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函数与导数解答题 常考考点预测练 2026届年高中数学高考冲刺练
1．已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，求函数的最小值；
(3)求证：.
2．已知
(1)设函数，讨论函数的单调性；
(2)当时，，求实数的取值范围．
3．已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若有两个零点，求实数的取值范围.
4．已知函数．
(1)求函数的最小值；
(2)证明：当时，；
(3)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
5．已知函数，.
(1)记，，求的最小值；
(2)若对任意恒成立，求实数t的取值范围.
6．已知函数
(1)令，讨论函数的单调性；
(2)若函数有极大值点，求证．
7．已知函数，．
(1)令，讨论在的单调性；
(2)证明：，.
8．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值；
(3)当时，证明：函数 有个零点．
9．已知函数的一个极值点是．
(1)讨论的单调性；
(2)设，，若存在，使得成立，求实数的取值范围．
10．已知函数．
(1)曲线在点处的切线方程为，求实数的值；
(2)当时，对于任意，恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：．
11．已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，，求的取值范围；
(3)证明：，．
12．已知函数，．
(1)求函数的极小值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若存在实数a，使得在恒成立，求实数b的取值范围．
13．已知函数，函数.
(1)讨论函数的单调性并求最值；
(2)若对恒成立，求实数的取值范围；
(3)已知，证明：.
14．已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)当时，证明：，；
(3)已知，证明：．
15．已知函数定义域为．若存在，对任意，当时，都有，则称为在上的“凸点”．
(1)求函数在上的最大“凸点”；
(2)若函数在上不存在“凸点”，求的取值范围；
(3)设，且．证明：在上的“凸点”个数不小于．
参考答案
1．(1)单调递增区间为，无单调递减区间.
(2)0
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数求解给定参数范围下的单调区间即可.
（2）结合题意并合理构造函数，最后结合导数求解最值即可.
（3）结合已知得到，再结合换元法证明不等式即可.
【详解】（1）由题意得函数的定义域为，
当时，，则在单调递增，
所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）当时，，
令，则，
所以即在单调递增，
又，所以当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，故.
（3）由（2）知当时，，
即，当且仅当时取等号，
令，则，
所以,
即.
2．(1)当时，在单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
(2)
【分析】（1）对 求导得，根据导数符号分两种情况讨论的单调性，关键是通过导数的零点划分单调区间．
（2）先根据时，分析分母，将原不等式变形为，构造函数，利用导数分析其单调性，结合，通过二次求导对原函数的单调性，进而确定的取值范围为．
【详解】（1），的定义域为，，
当时，，在单调递增；
当时，令，则；令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增．
（2）原不等式等价于，
①当时，当时，，，
所以，不合题意；
②当时，原不等式等价于，
等价于
令
则，令，，
注意到：，，
当时，，在单调递减，
所以，
所以在单调递增，所以，不合题意；
当时，，，
所以在单调递减，所以，符合题意；
当时，，所以在单调递增，
所以，
所以在单调递减，所以，符合题意；
当时，令，则，
所以，所以在单调递减，
所以，所以在单调递增，
所以，不合题意．
综上所述，
3．(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）利用导数分析函数的单调性即可；
（2）令，分离参数，构造函数，将问题转化为与函数有两个交点；利用导数分析函数的单调性及取值情况，可得的取值范围，从而得到实数的取值范围.
【详解】（1）的定义域为.
时，，，
令，易知在上单调递减，且，
所以当时，；当时，.
所以时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由有两个零点得，方程在上有两个根，
所以，所以在上有两个根.
设，，则，
当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减，
且的极大值为，
又，当时，，且时，.
所以要使方程在上有两个根，
则直线与的图象有两个交点，
所以，故实数的取值范围为.
