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广东深圳市34校联考2026年九年级中考二模数学试卷(4月)
1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数”.如果气温为“零上5℃”记作“+5℃”，那么气温“-10℃”可表示为(　　)
A．零上10℃ B．零下10℃ C．上升10℃ D．下降10℃
2．图中花瓶的表面可以大致看成由以下哪个平面图形绕虚线旋转一周得到（　　）
A． B． C． D．
3．下列运算错误的是(　　)
A． B． C． D．
4．随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图.已知AB∥CD， AC∥BF， ∠BED=53°， ∠FBE=126°，则∠BAC= (　　)
A．53° B．63° C．73° D．83°
5．甲、乙两名同学一周内五次引体向上的测试成绩(单位：个)如图所示，则下列结论中错误的是(　　)
A．乙的成绩的方差比甲的小
B．乙的最好成绩比甲的最好成绩好
C．乙的后三次测试成绩都比甲高
D．该周测试中乙的总成绩与甲的总成绩一样高
6．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接正多边形或外切正多边形逐步逼近圆来近似地计算圆的面积.如图，⊙O的内接正六边形与外切正六边形的面积比是(　　)
A． B． C． D．
7．某网约车公司 2025年用 2700万元购置了一批新能源汽车投入市场运营，在 2026年计划用 2400万元继续购入该款新能源汽车，由于产能规模调整，这两年该款新能源汽车的售价产生变化.设 2025年的售价为x万元，若 x满足 则下列说法正确的是(　　)
A．该款新能源汽车 2026年比 2025年涨价 20%，多购入 20辆汽车
B．该款新能源汽车 2026年比 2025年涨价 20%，少购入 20辆汽车
C．该款新能源汽车 2026年比 2025年降价 20%，多购入 20辆汽车
D．该款新能源汽车 2026年比 2025年降价 20%，少购入 20辆汽车
8．如图1是某款煮茶壶，开机加热4min将水匀速加热至100℃后停止加热，此时水温开始下降，此时水温y(℃)与启动加热后通电时间x(min)成反比例函数关系.当水温降至40℃时启动保温功能.图2是开始启动加热过程中，水温y(℃)与通电时间x(min)之间的函数关系图，则下列说法错误的是(　　)
A．水温在启动加热到100℃的过程中， y与x的函数关系式是y=20x+20
B．在通电启动加热开关8min时，喝到的茶水为50℃
C．在整个通电启动到保温过程中，水温不低于50℃的时间为7min
D．在通电启动加热开关11min后，喝到的茶水的温度为40℃
9．已知 则x-2y=　 　.
10．请写出一个关于x的一元二次方程；并且方程有两个相等的实数根．则这个一元二次方程可以是　 　．
11．无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向。如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障，测得无人机高度PB=54 m，从点A处观测点P处的仰角为α。已知sinα≈0.17，cosα≈0.98， tanα≈0.18，则可求得点A处到点B处的距离约为　 　 m。
12．“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”图案，一个小球(看作一点)在“小猫”图案上随机滚动并停留在某块板上，则它停在小猫头部(阴影部分)的概率是　 　 .
13．如图，在△ABC中， ∠B=90°， ∠C=30°， D， F分别是BC， AC边上一点，将△ABD沿AD折叠得△AED，△CDF沿DF折叠得△EDF，若AB=2，则EF=　 　.
14．计算：
15．先化简： 再从-1≤a≤2的范围中选择一个合适的整数代入求值.
16．体重指数(BMI)是衡量人体胖瘦程度的常用指标，计算公式是 其中G (单位：千克)表示体重，h(单位：米)表示身高，我国规定 18岁以上的成年人体重分类标准如下表：
BMI的范围 BMI≤18.5 18.5 < BMI≤24.0 24.0< BMI≤28.0 BMI > 28.0
健康类型 体重过低 正常 超重 肥胖
为了解自己所在公司职员的体重健康状况，某员工在公司内随机抽取男、女职员各 20人，通过测量得到他们的体重和身高，然后计算得到每位职员的BMI数值，部分数据记录如下：
20 名男职员的 BMI 值：15.4， 15.8， 16.5， 17.8， 18.9， 21， 21， 21， 23.2， 24.5， 24.5， 24.5， 24.5， 25， 25， 27， 27.9， 28.2， 29.1， 29.4；
女职员体重指数为“正常”的BMI值： 18.5，19，19，19，20，20，21，21.3，22.4，23.6.
女职员体重指数条形统计图
男、女职员BMI值统计表
性别 平均数 中位数 众数 “正常”所占百分比
男 23.02 24.5 b 25%
女 20.56 a 19 c
请你根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）填空： a=　 　， b=　 　， c=　 　；
（2）若该公司共有职员 200人，其中男女比例为 4：6，估计该公司共有多少人体重指数是“肥胖”；
（3）综合上表中的统计量，你认为该公司哪个性别的职员体重健康状况较好 请说明理由，并给体重健康状况较差的职员提出一条合理的建议.
17．综合与实践
2026年央视春晚节目《武BOT》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界.某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技Go2四足机器人与G1人形机器人用于科普展示.根据以下素材，完成任务：
宇树科技机器人采购方案设计
素材1 购买 6台Go2四足机器人和 5台G1人形机器人共需 57万元；5台G1人形机器人的售价比 11台Go2四足机器人贵 23万元.
素材2 每台Go2四足机器人每日可服务观众 150人次；每台G1人形机器人每日可服务观众 280人次.
素材3 科技馆计划采购两款机器人共 12台，采购总预算不超过 73万元.
问题解决
（1）求每台Go2四足机器人、每台G1人形机器人的售价分别是多少万元
（2）采购Go2四足机器人和G1人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多 最多为多少
18．操作与推理
（1）利用圆规和无刻度直尺，求作△ABC的外接圆中 (BC下方)中点D；(保留作图痕迹，标明字母，不用写出作法和理由.)
（2）在(1)的条件下，连接AD交BC于点E，若AE=5， DE=4，连接BD，求BD的长.
19．综合与探究
关于二次函数 数学兴趣小组计划通过以下环节进行研究。
（1） 【特例研究】
当a=1时，二次函数为y1= ▲ ，并在图 1中的平面直角坐标系画出其函数图象；
当a=2时，二次函数为 其图象如图 1所示；
当 时，二次函数为 其图象如图 1所示；
（2）观察特例中的图象，并结合学习函数的经验，写出二次函数 的 2条特征。
（3） 【深入探究】
对于二次函数 当a<0， - 2≤x≤2时， y的最大值与最小值的差为 6，求 a的值；
（4）将 在-2≤x≤2间的图象记为 G，若图象 G与直线y=x+1有 2个交点，请求出a的取值范围。
20．综合与探究
【定义】如图 1，点O是 ABCD的对角线的交点，过点O作OM⊥BC， ON⊥AB，垂足分别为M、N.若ON≥OM时，我们称 是 ABCD的中心距比.
