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【北师大版八年级数学（下）课时练习】
§5.3 分式方程
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下列方程是分式方程的有（ ）
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（本题3分）下列方程中，不是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（本题3分）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）若关于的分式方程的解为，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
5．（本题3分）若关于x的分式方程无解，则m的值为（ ）
A． B． C．或15 D．5或
6．（本题3分）北宋汴京城内，一位信使需将急件从城东的驿馆送至城西50里外的衙门．信使步行出发一炷香后，驿丞恐其误事，另遣一名船夫从运河乘快船追赶送信信使．已知运河快船的速度是步行速度的倍，且步行信使与快船信使同时抵达衙门．设信使步行的速度为每炷香里，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）某社区组织居民去距离社区的环保主题公园参加环保宣传活动，一部分居民骑共享单车先出发，后其余居民骑共享电动车出发，结果同时到达．已知共享电动车的速度是共享单车速度的3倍，设共享单车的速度为，根据题意可列方程（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）学校图书馆有600册图书需整理．由于图书管理员当天还需完成其他任务，实际每小时整理的图书比原计划增加了，结果提前完成整理这600册图书的任务．小禾根据这一情景中的数量关系列出方程，则该方程中的未知数表示的意义为（ ）
A．实际每小时整理图书的数量 B．原计划每小时整理图书的数量
C．实际完成整理图书所需的时间 D．原计划完成整理图书所需的时间
9．（本题3分）为贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯．某校第一批为各班用400元购进跳绳，接着又用450元购进第二批跳绳，已知第二批跳绳数是第一批跳绳数的倍，且第二批每根跳绳进价比第一批的进价少5元，求第二批跳绳每根的进价是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
10．（本题3分）某农业合作社在春耕期间采购了，两种型号无人驾驶农耕机器，已知每台型机器的进价比每台型机器进价的2倍少万元；采购相同数量的，两种型号机器．分别花费了万元和万元．若设每台型机器的进价为万元，根据题食可列出关于的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）方程的解为 ．
12．（本题3分）甲做240个娃娃与乙做320个娃娃所用的时间相同，已知两人每天共做100个娃娃，若设甲每天做x个娃娃，则可列方程 ．
13．（本题3分）某种植园区计划移栽一批黄花菜幼苗．已知用机器移栽每天可移栽的幼苗数量是用人工移栽每天移栽幼苗数量的4倍，且人工移栽完这批幼苗比机器移栽完多用3天．若这批黄花菜幼苗的总数为4000株．设人工移栽每天移栽幼苗的数量是x株，可列方程为 ．
14．（本题3分）已知分式方程，若分式方程无解，则的值为 ．
15．（本题3分）无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势某物流园区使用辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是名快递员平均每天配送包裹数量的倍．要配送件包裹，使用辆无人配送车所需时间比名快递员同时配送所需时间少天，若设名快递员平均每天可配送包裹件，则根据题意可列方程为 ．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）（1）解分式方程：；
（2）先化简，再求值：，其中．
17．（本题7分）对于实数，定义一种新运算“”为，这里等式右边是通常的实数运算．例如：．
(1)求的值；
(2)求方程的解．
18．（本题8分）已知关于的分式方程．
(1)当时，求该方程的解；
(2)若该方程有增根，求的值．
19．（本题8分）关于x的分式方程．
(1)当时，解该分式方程．
(2)如果分式方程无解，求n的值．
20．（本题8分）已知某款电动汽车平均每公里的行驶费用比某款燃油车平均每公里的行驶费用少元．当两款车的行驶费用均为100元时，电动汽车可行驶的总里程是燃油车的4倍．
(1)求这款电动汽车平均每公里的行驶费用．
(2)电动汽车和燃油车每年的其他费用（含保险费、保养费等）分别为7500元和4500元．当两款车每年的行驶里程均为a公里时，电动汽车和燃油汽车的年度总费用之比为，求a的值．
21．（本题9分）某校的综合实践活动策划方案如下：
实践背景 某校元旦期间采购彩纸和竹条制作飞马模型送给幼儿园的小朋友．
信息1 嘉嘉和淇淇到手工材料店询问后得知：每包彩纸比每捆竹条贵元，元能买到的彩纸包数是元能买到的竹条捆数的倍．
任务1 嘉嘉设■________．依题意，得方程．淇淇设每包彩纸元．依题意，得方程▲________．
信息2 制作时，珍珍发现自己一天可以制作个小飞马或制作个大飞马，并且制作个小飞马的天数和制作个大飞马的天数一样．
任务2 求珍珍每天可以制作小飞马的个数．
