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上海市金山区2025-2026学年第二学期质量监控高三数学试卷
1．不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由，
则原不等式的解集为.
故答案为：.
【分析】利用绝对值不等式求解方法，从而得出不等式的解集.
2．已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数　 　．
【答案】
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：由复数为纯虚数，
则，
解得.
故答案为：-2.
【分析】利用纯虚数的判断方法，从而建立方程组得出实数m的值.
3．将化成有理数指数幂的形式为　 　．
【答案】
【知识点】根式与有理数指数幂的互化
【解析】【解答】解：．
故答案为：.
【分析】由根式与指数幂的互化公式，从而得出化为有理数指数幂的形式．
4．设若是的充分条件，则实数的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】充分条件
【解析】【解答】解：，，
若是的充分条件，
则，
所以，
因此，实数的取值范围是.
故答案为.
【分析】由题意结合充分条件的判断方法，从而得出，再利用集合间的包含关系，从而借助数轴得出实数的取值范围.
5．已知角为第四象限角，且，则　 　．
【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：，，
，
，
为第四象限角，
，
.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和三角函数值在各象限的符号以及同角三角函数基本关系式，从而得出的值.
6．已知等差数列，，1，…，则该数列的第20项为　 　．
【答案】
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：不妨取，
所以，等差数列公差，
则等差数列通项公式为：，
所以，
则该数列的第20项为．
故答案为：35.
【分析】根据等差数列定义，从而计算出公差，再利用等差数列的通项公式得到通项，再根据代入法得出该数列的第20项．
7．已知随机变量的分布为，则期望　 　．
【答案】2
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由，
解得，
所以.
故答案为：2.
【分析】利用随机变量分布列的性质得出a的值，再利用随机变量分布列求数学期望公式，从而得出期望的值.
8．若甲乙丙丁四人组成接力队参加米接力赛，则甲不跑中间两棒的排法共有　 　种．
【答案】12
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：先安排甲的位置，有种排法；
再安排其余3人的位置，有种排法，
根据分步乘法计数原理，
满足条件的排法有种.
故答案为：12.
【分析】利用已知条件和排列数公式，再利用分步乘法计数原理，从而得出甲不跑中间两棒的排法共有的种数.
9．已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为　 　．
【答案】16
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，
则，
所以，
因为，
所以
，
当且仅当时，即当时，此时，符合题意，
则当时，的最小值16.
故答案为：16.
【分析】利用已知条件和判别式法、韦达定理得出实数a的取值范围，再利用“1”的代换和基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
10．已知在中，．若点为外接圆的圆心，则　 　．
【答案】
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：，，
，
取的中点，连接，
点为外接圆的圆心，
，
.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和余弦定理求出的长，再利用三角形外接圆的中点的性质，从而得到，再利用数量积的定义，从而求出的值.
11．已知是数列的前项和，且，且．若，则　 　．
【答案】
【知识点】导数的四则运算；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：因为，
，
，
，
.
所以.
设，
则，
所以，
则.
故答案为：-64.
【分析】利用的关系式，从而得出函数f(x)的解析式，设，则，再利用导数的运算法则，从而代入得出的值.
12．申辉中学某个数学建模小组发现：人走路时，启动或者停下的瞬间，手中水平拿着的杯子里的水可能会被晃动得溢出杯口. 查询资料后发现：液面和水平面的夹角与人走路的加速度以及重力加速度有关，满足关系：，其中. 若甲同学走路启动瞬间的加速度为，手中水平拿着一个底面边长为4cm和6cm，高为14cm的长方体形状的杯子，则杯中最多装　 　的水，存在甲同学走路启动的瞬间杯中水不溢出的可能.
【答案】
【知识点】柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：当沿着最短的朝向也就是当人沿着杯子底面4cm长的边所在方向加速时，
杯内液面的高度差为cm，
此时杯中不溢出的最大水量为；
当沿着其他方向加速时，因为水面要向更远的地方“爬”，在同样的倾斜角度下上升的高度会更高，
比如当沿着6cm长的边所在的方向加速时，杯内液面的高度差为cm，
此时杯中不溢出的最大水量为，
所以杯中最多装的水.
故答案为：321.6.
【分析】利用已知条件和柱体的结构特征以及几何法求最值的方法，从而得出杯中最多装的水量.
