　　）
A．若则
B．若则点M10的坐标为
C．若则数列的前项和小于
D．的取值范围为
12．已知向量，若，则　 　．
13．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的面积为　 　．
14．如图所示，在三棱锥中，是棱上的点，，，，，三棱锥的体积是，则　 　．
15．脐橙营养丰富，香甜可口，深受大家喜爱．种植脐橙有较好的经济效益，某地近5年的脐橙产量（单位：万吨）如下表：
年份 2021 2022 2023 2024 2025
年份编号 1 2 3 4 5
脐橙产量 20 22 24 28 30
已知年份编号和脐橙产量线性相关．
（1）用最小二乘法求出关于的经验回归方程；
（2）试预测该地2027年的脐橙产量．
附：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
16．已知等差数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，求的前2n项和及其最小值．
17．如图，在圆台中，下底面圆的直径，点C在圆上，且，上底面圆的半径，且平面平面．
（1）证明：．
（2）若圆台的高为2，求平面与平面所成二面角的正弦值．
18．已知函数．
（1）当时，求曲线在原点处的切线方程；
（2）若在上单调递增，求a的取值范围；
（3）当时，证明：当时，．
19．平面内一动点到直线的距离为，到直线的距离为，且，记点的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）已知过点且斜率不为的直线与交于两点，点，直线分别交轴于两点，且，求的方程；
（3）以点为端点作条射线分别与交于（射线按逆时针方向旋转），且求.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，则，.
故答案为：A.
【分析】根据集合的交集、并集运算求解即可.
2．【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】解：复数，因为，所以，解得，
又因为在复平面内对应的点在第一象限，所以．
故答案为：B.
【分析】根据复数模的公式，结合复数在复平面内的表示求解即可.
3．【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域
【解析】【解答】解：A、函数的定义域和值域均为，故A正确；
B、函数的定义域为R，值域为，故B错误；
C、函数的定义域为，值域为R，故C错误；
D、函数的定义域为，值域为R，故D错误.
故答案为：A.
【分析】求函数的定义域，值域逐项判断即可.
4．【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点，准线，
因为点和关于直线对称，所以，解得．
故答案为：C.
【分析】易知抛物线的焦点和准线方程，根据对称性列式求解即可.
5．【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：函数的部分图象，如图所示：
结合图象可知，选项中的区间，只有在中单调递增.
故答案为：D.
【分析】作出函数的图象，结合函数图象判断即可．
6．【答案】B
【知识点】函数的值域；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：函数，，
令函数，
，
则函数为奇函数，图象关于对称，函数的图象关于点对称，
因为函数在对称区间上的值域为，所以．
故答案为：B.
【分析】构造函数，判断函数的奇偶性，结合函数的值域求解即可.
7．【答案】D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由，，
，可得，是等边三角形，，
在中，，即，
化简得，则．
故答案为：D.
【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理，双曲线的性质求解即可.
8．【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：“礼”不在第一场也不在最后一场，先为“礼”选择中间4个位置中的1个，有 种方法；再将剩余5个元素全排列，有 种方法，共 种，
先将“射”和“御”捆绑，内部有 种排法；将此捆绑体与其余4个元素（含“礼”）排列，要求“礼”不在首尾，排法有 种，
故“礼”不在第一场也不在最后一场，且“射”和“御”的场次相邻的排法共 种，
故不同的排法共有种．
故答案为：B.
【分析】利用特殊位置优先考虑，结合排列、组合求解即可.
9．【答案】A,B
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由，可得，则，
若，则；
若，则，即，解得，，则．
故答案为：AB.
【分析】利用余弦的二倍角公式、同角三角函数基本关系化简求解即可.
