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广东省云浮市罗定市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若在实数范围内有意义，则x的取值范围（　　）
A．x≥2 B．x≤2 C．x＞2 D．x＜2
【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】要使在实数范围内有意义，根据二次根式的定义，被开方数必须大于或等于0，因此可得不等式：
解此不等式，得：
故答案为：A。
【分析】二次根式在实数范围内有意义时，被开方数必须为非负数，据此列出不等式并求解，即可得到的取值范围。
2．在中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质对角相等得，由，则．
3．下列各式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，此选项符合题意；
B、，故此选项不是最简二次根式，不符合题意；
C、，故此选项不是最简二次根式，不符合题意；
D、，故此选项不是最简二次根式，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是最简二次根式，根据最简二次根式的概念判断．
4．已知点，都在直线上，则，大小关系是（　　）
A． B． C． D．不能比较
【答案】A
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：直线，，
随的增大而减小，
又，
，
故答案为：A．
【分析】由直线，一次项系数-1小于0，y随x的增大而减小，-1＜1，则y1＞y2，则A项正确．
5．如图是方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（　　）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：根据题意可得该阴影正方形的边长为：，
故答案为：A．
【分析】根据网格每个小方格的边长是1 以正方形的边长为斜边构造直角三角形，利用勾股定理得边长为．
6．甲、乙两位同学参加学校组织的科普大赛，如图是根据甲、乙5次预赛成绩绘制的折线统计图，则甲、乙两位同学成绩的方差，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【知识点】折线统计图；方差；数形结合
【解析】【解答】解：由统计图可知，乙选手的成绩波动较大，说明其成绩不稳定；甲选手的成绩的波动较小，说明其成绩比较稳定，
∴，
故答案为：C．
【分析】观察折线统计图可知甲数据的变化趋势不大，乙数据的变化趋势较大； 方差是用来衡量一组数据波动大小的量 ，则 乙选手的成绩波动较大，甲选手的成绩的波动较小，所以 。
7．某市商业综合体为了方便司机停泊车辆而设计了如图的停车位，图是其中一个停车位的平面示意图，已知四边形是平行四边形，小车实际占用位置为矩形，若，，，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，，
，
四边形是矩形，，
，，
，
在中，，，
是等腰直角三角形，
，
．
故答案为：A．
【分析】由平行四边形的性质对角相等得，由矩形性质对边相等，四个角是直角得，，则是等腰直角三角形，则，=AB+BC=．
8．如图，每个小正方形的边长为1，，，是小正方形的顶点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
根据勾股定理可得：，，，
∴，，
∴
∴
∵
∴，
故答案为：B．
【分析】如图，连接，
利用网格构造AC，AB，BC为斜边的直角三角形，利用勾股定理得AC=，BC=，AB=，AC=BC，由勾股定理逆定理得为直角，则．
9．小明在学完一次函数时发现，可以运用画一次函数图象的方法求二元一次方程组的解．小明在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象如图所示．则小明所解的二元一次方程组是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：求第一条直线解析式：
设过点 、 的直线为 。
代入坐标得方程组：
解得 ，，则解析式为 。
求第二条直线解析式：
设过点 、 的直线为 。
代入坐标得方程组：
解得 ，，则解析式为 。
将两条直线解析式变形联立，可得对应的二元一次方程组：
故答案为：C。
【分析】本题考查一次函数解析式的求解与二元一次方程组的转化。先利用待定系数法，结合两组已知点坐标分别求出两条直线的函数解析式，再将解析式变形联立，转化为对应的二元一次方程组。
10．如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，点E是边CD的中点，点F是菱形对角线AC上一个动点，则DF+EF的最小值是（　　）