13．为了了解申辉中学所有学生的每天平均体育运动时间，随机调查了该校100名学生，发现他们每天平均体育运动时间为h．这里的总体是（　　）
A．该校所有学生
B．该校所有学生的每天平均体育运动时间
C．所调查的100名学生
D．所调查的100名学生的每天平均体育运动时间
【答案】B
【知识点】总体与个体
【解析】【解答】解：根据总体的概念，
可得这里的总体是该校所有学生的每天平均体育运动时间.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和总体的定义，从而找出正确的选项.
14．函数是（　　）
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为，
又因为，
所以，最小正周期为，
设，，
则为奇函数.
故答案为：A.
【分析】利用诱导公式结合正弦型函数的最小正周期公式，从而得出函数的最小正周期，再利用函数奇偶性定义，从而判断出函数的奇偶性，进而找出正确的选项.
15．已知椭圆，双曲线，其中（），点、为椭圆的两个焦点，点是双曲线上一动点．若双曲线的两条渐近线夹角的余弦值等于，则使得为直角三角形的点有（　　）个
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：因为双曲线的渐近线方程为，
设渐近线的倾斜角为，
则，
，
，
，
，
两条渐近线的夹角为，
，
，
，
，
，
，
因为椭圆，，
又点、为椭圆的两个焦点，
，
当时，以为直径的圆的方程为，
因为双曲线，
将代入，
得到，
解得，
联立，
将代入，
得到，
解得，
将代入，
解得，
则有个点满足；
当时，
过的直线为，
将代入双曲线，
得到，
解得，
则有个点满足；
当时，
过的直线为，
将代入双曲线，
得到，
解得，
则有个点满足；
综上可知，使得为直角三角形的点有个.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和双曲线的渐近线方程以及直线的斜率和直线倾斜角的关系式，从而得出双曲线渐近线倾斜角的取值范围，再利用二倍角的余弦公式和同角三角函数基本关系式以及直线的斜率和直线倾斜角的关系式，从而得出a，b的关系式，进而得出椭圆焦点坐标，再利用分类讨论的方法和圆与椭圆的关系、直线与双曲线的关系，从而得出使得为直角三角形的点P的个数.
16．已知全集是一个六元集合，任取的两个子集、（、可以相等），记事件；记事件．则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：因为全集是一个六元集合，
所以，任取的两个子集、，能形成对集合，
则基本事件总数为.
在集合中任一元素，满足事件，有以下三种情况：
且，
所以所含基本事件个数；
在集合中任一元素满足事件，有以下三种情况：
且，
所以所含基本事件个数为，
因为事件表示且同时成立，
所以，此时可以是的任意子集，有个，
则事件所含基本事件有个，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合子集的定义，从而得出基本事件总数，再利用分类讨论的方法和集合间的包含关系以及元素与集合的关系，从而得出集合所含基本事件个数和集合所含基本事件个数，再利用事件表示且同时成立，则，此时可以是的任意子集，再利用互斥事件加法求概率公式，从而得出的值.
17．绝对零度（）是一个只能逼近而不能达到的最低温度，那么这个数据是如何测得的？吕同学通过查询资料，知道：①气体温度和气体压强存在线性关系；②当气体压强为0（）时，气体温度达到绝对零度．以下是吕同学在一次模拟实验时，测得某种气体温度和气体压强的相关数据：
数据 1 2 3 4 5 6
温度（） 4.07 16.69 29.42 45.67 57.06 73.05
压强（） 103.095 107.734 112.461 118.469 122.706 128.758
（1）求该模拟实验中，该气体温度的平均值和方差；（精确到0.01）
（2）若该次实验下气体压强关于气体温度的回归方程为，预估该次实验下绝对零度的数值；（精确到0.01）
（3）为了验证实验的普适性，吕同学利用不同气体预估绝对零度，得到如下的一组数据．若任取其中的2个数据，求该两个数据与绝对零度（）的误差均小于1的概率．
绝对零度（） 275.13 274.56 274.28 273.57 272.45 271.67
【答案】（1）解：（），
.
（2）解：因为
将，代入，
解得，
所以，回归方程为，
令，
解得（），
预估该次实验下绝对零度的数值为.
（3）解：因为，，
，，
，，
所以，只有，两个数据与绝对零度（）的误差小于1，
所以.