10．【答案】A,C
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：A、因为太阳刚落山时，蜥蜴的体温为，所以，解得，
因为，所以，所以太阳落山后，蜥蜴的体温始终高于，故A正确；
B、函数在上单调递减，，所以太阳落山后的5min内，蜥蜴的体温始终不低于，故B错误；
C、，，从到，蜥蜴的体温下降了，故C正确；
D、令，即15，化简得，该方程的两个根为负数，所以不存在太阳落山后的时刻，使得从到，蜥蜴的体温下降，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】由题意可得，解得，由，可得即可判断A；易知函数在上单调递减，求太阳落山后的5min内，蜥蜴的体温即可判断B；计算，求从到，蜥蜴的体温下降的温度即可判断C；令，化简得，解方程即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】等比数列概念与表示；二倍角的正切公式；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：A、过点，分别作，，垂足分别为，，
过点作，垂足为，如图所示：
设，易得，，
由，得，
则数列是首项为1，公比为的等比数列，
，点的坐标为，
由，得，则，故A正确；
B、由，得（负根舍去），则，，
，则点的坐标为，故B错误；
C、的前项和为，故C正确；
D、，由，得，得，
得，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】过点，分别作，，垂足分别为，，过点作，垂足为，设，圆与射线、轴正半轴相切，故圆心在的角平分线上，设该角为，则，圆心到原点的距离与半径直接关联.然后等比数列推导：两圆外切时，圆心距为，结合三角函数，整理得，即是首项为1的等比数列即可判断A：由K，利用正切的二倍角公式求得，进而得公比，计算或前项和即可判断BC；心坐标由直接计算；分析公比范围，判断的取值区间即可判断D.
12．【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解： 量，若，则，解得，
则，．
故答案为：-37.
【分析】先根据向量平行的坐标表示求得x的值，再根据向量数量积的坐标表示求解即可.
13．【答案】
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由余弦定理，可得，
解得，，则.
故答案为：.
【分析】利用余弦定理，结合三角形面积公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设分别为棱的中点，连接，，，，如图所示：
在中，，因为，所以，
在中，因为，所以，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以，
在中，因为，所以，
又因为，且平面，所以平面，
在直角中，，
则，又，
则，
因为，所以
，即，解得，
又因为，所以．
故答案为：.
【分析】设分别为棱的中点，连接，，，，利用线面垂直的判定定理证明平面，解直角三角形求得，且，结合三棱锥的体积公式，列出方程，求得的长，进而得到的长度.
15．【答案】（1）解：依题意，，，
，，
，，
则y关于x的经验回归方程为；
（2）解：令，得，则预测该地2027年的脐橙产量为35.2万吨.
【知识点】最小二乘法；线性回归方程
【解析】【分析】（1）根据表格数据，先计算平均值，再根据公式求，可得经验回归方程；
（2）由（1）的经验回归方程，令求解即可.
（1）依题意，，，
，，
因此，，
所以y关于x的经验回归方程为.
（2）令，得，
所以预测该地2027年的脐橙产量为35.2万吨.
16．【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，
因为，所以，整理得，
所以，解得，
则数列的通项公式为；
（2）解：由（1），
则
，
易得在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以当时，取得最小值，最小值为．
【知识点】数列的函数特性；数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为d，利用等差数列的通项公式比较系数求解即可；
（2）由（1），利用分组求和法、并项求和法求出，再利用其单调性，求最小值即可.
（1）设的公差为d，因为，
所以，整理得，
所以，解得，
故的通项公式为．
（2）由（1），
则
易得在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以当时，取得最小值，最小值为．
17．【答案】（1）证明：作，垂足为M，连接，
因为平面平面，平面平面，所以平面，
因为平面，所以，，
因为圆台的上、下底面平行，所以圆，
则，，
因为平面，所以，即点，，M，P共面，
因为平面，所以，，所以四边形为矩形，
所以，，
在中，，，
在中，，解得，所以，
在中，M，分别为，的中点，所以，所以；
（2）解：以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
所以，，
，．
设平面的法向量为，
则，即，
令，得．
设平面的法向量为，
则，即，令，得．
因为，所以，
所以平面与平面所成二面角的正弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面的法向量；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）作，垂足为M，连接，根据由面面垂直的性质及圆台的性质可得四边形为矩形，再由勾股定理可得为的中点，最后根据三角形中位线证明即可；
（2）以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，写出关键点坐标，利用空间向量法求解即可.