A．5 B．4 C． D．6
【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接BF，BE，过点E作EH⊥BC，交BC延长线于H点，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠DAF＝∠BAF，
在△ADF和△ABF中，
，
∴△ADF≌△ABF（SAS），
∴DF＝BF，
∴DF+EF＝BF+EF，
∴BF+EF的最小值即为BE的长，
∵点E是边CD的中点，
∴CE＝2，
∵∠ABC＝60°，AB//CD，
∴∠ECH＝60°，
∴∠CEH＝30°，
∴CH＝1，
∴EH＝=，
∴BH＝4+1=5，
在Rt△BEH中，由勾股定理得：
BE＝，
∴DF+EF的最小值为2．
故答案为：C．
【分析】如图，连接BF，BE，过点E作EH⊥BC，交BC延长线于H点，
由菱形性质得AB＝AD，∠DAF＝∠BAF，则△ADF≌△ABF（SAS），得DF＝BF，则BF+EF的最小值为BE的长，在Rt△BEH中，利用勾股定理得BE=， DF+EF的最小值为2．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11．一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，则这个三角形第三边的长为　 　．
【答案】5
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理得，第三边的长为：，
故答案为：5．
【分析】根据直角三角形两边直角边的平方和等于斜边的平方，即可求这个三角形第三边的长．
12．直线向上平移一个单位长度后所得的解析式为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：直线向上平移一个单位长度，
平移后的直线解析式为，即，
故答案为：．
【分析】一次函数图象的平移规律：上加下减，则．
13．某校体育期末考核“立定跳远”、“800米”、“仰卧起坐”三项，并按3： 5：2的比重算出期末成绩．已知小林这三项的考试成绩分别为80分、90分、100分，则小林的体育期末成绩为　 　分．
【答案】89
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据题意得：
（80×3+90×5+100×2）÷（3+5+2）=89（分）；
故答案为：89．
【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．
14．如图，在中，D，E分别是，的中点，点F在上，且，若，，则的长为　 　．
【答案】1
【知识点】直角三角形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵D、E分别为、的中点，，
∴，
∵，D为的中点，，
∴，
∴，
故答案为：1．
【分析】本题先利用三角形中位线定理求出线段DE的长度，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出线段DF的长度，最后通过线段差计算出EF的长度。
15．如图所示，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，在直线上取，过点作轴，垂足为，将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得，则第次平移后，点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理的应用；用代数式表示数值变化规律；正比例函数的图象；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：令，则，
在中，，
解得舍负，
则，
所以点坐标为，
因为由沿射线方向平移个单位长度得到，
即向上平移个单位长度，再向右平移一个单位长度，
所以点的坐标为，
同理可得，点的坐标为，
点的坐标为，
，
所以点的坐标可表示为，
当时，点的坐标为
故答案为：
【分析】在中，由 ，设，则，由勾股定理得，，根据题意得点的坐标为，则，的坐标为，根据规律得点，当n=2025时，则．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；分母有理化；二次根式的混合运算；实数的绝对值
【解析】【分析】先由二次根式的性质得，零指数幂为1，，分母有理化，再计算结果得．
17．已知一次函数图象经过点，，求一次函数解析式．
【答案】解：设一次函数解析式为，
把，分别代入得，
解得，
所以一次函数解析式为．
【知识点】解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】设一次函数解析式为，将A(0，2)B(1，-1)代入解析式解二元一次方程组，解得．则一次函数解析式．
