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参考答案
1-5.BBCBD 6-8.CAB 9.AC 10.AC 11.BC
1.答案：B
解析： ，
所以 ，故选：B.
2.答案：B
分析：根据题意，结合向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解.
解析：由向量 ，因为 ，可得 ，解得 .
故选：B.
3.答案：C
解析：对于①， ，故①错误；
对于②， ，故②正确；
对于③， ，故③正确；
对于④， ，故④正确；故选：C.
4.答案：B
分析：根据斜二测法判断 的形状，并求出各边边长，即可求周长.
解析：由题设知：原四边形中 且 ，
所以原四边形 为平行四边形，
而 ，则原四边形中 ，故 ，
综上，四边形 的周长为 .
故选：B
5.答案：D
分析：根据模长公式即可求解.
解析： ，
故选：D
5.答案：C
分析：由余弦定理求出 ，再由正弦定理计算可得.
解析：由余弦定理得 ，
所以三角形外接圆直径为 ．
故选：C．
6.答案：C
分析：根据向量垂直、平行的坐标表示，线性运算的坐标表示求解后判断各选项．
解析： ， ，所以 ， ， 是直角三
角形，A 正确.
若点 ，则 , ，四边形 是平行四边形，B 正确.
若 ，则 ，C 错误.
若 ，则 是 中点， ，D 正确.
故选：C
7.解析:(方法一)∵sin A= ,
且 A+B+C=π,
∴sin Acos B+sin Acos C=sin(A+C)+sin(A+B),
∴ sin Acos B+sin Acos C=sin Acos C+cos Asin C+sin Acos B+cos Asin B,∴ cos
A(sin C+sin B)=0,
又 sin C+sin B≠0,∴cos A=0.
∵0(方法二)由正弦定理、余弦定理及题设条件,可得 a= ,
化简得(b+c)(b2+c2-a2)=0,
∵b+c≠0,∴b2+c2-a2=0,∴b2+c2=a2,
∴△ABC 为直角三角形.
答案:A
8.答案：B
分析：设 米，结合已知条件得 ， ，再应用余弦定理计算求解
即可.
解析：设 米，在 中， ，则 ，
在 中， ，则 ，
因为 ，所以由余弦定理得： ，整理得：
，解得 （米）.
故选：B
9.答案：AC
分析：利用相关几何体的定义域特点一一分析判断即可.
解析：对 A，根据棱柱的特点知其侧棱都相等, 侧面都是平行四边形，故 A 正确；
对 B，根据棱台定义知两个面不仅要平行，还要相似，各条侧棱所在直线交于一点，故 B
错误；
对 C，若用与圆柱上下底面平行的平面去截圆柱，则得到截面为圆，若用与圆柱轴截面平行
的平面截圆柱（也可是轴截面），则得到矩形，若此截面保证与上下底面相交，且交线相互
平行，并且交线长不等，此时截面为曲边梯形，C 正确；
对 D，若这两个是矩形的侧面为相对的侧面，则此时另外两个面可以是平行四边形，则此时
不是正四棱柱，故 D 错误.
故选：AC.
10.答案：AC
分析：利用向量对应线段的位置关系及加减数乘的几何意义得 、
， ，即可得 ，再应用向量数量
积的运算律求 .
解析：由题设 ， ①，
②，
所以① 2 ②得 即 ，
② ①得 ，故 ，A 正确、B 错误；
所以
，
故 ，故 C 正确、D 错误.
故选：AC
11.答案：BC
分析：根据线面，面面平行或垂直的位置关系，即可判断选项.
解析：①没说明直线 垂直于两平面的交线，所以不能判断 ，故①错误；
②根据面面平行的性质定理，若 ，则 ，故②正确；
③垂直于同一条直线的两个平面平行，所以若 ，则 ，
若 ，则 ，故③正确；
④若 ，则 平行或相交，若 ，则 或相交或 ，故④错误.
故选：BC
12.答案：60
解析:长方体即为四棱柱,其体积为底面积×高,即为 3×4×5=60(cm3).
答案：
13.答案：9
分析：根据向量共线定理得推论得到 ，再利用基本不等式“1”的妙用求解最
小值.
解析：因为点 F 为线段 BC 上任一点（不含端点），
所以 ，又 ，
故 ，
当且仅当 ，即 时等号成立.
故答案 ：9.
14.答案：
分析：根据正四棱锥的性质，结合勾股定理即可求出球的半径，由球的表面积公式即可求
解.
解析：如图，过 S 作 平面 ，则垂足 为底面正方形 的中心，
由底面边长 ，得 .
在 中， ，则 ，
所以 ，故 是过 点的球的球心，
可得球的半径为 ，所以该球的表面积为 .
故答案为：
15.答案：(1)1 或 2
(2)
(3)
分析： （1）根据题意得 ，根据复数的
概念列式即可求解；
（2）根据复数的概念列式即可求解；
（3）根据复数的几何意义列式即可求解.
解析：（1）由题意
，
若 是实数，则 ，解得 或
（2）若 是纯虚数，则 ，解得 ；
（3）若 在复平面内对应的点在第二象限，则 ，解得
.
16.答案：（1）
（2）
分析：（1）由正弦定理得 ，则得到其周长；
（2）根据余弦定理得 ，解出 的值，再利用三角形面积公式即可
得到答案.
（1）
∵ ，
∴由正弦定理可得 ，∴ ，
∴三角形周长为 ．
（2）
由（1）知 ，
由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，
∴ .
17.答案：(1)
(2)证明见解析
分析：（1）由等体积法结合棱锥的体积公式计算可得；（2）先证明直线 相交，
设交于 ，同理可得直线 相交于点 ，再由 可得三线共点.