（1） 【概念理解】如图 2，当λ=1时，求证： ABCD是菱形；
（2）【性质探究】在图 1中， ABCD的中心距比 与其相邻两边比 是否存在某种关系 若有，求出这种关系；若没有，请说明理由；
（3）【拓展应用】如图 3，在矩形ABCD中(AD>AB)，其中心距比 O为对角线BD中点，E是BC边上一点，连接OE，作OF⊥OE交CD边于点F，若 求CE的值；
（4）如图 4， 点D是射线AP上一动点，点C是平面内一点.以A、B、C、D为顶点、AD为边的平行四边形的中心距比 点E在射线AP上，连接AC、BE，当 时，直接写出AE的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】具有相反意义的量；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：“-10℃”可表示为 零下10℃
故答案为：B.
【分析】根据正负数的意义即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：平面图形
绕虚线旋转一周可得到图中花瓶。
故答案为：C.
【分析】根据旋转的定义可得出答案。
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，所以A正确，不符合题意；
B ： ，所以B正确，不符合题意；
C ： ，所以C正确，不符合题意；
D ：，所以D错误，符合题意。
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项法则可得出A正确；根据幂的乘方可得出B正确；根据同底数幂的乘法法则可得出C正确；根据同底数幂的除法可得出D错误，即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠BED=53°，
∵ ∠FBE=126°，
∴∠ABF=73°，
∵AC∥BF，
∴∠BAC=∠ABF=73°.
故答案为：C.
【分析】首先根据AB∥CD，可得出∠ABE=∠BED=53°，进而得出∠ABF=73°，再根据AC∥BF，即可得出∠BAC=∠ABF=73°.
5．【答案】A
【知识点】折线统计图；方差
【解析】【解答】解：A：由折线图可得出甲对应的折线比较稳定，故而得出甲的成绩比较稳定，所以A错误，符合题意；
B：由折线图可得出乙的最好成绩为10个，甲的最好成绩为9个，故而得出乙的最好成绩比甲的最好成绩好，所以B正确，不符合题意；
C：由折线图可得出乙的后三次测试成绩都比甲高，所以C正确，不符合题意；
D：通过计算可得出甲的总成绩为8+9+8+7+8=40，乙的总成绩为：6+7+10+8+9=40，所以 该周测试中乙的总成绩与甲的总成绩一样高 ，所以D正确，不符合题意。
故答案为：A.
【分析】根据折线图逐项进行分析，即可得出答案。
6．【答案】B
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：设圆外切正六边形的边长为a，
∴OA=a
在Rt△OAB中：∠OAB=60°，∠OBA=90°，∠AOB=30°，
∴AB=，OB=，
∴S△OAB=，
∴圆外切正六边形的面积为：12，
在Rt△OBD中：∠ODB=90°，∠AOB=30°，
∴，，
∴S△OBD= 12×BD×OD=12×34a×34a=3332a2 ∴圆内接正六边形的面积为： 12×3332a2=938a2 ， ∴ ⊙O的内接正六边形与外切正六边形的面积比是 ：.
故答案为：B.
【分析】首先根据圆内接和园外切正六边形的性质，通过计算三角形的面积得出两个正六边形的面积，进而再求出它们的比即可。
7．【答案】C
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解： 设 2025年的售价为x万元，
∴方程左边表示的是：2025年购买的新能源汽车的数量，右边表示的是比2026年购买新能源汽车的辆数少20辆，（1-20%）x表示的是 该款新能源汽车 2026年比 2025年降价 20%，
∴该方程表示的是 该款新能源汽车 2026年比 2025年降价 20%，多购入 20辆汽车 。
故答案为：C.
【分析】通过分析方程两边代数式的意义即可得出答案。
8．【答案】C
【知识点】函数值；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：设水温在启动加热到100℃的过程中， y与x的函数关系式为y=kx+b，
根据点（0，20）和（4，100）可得出：，解得：
∴y=20x+20，
故而得出A正确；
设水温下降过程中的函数关系式为：y=
根据点（4，100），可得出a=400
∴y=，
当y=40时：x=
∴当x=8时：y=
所以在通电启动加热开关8min时，喝到的茶水为50℃正确，故而得出B正确；
在y=20x+20中，当y=50时，可得x=1.5，在y=中，当y=50时，x=8，所以8-1.5=6.5（min）
所以 在整个通电启动到保温过程中，水温不低于50℃的时间为6.5min
故而得出C错误；
当y=40时：x=，所以 在通电启动加热开关11min后，喝到的茶水的温度为40℃
故而得出D正确。
故答案为：C.
【分析】首先根据图像上的点（0，20）和（4，100），利用待定系数法可得出A正确；再根据点（4，100），利用待定系数法得出水温下降过程中的反比例函数关系式，进而得出 在通电启动加热开关8min时，喝到的茶水为50℃ 正确；然后根据那两个关系式分别求得当y=50时的x的值，即可得出 在整个通电启动到保温过程中，水温不低于50℃的时间 ，从而得出C错误；根据反比例函数关系式可得出当y=40时：x=，即可得出 在通电启动加热开关11min后，喝到的茶水的温度为40℃ 正确，即可得出答案。
9．【答案】5
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：x2-4y2=（x+2y）（x-2y）=15，
∵x+2y=3，
∴3（x-2y）=15，
∴x-2y=5.
故答案为：5.
【分析】首先因式分解x2-4y2=（x+2y）（x-2y）=15，进而把x+2y=3，整体代入上式中，即可得出x-2y=5.
10．【答案】
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴符合题意的一元二次方程可以是，即
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据二次方程的定义，结合二次方程的根即可求出答案.
11．【答案】300
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：在Rt△ABP中： tanα=
∵ tanα≈0.18， PB=54 m，
∴0.18=，
∴AB=(m）
故答案为：300.
【分析】：在Rt△ABP中，根据正切的定义，即可得出答案。
12．【答案】
【知识点】七巧板与拼图制作；几何概率；概率公式
【解析】【解答】解：设七巧板中最小的三角形面积为S，
整个七巧板(小猫图案)总面积为S+S+2S+2S + 2S+4S+4S =16S；
小猫头部阴影部分是2个最小三角形加中间正方形，
面积和为S+S+2S=4S；
因此小球停在阴影部分的概率为：
故答案为：4
故答案为：.
