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甘肃省兰州市第十一中学2024-2025学年下学期期中考试七年级数学试卷
一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分，在每个小题给出的4个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长最大值从0.0000000256m扩展至原来的4倍左右．将0.0000000256用科学记数法表示应为（　　）
A． B．
C． D．
2．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．下面四个图形中，过的顶点作高，以下作法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　）
A． B．
C． D．
5．下列说法正确的是（　　）
A．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；
B．如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行；
C．在同一平面上，如果两条直线不相交，那么它们就一定平行；
D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
6．已知，，，则a、b、c的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
7．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（　　）
A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm
8．如图，已知，过边上一点O作直线，经测量，要使，直线绕点O按逆时针方向至少旋转（　　）
A． B． C． D．
9．如图，用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，可得等式（　　）
A． B．
C． D．
10．如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是（　　）
A．10 B．20 C．30 D．40
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
11．若，，则　 　.
12．若代数式是一个完全平方式，则实数　 　.
13．已知三角形的两边长分别是和，如果第三边长为（x是整数），则三角形周长最大为　 　．
14．如图：、是的边、上的点，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 　 　(填序号)
三、解答题（本大题共11小题，共75分，解答时写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）
15．计算：．
16．利用乘法公式计算下列各题：
（1）
（2）
17．先化简，再求值：，其中．
18．已知：如图，，相交于点．求证：．
19．在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数
摸到黑球的次数
摸到黑球的频率
（1）表中　 　；
（2）请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近　 　（精确到）；
（3）估计袋子中有白球　 　个；
20．如图，将长方形沿折叠，点落在，点落在处，的延长线交于点，若，求、的度数．
21．作图题（不写作法，只写结论，保留作图痕迹）
已知直线和直线外一点，用尺规作直线，使经过点，且．
22．如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若，．
（1）试说明：；
（2）若，，求的度数．
23．阅读理解．
已知，求的值．
解：由，可得．
整理得，
，得．
请仿照上述方法，完成下列问题：
（1）已知，求的值．
（2）已知，求的值．
24．综合与探究
【实践操作】三角尺中的数学
数学实践活动课上，学习小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C．
【问题发现】
（1）①填空：如图1，若，则的度数是__________，的度数__________，的度数是__________．
②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论．
【类比探究】
（2）如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由．
25．定义：是多项式化简后的项数，例如多项式，则．一个多项式乘多项式化简得到多项式（即），如果，则称是的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”．
（1）若，均是关于的多项式，则_________选填“是”或“不是”）的“好多项式”；
（2）若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，则__________；
（3）若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】科学记数法的表示形式为，对于0.0000000256，要使，则．
原数中左起第一个非零数2前面有8个0，所以，
那么0.0000000256用科学记数法表示为，
故选：B．
【分析】科学记数法的表示形式，其中为正整数，的值为小数点向右移动的位数的相反数，据此解答即可．
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故本选项错误；
B、，故本选项正确；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项错误．
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，A项错误；幂的乘方，底数不变指数相乘，B项正确；积的乘方，把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，C项错误；同底数幂相除，底数不变指数相减，D项错误．
3．【答案】D
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：由三角形高的定义可知，四个选项中，只有D选项中的作法是作的的高，
故答案为：D．
【分析】作三角形的高：过三角形的一个顶点作对边的垂线，顶点与垂足之间的垂线段，符合的高为D选项．
4．【答案】C
【知识点】三角形的分类
【解析】【解答】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型；
B、露出的角是直角，因此是直角三角形；
C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型；
D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；
故选：C．
【分析】根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形，对选项逐个进行判断即可．
5．【答案】C
【知识点】垂线的概念；平行公理及推论；平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：A、同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，原说法错误，不符合题意；
B、同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行，原说法错误，不符合题意；
C、在同一平面上，如果两条直线不相交，那么它们就一定平行，原说法正确，符合题意；
D、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】同一平面内，两直线不相交就互相平行；垂直于同一直线的两直线平行；经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，根据结论判断选项D正确．
6．【答案】A
【知识点】幂的大小比较；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解∶∵，，，且，
∴．
故答案为：A．
【分析】先利用幂的乘法的逆运算将a、b、c化简成底数相同的幂，再比较大小即可.
7．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、3+4＜8，故以这三根木棒不可以构成三角形，不符合题意；
B、8+7=15，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；
C、5+5＜11，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；
D、12+13＞20，故以这三根木棒能构成三角形，符合题意．
故选D．
【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断．本题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．
8．【答案】B
【知识点】旋转的性质；平行线的应用-求角度；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：令，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
即直线绕点O按逆时针方向至少旋转，
故答案为：B．
【分析】，然后根据平行线的性质，得=110°，则=-=15°．
9．【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：阴影部分是边长为的正方形，因此其面积为，
阴影部分也可以看作是边长为的大正方形的面积减去两个长为，宽为的长方形面积，再加上边长为的正方形面积，即，因此有，
故答案为：D．
【分析】由图从整体看，阴影部分是边长为的正方形，则面积为，分部分看，阴影部分是边长为的大正方形的面积减去两个长为，宽为的长方形面积，再加上边长为的正方形面积，则可得等式．
10．【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景；几何图形的面积计算-割补法；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
，
故答案为：C．
【分析】由图可以表示则，代入各个图形的面积计算等于，由，
代值求阴影部分面积为30.
11．【答案】2
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：∵，，
=，
故答案为：.
【分析】根据同底数幂的除法法则可得5m-n=5m÷5n，然后将已知条件代入进行计算.
12．【答案】
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是一个完全平方式，
∴km=
k=
故答案为：
【分析】由题意可知是完全平方式，则k分为两种情况为。
13．【答案】19
【知识点】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式组的应用；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵三角形的两边长分别是和，如果第三边长为
∴
∴
∵是整数，则最大整数为，
∴三角形周长最大为为
故答案为：．
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列不等式组，得的范围，由是整数，最大整数解为9，则周长为19．
14．【答案】①②③④
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：，
，，，，
，
，，
，，
是的中点，
，
又，
；所以①②③④均正确，
故答案为：①②③④．
【分析】由已知条件可得对应角相等，对应边相等，再对选项逐个判断即可．
15．【答案】解：