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；回归分析的初步应用；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据表中数据和平均值公式、方差公式，从而得出该气体温度的平均值和方差.
（2）利用平均数公式，从而求出中心点坐标，再代入线性回归方程求出的值，再令，从而预估该次实验下绝对零度的数值.
（3）根据表中数据和绝对值不等式结合古典概率公式，再借助组合数公式，从而得出该两个数据与绝对零度（）的误差均小于1的概率．
（1）（），
.
（2），
将，即代入，
解得，所以回归方程为，
令，解得（），
预估该次实验下绝对零度的数值为.
（3）因为，，
，，
，，
所以只有，两个数据与绝对零度（）的误差小于1，
所以
18．已知长方形中，，点、分别为边、的中点（如图1）．若将长方形沿着边翻折，得到二面角（如图2）．已知二面角的大小为．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的大小．（结果用反三角表示）
【答案】（1）证明：在长方形中，，
在折叠过程中，，
因为平面，平面，
所以平面，
同理可得，平面，
又因为，平面，
所以平面平面.
（2）解：因为长方形中，点、分别为边、的中点，
所以，
则二面角的平面角为，即，
又因为，
所以，
则为等边三角形，
同理可得为等边三角形，
取的中点，连接，
则⊥，
因为⊥平面，平面，
所以⊥，
又因为，平面，
所以⊥平面，
则直线与平面所成角为，
所以，，
则，
由勾股定理，得，
则，
所以，直线与平面所成角的大小为.
【知识点】反三角函数；平面与平面平行的判定；直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【分析】（1）由长方形的结构特征和折叠的方法，从而得出线线平行，再利用线线平行得到线面平行，再利用线面平行证出面面平行.
（2）利用长方形的结构特征和中点的性质，从而得出线线垂直，进而得出二面角的平面角，再利用等边三角形的定义，从而得出为等边三角形，同理可得为等边三角形，再利用等边三角形三线合一得出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，从而得出直线与平面所成角，再根据勾股定理和正切函数的定义，从而借助反三角函数求出直线与平面所成角的大小.
（1）因为长方形中，，折叠过程中，，
又平面，平面，故平面，
同理可得平面，
又，平面，所以平面平面；
（2）因为长方形中，点、分别为边、的中点，
故，二面角的平面角为，即，
又，所以，为等边三角形，
同理可得为等边三角形，
取的中点，连接，则⊥，
又⊥平面，平面，故⊥，
因为，平面，故⊥平面，
故直线与平面所成角为，
，，故，由勾股定理得，
则，
直线与平面所成角的大小为.
19．已知函数，其中．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，其中，若存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：由，
可得，
因为为严格单调递增函数，且，
所以，
解得，
所以实数的取值范围为.
（2）解：因为，
所以，，
由，
可得，，
当时，，在上单调递增，不合题意；
当时，，
则当或时，，
当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值，
此时，不存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点；
当时，，
则当或时，，
当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值，
则的极小值，
当时，，
所以存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点.
综上所述，实数的取值范围.
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系；函数极限
【解析】【分析】（1）根据已知条件和函数的单调性以及函数的定义域，从而列出不等式组求解得出实数m的取值范围.
（2）先求出导函数，再利用分类讨论的方法，根据导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的极值，再结合函数求极限的方法，从而得出直线与函数的图象的交点个数，再利用已知条件得出实数a的取值范围.
（1）由可得，
又为严格单调递增函数，且，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
（2）因为，
所以，，
由可得，，
当时，，在上单调递增，不合题意；
当时，，故当或时，，
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值，
此时，不存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点；
当时，，故当或时，，
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值，
故的极小值，又当时，，
所以存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点.
综上，实数的取值范围.
20．已知抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上一动点，点为坐标原点．
（1）若，求点的坐标；
（2）若直线与抛物线只有一个交点，求直线的方程；
（3）若，过点作圆的两条切线，交准线于、两点，求的取值范围．
【答案】（1）解：由，可知，
因为，
所以，
则，
解得，
代入抛物线方程，
则，
所以，点的坐标为或.
（2）解：联立方程，
可得，
则，
因为只有一个交点，
所以，
即当时，方程只有一解，满足题意，此时直线；
当时，则需，
解得，此时直线，
综上所述，直线的方程为和.