4．(1)0
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）求导，利用导数分析函数单调性及最值；
（2）化简不等式，构造函数并求导，结合单调性证明结论；
（3）化简不等式，构造函数并求导，结合单调性求实数的取值范围．
【详解】（1）已知函数，求导得，
令，解得，
当时，，故，函数单调递减；
当时，，故，函数单调递增；
是极小值点，即为最小值点，最小值为．
（2）因为，
所以要证明，只需证明，
只需证明，
设，求导得，
令，求导得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
在处取得极大值，即为最大值，，
当时，，
，
在上单调递增，故，
又，故，
，原不等式得证．
（3），不等式等价于，
，
令，
当时，，故处等号成立；
求导得，
，
令，求导得，，则，
在上单调递增，
当时，，，
存在，使得，
当时，，又，
所以当时，，不满足条件；
当时，，
在上单调递增，故，单调递增，
，满足条件；
实数的取值范围为．
5．(1)；
(2)
【分析】（1）注意到，由导数知识可得，从而，然后由单调性可得最小值；
（2）分，，三种情况，求出在相应区间上的最值可得答案.
【详解】（1），
令，，
，
从而在上单调递增，在上单调递减，
从而 ，，
因 ，
则 .令，
则， ，
从而在上单调递减，
则；
（2）.
当，则对任意实数恒成立；
当，则由恒成立可得，
令，，
，，
从而在上单调递增，在上单调递减，
则，即此时；
当，则由恒成立可得，
令，，
，，
从而在上单调递减，在上单调递增，
则 ，即此时.
综上可得对恒成立时，
6．(1)当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增
(2)证明见解析
【分析】（1）根据导数的性质，结合分类讨论思想进行求解即可；
（2）根据函数极大值的定义、函数零点存在原理，结合导数的性质、构造新函数法进行运算证明即可.
【详解】（1）的定义域为
，
当时，恒成立，在区间上单调递增；
当时，令，得，
当时，；当时，，
因此，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
综上所述，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；
（2），易知，由（1）知：
①当时，是上的增函数，且，所以无极大值，不合题意，
②时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以．
当，即时，在上单调递增，无极大值，不合题意；
当，即时，
时，，
是唯一极大值点，不合题意；
当，即时，时，，
时，，所以函数在上无极大值，
，
设，因为，所以，
设，
因为，所以，因此函数在上单调递减，
所以当时，有，则有，
因为，所以，于是有，
，使，当时，时，，为的极大值点，且，
由，得，
，
要证，即证，
需证，
令，则，
在上为减函数，故，所以，
即成立，故．
7．(1)当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
(2)证明见解析
【分析】（1）求导后，分、、、讨论即可；
（2）构造函数，根据导数与最值的关系得到，当且仅当，等号成立. 令，得到，从而有，即，结合等比数列的前项和公式即可证明.
【详解】（1），，则，
①当时，恒成立，所以在上单调递减；
②当时，令，则，解得.
若，即时，，则，所以在上单调递增；
若，即时，当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
③当时，在上恒成立，即在上恒成立，
所以在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）令，则，令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以当时，取极小值，
所以，即，所以，当且仅当，等号成立.
令，则，所以，则.
所以.
综上，，.
8．(1)
(2)
(3)证明见详解
【分析】（1）利用导数几何意义，先求切点坐标，再求导得切线斜率，由点斜式写出切线方程；
（2）将恒成立问题转化为求函数最值，通过分类讨论参数符号确定单调性，构建新函数并利用导数求最值解出参数；
（3）通过代数变形将函数拆分为易分析的部分，利用同构思想换元简化，结合零点存在性定理和函数单调性确定零点个数.
【详解】（1）当时， ，定义域为，
，切点为，求导得，切线斜率，
由点斜式得切线方程：，整理得.
（2）求的取值恒成立，即 对恒成立，
设 ，求导得，
若，则，在单调递减，
当时，不满足，舍去；
若，令得，在递减，在递增，
最小值为：，
令，不等式化为 ，
设 ，，在单调递增，在单调递减，在处取最大值，
故仅当成立，得，
综上，.