【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】先根据平方差公式，完全平方公式计算，再合并同类项计算．
16．【答案】（1）解：

（2）解：

【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）102写为100+2的式子，利用完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2计算；
（2）将式子变形为，再根据平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2计算．
（1）解：
（2）解：
17．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用；整式的混合运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用完全平方公式、单项式乘多项式、平方差公式展开并化简括号内的式子，再进行多项式除以单项式的运算进行化简，最后代入的值，求解即可．
18．【答案】证明：∵是的一个外角，
∴，
即．
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【分析】根据三角形外角的性质可得，，即可得证．
19．【答案】（1）0.6025
（2）0.6
（3）20
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）解：；
故答案为：0.6025；
（2）解：根据表格可得，当很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6；
故答案为：0.6；
（3）解：估计袋子中有白球（个）；
故答案为：20；
【分析】（1）根据频率公式，得；
（2）观察表格，得当很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6；
（3）根据黑球频率0.6，估计白球数量概率为0.4，50×0.4=20；
（1）解：；
故答案为：0.6025；
（2）解：根据表格可得，当很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6；
故答案为：0.6；
（3）解：估计袋子中有白球（个）；
故答案为：20；
20．【答案】解：∵为长方形，∴，
∴，
由折叠的性质，可得，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】由两直线平行，内错角相等，得，由折叠，得，则=50°，再由两直线平行，同旁内角互补，得=130°．
21．【答案】解：如图，
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：如图，
（1）过点画直线，交于点；
（2）以点为圆心，小于长为半径画弧，分别交于点，交于点；
（3）以点为圆心，为半径画弧，交于点；
（4）以点为圆心，为半径画弧，两弧的交点为点；
（5）连接，即可得到直线，直线即为所求．
【分析】根据题意作一个角等于已知角，得．
22．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴.
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）根据题意可得，再根据平行线的判定方法，即可求证；
（2）由题意可得，得到，再由平行线的性质可得，进而根据可得答案．
（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴
23．【答案】（1）解：
整理得
；

