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广东省东莞市第十三高级中学等三校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．在中，点在线段上，且，则（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（　　）
A． B．
C． D．
4．在三角形中，，，，则（　　）
A． B． C．或 D．或
5．若圆台的上底面面积与下底面面积分别为，且圆台的体积为，则该圆台的母线长为（　　）
A．6 B． C．3 D．
6．在中，内角所对的边分别是，若的面积为，则（　　）
A． B． C． D．
7．已知的边长均为1，点为边的中点，点为边上的动点，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．刘徽(约公元225年—295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形(如图所示)，当变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，可以得到的近似值为（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列关于平面向量的说法中不正确的是（　　）
A．已知非零向量，，，若，，则
B．若，则为平行四边形
C．若且，则
D．若点G为的重心，则
10．如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列说法中正确的是（　　）
A．水的部分始终呈棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状
B．水面四边形的面积不改变
C．棱始终与平行
D．当时，是定值
11．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则（　　）
A．
B．a的取值范围为
C．的最大值为2
D．的取值范围为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若复数，则的虚部为　 　.
13．定义两个向量的运算“”与运算“”：，其中是的夹角.若，，，则　 　.
14．四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则　 　.
四、解答题: 本题共5小题，第15题13分，16、17题各15分，18、19各17分，共77分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．
15．已知复数，其中为虚数单位，.
（1）若为实数，求的值；
（2）若复数在复平面内对应的点在直线上，求的值.
16．在△中，内角的对边分别为．
（1）求；
（2）若△的面积为，求边上的中线的长．
17．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，是四棱锥的高，且是的中点；
（1）求证平面；
（2）求四棱锥和三棱锥的体积．
18．如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设，．
（1）用、表示、；
（2）若，，且与的夹角为，求；
（3）如果，，且，求．
19．在滴水湖公园湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，，其中．
（1）若米，求烧烤区的面积？
（2）为了保证烧烤区的占地面积最大，那么需要修建多长的隔离防护栏？
（3）在（2）条件下，为了使得花卉观赏区的面积也尽可能大，则应如何设计观赏步道？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，可得，复数z对应的点为，位于第二象限.
故答案为：B.
【分析】先利用复数代数形式的乘除法化简求得复数，再根据复数的几何意义求解即可.
2．【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：在中，由，得，
则，即.
故答案为：A.
【分析】根据向量的线性运算求解即可.
3．【答案】D
【知识点】平面的概念、画法及表示
【解析】【解答】解：A：显然、、在正方体的上底面，且三点不共线，不在正方体的上底面，
所以、、、四点不共面，故A错误；
B：
如图，，即、、、四点共面，即、、三点共面，且三点不共线，
又平面，所以、、、四点不共面，故B错误；
对于C：显然、、在正方体的下底面，且三点不共线，不在正方体的下底面，
所以、、、四点不共面，故C错误；
D：
如图，连接，则，又，所以，
所以、、、四点共面，故D正确.
故答案为：D
【分析】根据平面的基本性质（平行公理、三点共面延伸），判断四点是否共面：若能通过作辅助线证明四点在同一平面，或两点连线与另外两点连线平行 / 相交，则四点共面。
4．【答案】B
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理，可得，解得，
因为，所以，则.
故答案为：B.
【分析】先利用正弦定理求角，再根据三角形内角和定理求角即可.
5．【答案】C
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：易知圆台的上底面与下底面的半径分别为，设圆台的高为，
又圆台的体积为，故，即，
故圆台的母线长为．
故答案为：C.
【分析】本题考查圆台的体积公式与母线长的计算，核心是先由上下底面面积求出半径，再代入体积公式求高，最后利用勾股定理计算母线长。
6．【答案】D
【知识点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题设，又，
所以，则，而，
所以.
故答案为：D
【分析】本题考查三角形面积公式与余弦定理的综合应用，核心是将面积公式和余弦定理联立，化简得到tanC的值，进而求出角C。
7．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
则，，，，
设，则，
，，
则.
故答案为：B.
【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，利用空间向量法求解即可.
8．【答案】B
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形，设圆的半径为，
则，即，所以.