（3）整理得：，
求导得：，
因为，所以的符号由分子 决定，
令 ，对求导： ，
当时，和都是严格单调递增的正函数，因此在上严格单调递增，
结合条件，代入端点得：时， ；
时， ，因此，
根据零点存在性定理，存在唯一的使得，
故的单调性为：，，严格递减；
，，严格递增，
的最小值为，且时 ，故；
又时，因此存在唯一的，使得，即在上只有一个零点，
结合的符号，可得的单调性：
， ，严格单调递减；
， ，严格单调递增，
因此：在上只有个极值点（极小值点），由单调性可知最多存在个零点；
由，即，解得，
代入得
已知，则，
对取对数得，又因为，所以
即，故，
结合已证的零点存在性结论：时，与极小值，
时，因此和各存在且仅存在个零点，
即恰好有个零点，得证.
9．(1)当，函数在上单调递增，在和上单调递减；当，函数在上单调递增，在和上单调递减．
(2)
【分析】（1）求导，结合已知极值点得出关系，再利用导数分类讨论，分析函数单调性；
（2）结合（1）的结论利用单调性分析函数在区间内的最值，分析的单调性和最值，结合已知不等式构造不等式组求解．
【详解】（1）（），
，
函数的一个极值点是，
，即，则有，
则（），
当时，，函数在上单调递减，
此时函数没有极值点，不符合题意，所以，
（，），
①当时，令得或，列表如下：
2
－ 0 ＋ 0 －
减 增 减
满足是函数的极值点；
②当时，令得或，列表如下：
2
－ 0 ＋ 0 －
减 增 减
满足是函数的极值点；
综上：当，函数在上单调递增，
在和上单调递减；
当，函数在上单调递增，
在和上单调递减．
（2）由（1）知，，且，
在单调递增，在单调递减，
又，，
在上的最大值为，
最小值为，
又时函数在单调递增，
在上的最大值为，最小值为，
存在，使得成立，
即存在，使得成立，
则，
又，解得，
实数的取值范围为．
10．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据切线方程为可得斜率为，以及经过点，即可求导得解，
（2）将问题转化为，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解，
（3）根据（2）的结论得，即可累加求解.
【详解】（1），
则，则
（2）当时，依题意有对于任意恒成立，则，
设，
设，
由得：，则在上单调递减，
且，则在上恒成立，即在上单调递减，
，则，则.
（3）由（2）可知，当时，，
令，则，因为，
令，则，
即，
累加得：，
即成立 .
11．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；
（2）求导得，分析可知，，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，验证对任意的能否恒成立，即可得出实数的取值范围；
（3）利用导数证明出不等式对任意的恒成立，令，结合放缩法得出，再利用累加法结合不等式的基本性质可证得所证不等式成立.
【详解】（1）当时，，则，所以，，
故当时，曲线在点处的切线方程.
（2）因为，则，则且，
则，，
令，其中，则，
易知函数在上单调递增，
①当时，即当时，对任意的，，
函数在上单调递增，则对任意的，，
此时函数在上单调递增，故对任意的，，符合题意；
②当时，即当时，对任意的，，
所以在上单调递减，则对任意的，，
此时函数在上单调递减，故对任意的，，不符合题意；
③当时，因为函数在上单调递增，
且，，则，
由零点存在定理可知，存在，使得，
当时，，即函数在上单调递减，
故当时，，即函数在上单调递减，
所以，不符合题意.
综上所述，实数的取值范围是.
（3）先证明对任意的恒成立，
构造函数，其中，则，
易知函数在上单调递减，
所以，
所以函数在上单调递增，所以，
故对任意的，，令，则，
故，
所以，
故原不等式得证.
12．(1)极小值为
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）求导，利用导数分析的单调性和极值；
（2）求导，分类讨论两根大小，结合导数的符号分析函数的单调性；
（3）分析可得，令，，分类讨论的符号，结合恒（能）成立问题分析求解.
【详解】（1）因为的定义域为，且，
当时，；当时，；
可知在上单调递增，在单调递减，
所以的极小值为．
（2）因为的定义域为，且，
令，解得或，
当，即时，则，
可知在上单调递减；
当，即时，令，解得；令，解得或；
可知在上单调递增，在，上单调递减；
当，即时，令，解得；令，解得或；
可知在上单调递增，在，上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在，上单调递减；
当时，在上单调递增，在，上单调递减.