（1）作，垂足为M，连接．
因为平面平面，平面平面，
所以平面．
因为平面，所以，．
因为圆台的上、下底面平行，所以圆，
则，．
因为平面，所以，即点，，M，P共面．
因为平面，所以，，
所以四边形为矩形，
所以，．
在中，，．
在中，，解得，
所以．
在中，M，分别为，的中点，
所以，所以．
（2）以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
，．
设平面的法向量为，
则，即，
令，得．
设平面的法向量为，
则，即，令，得．
因为，所以，
所以平面与平面所成二面角的正弦值为．
18．【答案】（1）解：当时，函数，，，，
则曲线在原点处的切线方程为；
（2）解：，若在上单调递增，则在上恒成立，
由，得．令，，
则，．令，则，
当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，，即，
当时，，，，所以，即；
当时，，，，所以，即，
在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即a的取值范围为；
（3）证明：令，则，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，，所以是增函数，
因为，所以在上恒成立，
即当时，在上恒成立，
令，则，所以是增函数，
因为，所以当时，，即，
因为，所以当时，，所以，
所以当时，．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式的证明
【解析】【分析】（1）将代入，求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求切线方程即可；
（2）求导，问题转化为在上恒成立，分离参数得得，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求最值即可得a的取值范围；
（3）令，利用导数证明不等式，再合理放缩即可.
（1）当时，，，
，，所以曲线在原点处的切线方程为．
（2）法一：，若在上单调递增，则在上恒成立．
①当时，在上恒成立．令，则．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，函数取得最小值，最小值为1，所以，
，符合题意；
②当时，令，则．
因为在上单调递增，，所以当时，，
当时，，在上单调递减，在上单调递增．
要使得在上恒成立，则，解得，结合，得．
综上，a的取值范围为．
法二：．若在上单调递增，则在上恒成立．
由，得．令，，
则，．令，则．
当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，，即．
当时，，，，所以，即；
当时，，，，所以，即．
在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即a的取值范围为．
（3）证明：令，则．
令，则．
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
，所以是增函数．
因为，所以在上恒成立，
即当时，在上恒成立．
令，则，所以是增函数．
因为，所以当时，，即．
因为，所以当时，，所以，
所以当时，．
19．【答案】（1）解：设，
由题意可得，，
因为，所以，整理得，
即的方程为；
（2）解：由题意设直线方程为，，，
联立直线与椭圆方程得，
因为点在椭圆内部，所以，由韦达定理可得，，
由点可得，直线方程为，
令，可得点坐标为，同理可得，
又因为，，
所以，
其中，
，
所以，解得，
所以直线的方程为或，
即或；
（3）解：由题意设射线与轴正方向的夹角为，则，
设，则的坐标为，
代入椭圆方程得，整理得，
因为，由求根公式得，
所以，
所以，
因为，令，，
则，
对求和，左边为，
右边为
，
将，代入得，，
所以，
所以，
易知当时，所以，
所以.
【知识点】简单的三角恒等变换；积化和差公式；平面内点到直线的距离公式；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设，利用点到直线的距离公式，结合化简整理求解即可；
（2）由题意设直线方程为，，，联立直线与椭圆方程，由点坐标求出坐标，进而得到，将韦达定理代入化简求解即可；
（3）设射线与轴正方向的夹角为，则，设，则的坐标为，代入椭圆方程，利用求根公式求出，结合三角恒等变换求和即可.
（1）设，
由题意可得，，
因为，
所以，整理得，
即的方程为.
（2）由题意设直线方程为，，，
联立直线与椭圆方程得，
因为点在椭圆内部，所以，
所以，，
由点可得，直线方程为，
令可得点坐标为，同理可得，
又因为，，
所以，
其中，
，
所以，解得，
所以直线的方程为或，
即或.
（3）由题意设射线与轴正方向的夹角为，则，
设，则的坐标为，
代入椭圆方程得，整理得，
因为，由求根公式得，
所以，
所以，
因为，令，，
则，
对求和，左边为，
右边为
，
将，代入得
，，
所以，
所以，
易知当时，所以，
所以.
1 / 1河北保定市涿州市第二中学2026届高三下学期一模数学试题
1．已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，则，.
故答案为：A.
【分析】根据集合的交集、并集运算求解即可.
2．已知复数在复平面内对应的点在第一象限，且，则（　　）
A．3 B．4 C．5 D．-4
【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】解：复数，因为，所以，解得，
又因为在复平面内对应的点在第一象限，所以．
故答案为：B.
【分析】根据复数模的公式，结合复数在复平面内的表示求解即可.
3．下列函数中，定义域和值域相同的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域
【解析】【解答】解：A、函数的定义域和值域均为，故A正确；
B、函数的定义域为R，值域为，故B错误；
C、函数的定义域为，值域为R，故C错误；
D、函数的定义域为，值域为R，故D错误.