【分析】设七巧板中最小的三角形面积为S，即可得出整个七巧板(小猫图案)总面积为16S，小猫头部（阴影部分）的面积为4S，进而根据概率计算公式即可得出答案。
13．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：过点F作FG⊥BC于点G，设EF=a，
∵将△ABD沿AD折叠得△AED，△CDF沿DF折叠得△EDF，AB =2.
∴△AED ≌△ABD，△CDF≌△EDF，
∴AE=AB=2，CF=EF=a，∠ADE =∠ADB=∠BDE，BD=DE=CD=BC， ∠EDF =∠CDF=∠CDE，
∴∠ADF = ∠ADE+∠EDF =(∠BDE +∠CDE) =x180' =90°，
∵∠C=30°，AB=2，∠B=90°，
∴AC=2AB =4，
∴BC =，AF=AC-CF=4-a，
∴BD=DE=CD=BC =，
∴AD2 = AB2 + BD2 = 22 +()2 = 7，
∵FG⊥BC，∠C=30°，CF=a，
：.GF=CF=a，
在Rt△GCF中，CG==
∴DG=CD-CG=
在Rt△DFG中，DF2 = DG2 + FG2 =
在Rt△ADF中，AF2 = AD2 + DF2，
∴(4-a)2=7+(2-a)2+a2
解得：a=.
即EF=
故答案为：.
【分析】过点F作FG⊥BC于点G，设EF=a，首先根据折叠的性质，可得出△AED ≌△ABD，△CDF≌△EDF，进而得出AE=AB=2，CF=EF=a，∠ADE =∠ADB=∠BDE，BD=DE=CD=BC， ∠EDF =∠CDF=∠CDE，进而可得出∠ADF =90°，再根据含30°锐角的直角三角形的性质得出AC=2AB =4，AF=4-a，再根据勾股定理可得出BC =，进而BD=DE=CD=BC =，然后根据勾股定理可得出AD2 = AB2 + BD2 = 22 +()2 = 7，进而在Rt△ADF中，AF2 = AD2 + DF2，可得出(4-a)2=7+(2-a)2+a2，解得a的值，即为EF的长。
14．【答案】解：
=-1.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】首先根据零整数指数幂的性质，绝对值的性质，负整数指数幂的性质以及特殊锐角的三角函数值进行化简，然后再进行二次根式的混合运算即可。
15．【答案】解：原式
∵a+1≠0 ， a≠0 ， a-1≠0 ，
∴a≠-1 且 a≠0 且 a≠1 ，
又∵-1≤a≤2，
∴当 a=2 时，原式
【知识点】分式有无意义的条件；求代数式的值-直接代入求值；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】首先根据分式的混合运算进行化简，然后再根据分式的意义，得出a≠-1 且 a≠0 且 a≠1 ，在 从-1≤a≤2的范围中 ，a只能取2，进而把a=2代入化简后的式子中，进行有理数的运算即可。
16．【答案】（1）19.5；26.5；50%
（2）解：公司女职工人数为：（人），男职工人数为：200-120=80（人）
所以该公司体重指数是“肥胖”的人数为：（人）
答：估计该公司共有 24人体重指数是“肥胖”。
（3）解：∵该公司的女职员BMI的平均值比男职员的低，且平均值位于正常范围的中间。
∴女职员体重健康状况较好。
建议合理即可。
【知识点】用样本估计总体；条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）因为女职工人数20人，体重过低6人，体重正常10人，
根据体重正常的数据，可得出中位数a=；正常所占的百分比c=；
根据男职工的BMI值数据可得出众数b=24.5
【分析】（1）根据中位数，众数和正常所占百分比的定义即可得出答案；
（2）根据公司中男女比例以及体重指数时肥胖的人数占比即可得出答案；
（3）根据中位数，平均数以及众数分析，再给出合理建议即可。
17．【答案】（1）解：设每台Go2四足机器人售价为x万元，每台G1人形机器人售价为y万元，根据题意得：
解得：
答：每台Go2四足机器人售价为 2万元，每台G1人形机器人售价为 9万元
（2）解：设采购Go2四足机器人a台，则采购G1人形机器人(12-a)台，
根据题意得： 2a+9(12-a)≤73，
解得： a≥5，
∵12-a≥0，即a≤12，
∴5≤a≤12，
设每日总服务人次为w，
∴w=150a+280(12-a)=-130a+3360，
∵-130<0，
∴w随a增大而减小，
∴当a取最小值 5时， w有最大值-130×5+3360=2710，此时12-a=7，
答：采购Go2四足机器人 5台、G1人形机器人 7台时，每日总服务人次最多，最多为 2710人次.
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用；一次函数的性质；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每台Go2四足机器人售价为x万元，每台G1人形机器人售价为y万元，根据 购买 6台Go2四足机器人和 5台G1人形机器人共需 57万元；5台G1人形机器人的售价比 11台Go2四足机器人贵 23万元. 即可得出方程组： 解方程组即可得出答案；
（2）设采购Go2四足机器人a台，则采购G1人形机器人(12-a)台，根据 科技馆计划采购两款机器人共 12台，采购总预算不超过 73万元. 即可得出不等式2a+9(12-a)≤73，解不等式得出5≤a≤12，再设设每日总服务人次为w，根据 每台Go2四足机器人每日可服务观众 150人次；每台G1人形机器人每日可服务观众 280人次. 可得出w=150a+280(12-a)=-130a+3360，进而根据一次函数的增减性，即可得出答案。
18．【答案】（1）解：如图，作∠BAC的角平分线交△ABC的外接圆于点D，
∴∠BAD=∠CAD，
∴点D为△ABC的外接圆中 (BC下方)的中点，故点D即为所作
（2）解：如图，
由(1)知： ∠BAD=∠CAD，
又∵CD所对的圆周角为∠CAD、∠CBD，
∴∠CAD=∠CBD，
∴∠BAD=∠CBD，即∠BAD=∠EBD，
又∵∠BDA=∠EDB， AE=5， DE=4，
∴△DAB∽△DBE ， AD=AE+DE=5+4=9，
即BD的长为6.
