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2025-2026学年四川省达州市宣汉中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知z=1+i,计算=（　　）
A. -i B. i C. -1 D. 1
2.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，CD=2，，用斜二测画法画出的水平放置的梯形ABCD的直观图为四边形A′B′C′D′，则四边形A′B′C′D′的面积为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.已知，且在上的投影向量的模为，则与的夹角为（　　）
A. 45° B. 60° C. 120° D. 45°或135°
4.已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别是a,b,c,若c cosC=a cosA，则△ABC的形状是（　　）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
5.已知圆锥的母线长是底面半径的2倍，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为（　　）
A. B. C. D. 2
6.学生为测量青城山高度设计了如下方案：在山脚A测得山顶P的仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了600m到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P的仰角为60°，则青城山的山高PQ为（　　）
A. B. C. D.
7.在三棱锥S-ABC中，底面△ABC为斜边的等腰直角三角形，顶点S在底面ABC上的射影为AC的中点.若SA=2，E为线段AB上的一个动点，则SE+CE的最小值为（　　）
A. B. C. D.
8.已知平面直角坐标系xOy中，||=||=，||=2，设C（3，4），则|2+|的取值范围是（　　）
A. [6，14] B. [6，12] C. [8，14] D. [8，12]
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列命题中为真命题的有（　　）
A. 圆柱的侧面展开图是一个矩形
B. 用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台
C. 棱柱的侧面都是菱形
D. 四面体是棱锥
10.设z为复数，下面四个命题中，真命题的是（　　）
A. 若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数
B. 对于复数z1，z2，若，则z1=z2
C. 对于复数z1，z2，若|z1|=|z2|，则z1=±z2
D. 复数z满足|z-1+i|=1，则|z|的最大值为
11.“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆O的半径2，点P是圆O内的定点，且OP=，弦AC，BD均过点P，则下列说法正确的是（　　）
A. 为定值
B. 的取值范围是[-4，0]
C. 当AC⊥BD时，为定值
D. 的最大值为8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.化简得 ．
13.如图，半径为4的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是______．
14.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为________
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平面向量=（4，-3），=（5，0）．
（Ⅰ）求与的夹角的余弦值；
（Ⅱ）若向量+k与-k互相垂直，求实数k的值．
16.(本小题15分)
已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,满足.
（1）求A；
（2）设点D为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且b=3、c=6，求AD的长度.
17.(本小题15分)
如图是一个正四棱台ABCD-A1B1C1D1的铁料，上、下底面的边长分别为20cm和40cm,高30cm.
（1）求四棱台ABCD-A1B1C1D1的表面积；
（2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比.
18.(本小题17分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a,b,c,向量，，且.
（1）求A；
（2）若，求△ABC面积的最大值；
（3）若△ABC为锐角三角形，且a=3，求△ABC周长的取值范围.
19.(本小题17分)
如图所示，设Ox,Oy是平面内相交成θ（0＜θ＜π）角的两条数轴，分别是与x,y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ仿射坐标系，若在θ仿射坐标系下，则把有序数对（a,b）叫做向量的仿射坐标，记为.
（1）若，求的模长；
（2）若，有同学认为“”的充要条件是“x1x2+y1y2=0”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由；
（3）设，若对 t∈R恒成立，求cosα的最大值.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】AD
10.【答案】AD
11.【答案】ABC
12.【答案】
13.【答案】32π
14.【答案】3
15.【答案】解：（Ⅰ）∵，=（5，0），
∴cos===，
（Ⅱ）∵向量+k与-k互相垂直，
∴==0，
∵，
∴25-25k2=0，
∴k=±1.
16.【答案】解：（1）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,，
由正弦定理得：
，
因为B∈（0，π），所以sinB≠0，
所以，即，
所以，又A∈（0，π），
所以；
（2）设点D为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且b=3、c=6，
由（1）知，，则，
因为S△ABC=S△ABD+S△CAD，
则，
因为b=3，c=6，所以18=6AD+3AD，
故AD=2．
17.【答案】（cm2）；
．
18.【答案】；
；
．
19.【答案】；
不正确，理由见解答；
．
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