（3）因为，即，可得，
令，，
①当时，若，则，不合题意；
若，方程满足，
且，可知方程有一正一负两个实根，
取其正根为，则，不合题意；
综上所述：当时，不存在实数a，使得恒成立；
②当时，不妨取，则，
记，则，
令，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，即，
可知在单调递减，则，
即对，都存在，使得在恒成立，
综上所述：实数b的取值范围为．
13．(1)在区间上单调递增，在区间上单调递减，最大值，无最小值.
(2)
(3)证明见解析
【分析】对求导，根据导数正负判断单调性，进而求最值；
将恒成立问题转化为参数分离，构造函数求其最大值，即可得的取值范围；
结合前两问的不等式结论，进行 和的放缩，即可证明结论.
【详解】（1）由题意可得的定义域为.
当单调递增，当单调递减.
在区间上单调递增，在区间上单调递减.
有最大值，无最小值.
（2）由题意，对恒成立，且.
，且.
令，则，且.
令，则，且.
①当，即时，有在上单调递增，
在上单调递增，.
在上单调递增，成立.
②当时，，且单调递增，
，有当时，单调递减，.
在上单调递减，单调递减，
，与题干矛盾，舍去.
③当时，当单调递减，则，
单调递减，单调递减，，舍去.
综上，实数的取值范围为.
（3）由（1）可知，即.
令，则，
.
又∵，即.
则，
，
，右式得证.
下证左式：由可知 ，令 ，则 .
由可知 ，令 ，则 .
又∵ ，证明如下：
∵，
∴，
∴，即证.
∴ .
综上可得 .
，
，
，
.
所以上式得证.
14．(1)极大值为，无极小值；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）由题知定义域为，进而求导研究函数单调性即可求解函数极值；
（2）构造函数，，利用导数研究函数的单调性得时，单调递增；时，单调递减，再结合，符号即可证明.
（3）结合（1），令，，进而结合得，再累加求和即可证明不等式左侧部分；再结合（2）得，再累加求和即可证明不等式右侧部分.
【详解】（1）解：当时，，定义域为，
，
所以，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，无极小值.
（2）解：当时，，
令，，
所以，
令，，则，
因为函数在上单调递增，函数在上单调递减，
所以函数在单调递减，
又函数在单调递减，
所以在单调递减，
因为，，
所以，存在，使得，即
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
因为，，，
所以存在，使得，即，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
因为，，
所以在恒成立，即，
所以，，，证毕.
（3）证明：先证.
由（1）知，当时，在上单调递减，
故当时，，即
令，则，即
令，恒成立，所以在单调递减，
所以，即，故当时，，
令，则
所以，即
所以，，
即.
下证：.
由（2）知，，，即，，
令，则
所以，即
综上，，证毕.
15．(1)5
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数求出的最大值结合“凸点”的定义即可得出答案；
（2）把问题转化为在上恒成立，分四类进行讨论；
（3）在上的“凸点”个数为0，直接验证，在上的“凸点”个数为，分和进行证明.
当时，分 和 两类，当时，分和 两类.
【详解】（1）设 ，则 ，
当或时，，单调递增；
当时， ，单调递减，
又 ，所以在 上最大值为，
所以都满足，所以函数在上最大的“凸点”为5.
（2）因为函数 在上不存在“凸点”，所以在上恒成立，，令，
则 ,
当时，恒成立，故在上单调递减，则 ，
故在上单调递减，此时，符合要求.
当时，令，则，
（i），即时，，即在上单调递增，
则，即在上单调递增，有，不符合要求，故舍去；
（ii）当，即时，恒成立，故在上单调递减，
则，故在上单调递减，此时，符合要求；
（iii）当，即时，若，，若，，
即在上单调递减，在上单调递增，
则若需恒成立，有 ，解得，因为，
且，即时，符合要求，
综上所述.
（3）若在上的“凸点”个数为0，则，符合要求；
若在上的“凸点”个数为，令在上的“凸点”分别为
其中，，,
若，则若，由，则，即，
若，由题意，，，故，
即，又，故，符合要求；
若，则， ，
由，则，
若，即，则 ，
若，由题意，，且，
又，故 ，
即，，，，
即有 ，即，
由 ，故，又，故，
即在上的“凸点”个数不小于.
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