18．已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，，
求证：四边形ABCD是平行四边形．
【答案】证明：∵AB∥CD，
∴∠ABO=∠CDO．
∵AO=CO，
∠AOB=∠COD，
∴△ABO≌△CDO．
∴AB=CD，
又∵AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】先证出△ABO≌△CDO，再利用全等三角形的性质可得AB=CD，再结合AB//CD，即可证出四边形ABCD是平行四边形．
19．尺规作图问题：如图，已知点是的其中一边上一点，用尺规作图方法作，，连接．
（1）求证：．
（2）如图，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接求证：四边形是菱形．
【答案】（1）证明：由作图可知，∴，
，
，
，
，
（2）证明：，，，
∵，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
【知识点】平行线的判定与性质；菱形的判定；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由作图可知，则ED∥CB，则根据平行线的性质得，由等边对等角得，等角代换得
（2）由作图可知，，等量代换得DF=BG，则 四边形 是平行四边形，由BD=BG，根据邻边相等的平行四边形是菱形，得四边形是菱形．
（1）证明：由作图可知，
∴，
，
，
，
，
平分；
（2）证明：，，
，
∵，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
20．小丽在帮妈妈整理厨房时，想把一些规格相同的碗尽可能多地放入内侧高为35cm的柜子里．她把碗按如图那样整齐地叠放成一摞（如图①），但她不知道一摞最多叠放几个碗可以一次性放进柜子里．
【探究发现】小丽测量后发现，按这样叠放，这摞碗的总高度随着碗个数的变化而变化，记录的数据如下表：
碗的个数（个） 1 2 3 4 5
这擦碗的总高度（厘米） 7 10
【建立模型】
（1）建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示碗的个数，纵轴表示这摞碗的总高度，请根据表中信息描出对应点；
（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由；
【结论应用】应用上述发现的规律计算：
（3）当碗的个数量为12个时，求这摞碗的总高度．
（4）请帮小丽算一算，一摞最多能叠几个碗可以一次性放进柜子里？
【答案】解：（1）描点如图所示：
（2）这些点在一条直线上．
设与之间的函数关系式为．
将点、代入，得：
，
解得：，
与之间的函数关系式为．
（3）把代入得：，
当碗的个数为12个时，这摞碗的总高度为22厘米．
（4）把代入得：，
解得：，
∴一摞最多能叠20个碗可以一次性放进柜子里．
【知识点】一次函数的概念；一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；描点法画函数图象；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据表格中数据描点；
（2）设与之间的函数关系式为，将点、代入解析式，得关于k，b的二元一次方程组，解得，则函数解析式为；
（3）把代入函数解析式，得y=22；
（4）把代入函数解析式，得x=．
21．近年来，随着科技的飞速发展，人工智能（）逐渐走进人们的日常生活.技术已广泛应用于手机、家居、医疗、教育等领域，为社会进步做出了巨大贡献.某研究小组对不同人工智能软件使用情况进行调查统计，为人工智能的开发者提供一些参考.
【数据收集与整理】
研究小组对市面上不同的软件进行整理，请使用者进行评价打分.从使用较好甲、乙两款软件的评价得分中，分别随机抽取了20个使用者的打分（百分制）数据，进行整理.成绩均高于90分（成绩得分用x表示，共分为五组：A：；B：；C：；D：；E：）
下面给出了部分信息：甲款软件20名使用者打分为：
92，94，94，94，95，95，97，97，97，98，99，99，99，100，100，100，100，100，100，100.
乙款软件20名使用者打分在B等级的数据是：97，97，98，98，98，98.
甲、乙两款软件抽取的使用者打分统计表
类型 平均数 众数 中位数
甲款软件 a
乙款软件 99 b
（1）上述表中_______；_______；
【数据分析与运用】
（2）下列结论一定正确的是_______.
①甲乙两款样本数据的中位数均在A组；
②得分96分以上的样本数据甲乙一样多；
③甲乙两款样本数据的满分一样多.
（3）根据甲、乙两款软件样本的特征数，试估计哪款软件更优，并说明理由.
