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2025-2026学年上海市普陀区曹杨第二中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。
1.已知A＞0，ω＞0，，函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则该函数的表达式是（　　）
A.
B.
C.
D.
2.如图，在平面直角坐标系中，、、、分别是单位圆上的四段弧，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若sinα＜cosα＜tanα，则P所在的圆弧是（　　）
A.
B.
C.
D.
3.已知向量，，满足++=，且2＞2＞2，则 、 、 中最小的值是（　　）
A. B. C. D. 不能确定的
4.已知向量，且，若且，下列说法中正确的是（　　）
①对于任意的，总存在，使得成立；
②对于任意满足的，总存在，使得成立
A. ①正确，②不正确 B. ①不正确，②正确
C. ①正确，②也正确 D. ①不正确，②也不正确
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.函数y=tan（3x+）的最小正周期为______．
6.已知tanα=2，则= ．
7.已知，，则的最小值为 .
8.已知cos（-α）=，则sin2α= ．
9.已知，β与α的终边关于y轴对称，则cosβ的取值范围是 .
10.已知向量，，则△ABC的面积为 .
11.若钝角三角形三边长为a+1，a+2，a+3，则a的取值范围是______．
12.已知tanα，tan（-α）是方程x2+px+q的两根，则p-q= .
13.已知向量，，且x∈[0，π]，则在方向上的投影的取值范围是 .
14.已知点G为△ABC的重心，D，E分别为边AB，AC上一点，F为BC的中点，若D，G，E三点共线，且，则λμ的最大值为 .
15.在△ABC中，，则tan（B-C）的最大值为 .
16.已知△ABC是边长为2的正三角形，平面上两动点O，P满足（λ1+λ2+λ3=1且λ1，λ2，λ3≥0）.若，则的最大值为______.
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题13分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知b=2，.
（1）若，求△ABC的面积；
（2）若a2+c2=7，D是线段AC的中点，求BD的长.
18.(本小题15分)
已知m∈R，向量，.
（1）若为锐角，求m的取值范围；
（2）若m＞0，且，求和在方向上的投影的坐标.
19.(本小题15分)
某市民活动中心内有一块以O为圆心半径为20米的半圆形区域，为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在半圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端点A、B分别在圆周上，观众席为等腰梯形ABQP内且在半圆O外的区域，其中AP=AB=BQ，∠PAB=∠QBA=，且AB、PQ在点O的同侧，为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台中心O处的距离都不超过60米（即要求PO≤60），设∠OAB=α，.
（1）当α=时，求舞台表演区域的面积及AB的长；
（2）对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？
20.(本小题17分)
已知.
（1）求函数y=f（x）的单调增区间；
（2）设g（x）=4f2（x）-f（x），求函数y=g（x），的值域；
（3）设m∈R且m≠0，将函数y=f（x）的图像上的点的横坐标变为原来的倍，得到函数y=h（x）的图像.若存在常数λ，使得h（x+λ）=λh（x）关于x∈R恒成立，求满足条件的λ和m.
21.(本小题18分)
如图，已知α∈（0，π），设Ox,Oy是平面内相交成α角的两条射线，，分别为与Ox,Oy同向的单位向量，称xOy为“α-仿射坐标系”.在α-仿射坐标系中，若，记.
（1）在-仿射坐标系中，若，求；
（2）在α-仿射坐标系中，若，，且，的夹角为，求cosα；
（3）在-仿射坐标系中，B，C分别在射线Ox,Oy上，且.若，E，F分别为BD，BC的中点，求的最大值.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】
6.【答案】3
7.【答案】2
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】0＜a＜2
12.【答案】-1
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】 ；（1，3）
19.【答案】平方米， 对于任意α，上述设计方案均能符合要求
20.【答案】 或
21.【答案】 7
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