(1)①任务1中“■”处的内容为________，“▲”处的内容为________．
②任选一个人的思路，求每捆竹条的价格和元买到的彩纸包数；
(2)完成任务2中的问题．
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【北师大版八年级数学（下）课时练习】
§5.3 分式方程
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下列方程是分式方程的有（ ）
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①分母中不含有未知数，故不是分式方程；
②分母中含有未知数，故是分式方程；
③分母中不含有未知数，故不是分式方程；
④分母中含有未知数，故是分式方程．
综上所述：分式方程有②④，共2个，
故选：B．
2．（本题3分）下列方程中，不是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
解：A、分母为，含未知数，是分式方程，不符合题意；
B、分母为和，均为常数，不含未知数，故不是分式方程，符合题意；
C、分母为和，含未知数，是分式方程，不符合题意；
D、分母为，含未知数，是分式方程，不符合题意；
故选：B．
3．（本题3分）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
解：方程两边同时乘以得
，解得
．
检验，当时，，
故是原方程的解．
故选：A．
4．（本题3分）若关于的分式方程的解为，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
解：去分母得：，
解得：，
即可得，
解得
故选：B．
5．（本题3分）若关于x的分式方程无解，则m的值为（ ）
A． B． C．或15 D．5或
解：原方程为 ，
∵，
∴两边同乘得：，
化简得：，
解得：．
当或时，原方程分母为零，无解．
令：，解得；
令：，解得．
∴或时，原方程无解．
故选：C．
6．（本题3分）北宋汴京城内，一位信使需将急件从城东的驿馆送至城西50里外的衙门．信使步行出发一炷香后，驿丞恐其误事，另遣一名船夫从运河乘快船追赶送信信使．已知运河快船的速度是步行速度的倍，且步行信使与快船信使同时抵达衙门．设信使步行的速度为每炷香里，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
解：设信使步行的速度为每炷香里，由题意，得：
；
故选A．
7．（本题3分）某社区组织居民去距离社区的环保主题公园参加环保宣传活动，一部分居民骑共享单车先出发，后其余居民骑共享电动车出发，结果同时到达．已知共享电动车的速度是共享单车速度的3倍，设共享单车的速度为，根据题意可列方程（ ）
A． B． C． D．
解：设共享单车的速度为，则共享电动车的速度为，
根据题意可得方程：，即．
故选：B．
8．（本题3分）学校图书馆有600册图书需整理．由于图书管理员当天还需完成其他任务，实际每小时整理的图书比原计划增加了，结果提前完成整理这600册图书的任务．小禾根据这一情景中的数量关系列出方程，则该方程中的未知数表示的意义为（ ）
A．实际每小时整理图书的数量 B．原计划每小时整理图书的数量
C．实际完成整理图书所需的时间 D．原计划完成整理图书所需的时间
解：设原计划每小时整理图书的数量为，则原计划所需时间为，
∵实际每小时整理数量增加，
∴实际每小时整理数量为，实际所需时间为，
∵提前完成，
∴，
该方程与小禾所列方程一致，
∴表示原计划每小时整理图书的数量，
故选：B．
9．（本题3分）为贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯．某校第一批为各班用400元购进跳绳，接着又用450元购进第二批跳绳，已知第二批跳绳数是第一批跳绳数的倍，且第二批每根跳绳进价比第一批的进价少5元，求第二批跳绳每根的进价是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
解:设第二批跳绳每根的进价为元，则第一批跳绳每根的进价为元．
∵第一批跳绳数量为根，第二批跳绳数量为根，
且第二批跳绳数是第一批的1.5倍，
根据题意得，
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意．
∴第二批跳绳每根的进价是15元．
故选：B．
10．（本题3分）某农业合作社在春耕期间采购了，两种型号无人驾驶农耕机器，已知每台型机器的进价比每台型机器进价的2倍少万元；采购相同数量的，两种型号机器．分别花费了万元和万元．若设每台型机器的进价为万元，根据题食可列出关于的方程为（ ）
A． B．
C． D．
解：设每台型机器的进价为万元，则每台型机器的进价为万元，
依题意得，，
故选：C．
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）方程的解为 ．
解：
方程两边同时乘以，得，
解得，
检验：当时，，
所以原方程的解为，
故答案为：．
12．（本题3分）甲做240个娃娃与乙做320个娃娃所用的时间相同，已知两人每天共做100个娃娃，若设甲每天做x个娃娃，则可列方程 ．
解：设甲每天做个娃娃，则乙每天做个娃娃，
根据题意得：．
故答案为：．
13．（本题3分）某种植园区计划移栽一批黄花菜幼苗．已知用机器移栽每天可移栽的幼苗数量是用人工移栽每天移栽幼苗数量的4倍，且人工移栽完这批幼苗比机器移栽完多用3天．若这批黄花菜幼苗的总数为4000株．设人工移栽每天移栽幼苗的数量是x株，可列方程为 ．
解：∵人工每天移栽幼苗株，