【知识点】相似三角形的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据尺规作图，作∠BAC的平分线，交圆O于点D，点D即为所求作得点；
（2）根据圆周角定理的推论可得出∠CAD=∠CBD，进而得出∠BAD=∠EBD，再根据公共角∠BDA=∠EDB，即可根据AA可得出△DAB∽△DBE ，进而根据相似三角形的性质，可得出进一步计算即可；
19．【答案】（1）解：y1=x2-2x-3，
列表如下：
x ... -1 0 1 2 3 ...
y ... 0 -3 -4 -3 0 ...
描点法即可得出图象如图所示。
（2）解：①二次函数y=ax2-2ax-3a(a≠0)恒过点(-1， 0)， (3，0)
②二次函数y=ax2-2ax-3a(a≠0)的对称轴为直线x=1。
（3）解：∵a<0， - 2≤x≤2时，
∴当x=-2时， y最大值=a·(-2)2-2a·(-2)-3a=5a，
∵二次函数 的对称轴为直线x=1。
∴当x=1时， y最小值=a·12-2a·1-3a=-4a，
∴y最大值-最小值=-4a-5a=-9a=6，解得 a=-23。
（4）解：方法 1：
当a<0时，
当x=2时， y=2+1=3，即(2， 3) ，
将(2， 3)代入y=ax2-2ax-3a，解得a=-1。
当x=-2时， y=-2+1=-1，即(-2， - 1)，
将(-2， - 1)代入 解得
当图象 G与直线y=x+1只有 1个交点时，则
整理得
解得
结合图象可得 且
当a>0时，图象G与直线y=x+1只有 1个交点，为(-1， 0)，综上所述， - 1≤a≤15且a≠-14。
方法 2：
联立 整理得
∴[ax-(3a+1)](x+1)=0，
∴x1=3a+1a=3+1a， x2=-1
∵二次函数 恒过点(-1， 0)，且满足-2≤x≤2，结合图象可知-2≤x1≤2，即
解得： - 1≤a≤-15。
当图象 G与直线y=x+1只有 1个交点时，则
整理得
解得
综上所述， - 1≤a≤-15且a=-14。
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；列一元一次方程；作图-二次函数图象
【解析】【解答】解：（1）把a=1代入 二次函数 可得出y1=x2-2x-3；
故答案为：y1=x2-2x-3；
【分析】（1）把a=1代入 二次函数 可得出y1=x2-2x-3，再用描点法即可得出函数图象；
（2）根据二次函数的性质，写出2条特征即可；
（3）根据二次函数的图象与性质，确定y值得最大值与最小值，再列出方程求解即可；
（4）分两种情况：当a<0时；当a>0时，结合图像、函数图象上点的坐标特征及一元二次方程根的判断式求解即可。
20．【答案】（1）证明：方法 1：
当λ=1时，则OM=ON，
∵ ABCD，
∴OA=OC，
在Rt△ANO和Rt△CMO中，
∴Rt△ANO≌Rt△CMO(HL)，
∴∠BAC=∠BCA.
∴BA=BC，
∴ ABCD是菱形.
方法 2：
∵ ABCD
∴OA=OC，
∵λ=1时， OM=ON，
∴AB=BC，
∴ ABCD是菱形.
（2）解：∵ ABCD
∴OA=OC，
（3）解：如图， 过点O作OM⊥BC， ON⊥CD，
∵矩形ABCD， BD=10，
∴AD=BC， AB=CD， ∠BCD=90°， OB=OD=OC=5，
∴设BC=4x， CD=AB=3x，
解得： x=2，
∴BC=8， CD=AB=6，
∵OB=OD=OC， OM⊥BC， ON⊥CD，
∵∠OMC=∠MCN=∠ONC=90°，
∴四边形OMCN是矩形，
∴∠MON=90°， OM=CN=3， ON=CM=4，
∴∠MON=∠EOF=90°，
∴∠MOE=∠NOF，
∴△MOE∽△NOF，
∴设FN=4t， ME=3t，
∴CF=CN+FN=3+4t， CE=CM-ME=4-3t，
解得：
（4）解：AE的长为 或 16或
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（4）由(2)可知，当λ=2时，平行四边形两相邻边的比为 2.
①如图 1，当AD=2AB时，过点B作BG⊥AD于点G，过点A作AH⊥CD延长线于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=5， AB∥CD，
∴AD=BC=10， ∠ADH=∠PAB，
在Rt△ABG中，
∴设BG=4a， AG=3a，
解得： a=1，
∴BG=4， AG=3，
同理可得， DH=6， AH=8，
∴CH=CD+DH=11，
∵∠AEB=∠ACD，
∴tan∠AEB=tan∠ACD，
②如图 2，当AB=2AD时，过点B作BG⊥AD于点G，过点A作AH⊥CD延长线于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=5， AB∥CD，
∴tan∠ADH=tan∠PAB，
同理可求，
由①可知， BG=4， AG=3，
∵∠AEB=∠ACD，
∴tan∠AEB=tan∠ACD，
∴EG=13，
∴AE=EG+AG=13+3=16；
③如图 3，当AC=2AD时，连接CD，过点D作DF⊥AB，
∴设DF=4a， AF=3a，
∴BD=AC=10a，
∵AB=AF+BF=5，
解得：
∵BD∥AC，
∴∠BDE=∠CAD，
又∵∠AEB=∠ACD，
∴△EDB∽△CAD，
∴DE=20a，
综上可知，AE的长为 或 16或
【分析】（1）方法1：当 λ=1时，则OM=ON，根据平行四边形的性质，证明Rt ΔANO≌Rt ΔCMO(HL)，则
ㄥBAC=ㄥBCA，从而得出BA=BC，即可得证；
方法2：根据平行四边形对角线互相平分，可得S△AOB=S△COB，再结合OM=ON，得到AB=BC，即可得证；
（2）根据平行四边形对角线互相平分，可得S△AOB =S△COB，从而得出AB.ON=BC.OM，进而推出λ，即可得解；
(3)过点O作OM⊥BC，ON⊥CD，设BC=4x，CD=AB=3x，利用勾股定理列方程，求出BC=8
，CD=AB=6，证明四边形OMCN是矩形，得到∠MON=90°，OM=CN=3，ON=CM=4，进而推出△MOE∽△NOF，设FN=4t，ME=3t，根据三角形面积公式列方程，求出t的值，即可得解；
（4）由(2)可知，当 时，平行四边形两相邻边的比为2，分三种情况讨论：①当AD=2AB时，过点B作BG⊥AD于点G，过点A作AH⊥CD延长线于点H；②当AB=2AD时，过点B作BG⊥AD于点G，过点A作AH⊥CD延长线于点H，利用角的正切值求解；③AC=2AD时，连接CD，过点D作DF⊥AB，利用相似三角形的性质求解即可。
1 / 1广东深圳市34校联考2026年九年级中考二模数学试卷(4月)
1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数”.如果气温为“零上5℃”记作“+5℃”，那么气温“-10℃”可表示为(　　)
A．零上10℃ B．零下10℃ C．上升10℃ D．下降10℃
【答案】B
【知识点】具有相反意义的量；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：“-10℃”可表示为 零下10℃
故答案为：B.
