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江苏省镇江中学2024-2025学年高一下学期期中学情检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数，为虚数单位，则复数的虚部为（　　）
A． B． C．1 D．-1
【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，复数的虚部为.
故答案为：D.
【分析】根据复数代数形式的乘法运算求得z，再根据复数的概念求解即可.
2．已知水平放置的的直观图如图所示，，，则边AB上的中线的实际长度为（　　）
A．4 B． C． D．5
【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：因为的实际图形应是直角三角形，
两条直角边长分别是6和8，斜边AB的长度为10，
所以边AB上的中线的实际长度为5.
故答案为：D.
【分析】根据斜二测画法的规则，再结合直角三角形的结构特征和中线的定义，即可得出边AB上的中线的实际长度.
3．已知向量，满足：，，，则（　　）
A． B．5 C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以.
故选：B
【分析】首先根据向量模的运算法则（对于向量，则）求出，再根据向量数量积的运算法则计算可得.
4．下列叙述中，正确的是（　　）．
A．因为，，所以
B．因为，，所以
C．因为，，，所以
D．因为，，所以
【答案】D
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】解：A：因为，所以，故A错误；
B：因为，所以或，故B错误；
C：因为，所以，故C错误；
D：因为，所以，故D正确.
故答案为：D
【分析】本题考查平面的基本公理（公理 1、公理 3）及符号表示规则，核心是区分 “点与直线 / 平面”“直线与平面” 的关系符号（∈表示点在图形上， 表示图形包含于图形），结合公理判断直线与平面、平面与平面的位置关系。
5．已知等边三角形的边长为1，设，，，那么（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：在等边三角形中，
得出．
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合等边三角形的特点和数量积的定义，从而得出的值．
6．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为，所以，
即，则．
故答案为：D．
【分析】利用余弦的二倍角公式，结合诱导公式求解即可.
7．设，，，则有（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：
因为当时，为增函数，
所以，故
故答案为：C.
【分析】分别利用两角差的正弦公式、二倍角正切公式、二倍角余弦公式化简、、，得到它们对应的正弦值，再根据正弦函数在上的单调性比较大小。
8．在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，，若有两解，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：已知，，，由正弦定理可得：，
即.
因为，所以.
要使有两解，则，且，此时的取值范围是.
由，且，可得，得到.
的取值范围是，
故答案为：B.
【分析】本题考查利用正弦定理判断三角形解的个数，核心是结合正弦定理得出sinA的表达式，再根据 “三角形有两解” 的条件（sinA∈(sinB，1)且A为锐角 / 钝角两种情况）确定边长的取值范围。
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中错误的是（　　）
A．
B．若，则的最大值为
C．若，则复平面内对应的点位于第一象限
D．若是关于的方程的一个根，则
【答案】A,C,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模；复数运算的几何意义；方程在复数范围内的解集
【解析】【解答】解：设，则，其中，
A：，，故故A错误；
B：因为，由复数的几何意义可知复数对应的点在以原点为圆心的单位圆上，
而表示圆上的点到点的距离，又圆心到的距离为，
所以圆上的点到的最大距离为，故B正确；
C：因为，所以，复平面内对应的点位于第二象限，故C错误；
D：是关于的方程的一个根，
所以，整理可得，
所以，解得，故D错误；
故答案为：ACD.
【分析】A：设复数（），分别计算和的表达式，对比是否相等。
B：根据复数模的几何意义，表示单位圆，为圆上点到的距离，求该距离的最大值。
C：先计算的结果，再确定其共轭复数在复平面内的坐标，判断所在象限。
D：利用实系数方程的虚根成对定理，将根代入方程，结合复数相等条件求解的值。
10．给出下列命题中，其中正确的选项有（　　）
A．若非零向量，满足：，则与共线且同向
B．若非零向量，满足：，则与的夹角为
C．若，，与向量夹角为钝角，则取值范围为
D．在中，若，则为等腰三角形
【答案】A,D
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：A，对非零向量，，
若使成立，即使成立，
则，即，所以与共线且同向，A正确；
B：非零向量满足，则以为三边的三角形为等边三角形，故与的夹角为30°，B错误；
C：因为与向量夹角为钝角，故且不共线反向，故且，故且，C错误；
D：因为都为单位向量，所以向量所在的直线为角的角平分线，又因为，即，所以，即为等腰三角形，D正确.
故答案为：AD.