（2）解：
．

【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值；整体思想
【解析】【分析】（1）将变形为，利用完全平方公式 ，得，然后利用整体代入的方法计算；
（2）将变形为，利用完全平方公式 ，得，然后利用整体代入的方法计算．
（1）解：
整理得
；
（2）解：
．
24．【答案】（1）①，，； ②，
（2）解：当与没有重合部分时，上述中发现的结论，依然成立.理由如下，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；直角三角形的性质；余角；补角
【解析】【解答】（1）解：①，
，
故答案为：，，；
②∵，
∴，
∵，
∴.
【分析】本题以一副直角三角板叠放为背景，综合考查角度的和差计算、余角性质以及周角定理。
（1）①由ACB = 150 及直角ACD = BCE = 90，可得 ACE =DCB = 150- 90 = 60，进而 ECD = 90 - 60 = 30；
②观察得ACE = DCB，且 ACB + ECD = 180；
（2）当两三角板无重叠时，由周角ACB + ACD +DCE +ECB = 360，代入ACD =ECB = 90 仍得 ACB +ECD = 180，同时由 ACE = ACD +DCE 与 DCB = DCE + ECB，结合 ACD = ECB 可得ACE =DCB，结论依然成立。
25．【答案】（1）是
（2）2
（3）解：∵，，∴
，
当时，则，，此时B是A的“极好多项式”，符合题意；
当时，，
∵B是A的“极好多项式”，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或．
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】（1）解：B是A的“好多项式”，
理由如下：∵，，
∴
，
∵，，
∴，
∴B是A的“好多项式”；
故答案为：是．
（2）解：∵，，
∴
，
∵，B是A的“极好多项式”，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2；
【分析】（1）根据定义，计算，则，，得，则B是A的“好多项式”；
（2），根据题意，得，则，；
（3）先求出当时，则，，此时B是A的“郡园志勤多项式”，符合题意；当时， 则，即可得到，则，综上所述，或．
（1）解：B是A的“好多项式”，理由如下：
∵，，
∴
，
∵，，
∴，
∴B是A的“好多项式”；
故答案为：是．
（2）解：∵，，
∴
，
∵，B是A的“极好多项式”，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2；
（3）解：∵，，
∴
，
当时，则，，此时B是A的“极好多项式”，符合题意；
当时，，
∵B是A的“极好多项式”，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或．
1 / 1甘肃省兰州市第十一中学2024-2025学年下学期期中考试七年级数学试卷
一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分，在每个小题给出的4个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长最大值从0.0000000256m扩展至原来的4倍左右．将0.0000000256用科学记数法表示应为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】科学记数法的表示形式为，对于0.0000000256，要使，则．
原数中左起第一个非零数2前面有8个0，所以，
那么0.0000000256用科学记数法表示为，
故选：B．
【分析】科学记数法的表示形式，其中为正整数，的值为小数点向右移动的位数的相反数，据此解答即可．
2．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故本选项错误；
B、，故本选项正确；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项错误．
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，A项错误；幂的乘方，底数不变指数相乘，B项正确；积的乘方，把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，C项错误；同底数幂相除，底数不变指数相减，D项错误．
3．下面四个图形中，过的顶点作高，以下作法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：由三角形高的定义可知，四个选项中，只有D选项中的作法是作的的高，
故答案为：D．
【分析】作三角形的高：过三角形的一个顶点作对边的垂线，顶点与垂足之间的垂线段，符合的高为D选项．
4．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的分类
【解析】【解答】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型；
B、露出的角是直角，因此是直角三角形；
C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型；
D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；
故选：C．
【分析】根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形，对选项逐个进行判断即可．
5．下列说法正确的是（　　）
A．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；
B．如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行；
C．在同一平面上，如果两条直线不相交，那么它们就一定平行；
D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
【答案】C