故答案为：A.
【分析】求函数的定义域，值域逐项判断即可.
4．已知抛物线的焦点为F，准线为l，若点与点F关于直线l对称，则（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点，准线，
因为点和关于直线对称，所以，解得．
故答案为：C.
【分析】易知抛物线的焦点和准线方程，根据对称性列式求解即可.
5．下列区间中，函数单调递增的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：函数的部分图象，如图所示：
结合图象可知，选项中的区间，只有在中单调递增.
故答案为：D.
【分析】作出函数的图象，结合函数图象判断即可．
6．已知函数在区间上的值域为，则（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【知识点】函数的值域；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：函数，，
令函数，
，
则函数为奇函数，图象关于对称，函数的图象关于点对称，
因为函数在对称区间上的值域为，所以．
故答案为：B.
【分析】构造函数，判断函数的奇偶性，结合函数的值域求解即可.
7．若双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的左、右两支分别交于A，B两点，且，则的离心率为（　　）．
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由，，
，可得，是等边三角形，，
在中，，即，
化简得，则．
故答案为：D.
【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理，双曲线的性质求解即可.
8．中国古代中的“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”合称“六艺”．某校国学社团准备开展关于“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”的讲座活动各一场，讲座场次要求“礼”不在第一场也不在最后一场，“射”和“御”的场次不相邻，则不同的排法共有（　　）．
A．408种 B．336种 C．240种 D．120种
【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：“礼”不在第一场也不在最后一场，先为“礼”选择中间4个位置中的1个，有 种方法；再将剩余5个元素全排列，有 种方法，共 种，
先将“射”和“御”捆绑，内部有 种排法；将此捆绑体与其余4个元素（含“礼”）排列，要求“礼”不在首尾，排法有 种，
故“礼”不在第一场也不在最后一场，且“射”和“御”的场次相邻的排法共 种，
故不同的排法共有种．
故答案为：B.
【分析】利用特殊位置优先考虑，结合排列、组合求解即可.
9．已知，则的值可能为（　　）．
A．0 B．1 C． D．
【答案】A,B
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由，可得，则，
若，则；
若，则，即，解得，，则．
故答案为：AB.
【分析】利用余弦的二倍角公式、同角三角函数基本关系化简求解即可.
10．蜥蜴的体温与阳光照射的关系式近似为（k为参数），其中为蜥蜴的体温（单位：℃），t为太阳落山后的时间（单位：min）.已知太阳刚落山时，蜥蜴的体温为39℃，下列结论正确的是（　　）
A．太阳落山后，蜥蜴的体温始终高于15℃
B．太阳落山后的5min内，蜥蜴的体温始终高于28℃
C．从到，蜥蜴的体温下降了6℃
D．存在太阳落山后的a时刻，使得从到，蜥蜴的体温下降15℃
【答案】A,C
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：A、因为太阳刚落山时，蜥蜴的体温为，所以，解得，
因为，所以，所以太阳落山后，蜥蜴的体温始终高于，故A正确；
B、函数在上单调递减，，所以太阳落山后的5min内，蜥蜴的体温始终不低于，故B错误；
C、，，从到，蜥蜴的体温下降了，故C正确；
D、令，即15，化简得，该方程的两个根为负数，所以不存在太阳落山后的时刻，使得从到，蜥蜴的体温下降，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】由题意可得，解得，由，可得即可判断A；易知函数在上单调递减，求太阳落山后的5min内，蜥蜴的体温即可判断B；计算，求从到，蜥蜴的体温下降的温度即可判断C；令，化简得，解方程即可判断D.
11．已知半径为的圆与射线、轴正半轴均相切，半径为的圆与射线、轴正半轴均相切，且与圆外切，则下列结论正确的是（　　）
A．若则
B．若则点M10的坐标为
C．若则数列的前项和小于
D．的取值范围为
【答案】A,C,D
【知识点】等比数列概念与表示；二倍角的正切公式；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：A、过点，分别作，，垂足分别为，，
过点作，垂足为，如图所示：
设，易得，，
由，得，
则数列是首项为1，公比为的等比数列，
，点的坐标为，
由，得，则，故A正确；
B、由，得（负根舍去），则，，
，则点的坐标为，故B错误；
C、的前项和为，故C正确；
D、，由，得，得，
得，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】过点，分别作，，垂足分别为，，过点作，垂足为，设，圆与射线、轴正半轴相切，故圆心在的角平分线上，设该角为，则，圆心到原点的距离与半径直接关联.然后等比数列推导：两圆外切时，圆心距为，结合三角函数，整理得，即是首项为1的等比数列即可判断A：由K，利用正切的二倍角公式求得，进而得公比，计算或前项和即可判断BC；心坐标由直接计算；分析公比范围，判断的取值区间即可判断D.