【答案】（1），；
（2）②；
（3）甲款软件更优，理由如下：
因为甲、乙两款软件的平均数相同，而甲款软件的众数和中位数都大于乙款软件的众数和中位数
∴甲款软件更优．
【知识点】扇形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）∵甲款打分中，100分出现了7次，次数最多，
∴甲款打分的众数为100分，即；
把乙款20个打分按照从高到低的顺序排列，中位数是第10名和第11名打分的平均数，
∵乙款打分中，A等级的人数为人，
B等级从大到小排序为：98，98，98，98，97，97
第10名和第11名的打分为98分，98分，
∴乙款打分的中位数为分，即．
（2）解：根据题意，得甲的中位数是，在A组；乙的中位数是，在B组；故①错误；
样本数据甲得分96分以上的人数为14人；样本数据乙得分96分以上的人数为人；故②正确；
样本数据甲得满分的人数为7人；而样本数据乙的众数为99分，故乙满分人数一定小于；故③错误
【分析】（1）根据定义：一组数据中出现次数最多的数为众数；一组数据按从小到大或由大到小的顺序排列，处于中间位置的数为中位数，计算填写结果．
（2）根据样本，计算甲的中位数为98.5，乙的中位数为98，甲的满分人数7人，甲的96分以上有14人，．乙的中位数为98，乙的满分人数3人，乙的96分以上有14人，根据结果判断②正确；
（3）根据中位数，众数决策，甲款软件更优．
22．甲、乙两个工程组同时挖掘南深高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间天之间的关系如图所示．
（1）甲组比乙组多挖掘了______天．
（2）求乙组停工后关于的函数解析式．
（3）当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，求乙组已停工的天数．
【答案】（1）30
（2）解：甲组的挖掘速度为（/天），
则当时，，
乙组停工后关于的函数解析式为

（3）解：甲、乙两组合作的挖掘速度为（/天），
则乙组的挖掘速度为（/天），
设当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，甲组挖掘了天，
根据题意，得，
解得，
（天）．
答：甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，乙组已停工天．
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用；数形结合
【解析】【解答】（1）解：甲组比乙组多挖掘了（天）．
故答案为：．
【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，分别求出两组的挖掘速度是解题的关键．
（1）从函数图象获取甲比乙多挖掘30天；
（2）计算甲组的挖掘速度为每天3米，则 甲、乙两组挖掘的长度之和 =合作的工作总量＋甲单独完成的工作总量，即关于的函数解析式 ；
（3）两组合作的工作效率为每天7米，由（2）知甲的工作效率为每天3米，则乙工作效率为每天4米，设当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，甲组挖掘了天，根据甲组挖掘的速度甲组挖掘的天数乙组挖掘的速度，列关于的方程，t=40，则乙停工时间为40-30=．
（1）解：甲组比乙组多挖掘了（天）．
故答案为：．
（2）解：甲组的挖掘速度为（/天），
则当时，，
乙组停工后关于的函数解析式为．
（3）解：甲、乙两组合作的挖掘速度为（/天），
则乙组的挖掘速度为（/天），
设当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，甲组挖掘了天，
根据题意，得，
解得，
（天）．
答：甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，乙组已停工天．
23．问题提出：如图1，点F是正方形边上一点，的角平分线交边于点E，探究线段，和之间的数量关系．
问题探究
（1）先将图1问题特殊化，如图2，若，，直接写出下列线段的长度，______，_______，______；
（2）如图1，再探究一般情形中线段，和的数量关系，并证明你的结论；
问题拓展
（3）如图3，四边形中，，，，点F在的延长线上，平分交于点E，，直接写出的长度______．
【答案】（1）2，3，5；
（2）解：，理由如下：
延长至点，使，连接，
∵四边形是正方形，
，
在和中，
，
，
，
平分，
，
，
即，
又∵，
，
，
，
；
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；含30°角的直角三角形；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）∵四边形是正方形，
，
，
过作于点，
平分，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
，
故答案为：．
（3）解：如图，延长至点，使，连接，
是等腰梯形，
，
，
，
，
同(2)中方法可得，
设，
过作交延长线于，
，
，
，
，
，
在中，，
即，
解得，
即．
【分析】（1）如图，过作于点，
由中点得，角平分线性质得BE=EH=2，(HL)、(HL)，在中，设DF=x，则，由勾股定理得，解得x=3，AF=5；
（2），
理由：如图，延长至点，使，
（SAS），等量甲等量结果相等得，由平行线性质得，等角代换得，等角对等边得QA=QE=QB+BE，即AF=DF+BE；
（3）解：如图，延长至点，使，连接，
同（2），则，设，由，则，在中，，FD=1.65．