（3）解：设，
由题意，则切线与准线相交，
所以，切线的斜率存在，
设切线方程为，即，
由圆，知圆心，半径，
所以，
即，
设，
将代入切线方程，
可得，
所以，
（其中分别是的斜率）
所以，
又因为，
令，则
令，则，
所以
因为，
所以，
则，
所以，的取值范围为.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线方程得出焦点坐标，再利用已知条件和两点距离公式以及代入法，从而得出点P的坐标.
（2）联立直线方程和抛物线方程，再利用已知条件和判别式法得出的值，再利用分类讨论的方法额判别式法，从而得出直线的方程.
（3）设过点P的切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，从而求出关于直线斜率的方程，再由弦长公式表示，再利用两点求斜率公式和韦达定理化简，再结合换元法和弦长公式以及函数求最值的方法，从而得出的取值范围.
（1）由可知，
因为，所以，
即，解得，
代入抛物线方程，，
所以点的坐标为或.
（2）联立方程，可得，即，
因为只有一个交点，
所以，即时，方程只有一解，满足题意，此时；
当时，则需，解得，
此时.
综上，直线的方程为和.
（3）设，
由题意，切线与准线相交，故切线的斜率存在，设切线方程为，
即，
由圆知，圆心，半径，
所以，即，
设，
代入切线方程可得，，
所以，（其中分别是的斜率）
所以，
又，
令，则，
令，则，
所以，
因为，所以，所以，
故求的取值范围为.
21．若函数，其值域为．若，则称函数在区间上为封闭函数．
（1）已知，判断函数是否在区间上为封闭函数，并说明理由；
（2）已知，若函数在区间上不为单调函数，但在区间上为封闭函数，求的最大值；
（3）已知函数在区间上连续且为封闭函数，且对于任意的、，都有成立．若数列满足，且，证明：存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有．
【答案】（1）解：由，
由，得，
则，
所以，
则，
所以，函数在区间上为封闭函数.
（2）解：由，，
因为函数的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线，
根据题意，则在区间上不为单调函数，得，
则函数在区间单调递减，在区间单调递增，
所以，，
由函数在区间上为封闭函数，
则，
所以，即
则，
所以，
则，
所以，的最大值为.
（3）证明：由函数在区间上连续且为封闭函数，
令，
则函数在区间上连续，
所以，函数在区间上为封闭函数，
则，，
所以，，
由函数在区间上连续，且，
则存在，使得，即，
假设存在，且，
使得，，
则，
又因为任意的、，都有成立，
所以矛盾，
则存在唯一的常数，使得，
因为数列满足，且，
当，则，
那么，，
可知数列中的，且，
由，
则，
所以，
由，
得，
则，
所以，
则存在唯一常数，使得，且对于任意的，
都有．
【知识点】集合间关系的判断；函数的最大（小）值；其他不等式的解法；数列的极限；反证法的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件和不等式的性质，从而得出函数的值域，再利用集合间的包含关系和封闭函数的定义，从而判断出函数在区间上为封闭函数.
（2）由二次函数的开口方向和对称性以及单调性，从而得出a，b的不等关系，再利用函数求最值的方法和封闭函数的定义，从而得出b-a的最大值.
（3）先利用封闭函数的定义和零点存在性定理证明存在性，再用反证法证明唯一性，再根据证出存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有．
（1）由，
由，得，从而有，即得，
即，
从而函数在区间上为封闭函数；
（2）由，，
函数的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线，
根据题意在区间上不为单调函数，得，
从而函数在区间单调递减，在区间单调递增，
从而，，
由函数在区间上为封闭函数，即有，
从而，即，
那么，即得，
即的最大值为；
（3）由函数在区间上连续且为封闭函数，令，
从而函数在区间上连续，
函数在区间上为封闭函数，
从而，，即有，，
由函数在区间上连续，且，
故存在，使得，即，
假设存在，且，使得，，
则，
又因为任意的、，都有成立，
所以矛盾，
所以存在唯一的常数，使得，
数列满足，且，
当，那么，那么，，
可知数列中的，且，
那么由，则，
，
由，所以，
则，即有.
故存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有．
1 / 1上海市金山区2025-2026学年第二学期质量监控高三数学试卷
1．不等式的解集为　 　．
2．已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数　 　．
3．将化成有理数指数幂的形式为　 　．
4．设若是的充分条件，则实数的取值范围是　 　.