12．已知向量，若，则　 　．
【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解： 量，若，则，解得，
则，．
故答案为：-37.
【分析】先根据向量平行的坐标表示求得x的值，再根据向量数量积的坐标表示求解即可.
13．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的面积为　 　．
【答案】
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由余弦定理，可得，
解得，，则.
故答案为：.
【分析】利用余弦定理，结合三角形面积公式求解即可.
14．如图所示，在三棱锥中，是棱上的点，，，，，三棱锥的体积是，则　 　．
【答案】
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设分别为棱的中点，连接，，，，如图所示：
在中，，因为，所以，
在中，因为，所以，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以，
在中，因为，所以，
又因为，且平面，所以平面，
在直角中，，
则，又，
则，
因为，所以
，即，解得，
又因为，所以．
故答案为：.
【分析】设分别为棱的中点，连接，，，，利用线面垂直的判定定理证明平面，解直角三角形求得，且，结合三棱锥的体积公式，列出方程，求得的长，进而得到的长度.
15．脐橙营养丰富，香甜可口，深受大家喜爱．种植脐橙有较好的经济效益，某地近5年的脐橙产量（单位：万吨）如下表：
年份 2021 2022 2023 2024 2025
年份编号 1 2 3 4 5
脐橙产量 20 22 24 28 30
已知年份编号和脐橙产量线性相关．
（1）用最小二乘法求出关于的经验回归方程；
（2）试预测该地2027年的脐橙产量．
附：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
【答案】（1）解：依题意，，，
，，
，，
则y关于x的经验回归方程为；
（2）解：令，得，则预测该地2027年的脐橙产量为35.2万吨.
【知识点】最小二乘法；线性回归方程
【解析】【分析】（1）根据表格数据，先计算平均值，再根据公式求，可得经验回归方程；
（2）由（1）的经验回归方程，令求解即可.
（1）依题意，，，
，，
因此，，
所以y关于x的经验回归方程为.
（2）令，得，
所以预测该地2027年的脐橙产量为35.2万吨.
16．已知等差数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，求的前2n项和及其最小值．
【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，
因为，所以，整理得，
所以，解得，
则数列的通项公式为；
（2）解：由（1），
则
，
易得在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以当时，取得最小值，最小值为．
【知识点】数列的函数特性；数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为d，利用等差数列的通项公式比较系数求解即可；
（2）由（1），利用分组求和法、并项求和法求出，再利用其单调性，求最小值即可.
（1）设的公差为d，因为，
所以，整理得，
所以，解得，
故的通项公式为．
（2）由（1），
则
易得在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以当时，取得最小值，最小值为．
17．如图，在圆台中，下底面圆的直径，点C在圆上，且，上底面圆的半径，且平面平面．
（1）证明：．
（2）若圆台的高为2，求平面与平面所成二面角的正弦值．
【答案】（1）证明：作，垂足为M，连接，
因为平面平面，平面平面，所以平面，
因为平面，所以，，
因为圆台的上、下底面平行，所以圆，
则，，
因为平面，所以，即点，，M，P共面，
因为平面，所以，，所以四边形为矩形，
所以，，
在中，，，
在中，，解得，所以，
在中，M，分别为，的中点，所以，所以；
（2）解：以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
所以，，
，．
设平面的法向量为，
则，即，
令，得．
设平面的法向量为，
则，即，令，得．
因为，所以，
所以平面与平面所成二面角的正弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面的法向量；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）作，垂足为M，连接，根据由面面垂直的性质及圆台的性质可得四边形为矩形，再由勾股定理可得为的中点，最后根据三角形中位线证明即可；
（2）以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，写出关键点坐标，利用空间向量法求解即可.