【分析】A：对两边平方，结合数量积公式推导向量夹角，判断与的共线方向。
B：由确定向量构成的三角形形状，计算与的夹角。
C：根据向量夹角为钝角的条件（数量积小于0且不共线反向），列不等式求解的取值范围。
D：分析的几何意义（角平分线方向），结合向量垂直的性质判断三角形形状。
11．在锐角中，角，，对边分别为，，，设向量，，且，则下列选项正确的是（　　）
A． B．
C．的取值范围是 D．
【答案】B,C,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；简单的三角恒等变换；解三角形
【解析】【解答】解：A，因为向量，，且，所以，
由余弦定理得，
即，又因为为锐角三角形，所以，
所以，故A错误；
B，由正弦定理、得
，
因为在锐角中，，
所以，可得，故B正确；
C，因为，所以，，
可得，由正弦定理可得，故C正确；
D，因为，所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】A：由向量共线得，结合余弦定理推导与的大小关系。
B：利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角恒等变换推导与的关系。
C：根据锐角三角形的角的范围确定的取值，再由正弦定理将转化为，求其取值范围。
D：由及的范围确定的范围，进而判断与的大小关系。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知平面向量，，则在上的投影向量的坐标为　 　.
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：向量，，易知，
则在上的投影向量为.
故答案为：.
【分析】利用向量数量积的坐标运算，以及投影向量的定义求解即可.
13．　 　.
【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】利用两角差的余弦公式化简求值即可.
14．如图，一幅壁画的最高点A处离地面12m，最低点B处离地面7m，现在从离地高4m的C处观赏它．
①若C处离墙的距离为6m，则　 　；
②若要视角最大，则离墙的距离为　 　m．
【答案】；；
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的正切公式
【解析】【解答】 ①
填空1：
过作，交的延长线于，则，
，
，
② 设离墙的距离为，
，
当且仅当时等号成立.
由于，所以当最大时，最大，此时.
故答案为： ①； ②
【分析】(1) 构建几何模型，利用两角差的正切公式，结合已知的高度和水平距离，计算tanθ的值；
(2) 设离墙距离为x，建立tanθ关于x的函数表达式，利用基本不等式求θ最大时x的取值。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知复数满足为纯虚数，．
（1）求以及；
（2）设，若，求实数的值．
【答案】（1）解：设，则，
由为纯虚数，
得①，且，
由，得②，
由①②解得，验证知，满足题意.
所以.
（2）解：由（1）可知，，
由，得，
整理，得，
解得或.
故实数的值为1或5.
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【分析】(1) 设复数的代数形式（），利用纯虚数的定义（实部为0、虚部不为0）和共轭复数的运算关系列方程，求解、得到和；
(2) 将和代入的表达式，化简后利用复数模的公式列方程，求解实数的值。
（1）设，则，
由为纯虚数，
得①，且，
由，得②，
由①②解得，验证知，满足题意.
所以.
（2）由（1）可知，，
由，得，
整理，得，
解得或.
故实数的值为1或5.
16．在直角坐标系中，已知向量，，（其中），为坐标平面内一点.
（1）若，，三点共线，求的值；
（2）若向量与的夹角为，求的值；
（3）若四边形为矩形，求点坐标.
【答案】（1）解：向量，，，
所以，，
由，，三点共线知，，
即，解得；
（2）解：，
解得，

（3）解：设，
由，，
，
，
若四边形为矩形，则，
即，解得；
由，得，
解得，
故

【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据平面向量的坐标运算（三角形法则）求出、，利用，，三点共线列方程求出的值．
三角形减法法则：，简记为：共起点，连终点，指被减.
（2）利用向量的夹角公式即可求解.
（3）由平面向量的坐标运算和矩形的定义，列方程组求出、、的值，再求和．
17．已知角，满足，，且，.
（1）求的值；
（2）求的大小.
【答案】（1）解：因为，，所以；
因为，，所以
所以，，
所以；
（2）解：因为，，所以，
因为，，所以，，
，得，，
，因为
所以.
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】(1) 先由同角三角函数基本关系求、，再用二倍角公式求、，最后代入两角差的正弦公式计算；
(2) 用二倍角公式求、，再代入两角和的余弦公式求，结合角的范围确定的大小。
（1）因为，，所以；
因为，，所以
所以，，
所以；
（2）因为，，所以，
因为，，所以，，
，得，，
，因为
所以.
18．如图，扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为，为弧的中点，动点，分别在线段，上运动， 且总有， 设，.
