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贵州省铜仁市沿河县2025年5月中考三模测试数学试卷
一、选择题（以下每个小题均有A、B、C、D 四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分）
1．下面实数中，负数是 （　　）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数的概念与分类；有理数的乘方法则；求算术平方根
【解析】【解答】A.0既不是正数也不是负数，故A错误.
B．，故，是负数，故B正确.
C．，是正数，故C错误.
D．任何实数的平方均为非负数，，故D错误.
故答案为：B．
【分析】根据负数的定义，分别判断0既不是正数也不是负数，，是负数，，是正数，即可得答案.
2．下列车标图案中，可以看作由“基本图案”经过旋转得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；生活中的旋转现象；图形的平移
【解析】【解答】解：A、可看作“基本图案”经过旋转得到，故Ａ正确.
B、可看作“基本图案”经过轴对称得到，故Ｂ错误.
C、可看作“基本图案”经过平移缩放得到，故Ｃ错误.
D、可看作“基本图案”经过平移得到，故Ｄ错误.
故答案为：A．
【分析】根据旋转定义分别对A、B、C、D各选项的图形进行判断即可得答案.
3．下列运算结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】去括号法则及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A．和不是同类项，无法合并，故，A错误.
B．，故B正确.
C．，故C错误.
D．，故D错误．
故答案为：B．
【分析】根据同类项的定义及运算法则逐一分析各选项，和不是同类项，无法合并，，，即可得答案.
4．已知某一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则此不等式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：如图，
由数轴可得：不等式的解集为．
A、解不等式得，故A错误.
B、解不等式得，故B错误.
C、解不等式得，故C正确.
D、解不等式得，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据数轴可得此不等式的解集为，分别解A、B、C、D的不等式，即可得答案.
5．用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，下列变形正确的是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
移项，得，
配方，得，即.
故答案为：B．
【分析】根据完全平方公对配方即可得答案.
6．小丽特别喜欢学以致用，这天她尝试建立平面直角坐标系，并在图中标注了部分城市的位置，如图所示，若表示成都、武汉的点的坐标分别为，则表示贵阳的点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：根据成都、武汉的点的坐标分别为即可建立直角坐标系如下：
根据坐标系即可得：贵阳的点的坐标是．
故答案为：C．
【分析】根据成都、武汉的点的坐标分别为即可建立直角坐标系，根据坐标系即可得贵阳的点的坐标是．
7．为了解某校九年级男生的体育长跑成绩情况，体育组的老师随机抽取了100名男生进行长跑测试，为所得数据进行整理后发现长跑成绩合格的有60名学生，估计该校九年级800名男生中长跑成绩合格的人数为 （　　）
A．100人 B．160人 C．360人 D．480人
【答案】D
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：随机抽取的100名男生中，合格人数为60，因此合格率为：，
九年级共有800名男生，按样本合格率估计，合格人数为：（人）．
故答案为：D．
【分析】根据抽取的100名男生中，合格人数为60，求出100名男生中的合格率，再用九年级男生的总人数800人乘以100名男生中的合格率即可得答案.
8．如图，在菱形中，点为和的交点，则下列结论不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，
在菱形中，有：，，，故B、C、D结论成立，
根据现有条件不能得到，故A结论不成立，故A正确.
故答案为：A．
【分析】根据菱形的性质，即可得相等，相等，垂直，即可得答案.
9．为丰富居民的精神文化生活，增加年味，2025年1月31日下午，贵阳市某社区举办了一场“投”你所好，迎春节趣味老年投球比赛，小明的爷爷是参赛选手，小明对爷爷投球击中目标的情况进行了统计，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息，下列说法不正确的是 （　　）
A．随着投球次数的增加，爷爷投球的击中率会逐渐稳定在某一个数附近
B．爷爷投球的击中频率稳定在0.8，击中概率的估计值为0.8
C．若爷爷投球20次，则爷爷投球一定能击中16次
D．若爷爷投球5次，那么不一定能击中目标4次
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：如图，
由统计图可知，随着投球次数的增加，爷爷投球的击中率会逐渐稳定在附近，故A、B说法正确，不符合题意.
若爷爷投球20次，则爷爷投球大约能击中（次），故C说法不正确，符合题意.
若爷爷投球5次，那么不一定能击中目标4次，故D选项的说法正确，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】由统计图可知，随着投球次数的增加，爷爷投球的击中率会逐渐稳定在附近，爷爷投球20次，则爷爷投球大约能击中16次，爷爷投球5次，那么不一定能击中目标4次即可得答案.
10．小英发现银杏叶片的形状近似于扇形，如图是小英画的银杏叶片的几何示意图，通过测量得到，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，
的长为：，
故答案为：B．
【分析】根据弧长公式，代入题目数据求解即可得答案.
11．若关于的方程组与有相同的解，则的值为（　　）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】求代数式的值-直接代入求值；二元一次方程（组）的同解问题；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：∵与有相同的解，
∴两个方程组的公共解为，
∴将分别代入第一个方程组和第二个方程组得：
①+②得：，整理得：，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据两个方程组解相同，得两个方程组的公共解为，将分别代入第一个方程组和第二个方程组得：，①+②得整理得即可得答案.
12．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，下列结论正确的是（　　）
A．
B．该函数图象与轴的交点的纵坐标是
C．当时，函数值
D．当时，随的增大而增大
【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：如图，
由图象可知：抛物线的对称轴为直线，
∴，故A错误.
∴，
把代入，得：，
∴，
∴，
∴当时，，
∴该函数图象与轴的交点的纵坐标是，当时，，故B，C错误.
由图象可知，当时，随的增大而增大，故D错误.
故答案为：D．
【分析】根据函数图象得抛物线的对称轴为直线，即可根据对称轴公式求出，把
代入解析式，得，进一步得，根据解析式，结合二次函数的图象和性质即可得，当时，，当时，随的增大而增大即可得答案.
二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）
13．计算的结果是　 　．
【答案】4
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：4.
【分析】利用二次根式的性质进行乘法运算.