（1）作，垂足为M，连接．
因为平面平面，平面平面，
所以平面．
因为平面，所以，．
因为圆台的上、下底面平行，所以圆，
则，．
因为平面，所以，即点，，M，P共面．
因为平面，所以，，
所以四边形为矩形，
所以，．
在中，，．
在中，，解得，
所以．
在中，M，分别为，的中点，
所以，所以．
（2）以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
，．
设平面的法向量为，
则，即，
令，得．
设平面的法向量为，
则，即，令，得．
因为，所以，
所以平面与平面所成二面角的正弦值为．
18．已知函数．
（1）当时，求曲线在原点处的切线方程；
（2）若在上单调递增，求a的取值范围；
（3）当时，证明：当时，．
【答案】（1）解：当时，函数，，，，
则曲线在原点处的切线方程为；
（2）解：，若在上单调递增，则在上恒成立，
由，得．令，，
则，．令，则，
当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，，即，
当时，，，，所以，即；
当时，，，，所以，即，
在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即a的取值范围为；
（3）证明：令，则，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，，所以是增函数，
因为，所以在上恒成立，
即当时，在上恒成立，
令，则，所以是增函数，
因为，所以当时，，即，
因为，所以当时，，所以，
所以当时，．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式的证明
【解析】【分析】（1）将代入，求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求切线方程即可；
（2）求导，问题转化为在上恒成立，分离参数得得，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求最值即可得a的取值范围；
（3）令，利用导数证明不等式，再合理放缩即可.
（1）当时，，，
，，所以曲线在原点处的切线方程为．
（2）法一：，若在上单调递增，则在上恒成立．
①当时，在上恒成立．令，则．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，函数取得最小值，最小值为1，所以，
，符合题意；
②当时，令，则．
因为在上单调递增，，所以当时，，
当时，，在上单调递减，在上单调递增．
要使得在上恒成立，则，解得，结合，得．
综上，a的取值范围为．
法二：．若在上单调递增，则在上恒成立．
由，得．令，，
则，．令，则．
当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，，即．
当时，，，，所以，即；
当时，，，，所以，即．
在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即a的取值范围为．
（3）证明：令，则．
令，则．
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
，所以是增函数．
因为，所以在上恒成立，
即当时，在上恒成立．
令，则，所以是增函数．
因为，所以当时，，即．
因为，所以当时，，所以，
所以当时，．
19．平面内一动点到直线的距离为，到直线的距离为，且，记点的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）已知过点且斜率不为的直线与交于两点，点，直线分别交轴于两点，且，求的方程；
（3）以点为端点作条射线分别与交于（射线按逆时针方向旋转），且求.
【答案】（1）解：设，
由题意可得，，
因为，所以，整理得，
即的方程为；
（2）解：由题意设直线方程为，，，
联立直线与椭圆方程得，
因为点在椭圆内部，所以，由韦达定理可得，，
由点可得，直线方程为，
令，可得点坐标为，同理可得，
又因为，，
所以，
其中，
，
所以，解得，
所以直线的方程为或，
即或；
（3）解：由题意设射线与轴正方向的夹角为，则，
设，则的坐标为，
代入椭圆方程得，整理得，
因为，由求根公式得，
所以，
所以，
因为，令，，
则，
对求和，左边为，
右边为
，
将，代入得，，
所以，
所以，
易知当时，所以，
所以.
【知识点】简单的三角恒等变换；积化和差公式；平面内点到直线的距离公式；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设，利用点到直线的距离公式，结合化简整理求解即可；
（2）由题意设直线方程为，，，联立直线与椭圆方程，由点坐标求出坐标，进而得到，将韦达定理代入化简求解即可；
（3）设射线与轴正方向的夹角为，则，设，则的坐标为，代入椭圆方程，利用求根公式求出，结合三角恒等变换求和即可.
（1）设，
由题意可得，，
因为，
所以，整理得，
即的方程为.
（2）由题意设直线方程为，，，
联立直线与椭圆方程得，
因为点在椭圆内部，所以，
所以，，
由点可得，直线方程为，
令可得点坐标为，同理可得，
又因为，，
所以，
其中，
，
所以，解得，
所以直线的方程为或，
即或.
（3）由题意设射线与轴正方向的夹角为，则，
设，则的坐标为，
代入椭圆方程得，整理得，
因为，由求根公式得，
所以，
所以，
因为，令，，
则，
对求和，左边为，
右边为
，
将，代入得
，，
所以，
所以，
易知当时，所以，
所以.
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