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2026届广东深圳市桃源居中澳实验学校高三下学期二模热身考试数学试题
1．已知复数，则（　　）
A． B． C． D．
2．集合，则（　　）
A． B．
C． D．
3．已知向量满足，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
4．过双曲线的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，若，的面积为6（O为坐标原点），则C的渐近线的斜率为（　　）
A． B． C． D．
5．春节期间，某人计划去六个不同的景点游览，在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序有（　　）
A．24 B．60 C．120 D．240
6．已知圆锥的底面半径为，且此圆锥的内切球体积为，则圆锥的侧面积为（　　）
A． B． C． D．
7．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若图象的一个对称中心为，则的最小值为（　　）
A． B．1 C． D．2
8．已知函数，为的导函数，若，使得，则实数的最小值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
9．已知第一组样本数据，，…，的方差为1，第二组样本数据，，…，的平均数为14，则（　　）
A．第一组数据的平均数为4
B．第二组数据的方差为3
C．将两组数据合并后数据的平均数是9
D．将两组数据合并后数据的方差是30
10．已知数列满足，，则下列结论正确的是（　　）
A．是递增数列 B．当时，
C． D．
11．某市以“渤海湾畔 生态宜居”为发展理念，将“生态渤海”融入城市脉络，一位数学爱好者设计了“渤海明珠”曲线，其方程为．对于曲线，则下列结论正确的是（　　）
A．若直线与曲线有唯一公共点，则取值范围为
B．曲线上存在唯一的点，使得点到点与到点的距离之差为4
C．曲线所围成的封闭区域面积等于
D．若曲线上恰好存在4个不同点到直线的距离为，则实数的取值范围为
12．的展开式中的系数为　 　.
13．　 　．
14．已知，为椭圆与双曲线的公共左，右焦点，为它们的一个公共点，且，O为坐标原点，，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值为　 　．
15．已知内角的对边分别为，且.
（1）求角A；
（2）若的周长为，且外接圆的半径为1，求的面积.
16．如图，，是圆柱下底面圆的两条直径，点是该圆柱上底面圆周上一点，的中点为．
（1）证明：平面；
（2）是该圆柱的母线，若四边形是正方形，且该圆柱的侧面积等于其两底面面积之和，求直线与平面所成角的正弦值．
17．已知函数．
（1）证明：在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
18．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，.
（1）求的方程；
（2）记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率；
（3）设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标.
19．每届高考结束后，某校各班都要推荐优秀学生代表作为嘉宾与下一届学生进行学习经验分享.2025届高三年级班号依次为，高三0班的优秀学生代表为2名男生和2名女生，其余各班的优秀学生代表均为1名男生和1名女生．第一场分享会的4名学生嘉宾由从高三0班的优秀学生代表中选出的2名和高三1班的2名优秀学生代表共同组成，第二场分享会的4名学生嘉宾由从上一场的4名嘉宾中选出的2名和高三2班的2名优秀学生代表共同组成，．．．，按照这样的方式，依次进行到第二十七场分享会．
（1）求第一场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率；
（2）求第二场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率；
（3）记第二十七场分享会的学生嘉宾中男生人数为，求的分布列和数学期望．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：，所以.
故答案为：C
【分析】本题考查复数的除法运算与共轭复数的概念。先通过分母实数化化简求出复数，再根据共轭复数实部相等、虚部互为相反数的性质求出。
2．【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算；其他不等式的解法；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：由不等式，可得，所以，
又由，可得或，解得或，所以或，
则，所以.
故答案为：C
【分析】本题考查集合的基本运算，核心是先求解集合A、B，再计算B的补集，最后求A与补集的交集。
3．【答案】B
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，所以．
故答案为：B
【分析】本题考查向量数量积与向量夹角的计算，核心思路是利用向量模长与数量积的关系、向量夹角公式求解。
4．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设，不妨取渐近线的方程为，
则，又，故，
因为，的面积为6，
所以，解得
所以的渐近线的斜率为.