5．已知角为第四象限角，且，则　 　．
6．已知等差数列，，1，…，则该数列的第20项为　 　．
7．已知随机变量的分布为，则期望　 　．
8．若甲乙丙丁四人组成接力队参加米接力赛，则甲不跑中间两棒的排法共有　 　种．
9．已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为　 　．
10．已知在中，．若点为外接圆的圆心，则　 　．
11．已知是数列的前项和，且，且．若，则　 　．
12．申辉中学某个数学建模小组发现：人走路时，启动或者停下的瞬间，手中水平拿着的杯子里的水可能会被晃动得溢出杯口. 查询资料后发现：液面和水平面的夹角与人走路的加速度以及重力加速度有关，满足关系：，其中. 若甲同学走路启动瞬间的加速度为，手中水平拿着一个底面边长为4cm和6cm，高为14cm的长方体形状的杯子，则杯中最多装　 　的水，存在甲同学走路启动的瞬间杯中水不溢出的可能.
13．为了了解申辉中学所有学生的每天平均体育运动时间，随机调查了该校100名学生，发现他们每天平均体育运动时间为h．这里的总体是（　　）
A．该校所有学生
B．该校所有学生的每天平均体育运动时间
C．所调查的100名学生
D．所调查的100名学生的每天平均体育运动时间
14．函数是（　　）
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
15．已知椭圆，双曲线，其中（），点、为椭圆的两个焦点，点是双曲线上一动点．若双曲线的两条渐近线夹角的余弦值等于，则使得为直角三角形的点有（　　）个
A．3 B．4 C．6 D．8
16．已知全集是一个六元集合，任取的两个子集、（、可以相等），记事件；记事件．则（　　）
A． B． C． D．
17．绝对零度（）是一个只能逼近而不能达到的最低温度，那么这个数据是如何测得的？吕同学通过查询资料，知道：①气体温度和气体压强存在线性关系；②当气体压强为0（）时，气体温度达到绝对零度．以下是吕同学在一次模拟实验时，测得某种气体温度和气体压强的相关数据：
数据 1 2 3 4 5 6
温度（） 4.07 16.69 29.42 45.67 57.06 73.05
压强（） 103.095 107.734 112.461 118.469 122.706 128.758
（1）求该模拟实验中，该气体温度的平均值和方差；（精确到0.01）
（2）若该次实验下气体压强关于气体温度的回归方程为，预估该次实验下绝对零度的数值；（精确到0.01）
（3）为了验证实验的普适性，吕同学利用不同气体预估绝对零度，得到如下的一组数据．若任取其中的2个数据，求该两个数据与绝对零度（）的误差均小于1的概率．
绝对零度（） 275.13 274.56 274.28 273.57 272.45 271.67
18．已知长方形中，，点、分别为边、的中点（如图1）．若将长方形沿着边翻折，得到二面角（如图2）．已知二面角的大小为．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的大小．（结果用反三角表示）
19．已知函数，其中．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，其中，若存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点，求实数的取值范围．
20．已知抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上一动点，点为坐标原点．
（1）若，求点的坐标；
（2）若直线与抛物线只有一个交点，求直线的方程；
（3）若，过点作圆的两条切线，交准线于、两点，求的取值范围．
21．若函数，其值域为．若，则称函数在区间上为封闭函数．
（1）已知，判断函数是否在区间上为封闭函数，并说明理由；
（2）已知，若函数在区间上不为单调函数，但在区间上为封闭函数，求的最大值；
（3）已知函数在区间上连续且为封闭函数，且对于任意的、，都有成立．若数列满足，且，证明：存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有．
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由，
则原不等式的解集为.
故答案为：.
【分析】利用绝对值不等式求解方法，从而得出不等式的解集.
2．【答案】
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：由复数为纯虚数，
则，
解得.
故答案为：-2.
【分析】利用纯虚数的判断方法，从而建立方程组得出实数m的值.
3．【答案】
【知识点】根式与有理数指数幂的互化
【解析】【解答】解：．
故答案为：.
【分析】由根式与指数幂的互化公式，从而得出化为有理数指数幂的形式．
4．【答案】
【知识点】充分条件
【解析】【解答】解：，，
若是的充分条件，
则，
所以，
因此，实数的取值范围是.