14．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则的度数是　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，
由作图可知：平分，
∴．
故答案为：．
【分析】根据三角形内角和定理，结合=等于，等于，计算出，根据作图，结合角平分线的定义可求得即可得答案.
15．孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理，冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣．”------《三国志》．某动物保护区按照曹冲称象的方法：先将象牵到大船上，并在船的侧面标记水位再将象牵出，然后往船上抬入30块等重的条形石，并在船上留4个搬运工，这时水位恰好到达标记位置；如果再抬入2块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记的位置．已知每个搬运工体重为，则每块条形石的重量为　 　，大象的重量为　 　．
【答案】；
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设每块条形石的重量为，则根据题意得：
，解得，
∴每块条形石的重量为，
∴大象的重量为： ．
故答案为：； ．
【分析】设每块条形石的重量为，结合第一次装船是30块等重的条形石和4个搬运工，第二次装船是32块等重的条形石和1个搬运工，且每个搬运工体重为，即可列方程，解出即可得每块条形石的重量为，即可得大象的重量为.
16．在平行四边形中，对角线与边夹角为，过点作直线的垂线，交直线于点，若，，则平行四边形的面积为　 　．
【答案】或
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：①如图1，
过点作于点，则：，
∵，
∴，
∵对角线与边夹角为，即，
∴在平行四边形中，，
∴在中，，
∴，
∴．
②如图2，
过点作于点，
∵过点作直线的垂线，即，
∴，
∵，
∴，
∵对角线与边夹角为，即，
∴在平行四边形中，，
∴在中，，
，
∴．
故答案为：或．
【分析】当为锐角时，过点作于点，则，根据，
可得，再根据对角线与边夹角为，结合平行四边形性质得，进一步得，再根据可得BC得，进一步根据平行四边形面积公式即可得 平行四边形的面积 ，同理得当为钝角时，平行四边形的面积 ，综合即可得平行四边形的面积为或.
三、解答题（本大题9个小题，共98分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形）
17．（1）计算：；
（2）先化简分式：，然后请你给选择一个合适的值，再求分式的值．
【答案】解：（1）
.
（2）
，
当时，原式.
【知识点】实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）；异分母分式的加、减法；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）先计算乘方，开方，绝对值得，再算加减即可得答案.
（2）先根据分式混合运算的法则把化简得，再根据分式有意义得条件再选出合适的m的值代入进行计算即可得答案.
18．我国传统的计重工具叫称杆也称杆称，是利用杠杆原理来称质量的简易衡器（如图1），小亮模拟杆称设计了杠杆平衡试验（如图2）：在一根米长，匀质的木杆中点处绑细绳将木杆吊起来，在点的左侧距离中点处挂一个重的物体，在点右侧挂一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，小亮调整弹簧秤与点的距离（单位：），发现弹簧秤的示数（单位：）会随之发生改变，他将得到的几组数据四舍五入后制作了下面的表格．
5 10 15 20 25 30 35
32 16 8
（1）在已学过的函数中选择合适的模型，求关于的表达式，并在已给的平面直角坐标系中画出与的大致函数图象；
（2）若弹簧秤的最大量程是，求的取值范围．
【答案】（1）解：根据杠杆平衡原理得：，
∴关于的表达式为：，
画出与的大致函数图象如下：
（2）解：∵，
∴当时，，
∴
又∵木杆长，点为木杆中点，
∴，
∴．
∴的取值范围为.
【知识点】反比例函数的实际应用；描点法画函数图象；作图-反比例函数图象
【解析】【分析】（1）根据杠杆平衡原理得，进一步得关于的表达式为：，根据解析式画出与的大致函数图象即可.
（2）根据解析式得当时，，再根据木杆长，点为木杆中点得，即可得的取值范围.
（1）解：由杠杆平衡原理可知，，
所以关于的表达式为，
画出与的大致函数图象如答图所示．
（2）解：∵，
∴当时，，
∴
又∵木杆长，点为木杆中点，
∴，
∴．
19．2024年是澳门回归25周年.8月1日，我国首颗高精度地磁场探测卫星------澳门科学一号卫星科学数据正式面向全球开放，为国际科学界提供了宝贵的地球物理空间数据资源，展示了中国在航天科技领域的实力．某校为了解七年级500名学生对航天知识的掌握情况，在七年级进行了航天知识测试（满分100）后从七（1）、七（2）两个班级分别随机抽取了12名学生的成绩，进行整理，得到了如下信息：
七（1）班12名学生测试成绩统计如下：82，85，94，94，93，89，87，95，96，97，98，99．
七（2）班12名学生测试成绩统计如下：79，99，88，92，77，97，83，94，91，98，94，100．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）七（1）班12名学生成绩的中位数为____________，七（2）班12名学生成绩的众数为___________；
（2）若本次抽到的24份成绩分别属于14名男生和10名女生，那么从这24名学生中随机抽取1名学生代表七年级参加全区的航天宣传演讲，恰好抽到女生的概率是_____________；
（3）已知这24名同学中成绩在98分及以上的5位分别是2名女生和3名男生，若从中选择两名学生代表七年级参加学校航天知识宣讲比赛，请用树状图或列表的方式求出正好选中“一男一女”的概率．
【答案】（1）94；94
（2）
（3）解：根据题意列表如下：
女 女 男 男 男
女
（女，女） （女，男） （女，男） （女，男）
女 （女，女）
（女，男） （女，男） （女，男）
男 （男，女） （男，女）
（男，男） （男，男）
男 （男，女） （男，女） （男，男）
（男，男）
男 （男，女） （男，女） （男，男） （男，男）
根据表格得：共有20种等可能的结果，其中正好选中“一男一女”的结果有12种，
∴正好选中“一男一女”的概率为．
∴正好选中“一男一女”的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：将七（1）班抽取的12名学生的成绩按照从小到大的顺序排列：
82，85，87，89，93，94，94，95，96，97，98，99，
排在第6名和第7名的成绩均为94分．
∴七（1）班12名学生成绩的中位数为
∵七（2）班12名学生成绩94分出现次数最多，
∴众数为94，
故答案为94；94.