1 / 1广东省云浮市罗定市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若在实数范围内有意义，则x的取值范围（　　）
A．x≥2 B．x≤2 C．x＞2 D．x＜2
2．在中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．下列各式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．已知点，都在直线上，则，大小关系是（　　）
A． B． C． D．不能比较
5．如图是方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（　　）
A． B．3 C． D．
6．甲、乙两位同学参加学校组织的科普大赛，如图是根据甲、乙5次预赛成绩绘制的折线统计图，则甲、乙两位同学成绩的方差，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．无法确定
7．某市商业综合体为了方便司机停泊车辆而设计了如图的停车位，图是其中一个停车位的平面示意图，已知四边形是平行四边形，小车实际占用位置为矩形，若，，，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，每个小正方形的边长为1，，，是小正方形的顶点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．小明在学完一次函数时发现，可以运用画一次函数图象的方法求二元一次方程组的解．小明在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象如图所示．则小明所解的二元一次方程组是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，点E是边CD的中点，点F是菱形对角线AC上一个动点，则DF+EF的最小值是（　　）
A．5 B．4 C． D．6
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11．一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，则这个三角形第三边的长为　 　．
12．直线向上平移一个单位长度后所得的解析式为　 　．
13．某校体育期末考核“立定跳远”、“800米”、“仰卧起坐”三项，并按3： 5：2的比重算出期末成绩．已知小林这三项的考试成绩分别为80分、90分、100分，则小林的体育期末成绩为　 　分．
14．如图，在中，D，E分别是，的中点，点F在上，且，若，，则的长为　 　．
15．如图所示，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，在直线上取，过点作轴，垂足为，将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得，则第次平移后，点的坐标为　 　．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．计算：．
17．已知一次函数图象经过点，，求一次函数解析式．
18．已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，，
求证：四边形ABCD是平行四边形．
19．尺规作图问题：如图，已知点是的其中一边上一点，用尺规作图方法作，，连接．
（1）求证：．
（2）如图，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接求证：四边形是菱形．
20．小丽在帮妈妈整理厨房时，想把一些规格相同的碗尽可能多地放入内侧高为35cm的柜子里．她把碗按如图那样整齐地叠放成一摞（如图①），但她不知道一摞最多叠放几个碗可以一次性放进柜子里．
【探究发现】小丽测量后发现，按这样叠放，这摞碗的总高度随着碗个数的变化而变化，记录的数据如下表：
碗的个数（个） 1 2 3 4 5
这擦碗的总高度（厘米） 7 10
【建立模型】
（1）建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示碗的个数，纵轴表示这摞碗的总高度，请根据表中信息描出对应点；
（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由；
【结论应用】应用上述发现的规律计算：
（3）当碗的个数量为12个时，求这摞碗的总高度．
（4）请帮小丽算一算，一摞最多能叠几个碗可以一次性放进柜子里？
21．近年来，随着科技的飞速发展，人工智能（）逐渐走进人们的日常生活.技术已广泛应用于手机、家居、医疗、教育等领域，为社会进步做出了巨大贡献.某研究小组对不同人工智能软件使用情况进行调查统计，为人工智能的开发者提供一些参考.
【数据收集与整理】
研究小组对市面上不同的软件进行整理，请使用者进行评价打分.从使用较好甲、乙两款软件的评价得分中，分别随机抽取了20个使用者的打分（百分制）数据，进行整理.成绩均高于90分（成绩得分用x表示，共分为五组：A：；B：；C：；D：；E：）
下面给出了部分信息：甲款软件20名使用者打分为：
92，94，94，94，95，95，97，97，97，98，99，99，99，100，100，100，100，100，100，100.
乙款软件20名使用者打分在B等级的数据是：97，97，98，98，98，98.
甲、乙两款软件抽取的使用者打分统计表
类型 平均数 众数 中位数
甲款软件 a
乙款软件 99 b
（1）上述表中_______；_______；
【数据分析与运用】
（2）下列结论一定正确的是_______.
①甲乙两款样本数据的中位数均在A组；
②得分96分以上的样本数据甲乙一样多；
③甲乙两款样本数据的满分一样多.