故答案为：C
【分析】设双曲线右焦点F(c，0)，结合双曲线渐近线方程、点到直线距离公式、勾股定理与三角形面积公式，依次求出a，b的值，进而得到渐近线的斜率。
5．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：将捆绑看作一个整体，内部有种排列方式；
再将5个元素全排列有：，
故满足与相邻的排列共有种.
在所有排列中，在之前和在之后的排列数相等，各占总排列数的一半，
因此在之前，与相邻，不同的游览顺序有种.
故答案为：C
【分析】设双曲线右焦点F(c，0)，结合双曲线渐近线方程、点到直线距离公式、勾股定理与三角形面积公式，依次求出a，b的值，进而得到渐近线的斜率。
6．【答案】D
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：作出圆锥的轴截面，如图所示，
记内切球的半径为，圆锥的母线长为，高为，
由题知，解得，
由三角形面积公式可得，即①，
又②，联立①②解得，
故圆锥的侧面积.
故答案为：D
【分析】作出圆锥的轴截面，利用球的体积公式求出内切球半径，结合三角形等面积法、勾股定理求出圆锥母线长，最终代入圆锥侧面积公式求解。
7．【答案】B
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】因为图象的一个对称中心为，故图象的对称中心为，
故，故，而，故.
故答案为：B
【分析】先根据三角函数图象平移法则求出g(x)解析式，再利用正弦函数对称中心的性质列方程，结合ω>0的条件，求出ω的最小正值。
8．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意，定义域为R，
因为恒成立，所以，
当且仅当，即时取等号，
则的值域为，且在R上单调递增，
由，得，
因为，使得，
所以，即，
令，则，解得或（舍），
所以，解得，
则实数的最小值为.
故答案为：C
【分析】本题考查函数的导数、值域与恒成立问题，核心是先求导分析导函数的值域，再结合条件建立原函数值域与导函数值域的包含关系，通过解不等式求参数 m 的最小值。
9．【答案】A,C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：设第一组样本数据，，…，的平均数为，方差为，
则第二组样本数据，，…，的平均数为，方差为，
由题意知，，
则有，解得第一组的平均数为，故A正确；
第二组的方差为，故B错误；
将两组数据合并后数据的平均数是，故C正确；
第一组样本数据的方差，
即，
即，
即，
，
，
则两组数据合并后数据的方差是
，
，
，
则两组数据合并后数据的方差
，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】本题考查线性变换下样本均值、方差的性质，以及两组等容量数据合并后的均值、方差综合计算，利用数据平移伸缩的均值方差公式、合并均值公式、方差公式逐项判断。
10．【答案】A,B,D
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；数列与函数的综合
【解析】【解答】解：A、易知，由，得，则，即数列是递增数列，故A正确；
B、由对A的分析可知，则（仅当时取等号），
由，得，
当时，，
当时，，
因此当时，，故B正确；
C、由，得，
由对B的分析知，当时，，，
则当时，，
即，故C错误；
D、由，得，即，
则，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】利用作差法判断数列的单调性即可判断A；利用数列的单调性，结合累加法和累乘法求解即可判断BC；由，整理可得，利用裂项求和即可判断D.
11．【答案】B,C
【知识点】曲线与方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为曲线：，分象限讨论：
当时，方程为，即，其表示以为圆心，以为半径的圆的第一象限部分；
当时，方程为，即，其表示以为圆心，以为半径的圆的第二象限部分；
当时，方程为，即，其表示以为圆心，以为半径的圆的第三象限部分；
当时，方程为，即，其表示以为圆心，以为半径的圆的第四象限部分；
如图：
曲线C由四段圆弧组成，关于x轴、y轴、原点对称.