【知识点】垂线的概念；平行公理及推论；平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：A、同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，原说法错误，不符合题意；
B、同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行，原说法错误，不符合题意；
C、在同一平面上，如果两条直线不相交，那么它们就一定平行，原说法正确，符合题意；
D、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】同一平面内，两直线不相交就互相平行；垂直于同一直线的两直线平行；经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，根据结论判断选项D正确．
6．已知，，，则a、b、c的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】幂的大小比较；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解∶∵，，，且，
∴．
故答案为：A．
【分析】先利用幂的乘法的逆运算将a、b、c化简成底数相同的幂，再比较大小即可.
7．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（　　）
A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、3+4＜8，故以这三根木棒不可以构成三角形，不符合题意；
B、8+7=15，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；
C、5+5＜11，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；
D、12+13＞20，故以这三根木棒能构成三角形，符合题意．
故选D．
【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断．本题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．
8．如图，已知，过边上一点O作直线，经测量，要使，直线绕点O按逆时针方向至少旋转（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】旋转的性质；平行线的应用-求角度；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：令，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
即直线绕点O按逆时针方向至少旋转，
故答案为：B．
【分析】，然后根据平行线的性质，得=110°，则=-=15°．
9．如图，用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，可得等式（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：阴影部分是边长为的正方形，因此其面积为，
阴影部分也可以看作是边长为的大正方形的面积减去两个长为，宽为的长方形面积，再加上边长为的正方形面积，即，因此有，
故答案为：D．
【分析】由图从整体看，阴影部分是边长为的正方形，则面积为，分部分看，阴影部分是边长为的大正方形的面积减去两个长为，宽为的长方形面积，再加上边长为的正方形面积，则可得等式．
10．如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是（　　）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景；几何图形的面积计算-割补法；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
，
故答案为：C．
【分析】由图可以表示则，代入各个图形的面积计算等于，由，
代值求阴影部分面积为30.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
11．若，，则　 　.
【答案】2
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：∵，，
=，
故答案为：.
【分析】根据同底数幂的除法法则可得5m-n=5m÷5n，然后将已知条件代入进行计算.
12．若代数式是一个完全平方式，则实数　 　.
【答案】
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是一个完全平方式，
∴km=
k=
故答案为：
【分析】由题意可知是完全平方式，则k分为两种情况为。
13．已知三角形的两边长分别是和，如果第三边长为（x是整数），则三角形周长最大为　 　．
【答案】19
【知识点】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式组的应用；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵三角形的两边长分别是和，如果第三边长为
∴
∴
∵是整数，则最大整数为，
∴三角形周长最大为为
故答案为：．
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列不等式组，得的范围，由是整数，最大整数解为9，则周长为19．
14．如图：、是的边、上的点，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 　 　(填序号)
【答案】①②③④
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：，
，，，，
，
，，
，，
是的中点，
，
又，
；所以①②③④均正确，
故答案为：①②③④．
【分析】由已知条件可得对应角相等，对应边相等，再对选项逐个判断即可．
三、解答题（本大题共11小题，共75分，解答时写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）
15．计算：．
【答案】解：