故答案为.
【分析】由题意结合充分条件的判断方法，从而得出，再利用集合间的包含关系，从而借助数轴得出实数的取值范围.
5．【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：，，
，
，
为第四象限角，
，
.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和三角函数值在各象限的符号以及同角三角函数基本关系式，从而得出的值.
6．【答案】
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：不妨取，
所以，等差数列公差，
则等差数列通项公式为：，
所以，
则该数列的第20项为．
故答案为：35.
【分析】根据等差数列定义，从而计算出公差，再利用等差数列的通项公式得到通项，再根据代入法得出该数列的第20项．
7．【答案】2
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由，
解得，
所以.
故答案为：2.
【分析】利用随机变量分布列的性质得出a的值，再利用随机变量分布列求数学期望公式，从而得出期望的值.
8．【答案】12
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：先安排甲的位置，有种排法；
再安排其余3人的位置，有种排法，
根据分步乘法计数原理，
满足条件的排法有种.
故答案为：12.
【分析】利用已知条件和排列数公式，再利用分步乘法计数原理，从而得出甲不跑中间两棒的排法共有的种数.
9．【答案】16
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，
则，
所以，
因为，
所以
，
当且仅当时，即当时，此时，符合题意，
则当时，的最小值16.
故答案为：16.
【分析】利用已知条件和判别式法、韦达定理得出实数a的取值范围，再利用“1”的代换和基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
10．【答案】
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：，，
，
取的中点，连接，
点为外接圆的圆心，
，
.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和余弦定理求出的长，再利用三角形外接圆的中点的性质，从而得到，再利用数量积的定义，从而求出的值.
11．【答案】
【知识点】导数的四则运算；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：因为，
，
，
，
.
所以.
设，
则，
所以，
则.
故答案为：-64.
【分析】利用的关系式，从而得出函数f(x)的解析式，设，则，再利用导数的运算法则，从而代入得出的值.
12．【答案】
【知识点】柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：当沿着最短的朝向也就是当人沿着杯子底面4cm长的边所在方向加速时，
杯内液面的高度差为cm，
此时杯中不溢出的最大水量为；
当沿着其他方向加速时，因为水面要向更远的地方“爬”，在同样的倾斜角度下上升的高度会更高，
比如当沿着6cm长的边所在的方向加速时，杯内液面的高度差为cm，
此时杯中不溢出的最大水量为，
所以杯中最多装的水.
故答案为：321.6.
【分析】利用已知条件和柱体的结构特征以及几何法求最值的方法，从而得出杯中最多装的水量.
13．【答案】B
【知识点】总体与个体
【解析】【解答】解：根据总体的概念，
可得这里的总体是该校所有学生的每天平均体育运动时间.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和总体的定义，从而找出正确的选项.
14．【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为，
又因为，
所以，最小正周期为，
设，，
则为奇函数.
故答案为：A.
【分析】利用诱导公式结合正弦型函数的最小正周期公式，从而得出函数的最小正周期，再利用函数奇偶性定义，从而判断出函数的奇偶性，进而找出正确的选项.
15．【答案】C
【知识点】圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：因为双曲线的渐近线方程为，
设渐近线的倾斜角为，
则，
，
，
，
，
两条渐近线的夹角为，
，
，
，
，
，
，
因为椭圆，，
又点、为椭圆的两个焦点，
，
当时，以为直径的圆的方程为，
因为双曲线，
将代入，
得到，
解得，
联立，
将代入，
得到，
解得，
将代入，
解得，
则有个点满足；
当时，
过的直线为，
将代入双曲线，
得到，
解得，
则有个点满足；
当时，
过的直线为，
将代入双曲线，
得到，
解得，
则有个点满足；
综上可知，使得为直角三角形的点有个.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和双曲线的渐近线方程以及直线的斜率和直线倾斜角的关系式，从而得出双曲线渐近线倾斜角的取值范围，再利用二倍角的余弦公式和同角三角函数基本关系式以及直线的斜率和直线倾斜角的关系式，从而得出a，b的关系式，进而得出椭圆焦点坐标，再利用分类讨论的方法和圆与椭圆的关系、直线与双曲线的关系，从而得出使得为直角三角形的点P的个数.