故答案为：B.
【分析】本题考查割圆术的思想与三角形面积公式的应用，核心是将圆的内接正360边形拆分为360个顶角为1 的等腰三角形，利用其面积和近似等于圆的面积，建立等式求解sin1 的近似值。
9．【答案】B,C
【知识点】共线（平行）向量；平面向量的数量积运算；相等向量
【解析】【解答】解：A，对于非零向量，，，由，，且为非零向量，可知，A正确；
B，因为，则四点可能共线，所以不一定为平行四边形，B错误；
C，由可得，则，不一定，C错误；
D，由平面向量中三角形重心的结论可知，若点G为的重心，则，D正确，
故答案为：BC.
【分析】A：根据向量共线的传递性（非零向量），判断是否成立。
B：由分析四点是否共线，判断四边形是否为平行四边形。
C：对变形，结合数量积性质判断是否成立。
D：根据三角形重心的向量性质，验证是否成立。
10．【答案】A,C,D
【知识点】棱柱的结构特征；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：将BC固定时，在倾斜的过程中，随着倾斜度的不同，平面始终与地面平行，
根据面面平行性质定理，始终有，且平面平面DHGC，
故水的形状成棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状，故A正确；
水面四边形是矩形，随着倾斜度的不同，EF是变化的，而EH不变，所以面积是改变的，故B错误；
由，故C正确；
由于水的体积是定值，即四棱柱体积不变，
由高不变，所以底面梯形面积不变，即为定值，
即当时，是定值，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】A：根据棱柱的定义，结合固定边、面面平行性质，判断倾斜过程中水、无水部分的几何体形状。
B：分析水面四边形的边长变化，判断其面积是否改变。
C：利用长方体中平行线的传递性，判断与的位置关系。
D：由水的体积为定值、棱柱高不变，得底面梯形面积为定值，推导是否为定值。
11．【答案】A,C
【知识点】基本不等式；两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：A、，即，
整理可得，可得，
在中，，故，
又因为为锐角三角形，所以，故A正确；
B、由A可知，，，
由正弦定理，，可得，
则，
又，故，则；
由为锐角三角形可得：，
可得，故，则，则，故B错误；
C、由余弦定理，可得，
等式两边同除可得：，
所以，解得，
当且仅当，即时取得等号，故C正确；
D、，
故，
故，
由B可知，所以
所以，故，
所以，，
则的取值范围为，故D错误.
故答案为：AC．
【分析】利用多项式乘法，结合两角和的正切公式可得，结合，求得C即可判断A；利用正弦定理和角度关系，求得a关于A的函数关系，结合为锐角三角形，角A的范围，求其值域即可判断B；利用余弦定理，求得a、b、c的齐次式，再利用基本不等式求解即可判断C；将转化为关于B的函数，结合B的范围，求其值域即可判断D.
12．【答案】
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：因为，，
故复数，故的虚部为，
故答案为：
【分析】本题考查复数的乘方运算与虚部的定义，核心是利用虚数单位i的乘方周期性化简复数，再根据虚部的定义确定结果。
13．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：设是的夹角，因为，
又因为，故，所以，
故答案为：
【分析】本题考查向量新定义运算与三角函数的综合应用，核心是先通过向量点积公式求出夹角的余弦值，再结合同角三角函数关系求出正弦值，最后代入新定义运算公式计算结果。
14．【答案】
【知识点】平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】解：连接BD，交AC于点O，连接OE，
由是正方形，得，
在线段PE取点G，使得，如下图所示：
由，得，
连接BG，FG，则，
由平面，平面，得平面，
因为平面，，平面，
因此平面平面，
又因为平面平面，平面平面，
则，所以.
故答案为：.
【分析】连接BD，交AC于点O，连接OE，利用中位线的性质和线面平行的判定定理，从而证明出直线平面ACE，再结合直线平面ACE，则证出平面平面ACE，再利用面面平行的性质定理得出，则由两直线平行对应边成比例，从而得出的值.
15．【答案】（1）解：若为实数，
则有，得或.
（2）解：若复数在复平面内对应的点在直线上，
则，得.