【分析】根据正负数的意义即可得出答案。
2．图中花瓶的表面可以大致看成由以下哪个平面图形绕虚线旋转一周得到（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：平面图形
绕虚线旋转一周可得到图中花瓶。
故答案为：C.
【分析】根据旋转的定义可得出答案。
3．下列运算错误的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，所以A正确，不符合题意；
B ： ，所以B正确，不符合题意；
C ： ，所以C正确，不符合题意；
D ：，所以D错误，符合题意。
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项法则可得出A正确；根据幂的乘方可得出B正确；根据同底数幂的乘法法则可得出C正确；根据同底数幂的除法可得出D错误，即可得出答案。
4．随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图.已知AB∥CD， AC∥BF， ∠BED=53°， ∠FBE=126°，则∠BAC= (　　)
A．53° B．63° C．73° D．83°
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠BED=53°，
∵ ∠FBE=126°，
∴∠ABF=73°，
∵AC∥BF，
∴∠BAC=∠ABF=73°.
故答案为：C.
【分析】首先根据AB∥CD，可得出∠ABE=∠BED=53°，进而得出∠ABF=73°，再根据AC∥BF，即可得出∠BAC=∠ABF=73°.
5．甲、乙两名同学一周内五次引体向上的测试成绩(单位：个)如图所示，则下列结论中错误的是(　　)
A．乙的成绩的方差比甲的小
B．乙的最好成绩比甲的最好成绩好
C．乙的后三次测试成绩都比甲高
D．该周测试中乙的总成绩与甲的总成绩一样高
【答案】A
【知识点】折线统计图；方差
【解析】【解答】解：A：由折线图可得出甲对应的折线比较稳定，故而得出甲的成绩比较稳定，所以A错误，符合题意；
B：由折线图可得出乙的最好成绩为10个，甲的最好成绩为9个，故而得出乙的最好成绩比甲的最好成绩好，所以B正确，不符合题意；
C：由折线图可得出乙的后三次测试成绩都比甲高，所以C正确，不符合题意；
D：通过计算可得出甲的总成绩为8+9+8+7+8=40，乙的总成绩为：6+7+10+8+9=40，所以 该周测试中乙的总成绩与甲的总成绩一样高 ，所以D正确，不符合题意。
故答案为：A.
【分析】根据折线图逐项进行分析，即可得出答案。
6．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接正多边形或外切正多边形逐步逼近圆来近似地计算圆的面积.如图，⊙O的内接正六边形与外切正六边形的面积比是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：设圆外切正六边形的边长为a，
∴OA=a
在Rt△OAB中：∠OAB=60°，∠OBA=90°，∠AOB=30°，
∴AB=，OB=，
∴S△OAB=，
∴圆外切正六边形的面积为：12，
在Rt△OBD中：∠ODB=90°，∠AOB=30°，
∴，，
∴S△OBD= 12×BD×OD=12×34a×34a=3332a2 ∴圆内接正六边形的面积为： 12×3332a2=938a2 ， ∴ ⊙O的内接正六边形与外切正六边形的面积比是 ：.
故答案为：B.
【分析】首先根据圆内接和园外切正六边形的性质，通过计算三角形的面积得出两个正六边形的面积，进而再求出它们的比即可。
7．某网约车公司 2025年用 2700万元购置了一批新能源汽车投入市场运营，在 2026年计划用 2400万元继续购入该款新能源汽车，由于产能规模调整，这两年该款新能源汽车的售价产生变化.设 2025年的售价为x万元，若 x满足 则下列说法正确的是(　　)
A．该款新能源汽车 2026年比 2025年涨价 20%，多购入 20辆汽车
B．该款新能源汽车 2026年比 2025年涨价 20%，少购入 20辆汽车
C．该款新能源汽车 2026年比 2025年降价 20%，多购入 20辆汽车
D．该款新能源汽车 2026年比 2025年降价 20%，少购入 20辆汽车
【答案】C
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解： 设 2025年的售价为x万元，
∴方程左边表示的是：2025年购买的新能源汽车的数量，右边表示的是比2026年购买新能源汽车的辆数少20辆，（1-20%）x表示的是 该款新能源汽车 2026年比 2025年降价 20%，
∴该方程表示的是 该款新能源汽车 2026年比 2025年降价 20%，多购入 20辆汽车 。
故答案为：C.
【分析】通过分析方程两边代数式的意义即可得出答案。
8．如图1是某款煮茶壶，开机加热4min将水匀速加热至100℃后停止加热，此时水温开始下降，此时水温y(℃)与启动加热后通电时间x(min)成反比例函数关系.当水温降至40℃时启动保温功能.图2是开始启动加热过程中，水温y(℃)与通电时间x(min)之间的函数关系图，则下列说法错误的是(　　)
A．水温在启动加热到100℃的过程中， y与x的函数关系式是y=20x+20
B．在通电启动加热开关8min时，喝到的茶水为50℃
C．在整个通电启动到保温过程中，水温不低于50℃的时间为7min
D．在通电启动加热开关11min后，喝到的茶水的温度为40℃
【答案】C
【知识点】函数值；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：设水温在启动加热到100℃的过程中， y与x的函数关系式为y=kx+b，
根据点（0，20）和（4，100）可得出：，解得：
∴y=20x+20，
故而得出A正确；
设水温下降过程中的函数关系式为：y=
根据点（4，100），可得出a=400
∴y=，
当y=40时：x=
∴当x=8时：y=
所以在通电启动加热开关8min时，喝到的茶水为50℃正确，故而得出B正确；
在y=20x+20中，当y=50时，可得x=1.5，在y=中，当y=50时，x=8，所以8-1.5=6.5（min）
所以 在整个通电启动到保温过程中，水温不低于50℃的时间为6.5min
故而得出C错误；
当y=40时：x=，所以 在通电启动加热开关11min后，喝到的茶水的温度为40℃
故而得出D正确。
故答案为：C.