16．【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：因为全集是一个六元集合，
所以，任取的两个子集、，能形成对集合，
则基本事件总数为.
在集合中任一元素，满足事件，有以下三种情况：
且，
所以所含基本事件个数；
在集合中任一元素满足事件，有以下三种情况：
且，
所以所含基本事件个数为，
因为事件表示且同时成立，
所以，此时可以是的任意子集，有个，
则事件所含基本事件有个，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合子集的定义，从而得出基本事件总数，再利用分类讨论的方法和集合间的包含关系以及元素与集合的关系，从而得出集合所含基本事件个数和集合所含基本事件个数，再利用事件表示且同时成立，则，此时可以是的任意子集，再利用互斥事件加法求概率公式，从而得出的值.
17．【答案】（1）解：（），
.
（2）解：因为
将，代入，
解得，
所以，回归方程为，
令，
解得（），
预估该次实验下绝对零度的数值为.
（3）解：因为，，
，，
，，
所以，只有，两个数据与绝对零度（）的误差小于1，
所以.
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；回归分析的初步应用；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据表中数据和平均值公式、方差公式，从而得出该气体温度的平均值和方差.
（2）利用平均数公式，从而求出中心点坐标，再代入线性回归方程求出的值，再令，从而预估该次实验下绝对零度的数值.
（3）根据表中数据和绝对值不等式结合古典概率公式，再借助组合数公式，从而得出该两个数据与绝对零度（）的误差均小于1的概率．
（1）（），
.
（2），
将，即代入，
解得，所以回归方程为，
令，解得（），
预估该次实验下绝对零度的数值为.
（3）因为，，
，，
，，
所以只有，两个数据与绝对零度（）的误差小于1，
所以
18．【答案】（1）证明：在长方形中，，
在折叠过程中，，
因为平面，平面，
所以平面，
同理可得，平面，
又因为，平面，
所以平面平面.
（2）解：因为长方形中，点、分别为边、的中点，
所以，
则二面角的平面角为，即，
又因为，
所以，
则为等边三角形，
同理可得为等边三角形，
取的中点，连接，
则⊥，
因为⊥平面，平面，
所以⊥，
又因为，平面，
所以⊥平面，
则直线与平面所成角为，
所以，，
则，
由勾股定理，得，
则，
所以，直线与平面所成角的大小为.
【知识点】反三角函数；平面与平面平行的判定；直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【分析】（1）由长方形的结构特征和折叠的方法，从而得出线线平行，再利用线线平行得到线面平行，再利用线面平行证出面面平行.
（2）利用长方形的结构特征和中点的性质，从而得出线线垂直，进而得出二面角的平面角，再利用等边三角形的定义，从而得出为等边三角形，同理可得为等边三角形，再利用等边三角形三线合一得出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，从而得出直线与平面所成角，再根据勾股定理和正切函数的定义，从而借助反三角函数求出直线与平面所成角的大小.
（1）因为长方形中，，折叠过程中，，
又平面，平面，故平面，
同理可得平面，
又，平面，所以平面平面；
（2）因为长方形中，点、分别为边、的中点，
故，二面角的平面角为，即，
又，所以，为等边三角形，
同理可得为等边三角形，
取的中点，连接，则⊥，
又⊥平面，平面，故⊥，
因为，平面，故⊥平面，
故直线与平面所成角为，
，，故，由勾股定理得，
则，
直线与平面所成角的大小为.
19．【答案】（1）解：由，
可得，
因为为严格单调递增函数，且，
所以，
解得，
所以实数的取值范围为.
（2）解：因为，
所以，，
由，
可得，，
当时，，在上单调递增，不合题意；
当时，，
则当或时，，
当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值，
此时，不存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点；
当时，，
则当或时，，
当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值，
则的极小值，
当时，，
所以存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点.
综上所述，实数的取值范围.
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系；函数极限
【解析】【分析】（1）根据已知条件和函数的单调性以及函数的定义域，从而列出不等式组求解得出实数m的取值范围.
（2）先求出导函数，再利用分类讨论的方法，根据导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的极值，再结合函数求极限的方法，从而得出直线与函数的图象的交点个数，再利用已知条件得出实数a的取值范围.
（1）由可得，
又为严格单调递增函数，且，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
（2）因为，
所以，，
由可得，，
当时，，在上单调递增，不合题意；
当时，，故当或时，，
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值，
此时，不存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点；
当时，，故当或时，，
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值，
故的极小值，又当时，，
所以存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点.