（2）根据题意得：
，
∴恰好抽到女生的概率是.
故答案为：.
【分析】（1）将七（1）班抽取的12名学生的成绩按照从小到大的顺序排列，发现排在第6名和第7名的成绩均为94分，即可得中位数，再根据七（2）班12名学生成绩94分出现次数最多可得众数.
（2）从这24名学生中随机抽取1名学生代表有24种结果，有10名女生，恰好抽到女生有10种结果，代入概率公式即可得答案.
（3）根据题目情景列出表格，根据表格得：共有20种等可能的结果，其中正好选中“一男一女”的结果有12种，根据概率公式进行计算即可．
（1）解：将七（1）班抽取的12名学生的成绩按照从小到大的顺序排列：
82，85，87，89，93，94，94，95，96，97，98，99，
排在第6名和第7名的成绩均为94分．
∴七（1）班12名学生成绩的中位数为
∵七（2）班12名学生成绩94分出现次数最多，
故众数为94，
故答案为94，94；
（2）；
故答案为：；
（3）列表如下：
　 女 女 男 男 男
女 　 （女，女） （女，男） （女，男） （女，男）
女 （女，女） 　 （女，男） （女，男） （女，男）
男 （男，女） （男，女） 　 （男，男） （男，男）
男 （男，女） （男，女） （男，男） 　 （男，男）
男 （男，女） （男，女） （男，男） （男，男） 　
共有20种等可能的结果，其中正好选中“一男一女”的结果有12种，
∴正好选中“一男一女”的概率为．
20．如图，正方形中，点与点分别是边上一点，有下列条件：
①；②；③．
（1）请选择其中一个条件，证明：；
（2）请你在图中画出将绕点顺时针90°后得到的，并延长交于点，求证：．
【答案】（1）证明：选①，证明如下：
如图，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
（2）解：如图，
根据（1）知：，
∴，
由题中旋转知，
∴，
∴，
∵延长交于点，
∴，
∴，
∴
∵正方形中，
∴，
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】（1）选①，根据正方形性质得相等，相等，相等，等于，再根据相等的相等，根据三角形全等的判断可证明全等，再根据全等性质得.
（2）根据题目情景补全图形，根据（1）知：全等，即可得相等，根据旋转的性质得全等，即可得相等，即可在证明相似，即可得相等，根据正方形性质得相等，等于，即可得垂直.
（1）证明：选①：
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
即，
∴，
∴；
选②：
证明：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴
选③：
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴
（2）解：补全图形如图所示
由（1）知，
∴，
由题中旋转知，
∴，
∴，
∵延长交于点，
∴，
∴，
∴
∵正方形中，
∴，
∴.
21．为提升营业额，某超市2025年春节期间推出一款如图所示的挂件．该超市第一次购入这款挂件花费1200元，售完后，第二次又用2000元购入该款挂件．已知超市第二次购入的挂件数量是第一次的2倍且第二次每个挂件购入的单价比第一次便宜1元．
（1）求该超市两次购买这款挂件各多少个；
（2）已知该超市两次销售这款挂件的售价不变，若要使所有挂件售完后的总利润不低于4000元，则每个挂件的售价至少为多少元？
【答案】（1）解：设第一次购买这款挂件的单价为元，则第二次购买这款挂件的单价为元，根据题意得：
，解得：
经检验，是所列方程的解，
∴第一次购买挂件的数量为（个），
第二次购买挂件的数量为（个）
∴该超市第一次购买这款挂件200个，第二次购买这款挂件400个．
（2）解：由（1）得，超市第一次购买挂件的单价为6元，第二次购买挂件的单价为5元，设每个挂件的售价为元，
∵两次购买的挂件售完后的总利润不低于4000元，
∴，解得：.
∴的最小整数解为，
∴每个挂件的售价至少为12元．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设第一次购买这款挂件的单价为元，则第二次购买这款挂件的单价为元，根据题目情景列方程，解出之后即可得该超市第一次购买这款挂件200个，第二次购买这款挂件400个．
（2）根据（1）得，第一次买挂件的单价为6元，第二次买挂件的单价为5元，设每个挂件的售价为元，根据题目情景列出不等式，解出即可得每个挂件的售价至少为12元．
（1）解：设第一次购买这款挂件的单价为元，则第二次购买这款挂件的单价为元，依题意得：
解得
经检验，是所列方程的解，
∴第一次购买挂件的数量为（个），
第二次购买挂件的数量为（个）
答：该超市第一次购买这款挂件200个，第二次购买这款挂件400个．
（2）由（1）得，超市第一次购买挂件的单价为6元，第二次购买挂件的单价为5元，设每个挂件的售价为元，
∵两次购买的挂件售完后的总利润不低于4000元，
∴
解得
∴的最小整数解为，
答：每个挂件的售价至少为12元．
22．2025年1月17日，世界第一高桥花江峡谷大桥合龙，预计2025年内实现通车，通车后，花江峡谷大桥安龙岸与六枝岸之间的车程将从原来的1小时缩短为2分钟．小明看到这则新闻特别开心，小明家在地，奶奶家在地，过去爸爸开车带他回奶奶家每次都要在距他家150公里的地服务区休息一下再走，等花江峡谷大桥建成通车后就不必再绕行到地了，小明画出了自己家到奶奶家的简易行程图，如图所示．
若已知，请你用自己学过的数学知识帮小明算一算：
（参考数据：，结果精确到个位）
（1）大桥建成以后两地直接通行的距离；
（2）求大桥建成发后与之前的路线相比，从地到地的路程将缩短约多少公里．
【答案】（1）解：如图，
过点作于点，则，
∵，
∴在中，
，
，
∵，
∴在中，，
∴.
∴两地直接通行的距离约为205公里．
（2）解：∵，，
∴在中，，
∴，
∴大桥建成以后，从地到地的路程将缩短约51公里．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点作于点，则相等，等于，根据等于，等于，根据正弦、余弦定义即可求出，等于，等于，等于，再根据即可得两地直接通行的距离约为205公里．
（2）根据垂直，等于，相等，即可得等于，等于，即可求出约等于即可得答案.
