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铁人中学2024级高二下学期月考考试数学试题
试题说明：1、本试题满分150分，答题时间120分钟.
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡.
第Ⅰ卷 选择题部分
一、单项选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）
1．在的展开式中，项的系数为（ ）
A．1 B．10 C．40 D．80
2．已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（ ）
A．22.5% B．30% C．40% D．45%
3．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
4．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是（ ）
A．70 B．58 C．64 D．62
5．若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数在处有极大值，则（ ）
A． B． C．2 D．6
7．已知函数.若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设，，，则a，b，c之间的大小关系为（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．已知，且展开式中所有的二项式系数和为，则（ ）
A． B．
C． D．
10．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（ ）
A．课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有24种
B．课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有360种
C．课程“数”不排在第一天，“礼”不排在最后一天的不同排法共有504种
D．课程“御”和“书”不相邻且课程“数”和“书”不相邻的不同排法共有288种
11．定义：设是的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数，则下列说法中正确的有（ ）
A．的对称中心为
B．若关于x的方程有三解，则
C．若在上有极小值，则
D．若在上的最大值、最小值分别为，则
第Ⅱ卷 非选择题部分
三、填空题(本题包括3小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在答题卡中横线上)
12．现有甲、乙等5人需在五一假期值班3天，每天至少有1人值班，且每人只值班1天.若要求甲、乙在同一天值班，则不同的安排方案有______种.（用数字作答）
13．三个罐子分别编号为1，2，3，其中1号罐中装有2个红球和1个黑球，2号罐中装有3个红球和1个黑球，3号罐中装有2个红球和2个黑球，若某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率_______.
14．已知对于，都有，则的最大值为___________．
四、解答题(本题共6小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．在的展开式中，
(1)求二项式系数最大的项；
(2)若第项是有理项，求的取值集合；
(3)系数最大的项是第几项.
16．已知函数．
(1)若是函数的极值点，求在处的切线方程．
(2)若，求在区间上最大值．
17．某工厂生产一种零件，该零件的质量分为三个等级：一等品、二等品和次品．根据历史数据，该工厂生产一等品、二等品和次品的概率分别为0.7，0.2和0.1．现对一批刚生产出来的零件进行质量检测，检测方式分为两种：自动检测和人工抽检，自动检测能将一等品全部正确识别，但有5%的概率将二等品误判为次品，有15%的概率将二等品误判为一等品，也有10%的概率将次品误判为二等品．
(1)求自动检测判断零件为次品的概率．
(2)求在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率．
(3)假设零件先经过自动检测，若判断为一等品，则进行人工抽检；若判断为二等品或次品，则直接淘汰．求人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率．
18．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个不同的零点，，求的取值范围．
19．定义“下凸函数”：在区间上，对任意，均有，当且仅当时，等号成立．若函数在区间上存在二阶可导函数，则为区间上的“下凸函数”的充要条件是（为的导函数）．
(1)若是上的“下凸函数”，求实数的取值范围；
(2)证明：函数在上为“下凸函数”；
(3)已知正实数满足，求的最小值（用含的代数式表示）．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D C D B C A C A BCD BCD AB
12．36
13．
14．
15．（1），
二项式系数最大的项为中间项，即第5项，
所以.
（2），
当为整数时为有理项，
即，
则的取值集合为；
（3）设第项的系数最大，
则，
所以，解得，
故系数最大的项为第6项和第7项.
16．（1），
又是函数的极值点，
∴，即
检验x=1是极值点成立，∴
∴，
∴，
在处的切线方程为，即，
所以在处的切线方程是
（2），令，得，
∴在单调递减，在单调递增
而，
①当，即时，
②当，即时，
综上，当时，；
当时，
17．（1）设事件表示“零件是次品”，表示“自动检测判断零件为次品”，
事件分别表示零件是一等品、二等品，
则．
（2）由（1）知，则．
所以在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率为
（3）设事件表示“零件需要进行人工抽检”，表示“人工抽检的零件为一等品”，
则，，
所以人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率为
．
18．（1）函数的定义域为，，
当时，由，得或，由，解得，
函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
当时，由，得或，由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，由，得，由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
综上所述；当时，函数的区间在上分别单调递增，在区间上单调递减；
当时，函数在单调递增；
当时，函数区间在上分别单调递增，在区间单调递减；
当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
（3）依题意，，
由，得，记，求导得，
当时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，且，当时恒成立，
因此要使有两个零点，即直线与函数的图象有两个交点，
必有，即，
所以的取值范围是.
19．（1）由，可得，则.
因为是上的“下凸函数”，
所以对任意的恒成立，
即恒成立，所以在上恒成立.
令，则函数在上单调递减，
所以，
所以，即实数的取值范围为.
（2）由，可得，.
令，
当时，，所以在上单调递增，
所以，即，
根据“下凸函数”的充要条件可知，函数在上为“下凸函数”．
（3）令，
则，即是增函数，所以.
又，
考虑函数，求导得，
则.
当时，，则，
故在上为“下凸函数”，
所以，
即，
即，
所以，
当且仅当时，等号成立，
因此的最小值为．

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