（3）根据甲、乙两款软件样本的特征数，试估计哪款软件更优，并说明理由.
22．甲、乙两个工程组同时挖掘南深高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间天之间的关系如图所示．
（1）甲组比乙组多挖掘了______天．
（2）求乙组停工后关于的函数解析式．
（3）当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，求乙组已停工的天数．
23．问题提出：如图1，点F是正方形边上一点，的角平分线交边于点E，探究线段，和之间的数量关系．
问题探究
（1）先将图1问题特殊化，如图2，若，，直接写出下列线段的长度，______，_______，______；
（2）如图1，再探究一般情形中线段，和的数量关系，并证明你的结论；
问题拓展
（3）如图3，四边形中，，，，点F在的延长线上，平分交于点E，，直接写出的长度______．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】要使在实数范围内有意义，根据二次根式的定义，被开方数必须大于或等于0，因此可得不等式：
解此不等式，得：
故答案为：A。
【分析】二次根式在实数范围内有意义时，被开方数必须为非负数，据此列出不等式并求解，即可得到的取值范围。
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质对角相等得，由，则．
3．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，此选项符合题意；
B、，故此选项不是最简二次根式，不符合题意；
C、，故此选项不是最简二次根式，不符合题意；
D、，故此选项不是最简二次根式，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是最简二次根式，根据最简二次根式的概念判断．
4．【答案】A
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：直线，，
随的增大而减小，
又，
，
故答案为：A．
【分析】由直线，一次项系数-1小于0，y随x的增大而减小，-1＜1，则y1＞y2，则A项正确．
5．【答案】A
【知识点】运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：根据题意可得该阴影正方形的边长为：，
故答案为：A．
【分析】根据网格每个小方格的边长是1 以正方形的边长为斜边构造直角三角形，利用勾股定理得边长为．
6．【答案】C
【知识点】折线统计图；方差；数形结合
【解析】【解答】解：由统计图可知，乙选手的成绩波动较大，说明其成绩不稳定；甲选手的成绩的波动较小，说明其成绩比较稳定，
∴，
故答案为：C．
【分析】观察折线统计图可知甲数据的变化趋势不大，乙数据的变化趋势较大； 方差是用来衡量一组数据波动大小的量 ，则 乙选手的成绩波动较大，甲选手的成绩的波动较小，所以 。
7．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，，
，
四边形是矩形，，
，，
，
在中，，，
是等腰直角三角形，
，
．
故答案为：A．
【分析】由平行四边形的性质对角相等得，由矩形性质对边相等，四个角是直角得，，则是等腰直角三角形，则，=AB+BC=．
8．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
根据勾股定理可得：，，，
∴，，
∴
∴
∵
∴，
故答案为：B．
【分析】如图，连接，
利用网格构造AC，AB，BC为斜边的直角三角形，利用勾股定理得AC=，BC=，AB=，AC=BC，由勾股定理逆定理得为直角，则．
9．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：求第一条直线解析式：
设过点 、 的直线为 。
代入坐标得方程组：
解得 ，，则解析式为 。
求第二条直线解析式：
设过点 、 的直线为 。
代入坐标得方程组：
解得 ，，则解析式为 。
将两条直线解析式变形联立，可得对应的二元一次方程组：
故答案为：C。
【分析】本题考查一次函数解析式的求解与二元一次方程组的转化。先利用待定系数法，结合两组已知点坐标分别求出两条直线的函数解析式，再将解析式变形联立，转化为对应的二元一次方程组。
10．【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接BF，BE，过点E作EH⊥BC，交BC延长线于H点，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠DAF＝∠BAF，
在△ADF和△ABF中，
，
∴△ADF≌△ABF（SAS），
∴DF＝BF，
∴DF+EF＝BF+EF，
∴BF+EF的最小值即为BE的长，
∵点E是边CD的中点，
∴CE＝2，
∵∠ABC＝60°，AB//CD，
∴∠ECH＝60°，
∴∠CEH＝30°，
∴CH＝1，
∴EH＝=，
∴BH＝4+1=5，