（1）解：过点作于点，如图所示，则，
∵，
∴在中，
，
，
∵，
∴在中，，
∴；
答：两地直接通行的距离约为205公里．
（2）解：∵，，
∴在中，，
∴，
答：大桥建成以后，从地到地的路程将缩短约51公里．
23．如图，为的直径，点在上，分别过点、点作的切线相交于点，作射线交的延长线于点，连接相交于点．
（1）写出图中一个与相等的角：___________；
（2）求证：；
（3）若，连接，直接写出四边形与的面积比．
【答案】（1）
（2）证明：如图，
连接，点、点都在上，则：，
∵分别与相切于点、点，
∴，
∴点在的中垂线上，点在的中垂线上，
∴，，，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵点在射线上，
∴.
（3）解：四边形与的面积比为：.

【知识点】圆周角定理；切线的性质；切线长定理；直角三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）解：如图，
∵为的直径，与相切于点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
（3）如图，
∵，
∴．
∵，
∴是的中位线，
∴
∵是的垂直平分线，
∴，
∴.
【分析】（1）根据圆周角定理和圆的切线的性质定理得到相等，等于，再根据直角三角形的性质和同角的余角相等的性质得，进一步得相等.
（2）连接，点、点都在上，则相等，根据切线长定理得相等，再根据
线段的垂直平分线的判定定理得，，，再圆周角定理得，即可得.
（3）根据三角形的面积公式，结合可求出，再根据三角形的中位线的定义求得的面积，进而求得四边形的面积，代入化简即可得四边形与的面积比．
（1）解：（答案不唯一）
∵为的直径，与相切于点，
∴，
∴
∴
故答案为
（2）证明：∵分别与相切于点、点，
∴
∴点在的中垂线上，
连接，点、点都在上，如答图所示，
∴
∴点在的中垂线上，
∴是的垂直平分线，即，，，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵点在射线上，
∴
（3）∵，
∴．
∵，
∴是的中位线，
∴
∵是的垂直平分线，
∴，
∴
24．随着直播销售逐渐被大众接受，达人直播带货在短视频平台占据了主导地位，成为各大商家的重要销售渠道，某化妆品商家“双十一”在直播间开展预售活动，销售其旗下品牌化妆品，平均每分钟可售出10件，每件盈利30元；为了扩大销售、增加利润，该店再次发布了降价活动，在保障每件商品利润不少于15元的前提下，经过一段时间销售统计，发现销售单价每降低1元，平均每分钟可多售出1件．设每件商品降价元，请你解决以下问题：
（1）若，则每分钟的销量为______________件，若用含 的代数式表示，降价后每件商品的利润是______________元；
（2）若降价后该商品每分钟的销售量记作件，请你求出与之间的关系式及的取值范围；
（3）请你算一算每件商品降价多少元时，该直播间商家每分钟能拿到最多的销售利润？最多为多少元？
【答案】（1）12；
（2）解：根据题意得：
∵每件商品利润不少于15元，
∴
∴
∴与的函数关系式为.
（3）解：设每件商品降价元时，该直播间商家每分钟销售利润为元，由题意得：
，
∵，
∴当时，能取到最大值，最大值为400元，
∴当每件商品降价10元时，该直播间商家每分钟能拿到最多的销售利润，最大利润为400元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用；二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解】（1）解：设每件商品降价元，则每分钟的销量为件，降价后每件商品的利润为元，
∴当时，每分钟的销量为件．
故答案为：12；.
【分析】（1）设每件商品降价元，则每分钟的销量为件，降价后每件商品的利润为元，当时，每分钟的销量为12件．
（2）根据题目情景列出函数关系式，根据每件商品利润不少于15元，即可求出自变量的取值范围.
（3）设每件商品降价元时，该直播间商家每分钟销售利润为元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质，即可得 当时，能取到最大值，最大值为400元.
（1）解：设每件商品降价元，则每分钟的销量为件，降价后每件商品的利润为元，
∴当时，每分钟的销量为件．
故答案为：12，；
（2）由题意，得
∵每件商品利润不少于15元，
∴
∴
∴与的函数关系式为
（3）设每件商品降价元时，该直播间商家每分钟销售利润为元，
由题意，得，
∵，
∴当时，能取到最大值，最大值为400元，
即当每件商品降价10元时，该直播间商家每分钟能拿到最多的销售利润，最大利润为400元．
25．【问题解决】（1）如图，在正方形中，点为边上的一点，过点作于点，交于点，求的值；
【灵活运用】（2）如图2，在矩形中，点是边上一点，连接，过点作于点，交于点，若，求的值；
【知识迁移】（3）如图3，在中，，点是边的中点，连接，过点作于点，交于点，若，求的值．
【答案】解：（1）如图1，
∵四边形是正方形，
∴
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）如图2，
∵四边形为矩形，
∴
∴
∵于点，
∴
∴
∴
∴
∴．
（3）如图3，
构造矩形，延长交于点，
由（2）中结论可得，
∵，
∴设，
∵点为的中点，
∴
在中，根据勾股定理，得
∵
∴，
∴，解得，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，即，解得
∴．
【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据正方形性质得相等，相等，等于，根据同角的余角相等即可得相等，再根据三角形全等判定定理即可证明即可.
（2）根据四边形为矩形，即可得相等，等于6，相等，等于8，、相等，等于，即可得和为，再根据垂直，即可得与等于，即可证明相等，即可证明，根据相似性质即可得.
（3）构造矩形，延长交于点，根据（2）得，再根据条件可设等于，等于，根据中点性质得，根据勾股定理得，
根据相似性质得，列比例式即可得，根据矩形性质得相等，相等，即可证明，根据相似性质列比例式即可得.