【知识点】复数的基本概念；复数运算的几何意义
【解析】【分析】(1) 根据实数的定义（复数的虚部为 0）列方程，求解实数m的值；
(2) 利用复数的几何意义（复平面内点的坐标为 (实部，虚部)），结合直线y=x的坐标特征列方程，求解m的值。
（1）若为实数，
则有，得或.
（2）若复数在复平面内对应的点在直线上，
则，得.
16．【答案】（1）解：因为，由正弦定理得，因为，
由余弦定理得：，
又，所以．
（2）解：由，所以，
由（1），所以，
因为为边上的中线，所以，
则
，即.
故边上的中线的长为.
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 先利用正弦定理将角的关系转化为边的关系，再结合余弦定理求出cosC，最后由同角三角函数的基本关系求sinC；
(2) 先根据三角形面积公式求出ab的值，结合边的比例关系确定a、b的具体值，再利用向量的中线公式和数量积运算求中线CD的长。
（1）因为，由正弦定理得，因为，
由余弦定理得：，
又，所以．
（2）由，所以，
由（1），所以，
因为为边上的中线，所以，
则
，即.
故边上的中线的长为.
17．【答案】（1）证明：连结交于，连结.
∵四边形是正方形，∴是的中点.
又∵是的中点，∴.
平面平面
∴平面.
（2）解：∵是四棱锥的高，
∴，
即四棱锥的体积为.
同理，∵是四棱锥的高，∴是四棱锥的高
法一∴；
∴
法二∴
【知识点】直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1) 通过构造中位线得到线线平行，再结合线面平行的判定定理证明PC∥平面BDE；
(2) 利用棱锥体积公式直接计算四棱锥P ABCD的体积，再通过等体积法或体积相减法求解三棱锥C BDE的体积。
（1）连结交于，连结.
∵四边形是正方形，∴是的中点.
又∵是的中点，∴.
平面平面
∴平面.
（2）∵是四棱锥的高，
∴，
即四棱锥的体积为.
同理，∵是四棱锥的高，∴是四棱锥的高
法一∴；
∴
法二∴
18．【答案】（1）解：由，可得，
因为为中点，点为上的三等分点，且靠近点，所以，，
则；
（2）解：由（1），，
因为，，所以；
（3）解：因为，所以，可得，
又因为，所以，
又因为，由平面向量数量积的定义可得，
则.
【知识点】向量的模；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）以为基底，利用平面向量的线性运算表示、即可；
（2）由（1）的结论，利用向量的数量积运算求解即可；
（3）由，可得，结合平面向量数量积的运算性质可求出的值，再利用平面向量数量积的运算，结合向量的模长公式求解即可.
（1）因为，所以，，
因为为中点，点为上的三等分点，且靠近点，则，，
则．
（2）可知，，，
因为，，则.
（3）因为，则，可得，
又因为，则，
又因为，由平面向量数量积的定义可得，
所以，
.
19．【答案】（1）解：若，则，
因为，所以，
则烧烤区的面积为；
（2）解：设米，，
因为，所以，
所以烧烤区的面积为，
所以当即时，烧烤区的面积最大为，此时米，
则修建的隔离防护栏长米时，烧烤区的占地面积最大；
（3）解：由（2）得米，
在中，由正弦定理，可得，
，
，
因为，所以，
所以当即时，有最大值为，
此时，，
所以在（2）条件下，设计观赏步道米时，花卉观赏区的面积最大.
【知识点】解三角形；余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出，根据根据三角形面积求解即可；
（2）设米，利用余弦定理，结合同角三角函数基本关系求得，代入面积公式，结合二次函数的性质，求最值即可；
（3）由（2）得米，在中，利用正弦定理求得，代入，结合三角恒等变换公式计算即可.
（1）若，则，
又，所以，
所以烧烤区的面积为.
（2）设米，则，
又，所以，
所以烧烤区的面积为，
所以当即时，烧烤区的面积最大为，此时米，
所以修建的隔离防护栏长米时，烧烤区的占地面积最大.