（1）若，用，表示，；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）解：由题知，均为等边三角形，则四边形为菱形，
，
因为，，所以，
所以，
；
（2）解：因为扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为，所以，
设，则，，
所以，
，
所以
，
因为，所以当是，上式取得最小值为；当或时，上式取得最大值为，
所以的取值范围.
【知识点】函数的最大（小）值；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）易知，均为等边三角形，四边形为菱形，由，结合向量的线性运算及平面向量基本定理用，表示，即可；
（2）根据向量的数量积运算求，设，则，即可表示出.结合向量数量积的运算及，结合二次函数性质求的取值范围即可.
（1）由题知，均为等边三角形，所以四边形为菱形.
所以，
因为，，所以，
所以，
.
（2）因为扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为，
所以，
设，则，.
所以，
，
所以
，
因为，
所以当是，上式取得最小值为；当或时，上式取得最大值为.
所以的取值范围.
19．在①，其中为角的平分线的长（，交于点）；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答：
在中，内角，，的对边分别为，，，______.
（1）求角的大小；
（2）若，，为的重心，求的长；
（3）求的取值范围.
【答案】（1）解：选①.
由题意可得，.
为的平分线，，
，即
又，，即，
，，
，.
（2）解：延长交于点，因为为三角形的重心，
所以为的中点，
所以，
.
（3）解：
因为，所以，
从而
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用三角形面积公式、角平分线性质以及三角恒等变换求角；
（2）借助向量的重心性质和数量积运算求的长度；
（3） 通过正弦定理和三角恒等变换结合角的范围，求的取值范围。
（1）方案一：选条件①.
由题意可得，.
为的平分线，，
，即
又，，即，
，，
，.
方案二：选条件②.
由已知结合正弦定理得，
由余弦定理得，
，.
方案三：选条件③.
由正弦定理得，，
又，
，
，
易知，
，，.
（2）法1 延长交于点，因为为三角形的重心，
所以为的中点，
所以，
.
法2 在中，由余弦定理可得，，
，.
延长交于点，
为的重心，为的中点，且.
在中，由余弦定理可得，，
，.
（3）
因为，所以，
从而
1 / 1江苏省镇江中学2024-2025学年高一下学期期中学情检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数，为虚数单位，则复数的虚部为（　　）
A． B． C．1 D．-1
2．已知水平放置的的直观图如图所示，，，则边AB上的中线的实际长度为（　　）
A．4 B． C． D．5
3．已知向量，满足：，，，则（　　）
A． B．5 C． D．
4．下列叙述中，正确的是（　　）．
A．因为，，所以
B．因为，，所以
C．因为，，，所以
D．因为，，所以
5．已知等边三角形的边长为1，设，，，那么（　　）
A．3 B． C． D．
6．已知，则（　　）
A． B． C． D．
7．设，，，则有（　　）
A． B． C． D．
8．在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，，若有两解，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中错误的是（　　）
A．
B．若，则的最大值为
C．若，则复平面内对应的点位于第一象限
D．若是关于的方程的一个根，则
10．给出下列命题中，其中正确的选项有（　　）
A．若非零向量，满足：，则与共线且同向
B．若非零向量，满足：，则与的夹角为
C．若，，与向量夹角为钝角，则取值范围为
D．在中，若，则为等腰三角形
11．在锐角中，角，，对边分别为，，，设向量，，且，则下列选项正确的是（　　）
A． B．
C．的取值范围是 D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知平面向量，，则在上的投影向量的坐标为　 　.
13．　 　.
14．如图，一幅壁画的最高点A处离地面12m，最低点B处离地面7m，现在从离地高4m的C处观赏它．
①若C处离墙的距离为6m，则　 　；
②若要视角最大，则离墙的距离为　 　m．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知复数满足为纯虚数，．
（1）求以及；
（2）设，若，求实数的值．
16．在直角坐标系中，已知向量，，（其中），为坐标平面内一点.
（1）若，，三点共线，求的值；
（2）若向量与的夹角为，求的值；
（3）若四边形为矩形，求点坐标.
17．已知角，满足，，且，.
（1）求的值；
（2）求的大小.
18．如图，扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为，为弧的中点，动点，分别在线段，上运动， 且总有， 设，.
（1）若，用，表示，；
（2）求的取值范围.
19．在①，其中为角的平分线的长（，交于点）；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答：
在中，内角，，的对边分别为，，，______.
（1）求角的大小；
（2）若，，为的重心，求的长；
（3）求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，复数的虚部为.