1 / 1贵州省铜仁市沿河县2025年5月中考三模测试数学试卷
一、选择题（以下每个小题均有A、B、C、D 四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分）
1．下面实数中，负数是 （　　）
A．0 B． C． D．
2．下列车标图案中，可以看作由“基本图案”经过旋转得到的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列运算结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．已知某一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则此不等式是（　　）
A． B． C． D．
5．用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，下列变形正确的是 （　　）
A． B． C． D．
6．小丽特别喜欢学以致用，这天她尝试建立平面直角坐标系，并在图中标注了部分城市的位置，如图所示，若表示成都、武汉的点的坐标分别为，则表示贵阳的点坐标是（　　）
A． B． C． D．
7．为了解某校九年级男生的体育长跑成绩情况，体育组的老师随机抽取了100名男生进行长跑测试，为所得数据进行整理后发现长跑成绩合格的有60名学生，估计该校九年级800名男生中长跑成绩合格的人数为 （　　）
A．100人 B．160人 C．360人 D．480人
8．如图，在菱形中，点为和的交点，则下列结论不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
9．为丰富居民的精神文化生活，增加年味，2025年1月31日下午，贵阳市某社区举办了一场“投”你所好，迎春节趣味老年投球比赛，小明的爷爷是参赛选手，小明对爷爷投球击中目标的情况进行了统计，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息，下列说法不正确的是 （　　）
A．随着投球次数的增加，爷爷投球的击中率会逐渐稳定在某一个数附近
B．爷爷投球的击中频率稳定在0.8，击中概率的估计值为0.8
C．若爷爷投球20次，则爷爷投球一定能击中16次
D．若爷爷投球5次，那么不一定能击中目标4次
10．小英发现银杏叶片的形状近似于扇形，如图是小英画的银杏叶片的几何示意图，通过测量得到，则的长为（　　）
A． B． C． D．
11．若关于的方程组与有相同的解，则的值为（　　）
A． B． C．3 D．
12．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，下列结论正确的是（　　）
A．
B．该函数图象与轴的交点的纵坐标是
C．当时，函数值
D．当时，随的增大而增大
二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）
13．计算的结果是　 　．
14．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则的度数是　 　．
15．孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理，冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣．”------《三国志》．某动物保护区按照曹冲称象的方法：先将象牵到大船上，并在船的侧面标记水位再将象牵出，然后往船上抬入30块等重的条形石，并在船上留4个搬运工，这时水位恰好到达标记位置；如果再抬入2块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记的位置．已知每个搬运工体重为，则每块条形石的重量为　 　，大象的重量为　 　．
16．在平行四边形中，对角线与边夹角为，过点作直线的垂线，交直线于点，若，，则平行四边形的面积为　 　．
三、解答题（本大题9个小题，共98分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形）
17．（1）计算：；
（2）先化简分式：，然后请你给选择一个合适的值，再求分式的值．
18．我国传统的计重工具叫称杆也称杆称，是利用杠杆原理来称质量的简易衡器（如图1），小亮模拟杆称设计了杠杆平衡试验（如图2）：在一根米长，匀质的木杆中点处绑细绳将木杆吊起来，在点的左侧距离中点处挂一个重的物体，在点右侧挂一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，小亮调整弹簧秤与点的距离（单位：），发现弹簧秤的示数（单位：）会随之发生改变，他将得到的几组数据四舍五入后制作了下面的表格．
5 10 15 20 25 30 35
32 16 8
（1）在已学过的函数中选择合适的模型，求关于的表达式，并在已给的平面直角坐标系中画出与的大致函数图象；
（2）若弹簧秤的最大量程是，求的取值范围．
19．2024年是澳门回归25周年.8月1日，我国首颗高精度地磁场探测卫星------澳门科学一号卫星科学数据正式面向全球开放，为国际科学界提供了宝贵的地球物理空间数据资源，展示了中国在航天科技领域的实力．某校为了解七年级500名学生对航天知识的掌握情况，在七年级进行了航天知识测试（满分100）后从七（1）、七（2）两个班级分别随机抽取了12名学生的成绩，进行整理，得到了如下信息：
七（1）班12名学生测试成绩统计如下：82，85，94，94，93，89，87，95，96，97，98，99．
七（2）班12名学生测试成绩统计如下：79，99，88，92，77，97，83，94，91，98，94，100．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）七（1）班12名学生成绩的中位数为____________，七（2）班12名学生成绩的众数为___________；
（2）若本次抽到的24份成绩分别属于14名男生和10名女生，那么从这24名学生中随机抽取1名学生代表七年级参加全区的航天宣传演讲，恰好抽到女生的概率是_____________；
（3）已知这24名同学中成绩在98分及以上的5位分别是2名女生和3名男生，若从中选择两名学生代表七年级参加学校航天知识宣讲比赛，请用树状图或列表的方式求出正好选中“一男一女”的概率．
20．如图，正方形中，点与点分别是边上一点，有下列条件：
①；②；③．
（1）请选择其中一个条件，证明：；
（2）请你在图中画出将绕点顺时针90°后得到的，并延长交于点，求证：．
21．为提升营业额，某超市2025年春节期间推出一款如图所示的挂件．该超市第一次购入这款挂件花费1200元，售完后，第二次又用2000元购入该款挂件．已知超市第二次购入的挂件数量是第一次的2倍且第二次每个挂件购入的单价比第一次便宜1元．
（1）求该超市两次购买这款挂件各多少个；
（2）已知该超市两次销售这款挂件的售价不变，若要使所有挂件售完后的总利润不低于4000元，则每个挂件的售价至少为多少元？
22．2025年1月17日，世界第一高桥花江峡谷大桥合龙，预计2025年内实现通车，通车后，花江峡谷大桥安龙岸与六枝岸之间的车程将从原来的1小时缩短为2分钟．小明看到这则新闻特别开心，小明家在地，奶奶家在地，过去爸爸开车带他回奶奶家每次都要在距他家150公里的地服务区休息一下再走，等花江峡谷大桥建成通车后就不必再绕行到地了，小明画出了自己家到奶奶家的简易行程图，如图所示．
若已知，请你用自己学过的数学知识帮小明算一算：
（参考数据：，结果精确到个位）
（1）大桥建成以后两地直接通行的距离；
（2）求大桥建成发后与之前的路线相比，从地到地的路程将缩短约多少公里．
23．如图，为的直径，点在上，分别过点、点作的切线相交于点，作射线交的延长线于点，连接相交于点．
（1）写出图中一个与相等的角：___________；
（2）求证：；
（3）若，连接，直接写出四边形与的面积比．
24．随着直播销售逐渐被大众接受，达人直播带货在短视频平台占据了主导地位，成为各大商家的重要销售渠道，某化妆品商家“双十一”在直播间开展预售活动，销售其旗下品牌化妆品，平均每分钟可售出10件，每件盈利30元；为了扩大销售、增加利润，该店再次发布了降价活动，在保障每件商品利润不少于15元的前提下，经过一段时间销售统计，发现销售单价每降低1元，平均每分钟可多售出1件．设每件商品降价元，请你解决以下问题：
（1）若，则每分钟的销量为______________件，若用含 的代数式表示，降价后每件商品的利润是______________元；
（2）若降价后该商品每分钟的销售量记作件，请你求出与之间的关系式及的取值范围；
（3）请你算一算每件商品降价多少元时，该直播间商家每分钟能拿到最多的销售利润？最多为多少元？
25．【问题解决】（1）如图，在正方形中，点为边上的一点，过点作于点，交于点，求的值；
【灵活运用】（2）如图2，在矩形中，点是边上一点，连接，过点作于点，交于点，若，求的值；
【知识迁移】（3）如图3，在中，，点是边的中点，连接，过点作于点，交于点，若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】实数的概念与分类；有理数的乘方法则；求算术平方根
【解析】【解答】A.0既不是正数也不是负数，故A错误.