【分析】首先根据图像上的点（0，20）和（4，100），利用待定系数法可得出A正确；再根据点（4，100），利用待定系数法得出水温下降过程中的反比例函数关系式，进而得出 在通电启动加热开关8min时，喝到的茶水为50℃ 正确；然后根据那两个关系式分别求得当y=50时的x的值，即可得出 在整个通电启动到保温过程中，水温不低于50℃的时间 ，从而得出C错误；根据反比例函数关系式可得出当y=40时：x=，即可得出 在通电启动加热开关11min后，喝到的茶水的温度为40℃ 正确，即可得出答案。
9．已知 则x-2y=　 　.
【答案】5
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：x2-4y2=（x+2y）（x-2y）=15，
∵x+2y=3，
∴3（x-2y）=15，
∴x-2y=5.
故答案为：5.
【分析】首先因式分解x2-4y2=（x+2y）（x-2y）=15，进而把x+2y=3，整体代入上式中，即可得出x-2y=5.
10．请写出一个关于x的一元二次方程；并且方程有两个相等的实数根．则这个一元二次方程可以是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴符合题意的一元二次方程可以是，即
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据二次方程的定义，结合二次方程的根即可求出答案.
11．无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向。如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障，测得无人机高度PB=54 m，从点A处观测点P处的仰角为α。已知sinα≈0.17，cosα≈0.98， tanα≈0.18，则可求得点A处到点B处的距离约为　 　 m。
【答案】300
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：在Rt△ABP中： tanα=
∵ tanα≈0.18， PB=54 m，
∴0.18=，
∴AB=(m）
故答案为：300.
【分析】：在Rt△ABP中，根据正切的定义，即可得出答案。
12．“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”图案，一个小球(看作一点)在“小猫”图案上随机滚动并停留在某块板上，则它停在小猫头部(阴影部分)的概率是　 　 .
【答案】
【知识点】七巧板与拼图制作；几何概率；概率公式
【解析】【解答】解：设七巧板中最小的三角形面积为S，
整个七巧板(小猫图案)总面积为S+S+2S+2S + 2S+4S+4S =16S；
小猫头部阴影部分是2个最小三角形加中间正方形，
面积和为S+S+2S=4S；
因此小球停在阴影部分的概率为：
故答案为：4
故答案为：.
【分析】设七巧板中最小的三角形面积为S，即可得出整个七巧板(小猫图案)总面积为16S，小猫头部（阴影部分）的面积为4S，进而根据概率计算公式即可得出答案。
13．如图，在△ABC中， ∠B=90°， ∠C=30°， D， F分别是BC， AC边上一点，将△ABD沿AD折叠得△AED，△CDF沿DF折叠得△EDF，若AB=2，则EF=　 　.
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：过点F作FG⊥BC于点G，设EF=a，
∵将△ABD沿AD折叠得△AED，△CDF沿DF折叠得△EDF，AB =2.
∴△AED ≌△ABD，△CDF≌△EDF，
∴AE=AB=2，CF=EF=a，∠ADE =∠ADB=∠BDE，BD=DE=CD=BC， ∠EDF =∠CDF=∠CDE，
∴∠ADF = ∠ADE+∠EDF =(∠BDE +∠CDE) =x180' =90°，
∵∠C=30°，AB=2，∠B=90°，
∴AC=2AB =4，
∴BC =，AF=AC-CF=4-a，
∴BD=DE=CD=BC =，
∴AD2 = AB2 + BD2 = 22 +()2 = 7，
∵FG⊥BC，∠C=30°，CF=a，
：.GF=CF=a，
在Rt△GCF中，CG==
∴DG=CD-CG=
在Rt△DFG中，DF2 = DG2 + FG2 =
在Rt△ADF中，AF2 = AD2 + DF2，
∴(4-a)2=7+(2-a)2+a2
解得：a=.
即EF=
故答案为：.
【分析】过点F作FG⊥BC于点G，设EF=a，首先根据折叠的性质，可得出△AED ≌△ABD，△CDF≌△EDF，进而得出AE=AB=2，CF=EF=a，∠ADE =∠ADB=∠BDE，BD=DE=CD=BC， ∠EDF =∠CDF=∠CDE，进而可得出∠ADF =90°，再根据含30°锐角的直角三角形的性质得出AC=2AB =4，AF=4-a，再根据勾股定理可得出BC =，进而BD=DE=CD=BC =，然后根据勾股定理可得出AD2 = AB2 + BD2 = 22 +()2 = 7，进而在Rt△ADF中，AF2 = AD2 + DF2，可得出(4-a)2=7+(2-a)2+a2，解得a的值，即为EF的长。
14．计算：
【答案】解：
=-1.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】首先根据零整数指数幂的性质，绝对值的性质，负整数指数幂的性质以及特殊锐角的三角函数值进行化简，然后再进行二次根式的混合运算即可。
15．先化简： 再从-1≤a≤2的范围中选择一个合适的整数代入求值.
【答案】解：原式
∵a+1≠0 ， a≠0 ， a-1≠0 ，
∴a≠-1 且 a≠0 且 a≠1 ，
又∵-1≤a≤2，
∴当 a=2 时，原式
【知识点】分式有无意义的条件；求代数式的值-直接代入求值；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】首先根据分式的混合运算进行化简，然后再根据分式的意义，得出a≠-1 且 a≠0 且 a≠1 ，在 从-1≤a≤2的范围中 ，a只能取2，进而把a=2代入化简后的式子中，进行有理数的运算即可。
16．体重指数(BMI)是衡量人体胖瘦程度的常用指标，计算公式是 其中G (单位：千克)表示体重，h(单位：米)表示身高，我国规定 18岁以上的成年人体重分类标准如下表：
BMI的范围 BMI≤18.5 18.5 < BMI≤24.0 24.0< BMI≤28.0 BMI > 28.0
健康类型 体重过低 正常 超重 肥胖
为了解自己所在公司职员的体重健康状况，某员工在公司内随机抽取男、女职员各 20人，通过测量得到他们的体重和身高，然后计算得到每位职员的BMI数值，部分数据记录如下：
20 名男职员的 BMI 值：15.4， 15.8， 16.5， 17.8， 18.9， 21， 21， 21， 23.2， 24.5， 24.5， 24.5， 24.5， 25， 25， 27， 27.9， 28.2， 29.1， 29.4；
女职员体重指数为“正常”的BMI值： 18.5，19，19，19，20，20，21，21.3，22.4，23.6.