∴机器每天移栽幼苗株，
∵总幼苗数为4000株，
∴人工移栽所需天数为天，机器移栽所需天数为天，
根据题意，人工移栽比机器移栽多用3天，
∴，
故答案为：．
14．（本题3分）已知分式方程，若分式方程无解，则的值为 ．
解：
两边同乘，得，
即，
，
解得，
分式方程无解，
，即，
，
解得．
故答案为：．
15．（本题3分）无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势某物流园区使用辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是名快递员平均每天配送包裹数量的倍．要配送件包裹，使用辆无人配送车所需时间比名快递员同时配送所需时间少天，若设名快递员平均每天可配送包裹件，则根据题意可列方程为 ．
解：设1名快递员平均每天可配送包裹件，则1辆无人配送车平均每天配送包裹件；配送6000件包裹，1辆无人配送车所需时间为天，4名快递员同时配送所需时间为天；
根据题意，得．
故答案为：．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）（1）解分式方程：；
（2）先化简，再求值：，其中．
（1）解：，
，
，
解得；
经检验：当时，，
故原分式方程的解为．
（2）解：
，
把代入，得．
17．（本题7分）对于实数，定义一种新运算“”为，这里等式右边是通常的实数运算．例如：．
(1)求的值；
(2)求方程的解．
（1）解：；
（2）解：
当，，所以是原方程的解。
18．（本题8分）已知关于的分式方程．
(1)当时，求该方程的解；
(2)若该方程有增根，求的值．
（1）解：（1）当时，原方程化为，
去分母得：，
化简得：
解这个整式方程，得，
检验：把代入得：，
所以，是原方程的解；
（2）原方程去分母，得，
移项合并同类项，得，
因为该方程有增根，
所以增根为，
所以，
所以．
19．（本题8分）关于x的分式方程．
(1)当时，解该分式方程．
(2)如果分式方程无解，求n的值．
（1）解：当时，分式方程为：，
方程两边同时乘，得，
去括号，得，
整理，得，
解得：，
检验：把代入，
∴分式方程的解为；
（2），
方程两边同时乘，得，
去括号，得，
整理，得，
∵分式方程无解，
∴或，或，
当时，，
当时，
∵，
∴，
∵或，
∴或，
，
解得：，，
∴如果分式方程无解，n的值为或或．
20．（本题8分）已知某款电动汽车平均每公里的行驶费用比某款燃油车平均每公里的行驶费用少元．当两款车的行驶费用均为100元时，电动汽车可行驶的总里程是燃油车的4倍．
(1)求这款电动汽车平均每公里的行驶费用．
(2)电动汽车和燃油车每年的其他费用（含保险费、保养费等）分别为7500元和4500元．当两款车每年的行驶里程均为a公里时，电动汽车和燃油汽车的年度总费用之比为，求a的值．
（1）解：设电动汽车平均每公里的行驶费用为元，则燃油车平均每公里的行驶费用为元，
由题意得，，
解得，
经检验，是方程的解，且符合题意，
答：这款电动汽车平均每公里的行驶费用为0.2元；
（2）解：由（1）得，燃油车平均每公里的行驶费用为（元），
由题意得，，
解得，
经检验，是方程的解，且符合题意，
∴a的值为13500．
21．（本题9分）某校的综合实践活动策划方案如下：
实践背景 某校元旦期间采购彩纸和竹条制作飞马模型送给幼儿园的小朋友．
信息1 嘉嘉和淇淇到手工材料店询问后得知：每包彩纸比每捆竹条贵元，元能买到的彩纸包数是元能买到的竹条捆数的倍．
任务1 嘉嘉设■________．依题意，得方程．淇淇设每包彩纸元．依题意，得方程▲________．
信息2 制作时，珍珍发现自己一天可以制作个小飞马或制作个大飞马，并且制作个小飞马的天数和制作个大飞马的天数一样．
任务2 求珍珍每天可以制作小飞马的个数．
(1)①任务1中“■”处的内容为________，“▲”处的内容为________．
②任选一个人的思路，求每捆竹条的价格和元买到的彩纸包数；
(2)完成任务2中的问题．
（1）①解：表示每捆竹条的价格，
■表示元买到的竹条捆数为捆；
淇淇设每包彩纸元，
依题意得方程：；
故答案为：元买到的竹条捆数为捆，；
②解：选淇淇的方法：
设每包彩纸元，
根据题意可得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
，，
答：每捆竹条元，元能买到彩纸包；
选嘉嘉的方法：
设元买到的竹条捆数为捆，
根据题意可得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
(元)，(元)，(包)，
答：每捆竹条元，元能买到彩纸包；
（2）解：由题意得，，
解得：，
经检验，是原方程的解，
珍珍每天可以制作小飞马个．
22．（本题9分）现实生活中，并联电路在日常生活和工程中广泛应用，如家庭用电中的各种电器（电灯、电视、冰箱等）都并联在电路中，以便它们能独立工作且互不影响．如图，把电阻值分别为，的两电阻并联后接入某电路中，已知其总电阻R满足．（注：电阻的单位是欧姆，简称欧，符号为）
(1)若，则_______．
(2)若，的电阻值比的电阻值大，求，的电阻值．
(3)_______．（用含，的式子表示）．
（1）解：∵，且，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：设的电阻值为，
∵的电阻值比的电阻值大，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴，．
（3）解：∵，
∴，
∴．
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