B．，故，是负数，故B正确.
C．，是正数，故C错误.
D．任何实数的平方均为非负数，，故D错误.
故答案为：B．
【分析】根据负数的定义，分别判断0既不是正数也不是负数，，是负数，，是正数，即可得答案.
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；生活中的旋转现象；图形的平移
【解析】【解答】解：A、可看作“基本图案”经过旋转得到，故Ａ正确.
B、可看作“基本图案”经过轴对称得到，故Ｂ错误.
C、可看作“基本图案”经过平移缩放得到，故Ｃ错误.
D、可看作“基本图案”经过平移得到，故Ｄ错误.
故答案为：A．
【分析】根据旋转定义分别对A、B、C、D各选项的图形进行判断即可得答案.
3．【答案】B
【知识点】去括号法则及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A．和不是同类项，无法合并，故，A错误.
B．，故B正确.
C．，故C错误.
D．，故D错误．
故答案为：B．
【分析】根据同类项的定义及运算法则逐一分析各选项，和不是同类项，无法合并，，，即可得答案.
4．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：如图，
由数轴可得：不等式的解集为．
A、解不等式得，故A错误.
B、解不等式得，故B错误.
C、解不等式得，故C正确.
D、解不等式得，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据数轴可得此不等式的解集为，分别解A、B、C、D的不等式，即可得答案.
5．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
移项，得，
配方，得，即.
故答案为：B．
【分析】根据完全平方公对配方即可得答案.
6．【答案】C
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：根据成都、武汉的点的坐标分别为即可建立直角坐标系如下：
根据坐标系即可得：贵阳的点的坐标是．
故答案为：C．
【分析】根据成都、武汉的点的坐标分别为即可建立直角坐标系，根据坐标系即可得贵阳的点的坐标是．
7．【答案】D
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：随机抽取的100名男生中，合格人数为60，因此合格率为：，
九年级共有800名男生，按样本合格率估计，合格人数为：（人）．
故答案为：D．
【分析】根据抽取的100名男生中，合格人数为60，求出100名男生中的合格率，再用九年级男生的总人数800人乘以100名男生中的合格率即可得答案.
8．【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，
在菱形中，有：，，，故B、C、D结论成立，
根据现有条件不能得到，故A结论不成立，故A正确.
故答案为：A．
【分析】根据菱形的性质，即可得相等，相等，垂直，即可得答案.
9．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：如图，
由统计图可知，随着投球次数的增加，爷爷投球的击中率会逐渐稳定在附近，故A、B说法正确，不符合题意.
若爷爷投球20次，则爷爷投球大约能击中（次），故C说法不正确，符合题意.
若爷爷投球5次，那么不一定能击中目标4次，故D选项的说法正确，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】由统计图可知，随着投球次数的增加，爷爷投球的击中率会逐渐稳定在附近，爷爷投球20次，则爷爷投球大约能击中16次，爷爷投球5次，那么不一定能击中目标4次即可得答案.
10．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，
的长为：，
故答案为：B．
【分析】根据弧长公式，代入题目数据求解即可得答案.
11．【答案】D
【知识点】求代数式的值-直接代入求值；二元一次方程（组）的同解问题；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：∵与有相同的解，
∴两个方程组的公共解为，
∴将分别代入第一个方程组和第二个方程组得：
①+②得：，整理得：，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据两个方程组解相同，得两个方程组的公共解为，将分别代入第一个方程组和第二个方程组得：，①+②得整理得即可得答案.
12．【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：如图，
由图象可知：抛物线的对称轴为直线，
∴，故A错误.
∴，
把代入，得：，
∴，
∴，
∴当时，，
∴该函数图象与轴的交点的纵坐标是，当时，，故B，C错误.
由图象可知，当时，随的增大而增大，故D错误.
故答案为：D．
【分析】根据函数图象得抛物线的对称轴为直线，即可根据对称轴公式求出，把
代入解析式，得，进一步得，根据解析式，结合二次函数的图象和性质即可得，当时，，当时，随的增大而增大即可得答案.
13．【答案】4
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：4.
【分析】利用二次根式的性质进行乘法运算.
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，
由作图可知：平分，
∴．
故答案为：．
【分析】根据三角形内角和定理，结合=等于，等于，计算出，根据作图，结合角平分线的定义可求得即可得答案.