在Rt△BEH中，由勾股定理得：
BE＝，
∴DF+EF的最小值为2．
故答案为：C．
【分析】如图，连接BF，BE，过点E作EH⊥BC，交BC延长线于H点，
由菱形性质得AB＝AD，∠DAF＝∠BAF，则△ADF≌△ABF（SAS），得DF＝BF，则BF+EF的最小值为BE的长，在Rt△BEH中，利用勾股定理得BE=， DF+EF的最小值为2．
11．【答案】5
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理得，第三边的长为：，
故答案为：5．
【分析】根据直角三角形两边直角边的平方和等于斜边的平方，即可求这个三角形第三边的长．
12．【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：直线向上平移一个单位长度，
平移后的直线解析式为，即，
故答案为：．
【分析】一次函数图象的平移规律：上加下减，则．
13．【答案】89
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据题意得：
（80×3+90×5+100×2）÷（3+5+2）=89（分）；
故答案为：89．
【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．
14．【答案】1
【知识点】直角三角形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵D、E分别为、的中点，，
∴，
∵，D为的中点，，
∴，
∴，
故答案为：1．
【分析】本题先利用三角形中位线定理求出线段DE的长度，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出线段DF的长度，最后通过线段差计算出EF的长度。
15．【答案】
【知识点】勾股定理的应用；用代数式表示数值变化规律；正比例函数的图象；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：令，则，
在中，，
解得舍负，
则，
所以点坐标为，
因为由沿射线方向平移个单位长度得到，
即向上平移个单位长度，再向右平移一个单位长度，
所以点的坐标为，
同理可得，点的坐标为，
点的坐标为，
，
所以点的坐标可表示为，
当时，点的坐标为
故答案为：
【分析】在中，由 ，设，则，由勾股定理得，，根据题意得点的坐标为，则，的坐标为，根据规律得点，当n=2025时，则．
16．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；分母有理化；二次根式的混合运算；实数的绝对值
【解析】【分析】先由二次根式的性质得，零指数幂为1，，分母有理化，再计算结果得．
17．【答案】解：设一次函数解析式为，
把，分别代入得，
解得，
所以一次函数解析式为．
【知识点】解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】设一次函数解析式为，将A(0，2)B(1，-1)代入解析式解二元一次方程组，解得．则一次函数解析式．
18．【答案】证明：∵AB∥CD，
∴∠ABO=∠CDO．
∵AO=CO，
∠AOB=∠COD，
∴△ABO≌△CDO．
∴AB=CD，
又∵AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】先证出△ABO≌△CDO，再利用全等三角形的性质可得AB=CD，再结合AB//CD，即可证出四边形ABCD是平行四边形．
19．【答案】（1）证明：由作图可知，∴，
，
，
，
，
（2）证明：，，，
∵，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
【知识点】平行线的判定与性质；菱形的判定；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由作图可知，则ED∥CB，则根据平行线的性质得，由等边对等角得，等角代换得
（2）由作图可知，，等量代换得DF=BG，则 四边形 是平行四边形，由BD=BG，根据邻边相等的平行四边形是菱形，得四边形是菱形．
（1）证明：由作图可知，
∴，
，
，
，
，
平分；
（2）证明：，，
，
∵，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
20．【答案】解：（1）描点如图所示：
（2）这些点在一条直线上．
设与之间的函数关系式为．
将点、代入，得：
，
解得：，
与之间的函数关系式为．
（3）把代入得：，
当碗的个数为12个时，这摞碗的总高度为22厘米．
（4）把代入得：，
解得：，
∴一摞最多能叠20个碗可以一次性放进柜子里．
【知识点】一次函数的概念；一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；描点法画函数图象；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据表格中数据描点；