故答案为：D.
【分析】根据复数代数形式的乘法运算求得z，再根据复数的概念求解即可.
2．【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：因为的实际图形应是直角三角形，
两条直角边长分别是6和8，斜边AB的长度为10，
所以边AB上的中线的实际长度为5.
故答案为：D.
【分析】根据斜二测画法的规则，再结合直角三角形的结构特征和中线的定义，即可得出边AB上的中线的实际长度.
3．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以.
故选：B
【分析】首先根据向量模的运算法则（对于向量，则）求出，再根据向量数量积的运算法则计算可得.
4．【答案】D
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】解：A：因为，所以，故A错误；
B：因为，所以或，故B错误；
C：因为，所以，故C错误；
D：因为，所以，故D正确.
故答案为：D
【分析】本题考查平面的基本公理（公理 1、公理 3）及符号表示规则，核心是区分 “点与直线 / 平面”“直线与平面” 的关系符号（∈表示点在图形上， 表示图形包含于图形），结合公理判断直线与平面、平面与平面的位置关系。
5．【答案】D
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：在等边三角形中，
得出．
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合等边三角形的特点和数量积的定义，从而得出的值．
6．【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为，所以，
即，则．
故答案为：D．
【分析】利用余弦的二倍角公式，结合诱导公式求解即可.
7．【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：
因为当时，为增函数，
所以，故
故答案为：C.
【分析】分别利用两角差的正弦公式、二倍角正切公式、二倍角余弦公式化简、、，得到它们对应的正弦值，再根据正弦函数在上的单调性比较大小。
8．【答案】B
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：已知，，，由正弦定理可得：，
即.
因为，所以.
要使有两解，则，且，此时的取值范围是.
由，且，可得，得到.
的取值范围是，
故答案为：B.
【分析】本题考查利用正弦定理判断三角形解的个数，核心是结合正弦定理得出sinA的表达式，再根据 “三角形有两解” 的条件（sinA∈(sinB，1)且A为锐角 / 钝角两种情况）确定边长的取值范围。
9．【答案】A,C,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模；复数运算的几何意义；方程在复数范围内的解集
【解析】【解答】解：设，则，其中，
A：，，故故A错误；
B：因为，由复数的几何意义可知复数对应的点在以原点为圆心的单位圆上，
而表示圆上的点到点的距离，又圆心到的距离为，
所以圆上的点到的最大距离为，故B正确；
C：因为，所以，复平面内对应的点位于第二象限，故C错误；
D：是关于的方程的一个根，
所以，整理可得，
所以，解得，故D错误；
故答案为：ACD.
【分析】A：设复数（），分别计算和的表达式，对比是否相等。
B：根据复数模的几何意义，表示单位圆，为圆上点到的距离，求该距离的最大值。
C：先计算的结果，再确定其共轭复数在复平面内的坐标，判断所在象限。
D：利用实系数方程的虚根成对定理，将根代入方程，结合复数相等条件求解的值。
10．【答案】A,D
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：A，对非零向量，，
若使成立，即使成立，
则，即，所以与共线且同向，A正确；
B：非零向量满足，则以为三边的三角形为等边三角形，故与的夹角为30°，B错误；
C：因为与向量夹角为钝角，故且不共线反向，故且，故且，C错误；
D：因为都为单位向量，所以向量所在的直线为角的角平分线，又因为，即，所以，即为等腰三角形，D正确.
故答案为：AD.
【分析】A：对两边平方，结合数量积公式推导向量夹角，判断与的共线方向。
B：由确定向量构成的三角形形状，计算与的夹角。
C：根据向量夹角为钝角的条件（数量积小于0且不共线反向），列不等式求解的取值范围。
D：分析的几何意义（角平分线方向），结合向量垂直的性质判断三角形形状。
11．【答案】B,C,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；简单的三角恒等变换；解三角形
【解析】【解答】解：A，因为向量，，且，所以，
由余弦定理得，
即，又因为为锐角三角形，所以，
所以，故A错误；
B，由正弦定理、得
，
因为在锐角中，，
所以，可得，故B正确；
C，因为，所以，，
可得，由正弦定理可得，故C正确；
D，因为，所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】A：由向量共线得，结合余弦定理推导与的大小关系。
B：利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角恒等变换推导与的关系。
C：根据锐角三角形的角的范围确定的取值，再由正弦定理将转化为，求其取值范围。
D：由及的范围确定的范围，进而判断与的大小关系。
12．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：向量，，易知，
则在上的投影向量为.