15．【答案】；
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设每块条形石的重量为，则根据题意得：
，解得，
∴每块条形石的重量为，
∴大象的重量为： ．
故答案为：； ．
【分析】设每块条形石的重量为，结合第一次装船是30块等重的条形石和4个搬运工，第二次装船是32块等重的条形石和1个搬运工，且每个搬运工体重为，即可列方程，解出即可得每块条形石的重量为，即可得大象的重量为.
16．【答案】或
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：①如图1，
过点作于点，则：，
∵，
∴，
∵对角线与边夹角为，即，
∴在平行四边形中，，
∴在中，，
∴，
∴．
②如图2，
过点作于点，
∵过点作直线的垂线，即，
∴，
∵，
∴，
∵对角线与边夹角为，即，
∴在平行四边形中，，
∴在中，，
，
∴．
故答案为：或．
【分析】当为锐角时，过点作于点，则，根据，
可得，再根据对角线与边夹角为，结合平行四边形性质得，进一步得，再根据可得BC得，进一步根据平行四边形面积公式即可得 平行四边形的面积 ，同理得当为钝角时，平行四边形的面积 ，综合即可得平行四边形的面积为或.
17．【答案】解：（1）
.
（2）
，
当时，原式.
【知识点】实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）；异分母分式的加、减法；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）先计算乘方，开方，绝对值得，再算加减即可得答案.
（2）先根据分式混合运算的法则把化简得，再根据分式有意义得条件再选出合适的m的值代入进行计算即可得答案.
18．【答案】（1）解：根据杠杆平衡原理得：，
∴关于的表达式为：，
画出与的大致函数图象如下：
（2）解：∵，
∴当时，，
∴
又∵木杆长，点为木杆中点，
∴，
∴．
∴的取值范围为.
【知识点】反比例函数的实际应用；描点法画函数图象；作图-反比例函数图象
【解析】【分析】（1）根据杠杆平衡原理得，进一步得关于的表达式为：，根据解析式画出与的大致函数图象即可.
（2）根据解析式得当时，，再根据木杆长，点为木杆中点得，即可得的取值范围.
（1）解：由杠杆平衡原理可知，，
所以关于的表达式为，
画出与的大致函数图象如答图所示．
（2）解：∵，
∴当时，，
∴
又∵木杆长，点为木杆中点，
∴，
∴．
19．【答案】（1）94；94
（2）
（3）解：根据题意列表如下：
女 女 男 男 男
女
（女，女） （女，男） （女，男） （女，男）
女 （女，女）
（女，男） （女，男） （女，男）
男 （男，女） （男，女）
（男，男） （男，男）
男 （男，女） （男，女） （男，男）
（男，男）
男 （男，女） （男，女） （男，男） （男，男）
根据表格得：共有20种等可能的结果，其中正好选中“一男一女”的结果有12种，
∴正好选中“一男一女”的概率为．
∴正好选中“一男一女”的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：将七（1）班抽取的12名学生的成绩按照从小到大的顺序排列：
82，85，87，89，93，94，94，95，96，97，98，99，
排在第6名和第7名的成绩均为94分．
∴七（1）班12名学生成绩的中位数为
∵七（2）班12名学生成绩94分出现次数最多，
∴众数为94，
故答案为94；94.
（2）根据题意得：
，
∴恰好抽到女生的概率是.
故答案为：.
【分析】（1）将七（1）班抽取的12名学生的成绩按照从小到大的顺序排列，发现排在第6名和第7名的成绩均为94分，即可得中位数，再根据七（2）班12名学生成绩94分出现次数最多可得众数.
（2）从这24名学生中随机抽取1名学生代表有24种结果，有10名女生，恰好抽到女生有10种结果，代入概率公式即可得答案.
（3）根据题目情景列出表格，根据表格得：共有20种等可能的结果，其中正好选中“一男一女”的结果有12种，根据概率公式进行计算即可．
（1）解：将七（1）班抽取的12名学生的成绩按照从小到大的顺序排列：
82，85，87，89，93，94，94，95，96，97，98，99，
排在第6名和第7名的成绩均为94分．
∴七（1）班12名学生成绩的中位数为
∵七（2）班12名学生成绩94分出现次数最多，
故众数为94，
故答案为94，94；
（2）；
故答案为：；
（3）列表如下：
　 女 女 男 男 男
女 　 （女，女） （女，男） （女，男） （女，男）
女 （女，女） 　 （女，男） （女，男） （女，男）
男 （男，女） （男，女） 　 （男，男） （男，男）
男 （男，女） （男，女） （男，男） 　 （男，男）
男 （男，女） （男，女） （男，男） （男，男） 　
共有20种等可能的结果，其中正好选中“一男一女”的结果有12种，
∴正好选中“一男一女”的概率为．
20．【答案】（1）证明：选①，证明如下：
如图，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
（2）解：如图，
根据（1）知：，
∴，
由题中旋转知，
∴，
∴，
∵延长交于点，
∴，
∴，
∴
∵正方形中，
∴，
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】（1）选①，根据正方形性质得相等，相等，相等，等于，再根据相等的相等，根据三角形全等的判断可证明全等，再根据全等性质得.
（2）根据题目情景补全图形，根据（1）知：全等，即可得相等，根据旋转的性质得全等，即可得相等，即可在证明相似，即可得相等，根据正方形性质得相等，等于，即可得垂直.
（1）证明：选①：
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
即，
∴，
∴；
选②：
证明：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴
选③：
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴
（2）解：补全图形如图所示
由（1）知，
∴，
由题中旋转知，
∴，
∴，
∵延长交于点，
∴，
∴，
∴
∵正方形中，
∴，
∴.
21．【答案】（1）解：设第一次购买这款挂件的单价为元，则第二次购买这款挂件的单价为元，根据题意得：
，解得：
经检验，是所列方程的解，
∴第一次购买挂件的数量为（个），
第二次购买挂件的数量为（个）
∴该超市第一次购买这款挂件200个，第二次购买这款挂件400个．
（2）解：由（1）得，超市第一次购买挂件的单价为6元，第二次购买挂件的单价为5元，设每个挂件的售价为元，
∵两次购买的挂件售完后的总利润不低于4000元，
∴，解得：.