（3）由（2）得米，
所以在中由题意得，即，
所以，
所以
，
又，所以，
所以当即时，有最大值为，
此时，，
所以在（2）条件下，设计观赏步道米时，花卉观赏区的面积最大.
1 / 1广东省东莞市第十三高级中学等三校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，可得，复数z对应的点为，位于第二象限.
故答案为：B.
【分析】先利用复数代数形式的乘除法化简求得复数，再根据复数的几何意义求解即可.
2．在中，点在线段上，且，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：在中，由，得，
则，即.
故答案为：A.
【分析】根据向量的线性运算求解即可.
3．如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面的概念、画法及表示
【解析】【解答】解：A：显然、、在正方体的上底面，且三点不共线，不在正方体的上底面，
所以、、、四点不共面，故A错误；
B：
如图，，即、、、四点共面，即、、三点共面，且三点不共线，
又平面，所以、、、四点不共面，故B错误；
对于C：显然、、在正方体的下底面，且三点不共线，不在正方体的下底面，
所以、、、四点不共面，故C错误；
D：
如图，连接，则，又，所以，
所以、、、四点共面，故D正确.
故答案为：D
【分析】根据平面的基本性质（平行公理、三点共面延伸），判断四点是否共面：若能通过作辅助线证明四点在同一平面，或两点连线与另外两点连线平行 / 相交，则四点共面。
4．在三角形中，，，，则（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理，可得，解得，
因为，所以，则.
故答案为：B.
【分析】先利用正弦定理求角，再根据三角形内角和定理求角即可.
5．若圆台的上底面面积与下底面面积分别为，且圆台的体积为，则该圆台的母线长为（　　）
A．6 B． C．3 D．
【答案】C
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：易知圆台的上底面与下底面的半径分别为，设圆台的高为，
又圆台的体积为，故，即，
故圆台的母线长为．
故答案为：C.
【分析】本题考查圆台的体积公式与母线长的计算，核心是先由上下底面面积求出半径，再代入体积公式求高，最后利用勾股定理计算母线长。
6．在中，内角所对的边分别是，若的面积为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题设，又，
所以，则，而，
所以.
故答案为：D
【分析】本题考查三角形面积公式与余弦定理的综合应用，核心是将面积公式和余弦定理联立，化简得到tanC的值，进而求出角C。
7．已知的边长均为1，点为边的中点，点为边上的动点，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
则，，，，
设，则，
，，
则.
故答案为：B.
【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，利用空间向量法求解即可.
8．刘徽(约公元225年—295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形(如图所示)，当变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，可以得到的近似值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形，设圆的半径为，
则，即，所以.
故答案为：B.
【分析】本题考查割圆术的思想与三角形面积公式的应用，核心是将圆的内接正360边形拆分为360个顶角为1 的等腰三角形，利用其面积和近似等于圆的面积，建立等式求解sin1 的近似值。
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列关于平面向量的说法中不正确的是（　　）
A．已知非零向量，，，若，，则
B．若，则为平行四边形
C．若且，则
D．若点G为的重心，则
【答案】B,C
【知识点】共线（平行）向量；平面向量的数量积运算；相等向量
【解析】【解答】解：A，对于非零向量，，，由，，且为非零向量，可知，A正确；
B，因为，则四点可能共线，所以不一定为平行四边形，B错误；
C，由可得，则，不一定，C错误；
D，由平面向量中三角形重心的结论可知，若点G为的重心，则，D正确，
故答案为：BC.