A，直线过原点，所以直线必和曲线C有一个交点，
再以第一象限为例，圆心到直线的距离，
化简得，即当时直线与圆相切，同理可分析其它各个象限，
所以当时，直线与曲线有唯一公共点，
当或时，直线与曲线有3个公共点，如图：A错误；
B，因为点到点与到点的距离之差为4，所以点在以，为焦点，以实轴长为4的双曲线的下支上，方程为，显然双曲线的一个实顶点在曲线C上且只有这一个点，B正确；
C，先计算第一象限部分的弓形弧的面积，扇形弦长为2，半径为，
所以扇形的圆心角为，所以第一象限部分的弓形的面积，
所以曲线所围成的封闭区域面积等于，C正确；
D，由A选项的分析可知，与直线平行且与曲线C相切的两条直线为，
而这两条切线间的距离为.
当直线与切线的距离为时，则，解得或（舍去）；
当直线与切线的距离为时，则，解得或（舍去）；
当直线与切线的距离为时，则，解得或；
因为曲线上恰好存在4个不同点到直线的距离为，
由图可得实数的取值范围为，D错误.
故答案为：BC
【分析】A：先对曲线方程分象限去绝对值配方，得到四段圆弧的圆心、半径；再分析过原点直线与曲线的交点个数，判断的取值范围。
B：根据双曲线定义，分析到、距离之差为的点的轨迹，结合曲线的范围，判断交点个数。
C：拆解四段圆弧围成的封闭区域，用圆面积、正方形面积加减运算，计算封闭区域总面积。
D：根据点到直线距离公式，转化为平行线到直线距离为，结合圆弧图形，分析满足曲线上恰有4个点符合条件的取值范围。
12．【答案】90
【知识点】二项式定理；二项式系数
【解析】【解答】解：的展开式的通项为，，
当时，，
此时只需乘第一个因式中的即可，得到；
当时，，
此时只需乘第一个因式中的即可，得到．
据此可得的系数为．
【分析】利用二项式定理写出展开式的通项公式，结合多项式乘法分配律，拆分的两项，分类找到凑出的所有项，合并系数即可求解。
13．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：，
，
则，
即．
故答案为：.
【分析】利用两角和的正切公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可设椭圆和双曲线的方程分别为，
因为二者共焦点，所以，
如图，设，由椭圆和双曲线的定义可知，
由此解得，由题意知，
所以，
故在中，由勾股定理可知，代入的表达式可得，
由离心率的定义可得，设，则，
所以问题转化为求的最大值，
设，由可得，
当且仅当两向量同向共线时即取等号，所以的最大值为.
故答案为：
【分析】由题意可知，，由勾股定理可得椭圆与双曲线的三边关系，由离心率的定义可得，再利用向量柯西不等式即可求出的最大值。
15．【答案】（1）解：∵，
由正弦定理得，
因为，
所以，
因为，所以，所以，
又，所以.
（2）解：设外接圆的半径为，则，
由正弦定理得，
因为的周长为，所以，
由余弦定理得，
即，所以，
所以的面积.
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 利用正弦定理边角互化，结合三角和角公式化简已知等式，求解角A；
(2) 先由正弦定理外接圆公式求出边长a，结合周长条件得到b+c的值，再利用余弦定理求出bc，最后代入三角形面积公式求解。
（1）∵，
由正弦定理得，
因为，
所以，
因为，所以，所以，
又，所以.
（2）设外接圆的半径为，则，
由正弦定理得，
因为的周长为，所以，
由余弦定理得，
即，所以，
所以的面积.
16．【答案】（1）证明：由已知点为线段的中点，点为线段的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）解：设圆柱的底面半径为，母线长为，
因为圆柱的侧面积等于其两底面面积之和，
所以，所以，
由已知，，，，，
因为是该圆柱的母线，所以平面，
因为四边形是正方形，所以，
故平面，又平面，
所以，，
又为圆的直径，为圆上异于，的点，
所以，
以点为坐标原点，，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
故，，，
设平面的法向量为，
则，故，
取，则，，
故为平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【分析】(1) 利用三角形中位线定理证线线平行，再由线面平行判定定理证明CE∥平面BDM；
(2) 先由圆柱侧面积、底面积关系求出底面半径与母线长，建立空间直角坐标系，求出平面ACE的法向量、直线BM的方向向量，结合线面角向量公式求解正弦值。
（1）由已知点为线段的中点，点为线段的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）设圆柱的底面半径为，母线长为，
因为圆柱的侧面积等于其两底面面积之和，
所以，所以，
由已知，，，，，
因为是该圆柱的母线，所以平面，
因为四边形是正方形，所以，
故平面，又平面，
所以，，
又为圆的直径，为圆上异于，的点，
所以，
以点为坐标原点，，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
故，，，
设平面的法向量为，
则，故，
取，则，，
故为平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17．【答案】（1）证明：函数的定义域为.