综上，实数的取值范围.
20．【答案】（1）解：由，可知，
因为，
所以，
则，
解得，
代入抛物线方程，
则，
所以，点的坐标为或.
（2）解：联立方程，
可得，
则，
因为只有一个交点，
所以，
即当时，方程只有一解，满足题意，此时直线；
当时，则需，
解得，此时直线，
综上所述，直线的方程为和.
（3）解：设，
由题意，则切线与准线相交，
所以，切线的斜率存在，
设切线方程为，即，
由圆，知圆心，半径，
所以，
即，
设，
将代入切线方程，
可得，
所以，
（其中分别是的斜率）
所以，
又因为，
令，则
令，则，
所以
因为，
所以，
则，
所以，的取值范围为.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线方程得出焦点坐标，再利用已知条件和两点距离公式以及代入法，从而得出点P的坐标.
（2）联立直线方程和抛物线方程，再利用已知条件和判别式法得出的值，再利用分类讨论的方法额判别式法，从而得出直线的方程.
（3）设过点P的切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，从而求出关于直线斜率的方程，再由弦长公式表示，再利用两点求斜率公式和韦达定理化简，再结合换元法和弦长公式以及函数求最值的方法，从而得出的取值范围.
（1）由可知，
因为，所以，
即，解得，
代入抛物线方程，，
所以点的坐标为或.
（2）联立方程，可得，即，
因为只有一个交点，
所以，即时，方程只有一解，满足题意，此时；
当时，则需，解得，
此时.
综上，直线的方程为和.
（3）设，
由题意，切线与准线相交，故切线的斜率存在，设切线方程为，
即，
由圆知，圆心，半径，
所以，即，
设，
代入切线方程可得，，
所以，（其中分别是的斜率）
所以，
又，
令，则，
令，则，
所以，
因为，所以，所以，
故求的取值范围为.
21．【答案】（1）解：由，
由，得，
则，
所以，
则，
所以，函数在区间上为封闭函数.
（2）解：由，，
因为函数的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线，
根据题意，则在区间上不为单调函数，得，
则函数在区间单调递减，在区间单调递增，
所以，，
由函数在区间上为封闭函数，
则，
所以，即
则，
所以，
则，
所以，的最大值为.
（3）证明：由函数在区间上连续且为封闭函数，
令，
则函数在区间上连续，
所以，函数在区间上为封闭函数，
则，，
所以，，
由函数在区间上连续，且，
则存在，使得，即，
假设存在，且，
使得，，
则，
又因为任意的、，都有成立，
所以矛盾，
则存在唯一的常数，使得，
因为数列满足，且，
当，则，
那么，，
可知数列中的，且，
由，
则，
所以，
由，
得，
则，
所以，
则存在唯一常数，使得，且对于任意的，
都有．
【知识点】集合间关系的判断；函数的最大（小）值；其他不等式的解法；数列的极限；反证法的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件和不等式的性质，从而得出函数的值域，再利用集合间的包含关系和封闭函数的定义，从而判断出函数在区间上为封闭函数.
（2）由二次函数的开口方向和对称性以及单调性，从而得出a，b的不等关系，再利用函数求最值的方法和封闭函数的定义，从而得出b-a的最大值.
（3）先利用封闭函数的定义和零点存在性定理证明存在性，再用反证法证明唯一性，再根据证出存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有．
（1）由，
由，得，从而有，即得，
即，
从而函数在区间上为封闭函数；
（2）由，，
函数的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线，
根据题意在区间上不为单调函数，得，
从而函数在区间单调递减，在区间单调递增，
从而，，
由函数在区间上为封闭函数，即有，
从而，即，
那么，即得，
即的最大值为；
（3）由函数在区间上连续且为封闭函数，令，
从而函数在区间上连续，
函数在区间上为封闭函数，
从而，，即有，，
由函数在区间上连续，且，
故存在，使得，即，
假设存在，且，使得，，
则，
又因为任意的、，都有成立，
所以矛盾，
所以存在唯一的常数，使得，
数列满足，且，
当，那么，那么，，
可知数列中的，且，
那么由，则，
，
由，所以，
则，即有.
故存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有．
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