（2）设与之间的函数关系式为，将点、代入解析式，得关于k，b的二元一次方程组，解得，则函数解析式为；
（3）把代入函数解析式，得y=22；
（4）把代入函数解析式，得x=．
21．【答案】（1），；
（2）②；
（3）甲款软件更优，理由如下：
因为甲、乙两款软件的平均数相同，而甲款软件的众数和中位数都大于乙款软件的众数和中位数
∴甲款软件更优．
【知识点】扇形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）∵甲款打分中，100分出现了7次，次数最多，
∴甲款打分的众数为100分，即；
把乙款20个打分按照从高到低的顺序排列，中位数是第10名和第11名打分的平均数，
∵乙款打分中，A等级的人数为人，
B等级从大到小排序为：98，98，98，98，97，97
第10名和第11名的打分为98分，98分，
∴乙款打分的中位数为分，即．
（2）解：根据题意，得甲的中位数是，在A组；乙的中位数是，在B组；故①错误；
样本数据甲得分96分以上的人数为14人；样本数据乙得分96分以上的人数为人；故②正确；
样本数据甲得满分的人数为7人；而样本数据乙的众数为99分，故乙满分人数一定小于；故③错误
【分析】（1）根据定义：一组数据中出现次数最多的数为众数；一组数据按从小到大或由大到小的顺序排列，处于中间位置的数为中位数，计算填写结果．
（2）根据样本，计算甲的中位数为98.5，乙的中位数为98，甲的满分人数7人，甲的96分以上有14人，．乙的中位数为98，乙的满分人数3人，乙的96分以上有14人，根据结果判断②正确；
（3）根据中位数，众数决策，甲款软件更优．
22．【答案】（1）30
（2）解：甲组的挖掘速度为（/天），
则当时，，
乙组停工后关于的函数解析式为

（3）解：甲、乙两组合作的挖掘速度为（/天），
则乙组的挖掘速度为（/天），
设当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，甲组挖掘了天，
根据题意，得，
解得，
（天）．
答：甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，乙组已停工天．
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用；数形结合
【解析】【解答】（1）解：甲组比乙组多挖掘了（天）．
故答案为：．
【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，分别求出两组的挖掘速度是解题的关键．
（1）从函数图象获取甲比乙多挖掘30天；
（2）计算甲组的挖掘速度为每天3米，则 甲、乙两组挖掘的长度之和 =合作的工作总量＋甲单独完成的工作总量，即关于的函数解析式 ；
（3）两组合作的工作效率为每天7米，由（2）知甲的工作效率为每天3米，则乙工作效率为每天4米，设当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，甲组挖掘了天，根据甲组挖掘的速度甲组挖掘的天数乙组挖掘的速度，列关于的方程，t=40，则乙停工时间为40-30=．
（1）解：甲组比乙组多挖掘了（天）．
故答案为：．
（2）解：甲组的挖掘速度为（/天），
则当时，，
乙组停工后关于的函数解析式为．
（3）解：甲、乙两组合作的挖掘速度为（/天），
则乙组的挖掘速度为（/天），
设当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，甲组挖掘了天，
根据题意，得，
解得，
（天）．
答：甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，乙组已停工天．
23．【答案】（1）2，3，5；
（2）解：，理由如下：
延长至点，使，连接，
∵四边形是正方形，
，
在和中，
，
，
，
平分，
，
，
即，
又∵，
，
，
，
；
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；含30°角的直角三角形；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）∵四边形是正方形，
，
，
过作于点，
平分，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
，
故答案为：．
（3）解：如图，延长至点，使，连接，
是等腰梯形，
，
，
，
，
同(2)中方法可得，
设，
过作交延长线于，
，
，
，
，
，
在中，，
即，
解得，
即．
【分析】（1）如图，过作于点，
由中点得，角平分线性质得BE=EH=2，(HL)、(HL)，在中，设DF=x，则，由勾股定理得，解得x=3，AF=5；
（2），
理由：如图，延长至点，使，
（SAS），等量甲等量结果相等得，由平行线性质得，等角代换得，等角对等边得QA=QE=QB+BE，即AF=DF+BE；
（3）解：如图，延长至点，使，连接，
同（2），则，设，由，则，在中，，FD=1.65．
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