.
令，则.
令，得，所以；
令，得，所以.
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以在处取得最小值，最小值为.
当时，，所以.
又，所以当时，.
当时，.
其简图如下：
所以有唯一解，即在曲线的图象上，有且仅有一个点处的斜率等于，
即在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等.
（2）解：当时，不等式恒成立，即.
令，则
.
令，则.
因为，所以，
又，所以.
所以是增函数，所以.
因为，所以恒成立，所以是增函数，
所以，即的最小值为.
所以实数的取值范围是．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1) 先求函数导函数（切线斜率），分析导函数的单调性、极值与值域，证明方程有且仅有唯一实数解，从而证得仅有一条对应切线；
(2) 当时分离参数，构造新函数，通过求导分析新函数的最小值，进而得到的取值范围。
（1）函数的定义域为.
.
令，则.
令，得，所以；
令，得，所以.
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以在处取得最小值，最小值为.
当时，，所以.
又，所以当时，.
当时，.
其简图如下：
所以有唯一解，即在曲线的图象上，有且仅有一个点处的斜率等于，
即在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等.
（2）当时，不等式恒成立，即.
令，则
.
令，则.
因为，所以，
又，所以.
所以是增函数，所以.
因为，所以恒成立，所以是增函数，
所以，即的最小值为.
所以实数的取值范围是．
18．【答案】（1）解：易知，则抛物线方程为；
（2）解：设直线的方程为，，，则，，，
联立，消元整理可得，
由韦达定理可得：，，
则直线的方程为：，
联立，解得，同理，
则，解得，
故直线的斜率为；
（3）解：设，
因为，，，
所以，
当时，为定值，则.
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意得到，代入即可得抛物线方程；
（2）设直线的方程为，联立抛物线方程，结合韦达定理求解即可；
（3）由（2）结合两点斜率公式求解即可.
（1）由题意知，所以抛物线方程为.
（2）由题意可设直线的方程为，，，则，，.
所以，得，
所以，.
所以直线的方程为：，与直线的方程联立消去，
解得，同理.
所以.所以.
所以直线的斜率为.
（3）设，
因为.
因为，.
所以，
当时，为定值.所以.
19．【答案】（1）解：设第场分享会的学生嘉宾中有1名男生为事件，有2名男生为事件，有3名男生为事件，
则；
（2）解：
；
（3）解：当时，
，
，
，
由，得
，
即有，
又因为，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，即，
结合对称性可知，每次分享会的学生嘉宾中有1名男生的概率与有3名男生的概率相同，
故，又，
所以，
第二十七场分享会的学生嘉宾中男生人数的所有可能取值为1，2，3，
，
，
故其分布列为：
1 2 3
则.
【知识点】等比数列概念与表示；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；全概率公式
【解析】【分析】（1）利用古典概型概率公式计算即可；
（2）利用助全概率公式求解即可；
（3）当时，利用全概率公式计算可得，又因为，可得数列是以为首项，为公比的等比数列，根据等比数列的定义及其性质求出的通项公式，再得到随机变量所有可能取值，求对应概率，列分布列，再利用数学期望公式求解即可．
（1）设第场分享会的学生嘉宾中有1名男生为事件，
有2名男生为事件，有3名男生为事件，则；
（2）；
（3）当时，
，
，
，
由，得
，
即有，又，
所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，即，
结合对称性可知，每次分享会的学生嘉宾中有1名男生的概率与有3名男生的概率相同，
故，又，
所以，
第二十七场分享会的学生嘉宾中男生人数的所有可能取值为1，2，3，
，
，
故其分布列为：
1 2 3
则.