解析：（1）
（2）由于 且 ，故直线 相交，设交于 ，则 ，
同理可得直线 相交于点 ，则 ，故 与 重合，
故直线 三线相交于点 O，故直线 三线交于一点．
18.答案：（1）
（2）
解析：
分析：（1）分别求得 的坐标，再根据 求解；
（2）先求得 ， 的坐标，再由 求解.
（1）
解：因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ；
（2）
，
，
所以 ，
所以向量 在向量 的投影向量为 .
19.解：（1）∵CE 是高，∴∠AEC＝π2，在 Rt△AEC 中，AC＝2，∠EAC＝π3， ∴CE＝AC sin ∠EAC＝2sin π3＝3．
→ → → ∵AD 是中线，∴ ＝12( ＋ )，
→ → → → →
∴ 2＝\f(1\o(AB→)→)))2＝14( 2＋2 · ＋ 2)
＝14\a\vs4\al\co1(32＋2×3×2cos \f(π3)＋22)＝194，∴AD＝19)2， ∴CE＝3，AD＝19)2．
→ → （2）法一 ∵AE＝AC·cos π3＝1＝13AB，∴ ＝13 ，
→ → → → → ∴ ＝ － ＝ －13 ，
→ → → →
∴ · ＝12( ＋ )·\a\vs4\al\co1(\o(AC→)AB→))
＝12\a\vs4\al\co1(\o(AC→)AB→)→)AB→))2＝12\a\vs4\al\co1(22＋\f(2π13)×32＝ 32，
→ →
∴cos ∠CFD＝cos 〈 ， 〉＝AD→)→)AD→)→)＝32\r(193＝57)19．
法二 如图，过 D 作 DG∥CE 交 BE 于点 G，
∵D 是 BC 的中点，∴G 是 BE 的中点，
∴AE＝EG＝GB＝1，EF 是△AGD 的中位线，DG 是△BCE 的
中位线，
∴EF＝12GD＝14CE＝3)4，AF＝12AD＝19)4，
cos ∠CFD＝cos ∠AFE＝EFAF＝\r(34\r(194＝57)19．盐池中学 2025-2026 学年度第二学期期中考试
7
.在△ABC 中,若 sin A=
,则△ABC 的形状为(
)
高一数学试卷
总分 150 分 答题时间 120 分钟
A.直角三角形
C.等腰三角形
B.等边三角形
D.等腰三角形或直角三角形
一、单选题： （本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
8
. 如图，塔垂直于水平面，他们选择了与灵运塔底部 D 在同一水平面上的 A，B 两点，测得
米，
目要求的.）
在 A，B 两点观察塔顶 C 点，仰角分别为
是（
A. 45 米
和
，
，则灵运塔的高度 CD
1
A
. 复数
（ 为虚数单位），则
B. 1
（
）．
）
B. 50 米
C. 55 米
D. 60 米
C.
D. 2
D. 1
2
. 已知平面向量
，且
，则
C.
（
）
二、多项选择题： （本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.）
A.
B.
3
.在 △ABC 中，下列四式中成立的个数为（
）
9
. 下列命题正确 是（
）
①
，②
，③
，④
A. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
A．1
B．2
C．3
的斜二测直观图为矩形
,则四边形 的周长为（
C. 12 D.
D．4
B. 两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C. 用平面截圆柱得到的截面可能是圆、矩形、曲边梯形等
D. 底面是正方形，两个侧面是矩形的四棱柱是正四棱柱
4
. 如图，水平放置的四边形
，
已知
A. 8
）
B. 10
1
0. 在平行四边形 ABCD 中，E 是 BC 上的点，BE=2EC，F 是 CD 的中点，且 AE=2，AF=3，∠EAF=60°，则下
列说法正确的是（
A.
）
5
. 已知单位向量 与单位向量 的夹角为 45°，则
A. 2 B. C.
. 已知点 ，则下列结论错误的是（
A. △ABC 是直角三角形
（
）
）
B.
D.
D. 1
6
，
，
C.
1
1. 设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，有下列四个命题：
B. 若点
C. 若
，则四边形
，则
是平行四边形
①
③
若
若
则
；
②若
④若
则
；
， 则
；
则
.
D. 若
，则
其中正确命题的序号是（
）
A. ①
B. ②
C. ③
D. ④
高一数学 第 1 页 共 2 页
三、填空题： （本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.）
1
7．已知正方体
中，
，点 M，N 分别是线段
，
的中点．
1
1
2.若长方体的长、宽、高分别为 3 cm,4 cm,5 cm,则长方体的体积为______
3.在 △ABC 中，点 F 为线段 BC 上任一点（不含端点），若
，则
的最
小值为____________.
4.正四棱锥
的表面积为______
1
的底面边长和各侧棱长都为
，点 S、A、B、C、D 都在同一个球面上，则该球
(1)求三棱锥
的体积；
、
四、解答题: （本题共 5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16，17 题 15 分，第 18，19 题 17 分，共 77分.
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
(2)求证：直线
、
三线共点．
1
5．（13 分）已知复数
，根据下列条件求实数 的值．
(1) 是实数；
(2) 是纯虚数；
1
8. 已知向量
，其中
(3) 在复平面内对应的点在第二象限．
（
（
1）若
2）若
，求 k 的值；
，求向量 在向量 上的投影向量的坐标．
1
6. 已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c；
，且边
，
（
（
1）求△ABC 的周长；
2）若角 ，求△ABC 的面积．
19．（13 分）如图，在△ABC 中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝π3，D 是
BC 边上的中点，CE⊥AB，AD 与 CE 交于点 F．
（
（
1）求 CE 和 AD 的长度；
2）求 cos ∠CFD．
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