【分析】A：根据向量共线的传递性（非零向量），判断是否成立。
B：由分析四点是否共线，判断四边形是否为平行四边形。
C：对变形，结合数量积性质判断是否成立。
D：根据三角形重心的向量性质，验证是否成立。
10．如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列说法中正确的是（　　）
A．水的部分始终呈棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状
B．水面四边形的面积不改变
C．棱始终与平行
D．当时，是定值
【答案】A,C,D
【知识点】棱柱的结构特征；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：将BC固定时，在倾斜的过程中，随着倾斜度的不同，平面始终与地面平行，
根据面面平行性质定理，始终有，且平面平面DHGC，
故水的形状成棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状，故A正确；
水面四边形是矩形，随着倾斜度的不同，EF是变化的，而EH不变，所以面积是改变的，故B错误；
由，故C正确；
由于水的体积是定值，即四棱柱体积不变，
由高不变，所以底面梯形面积不变，即为定值，
即当时，是定值，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】A：根据棱柱的定义，结合固定边、面面平行性质，判断倾斜过程中水、无水部分的几何体形状。
B：分析水面四边形的边长变化，判断其面积是否改变。
C：利用长方体中平行线的传递性，判断与的位置关系。
D：由水的体积为定值、棱柱高不变，得底面梯形面积为定值，推导是否为定值。
11．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则（　　）
A．
B．a的取值范围为
C．的最大值为2
D．的取值范围为
【答案】A,C
【知识点】基本不等式；两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：A、，即，
整理可得，可得，
在中，，故，
又因为为锐角三角形，所以，故A正确；
B、由A可知，，，
由正弦定理，，可得，
则，
又，故，则；
由为锐角三角形可得：，
可得，故，则，则，故B错误；
C、由余弦定理，可得，
等式两边同除可得：，
所以，解得，
当且仅当，即时取得等号，故C正确；
D、，
故，
故，
由B可知，所以
所以，故，
所以，，
则的取值范围为，故D错误.
故答案为：AC．
【分析】利用多项式乘法，结合两角和的正切公式可得，结合，求得C即可判断A；利用正弦定理和角度关系，求得a关于A的函数关系，结合为锐角三角形，角A的范围，求其值域即可判断B；利用余弦定理，求得a、b、c的齐次式，再利用基本不等式求解即可判断C；将转化为关于B的函数，结合B的范围，求其值域即可判断D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若复数，则的虚部为　 　.
【答案】
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：因为，，
故复数，故的虚部为，
故答案为：
【分析】本题考查复数的乘方运算与虚部的定义，核心是利用虚数单位i的乘方周期性化简复数，再根据虚部的定义确定结果。
13．定义两个向量的运算“”与运算“”：，其中是的夹角.若，，，则　 　.
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：设是的夹角，因为，
又因为，故，所以，
故答案为：
【分析】本题考查向量新定义运算与三角函数的综合应用，核心是先通过向量点积公式求出夹角的余弦值，再结合同角三角函数关系求出正弦值，最后代入新定义运算公式计算结果。
14．四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则　 　.
【答案】
【知识点】平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】解：连接BD，交AC于点O，连接OE，
由是正方形，得，
在线段PE取点G，使得，如下图所示：
由，得，
连接BG，FG，则，
由平面，平面，得平面，
因为平面，，平面，
因此平面平面，
又因为平面平面，平面平面，
则，所以.
故答案为：.
【分析】连接BD，交AC于点O，连接OE，利用中位线的性质和线面平行的判定定理，从而证明出直线平面ACE，再结合直线平面ACE，则证出平面平面ACE，再利用面面平行的性质定理得出，则由两直线平行对应边成比例，从而得出的值.
四、解答题: 本题共5小题，第15题13分，16、17题各15分，18、19各17分，共77分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．
15．已知复数，其中为虚数单位，.
（1）若为实数，求的值；
（2）若复数在复平面内对应的点在直线上，求的值.
【答案】（1）解：若为实数，
则有，得或.
（2）解：若复数在复平面内对应的点在直线上，
则，得.
【知识点】复数的基本概念；复数运算的几何意义
【解析】【分析】(1) 根据实数的定义（复数的虚部为 0）列方程，求解实数m的值；
(2) 利用复数的几何意义（复平面内点的坐标为 (实部，虚部)），结合直线y=x的坐标特征列方程，求解m的值。
（1）若为实数，
则有，得或.
（2）若复数在复平面内对应的点在直线上，
则，得.
16．在△中，内角的对边分别为．
（1）求；
（2）若△的面积为，求边上的中线的长．
【答案】（1）解：因为，由正弦定理得，因为，
由余弦定理得：，
又，所以．
（2）解：由，所以，
由（1），所以，
因为为边上的中线，所以，
则
，即.
故边上的中线的长为.