1 / 12026届广东深圳市桃源居中澳实验学校高三下学期二模热身考试数学试题
1．已知复数，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：，所以.
故答案为：C
【分析】本题考查复数的除法运算与共轭复数的概念。先通过分母实数化化简求出复数，再根据共轭复数实部相等、虚部互为相反数的性质求出。
2．集合，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算；其他不等式的解法；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：由不等式，可得，所以，
又由，可得或，解得或，所以或，
则，所以.
故答案为：C
【分析】本题考查集合的基本运算，核心是先求解集合A、B，再计算B的补集，最后求A与补集的交集。
3．已知向量满足，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，所以．
故答案为：B
【分析】本题考查向量数量积与向量夹角的计算，核心思路是利用向量模长与数量积的关系、向量夹角公式求解。
4．过双曲线的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，若，的面积为6（O为坐标原点），则C的渐近线的斜率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设，不妨取渐近线的方程为，
则，又，故，
因为，的面积为6，
所以，解得
所以的渐近线的斜率为.
故答案为：C
【分析】设双曲线右焦点F(c，0)，结合双曲线渐近线方程、点到直线距离公式、勾股定理与三角形面积公式，依次求出a，b的值，进而得到渐近线的斜率。
5．春节期间，某人计划去六个不同的景点游览，在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序有（　　）
A．24 B．60 C．120 D．240
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：将捆绑看作一个整体，内部有种排列方式；
再将5个元素全排列有：，
故满足与相邻的排列共有种.
在所有排列中，在之前和在之后的排列数相等，各占总排列数的一半，
因此在之前，与相邻，不同的游览顺序有种.
故答案为：C
【分析】设双曲线右焦点F(c，0)，结合双曲线渐近线方程、点到直线距离公式、勾股定理与三角形面积公式，依次求出a，b的值，进而得到渐近线的斜率。
6．已知圆锥的底面半径为，且此圆锥的内切球体积为，则圆锥的侧面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：作出圆锥的轴截面，如图所示，
记内切球的半径为，圆锥的母线长为，高为，
由题知，解得，
由三角形面积公式可得，即①，
又②，联立①②解得，
故圆锥的侧面积.
故答案为：D
【分析】作出圆锥的轴截面，利用球的体积公式求出内切球半径，结合三角形等面积法、勾股定理求出圆锥母线长，最终代入圆锥侧面积公式求解。
7．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若图象的一个对称中心为，则的最小值为（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】因为图象的一个对称中心为，故图象的对称中心为，
故，故，而，故.
故答案为：B
【分析】先根据三角函数图象平移法则求出g(x)解析式，再利用正弦函数对称中心的性质列方程，结合ω>0的条件，求出ω的最小正值。
8．已知函数，为的导函数，若，使得，则实数的最小值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意，定义域为R，
因为恒成立，所以，
当且仅当，即时取等号，
则的值域为，且在R上单调递增，
由，得，
因为，使得，
所以，即，
令，则，解得或（舍），
所以，解得，
则实数的最小值为.