女职员体重指数条形统计图
男、女职员BMI值统计表
性别 平均数 中位数 众数 “正常”所占百分比
男 23.02 24.5 b 25%
女 20.56 a 19 c
请你根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）填空： a=　 　， b=　 　， c=　 　；
（2）若该公司共有职员 200人，其中男女比例为 4：6，估计该公司共有多少人体重指数是“肥胖”；
（3）综合上表中的统计量，你认为该公司哪个性别的职员体重健康状况较好 请说明理由，并给体重健康状况较差的职员提出一条合理的建议.
【答案】（1）19.5；26.5；50%
（2）解：公司女职工人数为：（人），男职工人数为：200-120=80（人）
所以该公司体重指数是“肥胖”的人数为：（人）
答：估计该公司共有 24人体重指数是“肥胖”。
（3）解：∵该公司的女职员BMI的平均值比男职员的低，且平均值位于正常范围的中间。
∴女职员体重健康状况较好。
建议合理即可。
【知识点】用样本估计总体；条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）因为女职工人数20人，体重过低6人，体重正常10人，
根据体重正常的数据，可得出中位数a=；正常所占的百分比c=；
根据男职工的BMI值数据可得出众数b=24.5
【分析】（1）根据中位数，众数和正常所占百分比的定义即可得出答案；
（2）根据公司中男女比例以及体重指数时肥胖的人数占比即可得出答案；
（3）根据中位数，平均数以及众数分析，再给出合理建议即可。
17．综合与实践
2026年央视春晚节目《武BOT》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界.某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技Go2四足机器人与G1人形机器人用于科普展示.根据以下素材，完成任务：
宇树科技机器人采购方案设计
素材1 购买 6台Go2四足机器人和 5台G1人形机器人共需 57万元；5台G1人形机器人的售价比 11台Go2四足机器人贵 23万元.
素材2 每台Go2四足机器人每日可服务观众 150人次；每台G1人形机器人每日可服务观众 280人次.
素材3 科技馆计划采购两款机器人共 12台，采购总预算不超过 73万元.
问题解决
（1）求每台Go2四足机器人、每台G1人形机器人的售价分别是多少万元
（2）采购Go2四足机器人和G1人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多 最多为多少
【答案】（1）解：设每台Go2四足机器人售价为x万元，每台G1人形机器人售价为y万元，根据题意得：
解得：
答：每台Go2四足机器人售价为 2万元，每台G1人形机器人售价为 9万元
（2）解：设采购Go2四足机器人a台，则采购G1人形机器人(12-a)台，
根据题意得： 2a+9(12-a)≤73，
解得： a≥5，
∵12-a≥0，即a≤12，
∴5≤a≤12，
设每日总服务人次为w，
∴w=150a+280(12-a)=-130a+3360，
∵-130<0，
∴w随a增大而减小，
∴当a取最小值 5时， w有最大值-130×5+3360=2710，此时12-a=7，
答：采购Go2四足机器人 5台、G1人形机器人 7台时，每日总服务人次最多，最多为 2710人次.
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用；一次函数的性质；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每台Go2四足机器人售价为x万元，每台G1人形机器人售价为y万元，根据 购买 6台Go2四足机器人和 5台G1人形机器人共需 57万元；5台G1人形机器人的售价比 11台Go2四足机器人贵 23万元. 即可得出方程组： 解方程组即可得出答案；
（2）设采购Go2四足机器人a台，则采购G1人形机器人(12-a)台，根据 科技馆计划采购两款机器人共 12台，采购总预算不超过 73万元. 即可得出不等式2a+9(12-a)≤73，解不等式得出5≤a≤12，再设设每日总服务人次为w，根据 每台Go2四足机器人每日可服务观众 150人次；每台G1人形机器人每日可服务观众 280人次. 可得出w=150a+280(12-a)=-130a+3360，进而根据一次函数的增减性，即可得出答案。
18．操作与推理
（1）利用圆规和无刻度直尺，求作△ABC的外接圆中 (BC下方)中点D；(保留作图痕迹，标明字母，不用写出作法和理由.)
（2）在(1)的条件下，连接AD交BC于点E，若AE=5， DE=4，连接BD，求BD的长.
【答案】（1）解：如图，作∠BAC的角平分线交△ABC的外接圆于点D，
∴∠BAD=∠CAD，
∴点D为△ABC的外接圆中 (BC下方)的中点，故点D即为所作
（2）解：如图，
由(1)知： ∠BAD=∠CAD，
又∵CD所对的圆周角为∠CAD、∠CBD，
∴∠CAD=∠CBD，
∴∠BAD=∠CBD，即∠BAD=∠EBD，
又∵∠BDA=∠EDB， AE=5， DE=4，
∴△DAB∽△DBE ， AD=AE+DE=5+4=9，
即BD的长为6.
【知识点】相似三角形的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据尺规作图，作∠BAC的平分线，交圆O于点D，点D即为所求作得点；
（2）根据圆周角定理的推论可得出∠CAD=∠CBD，进而得出∠BAD=∠EBD，再根据公共角∠BDA=∠EDB，即可根据AA可得出△DAB∽△DBE ，进而根据相似三角形的性质，可得出进一步计算即可；
19．综合与探究
关于二次函数 数学兴趣小组计划通过以下环节进行研究。
（1） 【特例研究】
当a=1时，二次函数为y1= ▲ ，并在图 1中的平面直角坐标系画出其函数图象；
当a=2时，二次函数为 其图象如图 1所示；
当 时，二次函数为 其图象如图 1所示；
（2）观察特例中的图象，并结合学习函数的经验，写出二次函数 的 2条特征。
（3） 【深入探究】
对于二次函数 当a<0， - 2≤x≤2时， y的最大值与最小值的差为 6，求 a的值；
（4）将 在-2≤x≤2间的图象记为 G，若图象 G与直线y=x+1有 2个交点，请求出a的取值范围。
【答案】（1）解：y1=x2-2x-3，
列表如下：
x ... -1 0 1 2 3 ...
y ... 0 -3 -4 -3 0 ...