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 先利用正弦定理将角的关系转化为边的关系，再结合余弦定理求出cosC，最后由同角三角函数的基本关系求sinC；
(2) 先根据三角形面积公式求出ab的值，结合边的比例关系确定a、b的具体值，再利用向量的中线公式和数量积运算求中线CD的长。
（1）因为，由正弦定理得，因为，
由余弦定理得：，
又，所以．
（2）由，所以，
由（1），所以，
因为为边上的中线，所以，
则
，即.
故边上的中线的长为.
17．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，是四棱锥的高，且是的中点；
（1）求证平面；
（2）求四棱锥和三棱锥的体积．
【答案】（1）证明：连结交于，连结.
∵四边形是正方形，∴是的中点.
又∵是的中点，∴.
平面平面
∴平面.
（2）解：∵是四棱锥的高，
∴，
即四棱锥的体积为.
同理，∵是四棱锥的高，∴是四棱锥的高
法一∴；
∴
法二∴
【知识点】直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1) 通过构造中位线得到线线平行，再结合线面平行的判定定理证明PC∥平面BDE；
(2) 利用棱锥体积公式直接计算四棱锥P ABCD的体积，再通过等体积法或体积相减法求解三棱锥C BDE的体积。
（1）连结交于，连结.
∵四边形是正方形，∴是的中点.
又∵是的中点，∴.
平面平面
∴平面.
（2）∵是四棱锥的高，
∴，
即四棱锥的体积为.
同理，∵是四棱锥的高，∴是四棱锥的高
法一∴；
∴
法二∴
18．如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设，．
（1）用、表示、；
（2）若，，且与的夹角为，求；
（3）如果，，且，求．
【答案】（1）解：由，可得，
因为为中点，点为上的三等分点，且靠近点，所以，，
则；
（2）解：由（1），，
因为，，所以；
（3）解：因为，所以，可得，
又因为，所以，
又因为，由平面向量数量积的定义可得，
则.
【知识点】向量的模；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）以为基底，利用平面向量的线性运算表示、即可；
（2）由（1）的结论，利用向量的数量积运算求解即可；
（3）由，可得，结合平面向量数量积的运算性质可求出的值，再利用平面向量数量积的运算，结合向量的模长公式求解即可.
（1）因为，所以，，
因为为中点，点为上的三等分点，且靠近点，则，，
则．
（2）可知，，，
因为，，则.
（3）因为，则，可得，
又因为，则，
又因为，由平面向量数量积的定义可得，
所以，
.
19．在滴水湖公园湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，，其中．
（1）若米，求烧烤区的面积？
（2）为了保证烧烤区的占地面积最大，那么需要修建多长的隔离防护栏？
（3）在（2）条件下，为了使得花卉观赏区的面积也尽可能大，则应如何设计观赏步道？
【答案】（1）解：若，则，
因为，所以，
则烧烤区的面积为；
（2）解：设米，，
因为，所以，
所以烧烤区的面积为，
所以当即时，烧烤区的面积最大为，此时米，
则修建的隔离防护栏长米时，烧烤区的占地面积最大；
（3）解：由（2）得米，
在中，由正弦定理，可得，
，
，
因为，所以，
所以当即时，有最大值为，
此时，，
所以在（2）条件下，设计观赏步道米时，花卉观赏区的面积最大.
【知识点】解三角形；余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出，根据根据三角形面积求解即可；
（2）设米，利用余弦定理，结合同角三角函数基本关系求得，代入面积公式，结合二次函数的性质，求最值即可；
（3）由（2）得米，在中，利用正弦定理求得，代入，结合三角恒等变换公式计算即可.
（1）若，则，
又，所以，
所以烧烤区的面积为.
（2）设米，则，
又，所以，
所以烧烤区的面积为，
所以当即时，烧烤区的面积最大为，此时米，
所以修建的隔离防护栏长米时，烧烤区的占地面积最大.
（3）由（2）得米，
所以在中由题意得，即，
所以，
所以
，
又，所以，
所以当即时，有最大值为，
此时，，
所以在（2）条件下，设计观赏步道米时，花卉观赏区的面积最大.
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