故答案为：C
【分析】本题考查函数的导数、值域与恒成立问题，核心是先求导分析导函数的值域，再结合条件建立原函数值域与导函数值域的包含关系，通过解不等式求参数 m 的最小值。
9．已知第一组样本数据，，…，的方差为1，第二组样本数据，，…，的平均数为14，则（　　）
A．第一组数据的平均数为4
B．第二组数据的方差为3
C．将两组数据合并后数据的平均数是9
D．将两组数据合并后数据的方差是30
【答案】A,C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：设第一组样本数据，，…，的平均数为，方差为，
则第二组样本数据，，…，的平均数为，方差为，
由题意知，，
则有，解得第一组的平均数为，故A正确；
第二组的方差为，故B错误；
将两组数据合并后数据的平均数是，故C正确；
第一组样本数据的方差，
即，
即，
即，
，
，
则两组数据合并后数据的方差是
，
，
，
则两组数据合并后数据的方差
，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】本题考查线性变换下样本均值、方差的性质，以及两组等容量数据合并后的均值、方差综合计算，利用数据平移伸缩的均值方差公式、合并均值公式、方差公式逐项判断。
10．已知数列满足，，则下列结论正确的是（　　）
A．是递增数列 B．当时，
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；数列与函数的综合
【解析】【解答】解：A、易知，由，得，则，即数列是递增数列，故A正确；
B、由对A的分析可知，则（仅当时取等号），
由，得，
当时，，
当时，，
因此当时，，故B正确；
C、由，得，
由对B的分析知，当时，，，
则当时，，
即，故C错误；
D、由，得，即，
则，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】利用作差法判断数列的单调性即可判断A；利用数列的单调性，结合累加法和累乘法求解即可判断BC；由，整理可得，利用裂项求和即可判断D.
11．某市以“渤海湾畔 生态宜居”为发展理念，将“生态渤海”融入城市脉络，一位数学爱好者设计了“渤海明珠”曲线，其方程为．对于曲线，则下列结论正确的是（　　）
A．若直线与曲线有唯一公共点，则取值范围为
B．曲线上存在唯一的点，使得点到点与到点的距离之差为4
C．曲线所围成的封闭区域面积等于
D．若曲线上恰好存在4个不同点到直线的距离为，则实数的取值范围为
【答案】B,C
【知识点】曲线与方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为曲线：，分象限讨论：
当时，方程为，即，其表示以为圆心，以为半径的圆的第一象限部分；
当时，方程为，即，其表示以为圆心，以为半径的圆的第二象限部分；
当时，方程为，即，其表示以为圆心，以为半径的圆的第三象限部分；
当时，方程为，即，其表示以为圆心，以为半径的圆的第四象限部分；
如图：
曲线C由四段圆弧组成，关于x轴、y轴、原点对称.
A，直线过原点，所以直线必和曲线C有一个交点，
再以第一象限为例，圆心到直线的距离，
化简得，即当时直线与圆相切，同理可分析其它各个象限，
所以当时，直线与曲线有唯一公共点，
当或时，直线与曲线有3个公共点，如图：A错误；
B，因为点到点与到点的距离之差为4，所以点在以，为焦点，以实轴长为4的双曲线的下支上，方程为，显然双曲线的一个实顶点在曲线C上且只有这一个点，B正确；
C，先计算第一象限部分的弓形弧的面积，扇形弦长为2，半径为，
所以扇形的圆心角为，所以第一象限部分的弓形的面积，
所以曲线所围成的封闭区域面积等于，C正确；
D，由A选项的分析可知，与直线平行且与曲线C相切的两条直线为，
而这两条切线间的距离为.
当直线与切线的距离为时，则，解得或（舍去）；
当直线与切线的距离为时，则，解得或（舍去）；
当直线与切线的距离为时，则，解得或；
因为曲线上恰好存在4个不同点到直线的距离为，
由图可得实数的取值范围为，D错误.
故答案为：BC
【分析】A：先对曲线方程分象限去绝对值配方，得到四段圆弧的圆心、半径；再分析过原点直线与曲线的交点个数，判断的取值范围。
B：根据双曲线定义，分析到、距离之差为的点的轨迹，结合曲线的范围，判断交点个数。
C：拆解四段圆弧围成的封闭区域，用圆面积、正方形面积加减运算，计算封闭区域总面积。
D：根据点到直线距离公式，转化为平行线到直线距离为，结合圆弧图形，分析满足曲线上恰有4个点符合条件的取值范围。
12．的展开式中的系数为　 　.