故答案为：.
【分析】利用向量数量积的坐标运算，以及投影向量的定义求解即可.
13．【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】利用两角差的余弦公式化简求值即可.
14．【答案】；；
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的正切公式
【解析】【解答】 ①
填空1：
过作，交的延长线于，则，
，
，
② 设离墙的距离为，
，
当且仅当时等号成立.
由于，所以当最大时，最大，此时.
故答案为： ①； ②
【分析】(1) 构建几何模型，利用两角差的正切公式，结合已知的高度和水平距离，计算tanθ的值；
(2) 设离墙距离为x，建立tanθ关于x的函数表达式，利用基本不等式求θ最大时x的取值。
15．【答案】（1）解：设，则，
由为纯虚数，
得①，且，
由，得②，
由①②解得，验证知，满足题意.
所以.
（2）解：由（1）可知，，
由，得，
整理，得，
解得或.
故实数的值为1或5.
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【分析】(1) 设复数的代数形式（），利用纯虚数的定义（实部为0、虚部不为0）和共轭复数的运算关系列方程，求解、得到和；
(2) 将和代入的表达式，化简后利用复数模的公式列方程，求解实数的值。
（1）设，则，
由为纯虚数，
得①，且，
由，得②，
由①②解得，验证知，满足题意.
所以.
（2）由（1）可知，，
由，得，
整理，得，
解得或.
故实数的值为1或5.
16．【答案】（1）解：向量，，，
所以，，
由，，三点共线知，，
即，解得；
（2）解：，
解得，

（3）解：设，
由，，
，
，
若四边形为矩形，则，
即，解得；
由，得，
解得，
故

【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据平面向量的坐标运算（三角形法则）求出、，利用，，三点共线列方程求出的值．
三角形减法法则：，简记为：共起点，连终点，指被减.
（2）利用向量的夹角公式即可求解.
（3）由平面向量的坐标运算和矩形的定义，列方程组求出、、的值，再求和．
17．【答案】（1）解：因为，，所以；
因为，，所以
所以，，
所以；
（2）解：因为，，所以，
因为，，所以，，
，得，，
，因为
所以.
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】(1) 先由同角三角函数基本关系求、，再用二倍角公式求、，最后代入两角差的正弦公式计算；
(2) 用二倍角公式求、，再代入两角和的余弦公式求，结合角的范围确定的大小。
（1）因为，，所以；
因为，，所以
所以，，
所以；
（2）因为，，所以，
因为，，所以，，
，得，，
，因为
所以.
18．【答案】（1）解：由题知，均为等边三角形，则四边形为菱形，
，
因为，，所以，
所以，
；
（2）解：因为扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为，所以，
设，则，，
所以，
，
所以
，
因为，所以当是，上式取得最小值为；当或时，上式取得最大值为，
所以的取值范围.
【知识点】函数的最大（小）值；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）易知，均为等边三角形，四边形为菱形，由，结合向量的线性运算及平面向量基本定理用，表示，即可；
（2）根据向量的数量积运算求，设，则，即可表示出.结合向量数量积的运算及，结合二次函数性质求的取值范围即可.
（1）由题知，均为等边三角形，所以四边形为菱形.
所以，
因为，，所以，
所以，
.
（2）因为扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为，
所以，
设，则，.
所以，
，
所以
，
因为，
所以当是，上式取得最小值为；当或时，上式取得最大值为.
所以的取值范围.
19．【答案】（1）解：选①.
由题意可得，.
为的平分线，，
，即
又，，即，
，，
，.
（2）解：延长交于点，因为为三角形的重心，
所以为的中点，
所以，
.
（3）解：
因为，所以，
从而
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用三角形面积公式、角平分线性质以及三角恒等变换求角；
（2）借助向量的重心性质和数量积运算求的长度；
（3） 通过正弦定理和三角恒等变换结合角的范围，求的取值范围。
（1）方案一：选条件①.
由题意可得，.
为的平分线，，
，即
又，，即，
，，
，.
方案二：选条件②.
由已知结合正弦定理得，
由余弦定理得，
，.
方案三：选条件③.
由正弦定理得，，
又，
，
，
易知，
，，.
（2）法1 延长交于点，因为为三角形的重心，
所以为的中点，
所以，
.
法2 在中，由余弦定理可得，，
，.
延长交于点，
为的重心，为的中点，且.
在中，由余弦定理可得，，
，.
（3）
因为，所以，
从而
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