描点法即可得出图象如图所示。
（2）解：①二次函数y=ax2-2ax-3a(a≠0)恒过点(-1， 0)， (3，0)
②二次函数y=ax2-2ax-3a(a≠0)的对称轴为直线x=1。
（3）解：∵a<0， - 2≤x≤2时，
∴当x=-2时， y最大值=a·(-2)2-2a·(-2)-3a=5a，
∵二次函数 的对称轴为直线x=1。
∴当x=1时， y最小值=a·12-2a·1-3a=-4a，
∴y最大值-最小值=-4a-5a=-9a=6，解得 a=-23。
（4）解：方法 1：
当a<0时，
当x=2时， y=2+1=3，即(2， 3) ，
将(2， 3)代入y=ax2-2ax-3a，解得a=-1。
当x=-2时， y=-2+1=-1，即(-2， - 1)，
将(-2， - 1)代入 解得
当图象 G与直线y=x+1只有 1个交点时，则
整理得
解得
结合图象可得 且
当a>0时，图象G与直线y=x+1只有 1个交点，为(-1， 0)，综上所述， - 1≤a≤15且a≠-14。
方法 2：
联立 整理得
∴[ax-(3a+1)](x+1)=0，
∴x1=3a+1a=3+1a， x2=-1
∵二次函数 恒过点(-1， 0)，且满足-2≤x≤2，结合图象可知-2≤x1≤2，即
解得： - 1≤a≤-15。
当图象 G与直线y=x+1只有 1个交点时，则
整理得
解得
综上所述， - 1≤a≤-15且a=-14。
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；列一元一次方程；作图-二次函数图象
【解析】【解答】解：（1）把a=1代入 二次函数 可得出y1=x2-2x-3；
故答案为：y1=x2-2x-3；
【分析】（1）把a=1代入 二次函数 可得出y1=x2-2x-3，再用描点法即可得出函数图象；
（2）根据二次函数的性质，写出2条特征即可；
（3）根据二次函数的图象与性质，确定y值得最大值与最小值，再列出方程求解即可；
（4）分两种情况：当a<0时；当a>0时，结合图像、函数图象上点的坐标特征及一元二次方程根的判断式求解即可。
20．综合与探究
【定义】如图 1，点O是 ABCD的对角线的交点，过点O作OM⊥BC， ON⊥AB，垂足分别为M、N.若ON≥OM时，我们称 是 ABCD的中心距比.
（1） 【概念理解】如图 2，当λ=1时，求证： ABCD是菱形；
（2）【性质探究】在图 1中， ABCD的中心距比 与其相邻两边比 是否存在某种关系 若有，求出这种关系；若没有，请说明理由；
（3）【拓展应用】如图 3，在矩形ABCD中(AD>AB)，其中心距比 O为对角线BD中点，E是BC边上一点，连接OE，作OF⊥OE交CD边于点F，若 求CE的值；
（4）如图 4， 点D是射线AP上一动点，点C是平面内一点.以A、B、C、D为顶点、AD为边的平行四边形的中心距比 点E在射线AP上，连接AC、BE，当 时，直接写出AE的长.
【答案】（1）证明：方法 1：
当λ=1时，则OM=ON，
∵ ABCD，
∴OA=OC，
在Rt△ANO和Rt△CMO中，
∴Rt△ANO≌Rt△CMO(HL)，
∴∠BAC=∠BCA.
∴BA=BC，
∴ ABCD是菱形.
方法 2：
∵ ABCD
∴OA=OC，
∵λ=1时， OM=ON，
∴AB=BC，
∴ ABCD是菱形.
（2）解：∵ ABCD
∴OA=OC，
（3）解：如图， 过点O作OM⊥BC， ON⊥CD，
∵矩形ABCD， BD=10，
∴AD=BC， AB=CD， ∠BCD=90°， OB=OD=OC=5，
∴设BC=4x， CD=AB=3x，
解得： x=2，
∴BC=8， CD=AB=6，
∵OB=OD=OC， OM⊥BC， ON⊥CD，
∵∠OMC=∠MCN=∠ONC=90°，
∴四边形OMCN是矩形，
∴∠MON=90°， OM=CN=3， ON=CM=4，
∴∠MON=∠EOF=90°，
∴∠MOE=∠NOF，
∴△MOE∽△NOF，
∴设FN=4t， ME=3t，
∴CF=CN+FN=3+4t， CE=CM-ME=4-3t，
解得：
（4）解：AE的长为 或 16或
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（4）由(2)可知，当λ=2时，平行四边形两相邻边的比为 2.
①如图 1，当AD=2AB时，过点B作BG⊥AD于点G，过点A作AH⊥CD延长线于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=5， AB∥CD，
∴AD=BC=10， ∠ADH=∠PAB，
在Rt△ABG中，
∴设BG=4a， AG=3a，
解得： a=1，
∴BG=4， AG=3，
同理可得， DH=6， AH=8，
∴CH=CD+DH=11，
∵∠AEB=∠ACD，
∴tan∠AEB=tan∠ACD，
②如图 2，当AB=2AD时，过点B作BG⊥AD于点G，过点A作AH⊥CD延长线于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=5， AB∥CD，
∴tan∠ADH=tan∠PAB，
同理可求，
由①可知， BG=4， AG=3，
∵∠AEB=∠ACD，
∴tan∠AEB=tan∠ACD，
∴EG=13，
∴AE=EG+AG=13+3=16；
③如图 3，当AC=2AD时，连接CD，过点D作DF⊥AB，
∴设DF=4a， AF=3a，
∴BD=AC=10a，
∵AB=AF+BF=5，
解得：
∵BD∥AC，
∴∠BDE=∠CAD，
又∵∠AEB=∠ACD，
∴△EDB∽△CAD，
∴DE=20a，
综上可知，AE的长为 或 16或
【分析】（1）方法1：当 λ=1时，则OM=ON，根据平行四边形的性质，证明Rt ΔANO≌Rt ΔCMO(HL)，则
ㄥBAC=ㄥBCA，从而得出BA=BC，即可得证；
方法2：根据平行四边形对角线互相平分，可得S△AOB=S△COB，再结合OM=ON，得到AB=BC，即可得证；
（2）根据平行四边形对角线互相平分，可得S△AOB =S△COB，从而得出AB.ON=BC.OM，进而推出λ，即可得解；
(3)过点O作OM⊥BC，ON⊥CD，设BC=4x，CD=AB=3x，利用勾股定理列方程，求出BC=8
，CD=AB=6，证明四边形OMCN是矩形，得到∠MON=90°，OM=CN=3，ON=CM=4，进而推出△MOE∽△NOF，设FN=4t，ME=3t，根据三角形面积公式列方程，求出t的值，即可得解；
（4）由(2)可知，当 时，平行四边形两相邻边的比为2，分三种情况讨论：①当AD=2AB时，过点B作BG⊥AD于点G，过点A作AH⊥CD延长线于点H；②当AB=2AD时，过点B作BG⊥AD于点G，过点A作AH⊥CD延长线于点H，利用角的正切值求解；③AC=2AD时，连接CD，过点D作DF⊥AB，利用相似三角形的性质求解即可。
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