【答案】90
【知识点】二项式定理；二项式系数
【解析】【解答】解：的展开式的通项为，，
当时，，
此时只需乘第一个因式中的即可，得到；
当时，，
此时只需乘第一个因式中的即可，得到．
据此可得的系数为．
【分析】利用二项式定理写出展开式的通项公式，结合多项式乘法分配律，拆分的两项，分类找到凑出的所有项，合并系数即可求解。
13．　 　．
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：，
，
则，
即．
故答案为：.
【分析】利用两角和的正切公式求解即可.
14．已知，为椭圆与双曲线的公共左，右焦点，为它们的一个公共点，且，O为坐标原点，，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可设椭圆和双曲线的方程分别为，
因为二者共焦点，所以，
如图，设，由椭圆和双曲线的定义可知，
由此解得，由题意知，
所以，
故在中，由勾股定理可知，代入的表达式可得，
由离心率的定义可得，设，则，
所以问题转化为求的最大值，
设，由可得，
当且仅当两向量同向共线时即取等号，所以的最大值为.
故答案为：
【分析】由题意可知，，由勾股定理可得椭圆与双曲线的三边关系，由离心率的定义可得，再利用向量柯西不等式即可求出的最大值。
15．已知内角的对边分别为，且.
（1）求角A；
（2）若的周长为，且外接圆的半径为1，求的面积.
【答案】（1）解：∵，
由正弦定理得，
因为，
所以，
因为，所以，所以，
又，所以.
（2）解：设外接圆的半径为，则，
由正弦定理得，
因为的周长为，所以，
由余弦定理得，
即，所以，
所以的面积.
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 利用正弦定理边角互化，结合三角和角公式化简已知等式，求解角A；
(2) 先由正弦定理外接圆公式求出边长a，结合周长条件得到b+c的值，再利用余弦定理求出bc，最后代入三角形面积公式求解。
（1）∵，
由正弦定理得，
因为，
所以，
因为，所以，所以，
又，所以.
（2）设外接圆的半径为，则，
由正弦定理得，
因为的周长为，所以，
由余弦定理得，
即，所以，
所以的面积.
16．如图，，是圆柱下底面圆的两条直径，点是该圆柱上底面圆周上一点，的中点为．
（1）证明：平面；
（2）是该圆柱的母线，若四边形是正方形，且该圆柱的侧面积等于其两底面面积之和，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：由已知点为线段的中点，点为线段的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）解：设圆柱的底面半径为，母线长为，
因为圆柱的侧面积等于其两底面面积之和，
所以，所以，
由已知，，，，，
因为是该圆柱的母线，所以平面，
因为四边形是正方形，所以，
故平面，又平面，
所以，，
又为圆的直径，为圆上异于，的点，
所以，
以点为坐标原点，，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
故，，，
设平面的法向量为，
则，故，
取，则，，
故为平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【分析】(1) 利用三角形中位线定理证线线平行，再由线面平行判定定理证明CE∥平面BDM；
(2) 先由圆柱侧面积、底面积关系求出底面半径与母线长，建立空间直角坐标系，求出平面ACE的法向量、直线BM的方向向量，结合线面角向量公式求解正弦值。
（1）由已知点为线段的中点，点为线段的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）设圆柱的底面半径为，母线长为，
因为圆柱的侧面积等于其两底面面积之和，
所以，所以，
由已知，，，，，
因为是该圆柱的母线，所以平面，
因为四边形是正方形，所以，
故平面，又平面，
所以，，
又为圆的直径，为圆上异于，的点，
所以，
以点为坐标原点，，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
故，，，
设平面的法向量为，
则，故，
取，则，，
故为平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17．已知函数．
（1）证明：在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明：函数的定义域为.
.
令，则.
令，得，所以；
令，得，所以.
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以在处取得最小值，最小值为.
当时，，所以.
又，所以当时，.
当时，.
其简图如下：
所以有唯一解，即在曲线的图象上，有且仅有一个点处的斜率等于，
即在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等.
（2）解：当时，不等式恒成立，即.
令，则
.
令，则.
因为，所以，
又，所以.
所以是增函数，所以.