∴的最小整数解为，
∴每个挂件的售价至少为12元．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设第一次购买这款挂件的单价为元，则第二次购买这款挂件的单价为元，根据题目情景列方程，解出之后即可得该超市第一次购买这款挂件200个，第二次购买这款挂件400个．
（2）根据（1）得，第一次买挂件的单价为6元，第二次买挂件的单价为5元，设每个挂件的售价为元，根据题目情景列出不等式，解出即可得每个挂件的售价至少为12元．
（1）解：设第一次购买这款挂件的单价为元，则第二次购买这款挂件的单价为元，依题意得：
解得
经检验，是所列方程的解，
∴第一次购买挂件的数量为（个），
第二次购买挂件的数量为（个）
答：该超市第一次购买这款挂件200个，第二次购买这款挂件400个．
（2）由（1）得，超市第一次购买挂件的单价为6元，第二次购买挂件的单价为5元，设每个挂件的售价为元，
∵两次购买的挂件售完后的总利润不低于4000元，
∴
解得
∴的最小整数解为，
答：每个挂件的售价至少为12元．
22．【答案】（1）解：如图，
过点作于点，则，
∵，
∴在中，
，
，
∵，
∴在中，，
∴.
∴两地直接通行的距离约为205公里．
（2）解：∵，，
∴在中，，
∴，
∴大桥建成以后，从地到地的路程将缩短约51公里．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点作于点，则相等，等于，根据等于，等于，根据正弦、余弦定义即可求出，等于，等于，等于，再根据即可得两地直接通行的距离约为205公里．
（2）根据垂直，等于，相等，即可得等于，等于，即可求出约等于即可得答案.
（1）解：过点作于点，如图所示，则，
∵，
∴在中，
，
，
∵，
∴在中，，
∴；
答：两地直接通行的距离约为205公里．
（2）解：∵，，
∴在中，，
∴，
答：大桥建成以后，从地到地的路程将缩短约51公里．
23．【答案】（1）
（2）证明：如图，
连接，点、点都在上，则：，
∵分别与相切于点、点，
∴，
∴点在的中垂线上，点在的中垂线上，
∴，，，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵点在射线上，
∴.
（3）解：四边形与的面积比为：.

【知识点】圆周角定理；切线的性质；切线长定理；直角三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）解：如图，
∵为的直径，与相切于点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
（3）如图，
∵，
∴．
∵，
∴是的中位线，
∴
∵是的垂直平分线，
∴，
∴.
【分析】（1）根据圆周角定理和圆的切线的性质定理得到相等，等于，再根据直角三角形的性质和同角的余角相等的性质得，进一步得相等.
（2）连接，点、点都在上，则相等，根据切线长定理得相等，再根据
线段的垂直平分线的判定定理得，，，再圆周角定理得，即可得.
（3）根据三角形的面积公式，结合可求出，再根据三角形的中位线的定义求得的面积，进而求得四边形的面积，代入化简即可得四边形与的面积比．
（1）解：（答案不唯一）
∵为的直径，与相切于点，
∴，
∴
∴
故答案为
（2）证明：∵分别与相切于点、点，
∴
∴点在的中垂线上，
连接，点、点都在上，如答图所示，
∴
∴点在的中垂线上，
∴是的垂直平分线，即，，，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵点在射线上，
∴
（3）∵，
∴．
∵，
∴是的中位线，
∴
∵是的垂直平分线，
∴，
∴
24．【答案】（1）12；
（2）解：根据题意得：
∵每件商品利润不少于15元，
∴
∴
∴与的函数关系式为.
（3）解：设每件商品降价元时，该直播间商家每分钟销售利润为元，由题意得：
，
∵，
∴当时，能取到最大值，最大值为400元，
∴当每件商品降价10元时，该直播间商家每分钟能拿到最多的销售利润，最大利润为400元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用；二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解】（1）解：设每件商品降价元，则每分钟的销量为件，降价后每件商品的利润为元，
∴当时，每分钟的销量为件．
故答案为：12；.
【分析】（1）设每件商品降价元，则每分钟的销量为件，降价后每件商品的利润为元，当时，每分钟的销量为12件．
（2）根据题目情景列出函数关系式，根据每件商品利润不少于15元，即可求出自变量的取值范围.
（3）设每件商品降价元时，该直播间商家每分钟销售利润为元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质，即可得 当时，能取到最大值，最大值为400元.
（1）解：设每件商品降价元，则每分钟的销量为件，降价后每件商品的利润为元，
∴当时，每分钟的销量为件．
故答案为：12，；
（2）由题意，得
∵每件商品利润不少于15元，
∴
∴
∴与的函数关系式为
（3）设每件商品降价元时，该直播间商家每分钟销售利润为元，
由题意，得，
∵，
∴当时，能取到最大值，最大值为400元，
即当每件商品降价10元时，该直播间商家每分钟能拿到最多的销售利润，最大利润为400元．
25．【答案】解：（1）如图1，
∵四边形是正方形，
∴
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）如图2，
∵四边形为矩形，
∴
∴
∵于点，
∴
∴
∴
∴
∴．
（3）如图3，
构造矩形，延长交于点，
由（2）中结论可得，
∵，
∴设，
∵点为的中点，
∴
在中，根据勾股定理，得
∵
∴，
∴，解得，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，即，解得
∴．
【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据正方形性质得相等，相等，等于，根据同角的余角相等即可得相等，再根据三角形全等判定定理即可证明即可.
（2）根据四边形为矩形，即可得相等，等于6，相等，等于8，、相等，等于，即可得和为，再根据垂直，即可得与等于，即可证明相等，即可证明，根据相似性质即可得.
（3）构造矩形，延长交于点，根据（2）得，再根据条件可设等于，等于，根据中点性质得，根据勾股定理得，
根据相似性质得，列比例式即可得，根据矩形性质得相等，相等，即可证明，根据相似性质列比例式即可得.
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