【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】先根据平方差公式，完全平方公式计算，再合并同类项计算．
16．利用乘法公式计算下列各题：
（1）
（2）
【答案】（1）解：

（2）解：

【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）102写为100+2的式子，利用完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2计算；
（2）将式子变形为，再根据平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2计算．
（1）解：
（2）解：
17．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用；整式的混合运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用完全平方公式、单项式乘多项式、平方差公式展开并化简括号内的式子，再进行多项式除以单项式的运算进行化简，最后代入的值，求解即可．
18．已知：如图，，相交于点．求证：．
【答案】证明：∵是的一个外角，
∴，
即．
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【分析】根据三角形外角的性质可得，，即可得证．
19．在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数
摸到黑球的次数
摸到黑球的频率
（1）表中　 　；
（2）请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近　 　（精确到）；
（3）估计袋子中有白球　 　个；
【答案】（1）0.6025
（2）0.6
（3）20
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）解：；
故答案为：0.6025；
（2）解：根据表格可得，当很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6；
故答案为：0.6；
（3）解：估计袋子中有白球（个）；
故答案为：20；
【分析】（1）根据频率公式，得；
（2）观察表格，得当很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6；
（3）根据黑球频率0.6，估计白球数量概率为0.4，50×0.4=20；
（1）解：；
故答案为：0.6025；
（2）解：根据表格可得，当很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6；
故答案为：0.6；
（3）解：估计袋子中有白球（个）；
故答案为：20；
20．如图，将长方形沿折叠，点落在，点落在处，的延长线交于点，若，求、的度数．
【答案】解：∵为长方形，∴，
∴，
由折叠的性质，可得，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】由两直线平行，内错角相等，得，由折叠，得，则=50°，再由两直线平行，同旁内角互补，得=130°．
21．作图题（不写作法，只写结论，保留作图痕迹）
已知直线和直线外一点，用尺规作直线，使经过点，且．
【答案】解：如图，
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：如图，
（1）过点画直线，交于点；
（2）以点为圆心，小于长为半径画弧，分别交于点，交于点；
（3）以点为圆心，为半径画弧，交于点；
（4）以点为圆心，为半径画弧，两弧的交点为点；
（5）连接，即可得到直线，直线即为所求．
【分析】根据题意作一个角等于已知角，得．
22．如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若，．
（1）试说明：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴.
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）根据题意可得，再根据平行线的判定方法，即可求证；
（2）由题意可得，得到，再由平行线的性质可得，进而根据可得答案．
（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴
23．阅读理解．
已知，求的值．
解：由，可得．
整理得，
，得．
请仿照上述方法，完成下列问题：
（1）已知，求的值．
（2）已知，求的值．
【答案】（1）解：
整理得
；

（2）解：
．

【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值；整体思想
【解析】【分析】（1）将变形为，利用完全平方公式 ，得，然后利用整体代入的方法计算；
（2）将变形为，利用完全平方公式 ，得，然后利用整体代入的方法计算．
（1）解：
整理得
；
（2）解：
．
24．综合与探究
【实践操作】三角尺中的数学
数学实践活动课上，学习小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C．
【问题发现】
（1）①填空：如图1，若，则的度数是__________，的度数__________，的度数是__________．
②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论．
【类比探究】
（2）如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由．
【答案】（1）①，，； ②，
（2）解：当与没有重合部分时，上述中发现的结论，依然成立.理由如下，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；直角三角形的性质；余角；补角
【解析】【解答】（1）解：①，
，
故答案为：，，；
②∵，
∴，
∵，
∴.
【分析】本题以一副直角三角板叠放为背景，综合考查角度的和差计算、余角性质以及周角定理。
（1）①由ACB = 150 及直角ACD = BCE = 90，可得 ACE =DCB = 150- 90 = 60，进而 ECD = 90 - 60 = 30；
②观察得ACE = DCB，且 ACB + ECD = 180；
（2）当两三角板无重叠时，由周角ACB + ACD +DCE +ECB = 360，代入ACD =ECB = 90 仍得 ACB +ECD = 180，同时由 ACE = ACD +DCE 与 DCB = DCE + ECB，结合 ACD = ECB 可得ACE =DCB，结论依然成立。
25．定义：是多项式化简后的项数，例如多项式，则．一个多项式乘多项式化简得到多项式（即），如果，则称是的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”．
（1）若，均是关于的多项式，则_________选填“是”或“不是”）的“好多项式”；
（2）若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，则__________；
（3）若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，求的值．
【答案】（1）是
（2）2
（3）解：∵，，∴
，
当时，则，，此时B是A的“极好多项式”，符合题意；
当时，，
∵B是A的“极好多项式”，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或．
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】（1）解：B是A的“好多项式”，
理由如下：∵，，
∴
，
∵，，
∴，
∴B是A的“好多项式”；
故答案为：是．
（2）解：∵，，
∴
，
∵，B是A的“极好多项式”，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2；
【分析】（1）根据定义，计算，则，，得，则B是A的“好多项式”；
（2），根据题意，得，则，；
（3）先求出当时，则，，此时B是A的“郡园志勤多项式”，符合题意；当时， 则，即可得到，则，综上所述，或．
（1）解：B是A的“好多项式”，理由如下：
∵，，
∴
，
∵，，
∴，
∴B是A的“好多项式”；
故答案为：是．
（2）解：∵，，
∴
，
∵，B是A的“极好多项式”，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2；
（3）解：∵，，
∴
，
当时，则，，此时B是A的“极好多项式”，符合题意；
当时，，
∵B是A的“极好多项式”，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或．
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