因为，所以恒成立，所以是增函数，
所以，即的最小值为.
所以实数的取值范围是．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1) 先求函数导函数（切线斜率），分析导函数的单调性、极值与值域，证明方程有且仅有唯一实数解，从而证得仅有一条对应切线；
(2) 当时分离参数，构造新函数，通过求导分析新函数的最小值，进而得到的取值范围。
（1）函数的定义域为.
.
令，则.
令，得，所以；
令，得，所以.
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以在处取得最小值，最小值为.
当时，，所以.
又，所以当时，.
当时，.
其简图如下：
所以有唯一解，即在曲线的图象上，有且仅有一个点处的斜率等于，
即在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等.
（2）当时，不等式恒成立，即.
令，则
.
令，则.
因为，所以，
又，所以.
所以是增函数，所以.
因为，所以恒成立，所以是增函数，
所以，即的最小值为.
所以实数的取值范围是．
18．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，.
（1）求的方程；
（2）记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率；
（3）设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标.
【答案】（1）解：易知，则抛物线方程为；
（2）解：设直线的方程为，，，则，，，
联立，消元整理可得，
由韦达定理可得：，，
则直线的方程为：，
联立，解得，同理，
则，解得，
故直线的斜率为；
（3）解：设，
因为，，，
所以，
当时，为定值，则.
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意得到，代入即可得抛物线方程；
（2）设直线的方程为，联立抛物线方程，结合韦达定理求解即可；
（3）由（2）结合两点斜率公式求解即可.
（1）由题意知，所以抛物线方程为.
（2）由题意可设直线的方程为，，，则，，.
所以，得，
所以，.
所以直线的方程为：，与直线的方程联立消去，
解得，同理.
所以.所以.
所以直线的斜率为.
（3）设，
因为.
因为，.
所以，
当时，为定值.所以.
19．每届高考结束后，某校各班都要推荐优秀学生代表作为嘉宾与下一届学生进行学习经验分享.2025届高三年级班号依次为，高三0班的优秀学生代表为2名男生和2名女生，其余各班的优秀学生代表均为1名男生和1名女生．第一场分享会的4名学生嘉宾由从高三0班的优秀学生代表中选出的2名和高三1班的2名优秀学生代表共同组成，第二场分享会的4名学生嘉宾由从上一场的4名嘉宾中选出的2名和高三2班的2名优秀学生代表共同组成，．．．，按照这样的方式，依次进行到第二十七场分享会．
（1）求第一场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率；
（2）求第二场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率；
（3）记第二十七场分享会的学生嘉宾中男生人数为，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：设第场分享会的学生嘉宾中有1名男生为事件，有2名男生为事件，有3名男生为事件，
则；
（2）解：
；
（3）解：当时，
，
，
，
由，得
，
即有，
又因为，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，即，
结合对称性可知，每次分享会的学生嘉宾中有1名男生的概率与有3名男生的概率相同，
故，又，
所以，
第二十七场分享会的学生嘉宾中男生人数的所有可能取值为1，2，3，
，
，
故其分布列为：
1 2 3
则.
【知识点】等比数列概念与表示；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；全概率公式
【解析】【分析】（1）利用古典概型概率公式计算即可；
（2）利用助全概率公式求解即可；
（3）当时，利用全概率公式计算可得，又因为，可得数列是以为首项，为公比的等比数列，根据等比数列的定义及其性质求出的通项公式，再得到随机变量所有可能取值，求对应概率，列分布列，再利用数学期望公式求解即可．
（1）设第场分享会的学生嘉宾中有1名男生为事件，
有2名男生为事件，有3名男生为事件，则；
（2）；
（3）当时，
，
，
，
由，得
，
即有，又，
所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，即，
结合对称性可知，每次分享会的学生嘉宾中有1名男生的概率与有3名男生的概率相同，
故，又，
所以，
第二十七场分享会的学生嘉宾中男生人数的所有可能取值为1，2，3，
，
，
故其分布列为：
1 2 3
则.
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